On peut consid´erer pour tout r´eel p >0 la quantit´e E|X|p finie ou ´egale `a

cours 19, le mercredi 30 mars 2011

Moments

Soit X une variable al´eatoire (en abr´eg´e : v.a.) sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P) ; pour tout entiern≥1, lemoment d’ordrende X est l’esp´erance E Xⁿde la puissance Xⁿ (sous-r´eserve d’existence, garantie par la finitude du ^hhmoment absoluⁱⁱ, E|X|ⁿ <+∞).

On peut consid´erer pour tout r´eel p >0 la quantit´e E|X|^p

finie ou ´egale `a +∞.

Lemme. La fonction

p → E|X|^p1/p

est croissante sur ]0,+∞[.

Preuve. —On commence par comparer les valeurs en 1 etr >1 ; on introduit l’exposant conjugu´es d´efini par 1/s= 1−1/ret on trouve d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, pour toute variable al´eatoire Y positive

E Y = Z

Ω

Y(ω).1 dP(ω)≤Z

Ω

Y(ω)^rdP(ω)1/rZ

Ω

1^sdP(ω)1/s

=

=

E Y^r1/r

P(Ω)1/s

=

E Y^r1/r

;

on traite le cas g´en´eral 0 < p < q < +∞ en introduisant r = q/p > 1 et Y = |X|^p; alors Y^r =|X|^q et l’in´egalit´e pr´ec´edente donne

E|X|^p ≤ E|X|^qp/q

,

d’o`u le r´esultat.

Ainsi, pour une probabilit´e P, on a les inclusions

L^∞(Ω,F,P)⊂L²(Ω,F,P)⊂L¹(Ω,F,P).

Exercice. Si X est une variable al´eatoire presque sˆurement born´ee, montrer qu’on a l’´egalit´ekXk_∞ = lim_p→+∞kXk_p.

Couple de variables al´eatoires. Loi jointe

Si X,Y sont deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur (Ω,F,P), on peut consid´erer l’application ^hhcoupleⁱⁱ

ω∈Ω→(X(ω),Y(ω))∈ R²

qui est F-mesurable `a valeurs dans (R²,B_R ⊗ B_R) = (R²,B_R²). La loi jointe du couple (X,Y), ou simplement loi du couple, est la probabilit´e P_(X,Y) sur (R²,B_R ⊗ B_R) = (R²,B_R²) qui est la mesure image de la probabilit´e P par l’application couple (X,Y),

∀B∈ B_R², P_(X,Y)(B) = P (X,Y) ∈B . La ^hhformule de transfertⁱⁱpour le couple dit que

Ef(X,Y) = Z

R²

f(x, y) dP_(X,Y)(x, y)

pour toute fonction bor´elienne f : R² → [0,+∞], ou plus g´en´eralement pour toute fonction F-mesurable r´eelle ou complexe f telle que f(X,Y) soit P-int´egrable.

Marginales de la loi jointe

Si Q est une loi de probabilit´e sur (R²,B_R²), on appelle lois marginales de Q les deux images Q₁ et Q₂ de la mesure Q par les deux projections de R² sur R donn´ees par les deux applications coordonn´ees,

π₁: (x₁, x₂)∈R² →x₁, π₂ : (x₁, x₂)∈R² →x₂. Les deux mesures Q_j =π_j(Q),j = 1,2 sont des probabilit´es sur (R,B).

Si X et Y sont deux variables al´eatoires r´eelles sur (Ω,F,P) et si on compose l’application couple (X,Y) `a valeurs dansR<sup>2</sup>avec la premi`ere projectionπ₁deR² surR, on retrouve X (et Y avec la deuxi`eme projection). Il en r´esulte que l’image de P<sub>(X,Y)</sub> par la premi`ere projection est la loi P_X de X. De mˆeme l’image de P_(X,Y) par la deuxi`eme projection π₂ est la loi P_Y de Y. La connaissance de la loi du couple est (c’est pas ´etonnant) une donn´ee plus pr´ecise que les simples lois de chacune des v.a.

