Examen de M´ethodes Variationnelles

L3 Math´ematiques 16 D´ecembre 2013

Examen de M´ethodes Variationnelles

Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 5+4+4+7=20.

Question de cours. Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme sur la diff´erentiabilit´e des fonctions com-´ pos´ees.

Exercice 1. On consid`ere l’espaceE =M2(R)des matrices2×2 `a coefficients r´eels. On munit E de la normeN d´efinie par, siM =

m₁₁ m₁₂

m₂₁ m₂₂

,

N(M) = max{|m₁₁|,|m₁₂|,|m₂₁|,|m₂₂|}. SoitA =

2 −1

3 4

, on consid`ere l’applicationϕ_A:E →E d´efinie par ϕ_A(M) =AM.

a)Justifier queϕ_Aest une application lin´eaire continue.

b)Rappeler la d´efinition de|||ϕ_A|||et montrer que|||ϕ_A|||= 7.

On rappelle qu’une normeN surM2(R)est dite matricielle s’il existe une normek · ksurR²telle que pour toutM ∈ M2(R)

N(M) = sup

X∈R²,kXk≤1

kM Xk.

c)Montrer que siN ´etait une norme matricielle on aurait|||ϕA||| ≤N(A).

d)En d´eduire queN n’est pas une norme matricielle.

Exercice 2. Soient f et g d´efinies par f(x, y) = x² +y² et g(x, y) = x⁴ +y⁴ −1. On note Γ ={(x, y)∈R²|g(x, y) = 0}.

a)Montrer queΓ⊂ {(x, y)∈R²| |x| ≤1et|y| ≤1}.

b)Justifier quef poss`ede un minimum global et un maximum global surΓ.

c)D´eterminer le minimum et le maximum defsurΓ. (On pourra ˆetre amen´e `a r´esoudre un syst`eme ayant8solutions.)

d)L’ensembleΓest une courbe dans le plan. Que repr´esentent g´eom´etriquement le minimum et le maximum trouv´es `a la question b).

TSVP

Exercice 3. On consid`ere l’espaceE = C⁰([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] muni de la normekfk_∞ = sup

x∈[0,1]

|f(x)|. On rappelle que(E,k · k_∞)est un espace de Banach. On consid`ere l’applicationϕ :E →E d´efinie parϕ(f) = cos◦f, i.e.ϕ(f)est la fonction d´efinie par

(ϕ(f))(x) = cos(f(x)).

a)Montrer que pour tousaettdansRon a

|cos(a+t)−cos(a) +tsin(a)| ≤ t² 2.

b)Soitf ∈ E. Montrer queϕest diff´erentiable enf de diff´erentielle l’applicationL:h 7→L(h) o`u, pour touth∈E,L(h) :R→Rest la fonction donn´ee par

L(h) :x7→ −h(x) sin (f(x)).

c)Montrer queϕ est de classeC¹. Indication: on pourra appliquer l’in´egalit´e des accroissements finis `a la fonctionsin.

d)Soitf₀ ∈E d´efinie parf₀(x) = 1 +x.

i) Montrer queDϕ(f₀)est bijective deEdansE.

ii) Montrer queϕest localement inversible au voisinage def₀.

e) Soit f₁ ∈ E d´efinie par f₁(x) = x. Peut-on appliquer le th´eor`eme d’inversion locale en f₁? Justifiez votre r´eponse.

f) Etant donn´ee´ f ∈ E, donner une condition n´ecessaire et suffisante pour pouvoir appliquer le th´eor`eme d’inversion locale enf.