M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2008-2009 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008
Dans tous les exercices, W est un mouvement Brownien unidimensionnel construit sur un espace (Ω,F,P). On noteF= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.
1. Dans cette question, des r´eponses grossi´erement fausses seront affect´ees de points n´egatifs. Si vous ne r´epondez pas `a cette question, vous serez ´egalement p´enalis´es. Donner la d´efinition d’une mesure martingale ´equivalente (mme). Enoncer ses propri´et´es. Liens entre l’existence de mme et march´e complet, march´e sans arbitrage. Comment ´evaluer un produit d´eriv´e en utilisant une mme.
2. On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es: un actif sans risque, de taux constantr, un actif risqu´e dont le prix S suit la dynamique
dSt=St(µ(t)dt+σ(t)dWt) les coefficientsµetσ´etant des fonctions d´eterministes.
(a) Ecrire la valeur deSten fonction deS0, des fonctionsµ, σ, et du MBW. (b) D´eterminer le(s) mesure(s) martingale(s) ´equivalente(s).
(c) Justifier que ce march´e est complet, sans arbitrage.
(d) On consid`ere l’actif contingent versanth(ST) `a la dateT, o`uhest une fonction (d´eterministe).
i. Quel est le prix de cet actif `a la datet? Montrer que ce prix peut ˆetre obtenu sous forme d’une int´egrale d´terministe.
ii. Ecrire l’EDP d’´evaluation.
iii. Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer en particulier comment d´eterminer le nombre de parts d’actifsS et le montant de cash (on ne demande pas de calcul explicite)
iv. Comment calculerait-onP(h(ST)< a) dans le cashcroissante?
v. Quels seraient les modifications `a apporter si rest une fonction d´eterministe? un pro- cessus?
(e) On se place dans le cash(x) =x2. Expliciter le prix `a la datetet le portefeuille de couverture.
Mˆeme question pour h(x) =ax+bo`uaet bsont des constantes.
(f) Quelle serait la richesse d’un agent qui d´etiendrait `a chaque instant t, un nombre de parts d’actif risqu´e ´egal `at, en utilisant une strat´egie autofinan¸cante
(g) Quelle serait la richesse terminale (`a l’instantT) d’un agent de richesse initialexqui souhaite avoir un montant de cash ´egal `a (T −t)x `a chaque instant t en utilisant une strat´egie autofinan¸cante (on donnera le r´esultat sous forme d’un int´egrale stochastique dont tous les coefficients sont explicites)
3. Formules de parit´e:
SoitS le prix d’un actif versant des dividendes. Sa dynamiquerisque neutre est dSt=St((r−δ)dt+σdWt), S0=x
SoitCfiAsian=CfiAsian(S0, K;r, δ) (resp. PfiAsian) le prix d’un call (resp. d’un put) Asiatique avec un prix d’exercice K fix´e, dont le payoff est (T1AT −K)+ (resp. (K− T1AT)+) et CfAsian` = CfAsian` (S0, λ;r, δ) le prix d’un call Asiatique de prix d’exerciceflotant, de payoff (λST −T1AT)+ o`uAt=Rt
0Ssds. Montrer que
CfAsian` (S0, λ;r, δ) =PfiAsian(λS0, S0;δ, r) CfiAsian(S0, K;r, δ) =PfAsian` (K/S0, S0;, δ, r) On pourra utiliser un changement de num´eraire
1
4. SoitR le processus solution (on admet que cette solution existe) de dRt= 1
Rtdt+dWt, R0= 1. (a) Montrer queZt= R1
t est une martingale locale.
(b) Montrer que (Ut = exp(−λ22t)sinhλRλRt
t , t ≥0) est une martingale locale. On admettra que c’est une martingale.
(c) En d´eduire la valeur deE(exp(−λ22Tm)) o`uTm= inf{t : Rt=m}, avecm >0.
(d) Soit f une fonction continue born´ee etaun nombre r´eel. Quelles conditions doit v´erifier la fonctionv pour que
v(Rt) exp[−at− Z t
0
f(Rs)ds]
soit une martingale?
(e) Supposons quev est explicit´ee. Comment calculerez vous E(exp[−aTm−
Z Tm
0
f(Rs)ds]) ? 5. Soita, α, b, β quatre constantes r´eelles. Soit x∈IR.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle stochastique
dXt = (a+αXt)dt+ (b+βXt)dBt (1) X0 = x
Soit (Yt)t≥0 l’unique solution de l’´equation (1) quand a =b = 0 v´erifiant Y0 = 1 et (Zt)t≥0 le processus d´efini par
Zt=x+ (a−bβ) Z t
0
Ys−1ds+b Z t
0
Ys−1dBs. Montrer que la solutionXtde (1) peut s’´ecrire Xt=YtZt.