Exemple. On peut obtenir de tr`es nombreuses lois sur le carr´e [0,1]<sup>2</sup> dont les deux marginales sont ´egales `a la mesure de Lebesgue sur [0,1], par exemple la loi du^hhcoupleⁱⁱ (U₁,U₁), port´ee par la diagonale u₁ = u₂ du carr´e, ou bien la mesure de Lebesgue du carr´e, si le couple (U₁,U₂) est form´e de deux variables uniformes ind´ependantes (d´efinition juste apr`es).

Covariance

Si X et Y sont deux variables al´eatoires r´eelles de carr´e int´egrable d´efinie sur (Ω,F,P), elles sont en particulier int´egrables, et on peut consid´erer les variablescentr´ees (c’est-`a- dire d’int´egrale nulle) X−E X et Y−E Y, qui sont encore dans L<sup>2</sup>, et enfin le produit scalaire de ces derni`eres, qu’on appelle la covariance de X et Y,

Cov(X,Y) = E(X−E X)(Y−E Y).

En d´eveloppant on obtient Cov(X,Y) = E(XY)−(E X)(E Y).

Quand Y = X, on obtient Cov(X,X) = Var(X)≥0, et ce cas est certainement le cas o`u Y d´epend le plus ´etroitement de X ; on dit que X et Y sont positivement corr´el´ees quand Cov(X,Y) > 0, et non corr´el´ees quand la covariance est nulle. La covariance s’exprime `a partir de la loi jointe, par exemple par

Cov(X,Y) = Z

R²

x−

Z

R²

udP_(X,Y)(u, v) y−

Z

R²

vdP_(X,Y)(u, v)

dP_(X,Y)(x, y).

VI.2. Ind´ependance

VI.2.1. Ind´ependance de deux tribus ou de v.a.

D´efinition. On suppose donn´e un espace de probabilit´e (Ω,F,P). Deux ´ev´enements A,B∈ F sont ind´ependants si P(A∩B) = P(A)P(B).

On v´erifie qu’alors A^c et B, A et B^c, A^c et B^c sont ´egalement ind´ependants. Si on note que A = ∅ et A = Ω sont ind´ependants de tout autre ´ev´enement B, on voit que tous les ´ev´enements de la tribu (`a quatre ´el´ements ∅,A,A^c,Ω) engendr´ee par A sont ind´ependants des ´ev´enements de la tribu engendr´ee par B.

D´efinition.Deux sous-tribusA,B ⊂ F sont ind´ependantes si tous les ´ev´enements A∈ A et B∈ B sont ind´ependants.

Si X est une variable al´eatoire sur Ω, lasous-tribu engendr´ee parX, not´eeσ(X) ⊂ F est la tribu X⁻¹(B), image inverse par X de la tribu bor´elienne. Si X₁, . . . ,Xn sont des v.a. sur Ω, la tribu σ(X₁, . . . ,X_n) engendr´ee par X₁, . . . ,X_n est la plus petite tribu contenant toutes les tribus σ(X_j), j = 1, . . . , n, ou de fa¸con ´equivalente, contenant tous les ensembles (X_j ∈B_j), j = 1, . . . , net B_j bor´elien de R.

D´efinition.Deux v.a. X et Y sont ind´ependantes si les tribus engendr´eesσ(X) et σ(Y) sont ind´ependantes.

Comme tous les ´ev´enements de la tribu σ(X) sont de la forme {X∈A}, o`u A varie dans B<sub>R</sub>, et de mˆeme pour σ(Y), cela revient `a dire que

∀A,B∈ B_R, P {X∈A}&{Y ∈B}

= P {X ∈A}

P {Y ∈B}

.

Exemple. Si Ω = [0,1]² et si P est la mesure de Lebesgue sur le carr´e, les variables al´eatoires X et Y d´efinies par X(x, y) =x et Y(x, y) =y sont ind´ependantes.

Proposition. Deux variables al´eatoires r´eelles X,Y sur (Ω,F,P)sont ind´ependantes si et seulement si la loi jointe est le produit tensoriel des lois,

P_(X,Y) = P_X⊗P_Y.

