Dénombrement
Dénombrer signifie compter le nombre d’éléments d’un ensemble fini, autrement dit déterminer son cardinal.
1 Ensembles finis
1.1 Cardinal - nombre d’éléments
Définition
Un ensemble E non vide est dit fini si et seulement si il existe un entier naturel n non nul et une bijection de J1, nKdansE.
On admet qu’un tel entier n, s’il existe, est unique. Il s’appelle cardinal de E.
Notation 1 card(E),|E|,#E.
Remarques 1
À Par convention, on dira aussi que l’ensemble vide est fini, de cardinal 0. C’est le seul ensemble à être de cardinal nul.
Á Un ensemble qui n’est pas un fini est dit infini.
 Pour un ensemble fini, on parle aussi de nombre d’éléments. En outre pour un ensemble E fini, de cardinal ndansN∗, se donner une bijection f de J1, nKdansE qui à tout entier i de J1, nKassocie l’élément f(i) dansE permet de numéroter, d’indicer, les éléments de E et d’écrire E ={f(1), f(2), ..., f(n)}={a1, a2, . . . , an}.
Exemple 1 Pour toutndeN∗, l’ensembleJ1, nKest fini de cardinalncar l’application identité est une bijection de J1, nKdans J1, nK.
Proposition
SoitEun ensemble fini de cardinalndansN∗. SiF est un ensemble qui peut être mis en bijection avec E (i.e. il existe une bijection de l’un dans l’autre), alorsF est aussi fini de cardinaln.
Corollaire
SiE est un ensemble infini et si F peut être mis en bijection avec E, alors F est infini.
1.2 Sous-ensembles d’un ensemble fini
Proposition
SoitE un ensemble fini de cardinalndansN∗ et siaest un élément deE, alorsEr{a}est fini, de cardinaln−1.
Proposition
¶ SiE est un ensemble fini et F est un sous-ensemble deE, alors F est fini et : card(F)6card(E)
Méthode : Pour démontrer l’égalité de deux ensembles finis, il suffit donc de montrer une inclusion et l’égalité des cardinaux.
Corollaire
SiF est inclus dans E, et siF est infini, alors E est infini.
1.3 Réunion d’ensembles finis
Proposition
SoitA etB deux ensembles finis etdisjoints; alors A∪B est fini et : card(A∪B) =card(A) +card(B)
Corollaire
SoitE un ensemble fini et A⊂E. Alors : card(A) =card(E)−card(A)
Corollaire
Soitp∈N∗ et(Ai)16i6p est une famille de pensembles finis qui est une partition de E, alors :
¶ E est fini ;
· card(E) =
n
X
i=1
card(Ai);
¸ Si de plus tous lesAi ont le même cardinalq, alors q divise card(E) et
nq=card(E) (principe des « bergers »)
Exemple 2 SiEest fini etf :E−→F est une application, alors card(E) = X
y∈F
card f−1({y}) .
Proposition
SoitA etB deux ensembles finis ; alorsA∪B est fini et on a :
card(A∪B) =card(A) +card(B)−card(A∩B)
1.4 Applications entre ensembles finis
Lemme
SoitE etF des ensembles non vides et f :E −→F.
¶ SiF est fini et f injective, alorsE est fini et |E|6|F|.
· SiE est fini et f surjective, alorsF est fini et|E|>|F|.
Dans les deux cas, il y a égalité si, et seulement si, les cardinaux de E et de F sont égaux.
Théorème
Soient E et F deux ensembles finis et non vides de même cardinal et f une application de E dansF; on a les équivalences :
f est injective ⇐⇒ f est surjective ⇐⇒ f est bijective
Remarque 2 On en déduit par contraposée du lemme 2, que si E etF sont deux ensembles finis non vides avec card(E)>card(F), alors toute application f de E dansF ne peut pas être injective : il existe au moins deux éléments distincts deE ayant nécessairement la même image parf.
C’est le principe des tiroirs : si 4 pulls sont rangés dans 3 tiroirs, l’un des tiroirs contiendra au moins 2 pulls (f :pull7−→tiroir où il est rangé).1
2 Ensembles de p -listes
On rappelle que E×F ={(x, y), x∈E, y∈F}.
Proposition (produit cartésien)
SoitE etF des ensembles finis avec card(E) =n, card(F) =p. Alors card(E×F) =np
Méthode : C’est le modèle à utiliser quand on considère une situation à deux étapes E1 etE2
et que le nombre de situation possibles deE1 estn1 et qu’indépendamment de la situationE1 le nombre de situations possibles deE2 estn2.Alors le nombre de situations possibles est n1×n2. Ce résultat se généralise àp étapes.