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M2GRA. Universit´e d’EVRY 2008-2009 M. Jeanblanc
Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008
Dans tous les exercices, W est un mouvement Brownien unidimensionnel construit sur un espace (Ω,F,P). On noteF= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.
1. Dans cette question, des r´eponses grossi´erement fausses seront affect´ees de points n´egatifs. Si vous ne r´epondez pas `a cette question, vous serez ´egalement p´enalis´es. Donner la d´efinition d’une mesure martingale ´equivalente (mme). Enoncer ses propri´et´es. Liens entre l’existence de mme et march´e complet, march´e sans arbitrage. Comment ´evaluer un produit d´eriv´e en utilisant une mme.
2. Expliciter la solution de
dXt=Xt(tdt+etdWt), X0= 1
On pourra donner la solution sans faire de calculs interm´ediaires, car des calculs de ce type ont
´et´e souvent effectu´es en cours, ou trouver de l’aide en introduisant le processusYt=Xte−t2/2. 3. On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es: un actif sans risque, de tauxr, un
actif risqu´e dont le prixS suit la dynamique
dSt=St(µdt+σdWt) les coefficientsµetσ´etant des constantes.
(a) Ecrire la valeur deSten fonction deS0, des constantesµ, σ, et du MB W. (b) D´eterminer le(s) mesure(s) martingale(s) ´equivalente(s).
(c) Justifier que ce march´e est complet, sans arbitrage.
(d) On consid`ere l’actif contingent versanth(ST) `a la dateT, o`uhest une fonction (d´eterministe).
i. Quel est le prix de cet actif `a la datet? Montrer que ce prix est obtenu par une int´egrale d´eterministe.
ii. Ecrire l’EDP d’´evaluation.
iii. Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer en particulier comment d´eterminer le nombre de parts d’actifs S. (on ne demande pas de calcul explicite)
(e) On se place dans le cash(x) =x2. Expliciter le prix `a la datetet le portefeuille de couverture.
(f) Quels changements apporter aux r´esultats pr´ec´edents si dSt=St(µ(t)dt+σ(t)dWt) les coefficients µetσ´etant des fonctions d´eterministes.
4. Formules de parit´e:
On rappelle que, lorsque le taux sans risque est constant ´egal `ar, le prix d’une option Europ´eenne de strikeK ´ecrite sur le sous-jacentS de dynamique
dSt=St(µdt+σdWt) est
C(t, x) =xN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2) avec
d1= 1 σ√
T−t
ln
x
Ke−r(T−t)
+1 2σ√
T−t, d2=d1−σ√ T−t SoitS le prix d’un actif versant des dividendes. Sa dynamiquerisque neutre est
dSt=St((r−δ)dt+σdWt), S0=x 3
Quel est le prix d’un call de strikeK? (donner une formule globale en terme d’esp´erance et une formule explicite). On notera CE(x, K;r, δ) ce prix: la premi`ere variable d´esigne la valeur du sous-jacent `a la date 0, la seconde la valeur du strike, la troisi`eme variable est le taux sans risque, la quatri`eme le taux de dividendes. On notePE(a, b;ρ, ν) le prix d’un put quand la valeur du sous- jacent `a la date 0 esta, la valeur du strike estb, le taux sans risque estρet le taux de dividende estν. Montrer en utilisant un changement de num´eraire (on prendraS comme num´eraire)
CE(x, K;r, δ;T−t) =PE(K, x;δ, r;T−t) 5. SoitR le processus solution de
dRt= 1
Rtdt+dWt, R0= 1. (a) Montrer, en utilisant le lemme d’Itˆo, queZt= R1
t est une martingale locale.
(b) Montrer que (Ut = exp(−λ22t)sinhλRλRt
t , t ≥0) est une martingale locale. On admettra que c’est une martingale.
(c) En d´eduire la valeur deE(exp(−λ22Tm)) o`uTm= inf{t : Rt=m}, avecm >0.
(d) Soit f une fonction continue born´ee etaun nombre r´eel. Quelles conditions doit v´erifier la fonctionv pour que
v(Rt) exp[−at− Z t
0
f(Rs)ds]
soit une martingale?
6. Soita, α, b, β quatre constantes r´eelles. Soit x∈IR.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle stochastique
dXt = (a+αXt)dt+ (b+βXt)dBt (2) X0 = x
Soit (Yt)t≥0 l’unique solution de l’´equation (2) quand a =b = 0 v´erifiant Y0 = 1 et (Zt)t≥0 le processus d´efini par
Zt=x+ (a−bβ) Z t
0
Ys−1ds+b Z t
0
Ys−1dBs. Montrer que la solutionXtde (2) peut s’´ecrire Xt=YtZt.
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