V´erification. — Les deux v.a. sont ind´ependantes si et seulement si pour tous les sous- ensembles bor´eliens A,B de R, on a

PX(A) PY(B) = P(X∈A)P(Y ∈B) = P (X∈A) & (Y∈B)

= P_(X,Y) (X,Y) ∈A×B , et l’´egalit´e entre les termes extrˆemes est la caract´erisation de la mesure produit P_X⊗P_Y. Exemple : soient U₁,U₂, deux variables uniformes sur [0,1], ind´ependantes, et con- sid´erons la variable al´eatoire X = inf(U1,U2). Calculons la loi de X, l’esp´erance de X.

On peut tout de suite calculer l’esp´erance par une premi`ere m´ethode. Comme U₁ et U₂ sont ind´ependantes, la loi jointe est le produit tensoriel de deux copies de la loi uniforme 1_[0,1](x) dx, donc

E X = E inf(U₁,U₂) = Z

R²

inf(u₁, u₂)1_[0,1](u₁) du₁1_[0,1](u₂) du₂. On peut appliquer Fubini positif,

E X = Z Z

inf(u₁, u₂)1_[0,1](u₁)1_[0,1](u₂) du₁ du₂

= Z

R

Z u2

0

u₁du₁+u₂ Z 1

u2

du₁

1_[0,1](u₂) du₂ = Z 1

0

u²₂/2 +u₂(1−u₂) du₂

= Z 1

0

(u−u²/2) du=hu² 2 − u³

6 i1

0 = 1/2−1/6 = 1/3.

On va maintenant d´eterminer la loi de X. Puisque X = inf(U₁,U₂), les valeurs de X sont clairement dans [0,1] presque sˆurement. Soit x entre 0 et 1 ; si X > xc’est que U1

et U₂ sont > x toutes les deux, donc par ind´ependance, la probabilit´e de l’´ev´enement (X> x) = (U1 > x) & (U2 > x) est ´egale au produit

P(U₁ > x)P(U₂ > x) = P(U₁ > x)2

=Z +∞

x

1_[0,1](t) dt2

= (1−x)²;

la fonction de r´epartition de X est FX(x) = 1−(1−x)² sur [0,1], FX(x) = 0 si x ≤ 0 et F_X(x) = 1 six ≥1. La fonction F_X est continue et de classe C¹ par morceaux ; il en r´esulte que la loi de X admet pour densit´e la d´eriv´ee fXde FX, ´egale `afX(x) = 2(1−x) sur [0,1], et ´egale `a 0 en dehors de [0,1]. On peut alors retrouver l’esp´erance de l’inf, qu’on avait d´ej`a calcul´ee par Fubini :

E X = Z

R

xdP_X(x) = Z

R

xf_X(x) dx=

= 2 Z 1

0

x(1−x) dx=h

x²−2x³/3i1

x=0 = 1−2/3 = 1/3.

Dans le mˆeme genre

Si T est une v.a. exponentielle de param`etre λ >0 et si t ≥0, on a P(T> t) =

Z +∞

t

λe^−λx dx=h

−e^−λxi+∞

t = e^−λt.

On en d´eduit la loi de l’inf de deux variables exponentielles ind´ependantes T1 et T2, de param`etres λ₁, λ₂ :

P(inf(T₁,T₂)> t) = P (T₁ > t) & (T₂ > t)

=

= P(T₁> t)P(T₂ > t) = e^−λ1te^−λ2t = e^{−(λ1+λ2)t}.

On trouve donc que T = inf(T₁,T₂) suit une loi exponentielle de param`etreα =λ<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>, dont on a calcul´e l’esp´erance, ´egale `a 1/α. Dans le cas o`u λ1 =λ2 = λ, le temps moyen d’attente 1/(2λ) du premier bus arriv´e parmi deux <sup>hh</sup>bus exponentiels<sup>ii</sup> ind´ependants de param`etre λ est la moiti´e du temps d’attente moyen d’un seul (cela semble bien naturel ; mais le premier exercice montre que le r´esultat ne serait pas vrai pour des^hhbus uniformesⁱⁱ).

