G´ eom´ etrie Diff´ erentielle Examen Juin 2007
Exercice 1.
Soit B la boule de rayon 1 centr´ee en 0 dans Rn muni d’un syst`eme de coordonn´ees {xi}.
(u, x) → Gu(x) est une application diff´erentiable C∞ de ]0,2[ x B dans W un ouvert de Rn, telle que pouru∈]0,1] fix´e, Gu est un diff´eomorphisme de B sur Gu(B)∈ W un ouvert de Rn. Soit {yα} (1 ≤α ≤n) un syst`eme de coordonn´ees sur W. On note Xu(y) le vecteur tangent en y = Gu(x) `a la courbe diff´erentiable ]0,2[3t→Gt(x).
On se propose de d´emontrer le Lemme de Poincar´e pour les 2-formes diff´eren- tielles ferm´ees sur B.
a) Soit Ω une 2-forme diff´erentielle C∞ ferm´ee (dΩ = 0) surW.
Traduire l’hypoth`ese dΩ = 0, et exprimer les composantes de G?uΩ en fonc- tion des composantes {Ωαβ}de Ω.
b) CalculerG?u[di(Xu)Ω].
c) Prouver que∂uG?uΩ =G?u[di(Xu)Ω].
d) Maintenant Gu(x) = ux (0 < u ≤ 1), W = B. Sur quel ouvert Xu
est-il un champ de vecteurs ? Quelles sont ses composantes ?
e) Montrer que G?1Ω−G?aΩ (0 < a < 1) est la diff´erentielle d’une 1 - forme diff´erentielle γ(a).
f) Quelle est la limite de G?uΩ lorsque u→0 ?
g) Prouver qu’il existe une 1 - forme γ sur B telle que Ω =dγ.
h) Lorsquen est pair (n= 2p), exprimer
Z
BΩ∧Ω∧...∧Ω,
( l’int´egrale surB de p fois le produit ext´erieur de Ω), au moyen de l’ int´egrale sur le bord de B d’une expression simple fonction de γ et Ω.
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Exercice 2.
Soit la sph`ere de rayon 1 centr´ee en O : S2 ⊂ R 3 muni d’un syst`eme de coordonn´ees (x,y,z); on note P et Qses pˆoles, P = (0,0,1), Q= (0,0,−1).
Sur Ω = S2\{P} ∪ {Q} on consid`ere un syst`eme de coordonn´ees polaires (ρ, α, θ)∈ R + x C x ]−π/2, π/2[ qui d´efinit ainsi la carte (Ω, γ) avec γ(x, y, z) = (α, θ)∈ C x ]−π/2, π/2[ = W (C le cercle de rayon 1).
Nous nous proposons de prouver par l’absurde que tout champ de vecteurs X sur S2 s’annule.
Supposons donc que le champ X ne s’annule pas. La mˆeme notation est prise pour X eti?X, i l’inclusion S2 ⊂ R 3.
a) CommeX(P)6= 0, montrer que pour toutη >0, il existe >0 tel que la mesure de l’angle que faitX(P) avec chacun des vecteurs X[γ−1(α, θ)] est inf´erieure `a η lorsque θ > θo =π/2− .
Au champ de vecteurs γ?X on fait correspondre naturellement un champ de vecteurs p´eriodique Y sur R x ]−π/2, π/2[ de p´eriode 2π:
Y(α+ 2kπ, θ) =Y(α, θ),k ∈ Z.
Faire un d´essin. V´erifier que, lorsqueθ1 > θ0 est fix´e et α croˆıt de 0 `a 2π,Y(α, θ1) est perpendiculaire `a la droite θ =θ1 deux fois, disons enα1 et α2 (0< α1 < α2 <2π) et tourne d’un angle−2π.
Quel ph´enom`ene observe-t-on au pˆole sud ?
b) Le long de la droite D : θ =Cte, notons β(α, θ) la mesure de l’angle que fait D avec Y(α, θ). Lorsque α croˆıt de 0 `a 2π, de combien s’accroˆıt β(α, θ) ? Notons 2k(θ)π cet accroissement.
c) L’application θ→k(θ) est-elle continue ? Que peut-on en conclure ?
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