M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2007-2008 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 07
Sans documents
RENDRE L’ENONCE avec la copie
Les questions sont ind´ependantes. Dans tous les exercices,Best un mouvement Brownien, (Ft, t≥0) est sa filtration naturelle. Le processus S, prix d’un actif risqu´e, est solution de
dSt=St(µdt+σdBt), S0=x (1) o`uµetσsont des constantes,σ6= 0.
1. Question de coursCette question est obligatoire.
Donner plusieurs m´ethodes pour v´erifier qu’un processus donn´e est un MB. Illustrer par des exemples vus en cours
2. Soitν une constante. Montrer que le processus suivant est une martingale (etν2/2(Btcos(νBt) +νtsin(νBt)), t≥0)
3. SoitZ un processus continu strictement positif, qui admet une repr´esentation sous la forme Zt=Z0+Mt+At
o`u M est une martingale et A un processus croissant. Montrer que Z est une sous martingale.
(On pourra se contenter de traiter le cas o`uM est une martingale de la filtration Brownienne F etA est absolument continu par rapport `a la mesure de Lebesgue.) On suppose qu’il existe une martingale (locale)N et un processus croissantC tel que Zt=NtCt. En appliquant la formule d’int´egration par parties, exprimerdCt en fonction dedAt,CtetZt. ExpliciterCt. Montrer que tout processusZ de la forme pr´ec´edente admet une d´ecomposition multiplicative de la formeCN.
Application `adZt=Zt(σdBt+µdt).
4. SoitdLt=LtθdBt, L0= 1 o`uθest une constante. Soitα∈IR; montrer que Lαt/EP(Lαt)
est uneP-martingale. Montrer qu’il existeθ∈IRtel queS, d´efini par (1), est uneQ-martingale avecdQ|FT =LTdP|FT.
Montrer que Xt = Lα−1t /EP(Lαt) est une Q-martingale. Montrer qu’il existe un couple (x, π), x∈IR,πprocessus adapt´e, tel que
Xt=x+ Z t
0
πsdSs
D´eterminer (x, π). Interpr´etation financi`ere.
5. Soit dXt = a(b−Xt)dt+σdBt, X0 = x. On pose u(t, x, θ, λ) = E(exp−(θXt+λRt
0Xsds)).
Montrer queu(t, x, θ, λ) = exp−(A(t, θ, λ)x+B(t, θ, λ)) o`uA etB v´erifient des EDO. Comment r´esoudre ces EDO?
6. SoitS d´efini par (1), etrle taux d’int´erˆet. SoitQla probabilit´e risque neutre.
(a) CalculerEQ(S2T) etEQ(ST2|Ft), pourt < T.
(b) Quel est le prix, `a la datetd’un actif contingent qui verseST2 enT? Quel est le portefeuille de couverture associ´e?
7. On consid`ere un march´e financier o`u sont n´egoci´es un actif sans risque de taux r constant, de prix St0 et un actif risqu´e de dynamique donn´ee par (1). La richesse associ´ee au portefeuille (π0t, πt;t≥0) estVt=π0tSt0+πtSt.
Le portefeuille (1, St−1) est-il autofinan¸cant ? Le portefeuille (x−Rt
0Sue−rudu, t) est-il autofi- nan¸cant ? Quel est le montant en cash dont on doit disposer pour auto-financer une position longue ´egale `at2 (soit trouverπ0 tel queπ0, πsoit autofinan¸cant avec πt=t2).
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M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2007-2008 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 07
Sans documents
RENDRE L’ENONCE avec la copie
Les questions sont ind´ependantes. Dans tous les exercices,W est un mouvement Brownien, on note (Ft, t≥0) sa filtration. Le processusS, prix d’un actif risqu´e, est solution de
dSt=St(µdt+σdWt), S0=x (2) o`uµetσsont des constantes,σ6= 0.
1. Question de coursCette question est obligatoire.
Comment reconnaitre qu’un processus est une martingale (locale). Donner des exemples de mar- tingales.
2. Soitλune constante. Montrer que le processus
etλ2/2(λtcos(λWt)−Wtsin(λWt)), t≥0 est une martingale.
3. SoitY un processus continu strictement positif, qui admet une repr´esentation sous la forme Yt=Y0+Mt−At
o`u M est une martingale et A un processus croissant. Montrer que Y est une sur-martingale.
On pourra se contenter de traiter le cas o`uM est une martingale de la filtration Brownienne F et A est absolument continu par rapport `a la mesure de Lebesgue. On suppose qu’il existe une martingale (locale)N et un processus d´ecroissantCtel queYt=NtCt. En appliquant la formule d’int´egration par parties, exprimerdCten fonction dedAt, Ct etYt. ExpliciterCt. Montrer que tout processusY de la forme pr´ec´edente admet une d´ecomposition multiplicative de la formeCN.
Application `adYt=St(σdWt+νdt).
4. SoitdLt=LtνdWt, L0= 1 o`u ν est une constante. Soitβ∈IR; montrer que Lβt/EP(Lβt)
est une martingale. Montrer qu’il existeν ∈IRtel queS, d´efini par (2) est uneQ-martingale avec dQ|FT =LTdP|FT. Montrer que Zt=Lβ−1t /EP(Lβt) est uneQ-martingale. Montrer qu’il existe un couple (z, π),z∈IR,πprocessus adapt´e, tel que
Zt=z+ Z t
0
πsdSs
D´eterminer (z, π). Interpr´etation financi`ere.
5. Soit dXt = κ(b−Xt)dt+σdWt, X0 = x. On poseu(t, x, a, λ) = E(exp−(aXt+λRt
0Xsds)).
Montrer queu(t, x, a, λ) = exp−(A(t, a, λ)x+B(t, a, λ)) o`uAetB v´erifient des EDO. Comment r´esoudre ces EDO?
6. SoitS v´erifiant (2) etrle taux d’int´erˆet. SoitQla probabilit´e risque neutre.
(a) CalculerEQ(S3T) etEQ(ST3|Ft), pourt < T.
(b) Quel est le prix, `a la datetd’un actif contingent qui verseST3 enT? Quel est le portefeuille de couverture associ´e?
7. On consid`ere un march´e financier o`u sont n´egoci´es un actif sans risque de taux r constant, de prixS0t et un actif risqu´e de dynamiquedSt=St(σdWt+µt). La richesse associ´ee au portefeuille (π0, π) estVt=πt0St0+πtSt. Le portefeuille (St,1) est-il autofinan¸cant ?
Le portefeuille (x−2Rt
0uSue−rudu, t2) est-il autofinan¸cant ? Quel est le montant en cash dont on doit disposer pour auto-financer une position longue ´egale `at (soit trouver π0 tel que π0, π soit autofinan¸cant avecπt=t).
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