Remarque. La loi exponentielle est ^hhsans m´emoireⁱⁱ : on commence une exp´erience au temps 0, attendant un certain ´ev´enement al´eatoire qui se produira au temps T>0, o`u la variable al´eatoire T suit la loi exponentielle de param`etre λ > 0. Mais en fait, l’observateur a rat´e le d´ebut et il commence `a attendre au temps t > 0 ; quelle est la loi du temps S = T−t restant `a attendre, sachant que l’´ev´enement ne s’est pas encore produit `a l’instant t? On trouve

P(S> u)

P(T > t) = P(T> t+u)

P(T> t) = e^−λ(t+u)/e^−λt = e^−λu = P(T> u),

donc : la loi conditionnelle de T−t, sachant que T> t, est la mˆeme que la loi de T.

Ind´ependance et esp´erance

Th´eor`eme.SiX etY sont deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, et sif, g sont bor´eliennes positives, alors

E f(X)g(Y)

= Ef(X)

Eg(Y) . En particulier, E |X| |Y|

= E|X|

E|Y|

. Si X,Y sont ind´ependantes et int´egrables, alors XY est int´egrable et

E(XY) = (E X) (E Y).

Preuve. — Si X et Y sont ind´ependantes, on sait que la loi P_(X,Y) du couple est la probabilit´e sur (R²,B_R²) ´egale au produit tensoriel des deux lois P_X et P_Y. On a donc par mesure image puis Fubini positif

Ef(X)g(Y) = Z

R²

f(x)g(y) dP_(X,Y)(x, y) = Z

R²

f(x)g(y) dPX(x)dPY(y)

= Z

R

f(x)Z

R

g(y) dP_Y(y)

dP_X(x) =Z

R

f(x) dP_X(x)Z

R

g(y) dP_Y(y)

= Ef(X) Eg(Y).

Si on prend f(x) = g(x) = |x|, on obtient le deuxi`eme point de l’´enonc´e. Si X,Y sont int´egrables, il r´esulte du point pr´ec´edent que XY est int´egrable, et le r´esultat final est obtenu par Fubini (au lieu de Fubini positif). On peut aussi raisonner en d´ecoupant XY = (X<sup>+</sup>−X<sup>−</sup>)(Y<sup>+</sup>−Y<sup>−</sup>), appliquer le cas positif et regrouper : mais c’est bien ainsi qu’on d´emontre Fubini g´en´eral `a partir de Fubini positif.

Si X et Y sont r´eelles, ind´ependantes et de carr´e int´egrable, il est clair que les variables centr´ees X−E X et Y−E Y sont encore ind´ependantes : en effet, l’´ev´enement {X−E X∈A}s’´ecrit comme {X∈A + E X}, o`u A + E X est le bor´elien de R obtenu en translatant A de la valeur E X ; cet ´ev´enement est donc ind´ependant de {Y ∈B + E Y}, pour tous A,B bor´eliens.

Puisque X−E X et Y−E Y sont ind´ependantes et de moyenne nulle, il r´esulte de ce qui pr´ec`ede que

Cov(X,Y) = E(X−E X)(Y−E Y) = 0.

On obtient aussi, sous les mˆemes hypoth`eses, la relation importante Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y),

qui n’est rien d’autre qu’une version de l’´egalit´e de Pythagore pour les vecteurs ortho- gonaux.

Remarque. Les deux variables al´eatoires X et Y sont ind´ependantes si et seulement si pour toutes les fonctions f, g bor´eliennes positives sur R, on a

(∗∗) Ef(X)g(Y) = Ef(X) Eg(Y).

Preuve. —Le th´eor`eme pr´ec´edent montre que la condition (∗∗) est n´ecessaire pour avoir l’ind´ependance. Inversement, on suppose (∗∗) et on prend f = 1_A, g =1_B, A,B ∈ B_R; alors

P(X∈A) P(Y ∈B) = E1_A(X)

E1_B(Y)

= E1_A(X)1_B(Y) = P (X∈A) & (Y∈B) , d’o`u le r´esultat : X et Y sont ind´ependantes.

VI.2.2. Ind´ependance de familles de tribus ou de v.a.

Si on veut d´efinir l’ind´ependance de trois ´ev´enements A,B et C, il ne suffit pas de demander qu’ils soient ind´ependants deux `a deux : la bonne notion est de demander que toutes les intersections possibles,

A∩B, B∩C, C∩A, A∩B∩C

aient une probabilit´e ´egale au produit des probabilit´es. Pour une famille plus large, on demandera aussi que toutes les intersections finies possibles v´erifient la condition.

