Traitement du signal

Traitement du signal

M´edian Automne 2004

Une attention particuli`ere devra etre port´ee sur la justification des calculs. Un r´esultat exact non justifi´e sera consid´er´e comme partiellement faux. Bareme provisoire (4,4,7,5).

1. Syst`emes

Soit un syst`emeSde r´eponse impulsionnelleh(t) form´e par deux syst`emes en cascade dont les r´eponses impulsionnelles sonth₁(t) =e^−tΓ(t) et h₂(t) =e^−2tΓ(t)

(a) Donner l’expression de la r´eponse impulsionnelle h(t) (b) D´emontrer que le syst`emeS est stable

(c) six(t) est un signal porte de largeur T, donner l’expression de la sortiey(t) 2. Filtrage

Soit un filtre de r´eponse impulsionnelle h(t) =e^−|t|

(a) Calculer la r´eponse fr´equentielle de ce filtre

(b) si x(t) est le signal d’entr´ee de ce filtre et y(t) le signal de sortie. Donner la relation entre les d´ensit´es spectrales dex(t) et y(t)

(c) Six(t) est un signal p´eriodique de p´eriode T, d´emontrer quey(t) est de la forme y(t) =

+∞

n=−∞

c_nh_ne^i2πnt/T et donner l’expression deh_n.

3. Systemes et Filtres

(a) soit m(t) un peigne de Dirac de p´eriode T_e. En d´ecomposantm(t) en s´erie de Fourier, montrer que la transform´ee de Fourier deM(t) au sens des distribution s’´ecrit :

M(f) = 1 T_e

n∈Z

δ(f−n/Te)

(b) soitx(t) un signal dont la transform´ee de Fourier est `a support born´ee telle que Fmax ≤ _T²_e. On d´efinit xe(t) =m(t)·x(t). Montrer que

x_e(t) =

n∈Z

x(nT_e)δ(t−nT_e)

1

(c) Donner l’expression deX_e(f) la transform´ee de Fourier dex_e(t) et r´ealiser un schema repr´esentant Xe(f) en fonction de X(f)

(d) En utilisant un filtrage passe-bas id´eal, montrer que x(t) = 1

T_e

n∈Z

x(nT_e)sinc(π

T_e(t−nT_e)) 4. Distributions et Fourier

Soit x(t) = cos(2πf₀t)

(a) Donner l’expression de la fonction g´en´eralis´ee Dx associ´ee `a x(t) (b) Donner l’expression de la d´eriv´ee de Dx

(c) Calculer la transform´ee de Fourier au sens des distributions de Dx. (Donner la d´emonstration)

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