Examen de G´ eom´ etrie diff´ erentielle

U P M C - Paris 6 Master 2 de Math´ematiques fondamentales

Math´ematiques 22 octobre 2014

Examen de G´ eom´ etrie diff´ erentielle

Dur´ee : trois heures. Seuls les documents de cours sont autoris´es. You can answer in English if you wish.

Probl`eme.

On se place sur une vari´et´e riemannienne (Mⁿ, g)compacte, orient´ee et connexe, dont la connexion de Levi-Civita sera not´ee ∇. On dira qu’un champ de vecteurs X sur M est de Killing si son flot φ_t est constitu´e d’isom´etries, i.e.

∀t∈R, φ^∗_tg =g.

1. Exemples.On se place sur la sph`ereS⁴ ={x∈R⁵, x²₁+· · ·+x²₅ = 1}, munie de la m´etrique induite par le produit scalaire standard de R⁵.

a) Montrer que le champ de vecteurX ∈Γ(TS⁴) d´efini par X_x =x₁ ∂

∂x₂−x₂ ∂

∂x₁ est un champ de Killing. Montrer que l’ensemble des pointsx o`uX_x = 0 est une sous-vari´et´e de dimension 2.

b) Donner un exemple de champ de Killing surS⁴ qui s’annule seulement en des points isol´es.

2. Caract´erisations. Soit X un champ de vecteurs de flot φ_t. On rappelle que la d´eriv´ee de Lie L_Xg est donn´ee par

L_Xg = d dt

t=0

φ^∗_tg.

a) Montrer que X est de Killing si et seulement siL_Xg = 0.

b) Etant donn´esY, Z ∈Γ(T M), v´erifier la formule (g(Y, Z))◦φ_t = (φ^∗_tg)(φ^∗_tY, φ^∗_tZ)

c) En d´eduire que X est de Killing si et seulement si pour tous Y, Z ∈Γ(T M), g(∇_YX, Z) = −g(∇_ZX, Y).

3. Lieu des points fixes.Soit X un champ de Killing sur M de flot φ_t. On va s’int´eresser aux propri´et´es du lieu o`u X s’annule : F ={x∈M / Xx = 0}.

a) Montrer que F ={x∈M /∀t∈R, φt(x) =x}.

b) Pour x ∈ F, on note V_x = {v ∈ T_xM /∀t ∈ R, d(φ_t)_x(v) = v}. Montrer que exp_x(V_x)⊂F.

c) Montrer que pour x∈F et >0 assez petit, exp_x ´etablit une bijection entre V_x∩B(0, ) et F ∩B(x, ).

d) En d´eduire que les composantes connexes de F sont des sous-vari´et´es deM. e) Montrer que si γ : R → M est une g´eod´esique tangente `a F en un point, alors γ(R) est inclus dans F (on dit alors que F est totalement g´eod´esique).

f ) Montrer que si xest un point de F, alors pour tout vecteur v ∈T_xM, (∇_vX)_x = d

dt t=0

d(φ_t)_x(v)

(on ´etendrav en un champ de vecteurs Y et on calculera [X, Y]x de deux fa¸cons diff´erentes).

g) Soientx∈F etv ∈TxM. Montrer que (∇vX)x = 0 si et seulement siv ∈Vx. En d´eduire que les composantes connexes de F sont de codimension paire.

h) On suppose qu’il existe un pointx de F o`u (∇X)_x = 0. Montrer que X = 0.

4. Op´erateurs. Dans cette partie, on introduit quelques outils qui serviront dans la partie 5. Etant donn´ee une fonction f ∈C^∞(M), on peut d´efinir son gradient

∇f ∈Γ(T M) et sa hessienne Hessf ∈Γ(T^∗M ⊗T^∗M) par les relations : g(∇f, v) =df(v) et Hessf(v, w) = g(∇v∇f, w),

o`u v et w d´esignent des vecteurs tangents `a M. Pour tout champ de vecteur Y, on introduit aussi sa divergence divY ∈ C^∞(M) : c’est la trace de ∇X ∈ Γ(EndT M). Autrement dit, pour toute base g-orthonorm´ee (e1, . . . , en),

divY = Tr∇X =

n

X

i=1

g(∇_eiX, e_i).

Enfin, le laplacien d’une fonction f ∈C^∞(M) est la fonction donn´ee par

∆f = div∇f = Tr Hessf.

a) Montrer que pour toute fonctionf, Hessf est un champ de formes bilin´eaires sym´etriques.

b) Montrer que si f ∈ C^∞(M) atteint un minimum en x, alors (∇f)_x = 0 et (Hessf)_x est positive.

c) Montrer que pour tout champ de vecteur Y, on a d(ι_Ydvol) = divY dvol, o`u dvol d´esigne la forme volume riemannienne (on pourra calculer au centre d’une carte exponentielle).

d) En d´eduire que pour toute fonctionf, Z

M

∆f dvol= 0.

5. Champs de Killing et courbure.On va ´etudier la fonction f = g(X, X)

2 ,

o`u X est un champ de Killing.

a) D´emontrer les formules suivantes :

∇f = −∇_XX,

∀v ∈T M, Hessf(v, v) = g(∇_vX,∇_vX)−g(Rm(v, X)X, v),

∆f = |∇X|²−Ric(X, X).

Ici, Rm d´esigne la courbure de ∇, Ric la courbure de Ricci et |∇X| la norme euclidienne de l’endomorphisme ∇X, i.e. |∇X|² = X

i

g(∇_eiX,∇_eiX), o`u (e_i) est une baseg-orthonorm´ee.

b) En d´eduire que si la courbure de Ricci est partout d´efinie n´egative, alors (M, g) ne porte pas de champ de Killing non nul. Que dire si on a seulement Ric≤0 ?

c) D´emontrer que si (M, g) est une vari´et´e compacte de dimension paire `a cour- bure sectionnelle strictement positive, alors tout champ de Killing s’annule au moins en un point.

d) Et si la dimension est impaire ?