D´efinition. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e ; on dit que les classes D₁,D₂, . . . ,D_n de parties de Ω, contenues dans F, sont ind´ependantes si pour sous-ensemble J⊂ {1, . . . , n} et tous Aj ∈ A_j, j ∈ J, on a

P \

j∈J

A_j

=Y

j∈J

P(A_j).

On dit que les classes (D_i)_i∈I contenues dans F sont ind´ependantes si toutes les sous- familles finies (D_j)_j∈J sont ind´ependantes.

Si on a affaire `a des sous-tribusA₁,A₂,. . . ,A_ndeF, on n’a pas besoin de mentionner le sous-ensemble J⊂ {1, . . . , n}: il suffit de prolonger le choix des A_j, donn´es pourj ∈J, en posant Ak = Ω quand k /∈J, et alors

A₁∩A₂∩. . .∩A_n = \

j∈J

A_j,

n

Y

j=1

P(A_j) =Y

j∈J

P(A_j).

Les tribus A₁, . . . ,A_n sont donc ind´ependantes si et seulement si, pour tous A₁, . . . ,A_n tels que A_j ∈ A_j, j = 1, . . . , n, on a

P\ⁿ

j=1

Aj

=

n

Y

j=1

P(Aj).

D´efinition.Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e ; on dit que les v.a. X₁,X₂, . . . ,X_n sont ind´ependantes si les tribusσ(X1), σ(X2), . . . , σ(Xn) sont ind´ependantes ; cela revient

`a dire que pour tous bor´eliens B₁, . . . ,B_n de R, on a P\ⁿ

j=1

{X_j ∈Bj}

=

n

Y

j=1

P(Xj ∈Bj).

On dit que les v.a. (X_i)_i∈I d´efinies sur (Ω,F,P) sont ind´ependantes si toutes les sous- familles finies sont ind´ependantes. On dira aussi qu’une variable al´eatoire X est ind´e- pendante d’une sous-tribu A si les tribus σ(X) et A sont ind´ependantes.

Lemme 1. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e ; si un ´ev´enement A ∈ F est ind´e- pendant de tous les ´ev´enements C ∈ C d’une classe C ⊂ F stable par intersection finie, alors A est ind´ependant de la tribu engendr´ee σ(C).

Preuve. — Consid´erons les deux mesures µ et ν sur (Ω,F) d´efinies par dµ(ω) =1_A(ω) dP(ω), dν(ω) = P(A) dP(ω).

Pour tout ensemble B∈ F, µ(B) =

Z

Ω

1_B1_AdP = Z

Ω

1_B∩AdP = P(B∩A) ; ν(B) = P(A) P(B).

Ces deux mesures ont la mˆeme masse totale,

µ(Ω) = P(Ω∩A) = P(A), ν(Ω) = P(A) P(Ω) = P(A),

et elles co¨ıncident sur la classe C, d’apr`es l’hypoth`ese d’ind´ependance,

∀C∈ C, µ(C) = P(C∩A) = P(C) P(A) =ν(C).

D’apr`es un lemme d’unicit´e de mesure vu au chapitre III (ce lemme r´esulte du th´eor`eme de classe monotone), on d´eduit que µ = ν sur la tribu σ(C) engendr´ee par C, ce qui donne le r´esultat voulu.

Lemme 2.Soient (Ω,F,P)un espace de probabilit´e, et C₁, . . . ,C_n des classes de parties de Ω, stables par intersection finie et contenues dans F; si les classes C₁, . . . ,C_n sont ind´ependantes, alors les classes C₂, . . . ,C_n, σ(C₁) sont ind´ependantes.

Preuve. — Fixons J⊂ {2, . . . , n} et un ´el´ement C_j dans C_j pour tout j ∈ J ; posons A = \

j∈J

C_j.

Alors A est ind´ependant de la classe C₁ : en effet, pour tout C₁ ∈ C₁, on a P(C1∩A) = P \

j∈J∪{1}

Cj

= P(C1)Y

j∈J

P(Cj) = P(C1)P(A).