Exemple 3 Combien y a-t-il de plaques d’immatriculation du type AA 999 AA ? Exemple 4
À Une puce se déplace sur un cube. Chaque déplacement le mène d’un sommet à un autre relié par une arête. Elle faitndéplacements en tout. Combien y a-t-il de trajets possibles ? Á Avec l’alphabet usuel de 26 lettres, combien peut-on former de mots (ayant un sens ou pas) de cinq lettres dans lesquels figurent dans l’ordre une consonne, puis trois voyelles, puis une consonne ?
Définition (p-listes (ou p-uplets))
On se donne un ensemble fini E de cardinal n,etpun entier naturel non nul. On appelle p-liste de E, oup-uplet de E un élément deEp =E× · · · ×E,soit
L= (x1, . . . xp), avecx1 ∈E, . . . xp∈E
Proposition
Si card(E) =n, alors le nombre dep-uplets deE estnp.
Méthode:C’est le modèle à utiliser pour destirages avec remiseou lancers indépendants Exemple 5 Nombre de tirages pour10jets consécutifs d’un dé : E={1,2,3,4,5,6}.
3 p-Arrangements et permutations
Dans la suite on considère E un ensemble fini de cardinal n et un entierp∈N.
Définition
On appelle p-arrangements deE toutep-liste L d’élémentsdistinctsde E.
Proposition
Le nombre de p-arrangements deE est :
¶n(n−1). . .(n−p+ 1) = n!
(n−p)! si p6n · 0 sinon.
Notation 2 Le nombre de p arrangement d’un ensemble ànéléments se note Apn.
Méthode : C’est le modèle à utiliser pour des tirages sans remise ou tiercés dans l’ordre Exemple 6 Nombre de tiercés dans l’ordre pour dix chevaux ?
Exemple 7 Nombre de façons de placer48× 45 étudiants deP˚t˙s˚iffl2 sur 50tables ?
Définition
Une permutation de E est un n-arrangement deE
Proposition
Si card(E) =n, alors le nombre de permutations deE estn! (i.e. Ann=n!)
Remarque 3 Donner une permutation deE revient à donner une bijection de E surE.
Méthode : C’est le modèle à utiliser pour dénombrer lesmots de n lettres distinctes Exemple 8 Il y a24 = 4!« mots » sur les quatre lettres a, b, c, d:abcd, abdc, acbd, acdb, . . . Exemple 9 Nombre de façons de placer48× 45 étudiants deP˚t˙s˚iffl2 sur 48× 45 chaises ?
4 Combinaisons
Définition
On appelle p-combinaison (oup-partie) deE unsous-ensemble de péléments de E.
Notation 3 Le nombre de p-combinaisons de E se noteCnp.
Proposition
Le nombre de p-combinaisons deE est :
¶Cnp = 0 sip > n ·Cnp = Apn
p! = n
p
sinon.
Méthode:C’est le modèle à utiliser pour lestiercés dans le désordreoutirages simultanés.
La différence entre un arrangement et une combinaison tient au fait qu’un arrangement est ordonné et qu’une combinaison ne l’est pas.
Exemple 10 Nombre de tiercés dans le désordre pour dix chevaux.
Exemple 11 On choisit 8 cartes i.e. une main dans un jeu de 32 cartes.
1. Combien de mains différentes y a-t-il ?
2. Combien de mains contiennent deux carrés ?2 Exemple 12
1. On dispose de 10 billes de couleurs différentes. De combien de façon peut-on les placer sur une rangée de 10 places ?
2. On dispose de 5 billes vertes, 3 billes rouges, et 2 blanches, de combien de façon peut-on les placer sur cette même rangée ?
Proposition (Parties d’un ensemble (ou sous ensembles)) Si card(E) =n, alors il y a2n sous ensembles de E,soit card(P(E)) = 2n.
Exemple 13 SiE={a, b, c} alors cardP(E) =. . ..
5 Exemples d’utilisation
5.1 Dénombrement d’applications
Proposition (Nombre d’applications de E dans F) Si card(E) =p et card(F) =n, alors cardF(E, F) =np. Remarque 4 La notation F(E, F) =FE est enfin expliquée !
Proposition (Nombre d’injections de E dans F)
Si card(E) =p et si card(F) =n, alors le nombre d’injections deE dansF est Apn.
Remarque 5 Si cardE =cardF =n, alors les injections de E dansF sont les bijections. Il y en a n!. En particulier, le nombre de bijections deE sur lui-même (permutations deE) estn!
5.2 Nombres de parties de E (méthode alternative)
Exemple 14 Montrer que cardP(E) = 2cardE à l’aide de l’application Ψ : P(E) −→ {0,1}E
A 7−→ 1A
5.3 Deux démonstrations « combinatoires »
¶ Formule du binôme de Newt♥n : (a+b)n=
n
X
k=0
n k
akbn−k
· Formule de Pascal :16p6n :
n−1 p−1
+
n−1 p
= n
p
