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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Séries : SET-MTI-MTGC Page 1 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

BAC 1 19 1 9 99 9 97 7 7

S S S S S S E S S S S S S E E E E E E E E R E E E R R R R R R R R IIII R R R IIII IIIIE E E E E E E S E E E E E S S S S S S :::: S S S S S :::: :::: SET SET SET- SET -- -MTI MTI MTI- MTI -- -MTGC MTGC MTGC/TSE MTGC /TSE /TSE /TSE

EXERCICE I : (4 points)

Soit

f

la fonction définie sur [0;+∞[ par

f

(x) = 1+ln (1+x).

On note (C) la courbe de

f

dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 3cm.

1–a) - Etudier le sens de variation de

f

b)- Donner une équation de la tangente (∆) à la courbe (C) en son point d’abscisse 0.

c)- Construire (C) et (∆).

2- En étudiant la fonction numérique g définie sur [0;+∞[ par g (x) = x –

f

(x), démontrer que l’équation x =

f

(x) a une solution unique α et que α ε[2;3].

EXERCICE II : (4points)

Dans le plan P on considère trois points A, B, et C. Soit s la réflexion d’axe (AC) qui transforme B en D et soit ŲŲŲŲ l’application affine de P dans P telle que :

f

(A) = A ;

f

(B) = C et

f

(C) = D.

1°) On pose: g = s 0 0 0 0 ŲŲ ŲŲ

a) Déterminer l’image par g des points A, B, C et celle du milieu I de [BC]

b) Etablir g est une symétrie dont on précisera l’axe (d) et la direction.

c) Exprimer Ų en fonction de g et

s

. En déduire une construction géométrique de l’image M’ d’un point M de P par

f

.. ..

2°) Comment faut-il choisir A, B, et C pour que

f

soit une isométrie ?.

Explicitez alors cette isométrie.

(2)

Séries : SET-MTI-MTGC Page 2 sur 2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

PROBLÈME : (12 points)

Dans ce problème, n est un entier naturel différent de zéro et on considère la famille de fonctions Ųn définies sur [0; +∞ [comme suit :





= +

= 0 ) 0 (

1) 1 ln(

) (

n n n

f x x x

f

Pour les représentations graphiques, le plan est muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm, et on note (Cn) la courbe représentative de la fonction Ųn.

A- Dans cette première partie, on se propose d’étudier la fonction ŲŲŲŲ1.

1- a) – Etudier la continuité de Ų1 en 0 et son comportement en + + + ∞+ ∞∞∞.

b) – Etudier le comportement du rapport x

x f( )

lorsque x tend vers 0.

Que peut-on conclure pour la fonction Ų1 et la courbe (C1) ?

2- a) – Justifier la dérivabilité

f

1sur ]0,+∞[.Calculer Ų1Ʌ(x) puis Ų1ɅɅ(x) pour tout nombre réel x appartenant à ]0,+∞[.

b) – Etudier successivement les variations de Ų1Ʌ et de Ų1 et dresser le tableau de variation de Ų1 .

3- Tracer la courbe (C 1), son asymptote et la tangente au point O.

B– La seconde partie est consacrée à l’étude des fonctions ŲŲŲŲn lorsque n ≥≥≥≥ 2.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de Ųn en 0 puis le comportement de Ųn en +∞.

2. a)a)Justifier la dérivabilité de a)a)

f

n sur ]0, +∞ [.

Démontrer que :ŲnɅ (x) = x n –1gn(x) où gn est une fonction définie sur ]0,+∞[ que l’on déterminera.

b) Etudier les variations de gn et en déduire le signe de gn (x).

c) Dresser le tableau de Ųn

C– La troisième partie porte sur les courbes (CCCCn) lorsque n ≥≥≥ 2. ≥

1. Quelle est la tangente à (Cn) en O origine du repère ?

2. Etudier la position relative de (Cn) et (Cn+1) pour n ≥2.Quelle est la position de(C1) par rapport à toutes les courbes (Cn) ?

3. a) Déterminer 



 + − −

+∞

2) ( 1 1) 1

2ln(

lim

x x x

x

. Que peut-on en conclure pour (C 2) ? b) On précisera la position de (C2) par rapport à la droite d’équation

2 x 1 y= − 4. Tracer (C2) et (C3) dans le même repère que (C 1).

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