Puisque A est ind´ependant de la classeC₁, stable par intersection finie, il r´esulte du lemme pr´ec´edent que A est ind´ependant de la tribu engendr´ee σ(C₁) : pour tous les ensembles B₁ ∈σ(C₁) (y compris B₁ = Ω qui revient `a ne rien s´electionner), tout J⊂ {2, . . . , n}et tous les Cj ∈ C_j, j ∈J, on a

P \

j∈J

Cj

∩B1

= P \

j∈J

Cj

P(B1) =Y

j∈J

P(Cj)

P(B1), ce qui termine la preuve.

Proposition. Soient (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, et C₁, . . . ,C_n des classes de parties de Ω, stables par intersection finie et contenues dansF ; si les classes C₁, . . . ,C_n sont ind´ependantes, alors les tribus engendr´ees σ(C₁), . . . , σ(C_n) sont ind´ependantes.

Preuve. — Il suffit d’appliquernfois le lemme pr´ec´edent : de l’ind´ependance des classes C₁, . . . ,C_n, stables par intersection finie, on passe `a l’ind´ependance de

C₂, . . . ,C_n, σ(C₁) ;

mais on a `a nouveau des classes stables par intersection finie, donc les classes C₃, . . . ,C_n, σ(C₁), σ(C₂)

sont ind´ependantes ; et en continuant ainsi on arrive `a l’ind´ependance de σ(C₁), . . . , σ(C_n).

Corollaire. Pour que les variables al´eatoires X₁, . . . ,X_n soient ind´ependantes, il (faut et il) suffit que pour tout sous-ensemble J de {1, . . . , n} et tout choix de r´eels (c_j)_j∈J, on ait

(∗) P \

j∈J

{X_j > cj}

= Y

j∈J

P(Xj > cj).

Preuve. — Pour chaque j = 1, . . . , n, d´esignons par C_j la classe de tous les ensembles de la forme

{X_j > c}= X⁻¹_j ]c,+∞[

,

o`u c varie dans R. Chacune de ces classes est contenue dans F, stable par intersection finie. La propri´et´e (∗) ´enonc´ee dans le corollaire signifie que les classes C₁, . . . ,C_n sont ind´ependantes. Il r´esulte de la proposition pr´ec´edente que les tribus engendr´ees sont ind´ependantes ; or on sait que

σ(C_j) =σ(X_j), ce qui termine la preuve.

D´eveloppement dyadique

On sait que tout nombre r´eel x tel que 0≤x <1 peut se repr´esenter sous la forme x=

+∞

X

n=1

εn

2ⁿ,

o`u εn = 0,1 est obtenu en d´eveloppant x en base 2. On va montrer que les ^hhd´ecimales dyadiquesⁱⁱ (εn)n>1 peuvent ˆetre consid´er´ees comme une suite de variables al´eatoires ind´ependantes.

D´efinissons une fonctionϕsurR, qui ne prend que les valeurs 0 et 1, en posantϕ(x) = 0 sur [0,1[ et ϕ(x) = 1 sur [1,2[, et en disant que ϕest p´eriodique de p´eriode 2 sur R; on a donc

ϕ=X

j∈Z

1_[2j−1,2j[, et on a aussi

{x∈R:ϕ(x) = 0}=[

j∈Z

[2j,2j+ 1[,

c’est-`a-dire que ϕ(x) = 0 si et seulement si la partie enti`ere de x est paire. On consid`ere l’espace Ω = [0,1[, muni des bor´eliens et de la mesure de Lebesgue (qui est une probabilit´e sur cet espace Ω). Pour tout entier n≥1 et toutω∈Ω, on pose

Xn(ω) =ϕ(2ⁿω) ;

on va montrer que ces v.a. forment une suite (infinie) (Xn)_n>1 de variables al´eatoires ind´ependantes.

Identifions la loi de Xn : la v.a. Xn ne prend que les valeurs 0,1, et elle les prend avec probabilit´e 1/2 ; en effet, l’ensemble (Xn= 0) est l’ensemble des ω r´eels tels que 0≤ω <1 et ϕ(2ⁿω) = 0, donc c’est l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels il existe j ∈ Z tel que 2j ≤2ⁿω <2j+ 1 ; on a 0≤2ⁿω <2j+ 1 qui entraˆınej≥0 et 2j≤2ⁿω <2ⁿ qui entraˆıne j <2ⁿ⁻¹, donc

2ⁿω ∈ [

0≤j<2ⁿ⁻¹

[2j,2j+ 1[

ce qui montre que

{Xn = 0}= [

0≤j<2ⁿ⁻¹

[2j2⁻ⁿ,(2j+ 1)2⁻ⁿ[ ;

l’ensemble {Xn = 0} est form´e de 2ⁿ⁻¹ intervalles disjoints, chacun de longueur 2⁻ⁿ, par cons´equent

P(Xn = 0) = 2ⁿ⁻¹2⁻ⁿ = 1/2.

Comme Xn ne prend que les valeurs 0 et 1, on a aussi P(Xn = 1) = 1/2.

On va montrer par r´ecurrence sur n ≥ 1 les deux affirmations suivantes : la tribu Fn

engendr´ee par X1, . . . ,Xn est engendr´ee par la partition Πn =([j2⁻ⁿ,(j+ 1)2⁻ⁿ[)_0≤j<2ⁿ de Ωen 2ⁿ atomes, etXn est ind´ependante de Fn−1.

Quand n= 1, la tribu F₁ est engendr´ee par X1, qui prend la valeur 0 sur [0,1/2[ et la valeur 1 sur [1/2,1[ ; la partition Π1 de [0,1[ est form´ee de [0,1/2[ et [1/2,1[ ; la tribu F₁ engendr´ee par X1contient les quatre ensembles engendr´es par cette partition, `a savoir vide, plein et les deux intervalles pr´ec´edents : c’est la tribu engendr´ee par la partition Π1. Il est naturel de poser F<sub>0</sub> ={∅,Ω}, et n’importe quelle variable al´eatoire, en particulier X<sub>1</sub>, est ind´ependante de cette tribu<sup>hh</sup>grossi`ereⁱⁱF₀. Le cas n= 1 est r´egl´e.

Supposons la propri´et´e vraie `a l’ordren: tout ensemble A de la tribuFn est de la forme A =[

j∈J

Aj, o`u Aj = [j2⁻ⁿ,(j+ 1)2⁻ⁿ[,

0≤j <2ⁿ et o`u J est un sous-ensemble de{0, . . . ,2<sup>n</sup>−1}. La tribuFn+1est la plus petite tribu qui contienne tous les ensembles de la forme (Xk ∈Bk) o`u Bk est un bor´elien de R et k= 1, . . . , n+ 1. La tribu Fn contient d´ej`a tous ces ensembles pour k ≤n, on va voir comment il faut la raffiner pour traiter Xn+1 aussi. Comme Xn+1 ne prend que les valeurs 0 et 1, il suffit de garantir que l’ensemble (Xn+1= 0) soit dans la tribuFn+1: on obtiendra (Xn+1 = 1) par compl´ementaire ; les autres ensembles de la forme (Xn+1 ∈ Bn+1) sont ∅ et Ω, qui sont d´ej`a dans Fn, donc dans Fn+1.

L’ensemble (Xn+1= 0) est la r´eunion pour 0≤j <2ⁿ des ensembles

Aj∩(Xn+1= 0) ={ω : (j2⁻ⁿ ≤ω <(j+ 1)2⁻ⁿ) & (Xn+1(ω) = 0)}.

Sij2⁻ⁿ ≤ω <(j+ 1)2⁻ⁿ et Xn+1(ω) =ϕ(2ⁿ⁺¹ω) = 0, on sait que 2j≤2ⁿ⁺¹ω <2j+ 2 et que 2ⁿ⁺¹ω appartient `a un intervalle pair [2i,2i+ 1[ qui ne peut ˆetre que [2j,2j+ 1[. On conclut que

Aj∩(Xn+1= 0) = [2j2⁻ⁿ⁻¹,(2j+ 1)2⁻ⁿ⁻¹[.

On voit donc que l’ensemble (Xn+1 = 0) est r´eunion de certains des intervalles de la parti- tion Πn+1. Inversement, la tribuFn+1 doit contenirFn, donc contenir tous les ensembles Aj, 0≤j <2ⁿ, donc tous les

Aj∩(Xn+1= 0) = [2j2⁻ⁿ⁻¹,(2j+ 1)2⁻ⁿ⁻¹[ et tous les

Aj∩(Xn+1= 1) = [(2j+ 1)2⁻ⁿ⁻¹,(2j+ 2)2⁻ⁿ⁻¹[.

On voit donc que Fn+1 contient tous les ensembles de la partition Πn+1, et co¨ıncide par cons´equent avec la tribu engendr´ee par Πn+1; cette partition a 2ⁿ⁺¹ atomes et la tribu (finie) Fn+1 contient 2²ⁿ⁺¹ ensembles.

Pour montrer que Xn+1 est ind´ependante deFn, on doit montrer que P(A & (Xn+1 = 0))= P(A) P(Xn+1= 0) = P(A)/2 pour tout A∈ Fn; comme tout A∈ Fn est de la forme A =S

j∈JAj, r´eunion disjointe, il suffit de le faire sur chaque bout Aj,j ∈J. Mais on vient de voir que

Aj∩(Xn+1= 0) = [2j2⁻ⁿ⁻¹,(2j+ 1)2⁻ⁿ⁻¹[ qui est de longueur

2⁻ⁿ⁻¹= 2⁻ⁿ×1

= P(Aj) P(Xn+1= 0).

On a montr´e que Xn+1 est ind´ependante deFn et termin´e la r´ecurrence.

Terminons la preuve de l’ind´ependance des Xn : si N entier quelconque est donn´e, ainsi que des bor´eliens (Bk), k = 1, . . . ,N, on note que par la preuve pr´ec´edente, l’ensemble (XN∈BN) est ind´ependant de T

1≤k<N(Xk ∈Bk) qui est dans la tribu FN−1, donc

P \

1≤k≤N

(Xk ∈Bk)

= P

\

1≤k<N

(Xk ∈Bk)

& (XN ∈BN)

= P \

1≤k<N

(Xk ∈Bk)

P(XN∈BN), et en recommen¸cant avec N−1,N−2, . . . ,2 on termine avec

P \

1≤k≤N

(Xk ∈Bk)

=

N

Y

k=1

P(Xk ∈Bk).

Ainsi, on a prouv´e que la suite (Xn)_n>1 est une suite de v.a. ind´ependantes.

Remarque. En alg`ebre lin´eaire, on peut traduire l’ind´ependance lin´eaire d’une suite de vecteurs (vn)_n>1 en disant que pour tout n≥1,

vn ∈/ Vect(v1, . . . , vn−1)

(o`u Vect() est interpr´et´e comme {0} quand n−1 = 0). De fa¸con analogue, on traduit l’ind´ependance d’une suite de variables al´eatoires (Xn)_n>1 en disant que pour toutn≥1, la v.a. Xn est ind´ependante de la tribu engendr´ee par X1, . . . ,Xn−1.

Remarque(un peu pr´ematur´ee). Par construction les Xn(ω) sont les ^hhd´ecimalesⁱⁱde la num´eration binaire, donc pour tout ω de [0,1[ on a l’´egalit´e

ω=

+∞

X

n=1

2⁻ⁿXn(ω).

On a ainsi construit la variable al´eatoireω∈Ω→ω∈R, de loi uniforme sur [0,1], `a partir d’une suite de v.a. de Bernoulli p = 1/2 ind´ependantes. On pourrait se convaincre que la loi d’une s´erie de Bernoulli ne d´epend pas de la r´ealisation particuli`ere (on peut calculer toutes les probabilit´es des valeurs des sommes partielles de la s´erie grˆace `a l’ind´ependance).

Ainsi, pour toute sous-suite des (Xn) pr´ec´edentes,

+∞

X

k=1

2^−kXnk

est une variable uniforme sur [0,1].

A partir d’une suite de Bernoulli ind´ependantes, on peut donc construire une suite` (Um)m>0 d’uniformes ind´ependantes (utiliser le fait que N ∼ N×N, et le fait que des variables construites `a partir de paquets disjoints pris dans une suite ind´ependante restent ind´ependantes), donc des tas d’autres suites ind´ependantes, par exemple des Bernoulli de param`etrep6= 1/2 en consid´erant Ym=1_[0,p](Um).