• Aucun résultat trouvé

Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

M2 Ing´eni´erie financi`ere. Universit´e d’EVRY 2008-2009 M. Jeanblanc

Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008

Dans tous les exercices, W est un mouvement Brownien unidimensionnel construit sur un espace (Ω,F,P). On noteF= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.

1. Dans cette question, des r´eponses grossi´erement fausses seront affect´ees de points n´egatifs. Si vous ne r´epondez pas `a cette question, vous serez ´egalement p´enalis´es. Donner la d´efinition d’une mesure martingale ´equivalente (mme). Enoncer ses propri´et´es. Liens entre l’existence de mme et march´e complet, march´e sans arbitrage. Comment ´evaluer un produit d´eriv´e en utilisant une mme.

2. On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es: un actif sans risque, de taux constantr, un actif risqu´e dont le prix S suit la dynamique

dSt=St(µ(t)dt+σ(t)dWt) les coefficientsµetσ´etant des fonctions d´eterministes.

(a) Ecrire la valeur deSten fonction deS0, des fonctionsµ, σ, et du MBW. (b) D´eterminer le(s) mesure(s) martingale(s) ´equivalente(s).

(c) Justifier que ce march´e est complet, sans arbitrage.

(d) On consid`ere l’actif contingent versanth(ST) `a la dateT, o`uhest une fonction (d´eterministe).

i. Quel est le prix de cet actif `a la datet? Montrer que ce prix peut ˆetre obtenu sous forme d’une int´egrale d´terministe.

ii. Ecrire l’EDP d’´evaluation.

iii. Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer en particulier comment d´eterminer le nombre de parts d’actifsS et le montant de cash (on ne demande pas de calcul explicite)

iv. Comment calculerait-onP(h(ST)< a) dans le cashcroissante?

v. Quels seraient les modifications `a apporter si rest une fonction d´eterministe? un pro- cessus?

(e) On se place dans le cash(x) =x2. Expliciter le prix `a la datetet le portefeuille de couverture.

Mˆeme question pour h(x) =ax+bo`uaet bsont des constantes.

(f) Quelle serait la richesse d’un agent qui d´etiendrait `a chaque instant t, un nombre de parts d’actif risqu´e ´egal `at, en utilisant une strat´egie autofinan¸cante

(g) Quelle serait la richesse terminale (`a l’instantT) d’un agent de richesse initialexqui souhaite avoir un montant de cash ´egal `a (T −t)x `a chaque instant t en utilisant une strat´egie autofinan¸cante (on donnera le r´esultat sous forme d’un int´egrale stochastique dont tous les coefficients sont explicites)

3. Formules de parit´e:

SoitS le prix d’un actif versant des dividendes. Sa dynamiquerisque neutre est dSt=St((r−δ)dt+σdWt), S0=x

SoitCfiAsian=CfiAsian(S0, K;r, δ) (resp. PfiAsian) le prix d’un call (resp. d’un put) Asiatique avec un prix d’exercice K fix´e, dont le payoff est (T1AT −K)+ (resp. (K T1AT)+) et CfAsian` = CfAsian` (S0, λ;r, δ) le prix d’un call Asiatique de prix d’exerciceflotant, de payoff (λST T1AT)+ o`uAt=Rt

0Ssds. Montrer que

CfAsian` (S0, λ;r, δ) =PfiAsian(λS0, S0;δ, r) CfiAsian(S0, K;r, δ) =PfAsian` (K/S0, S0;, δ, r) On pourra utiliser un changement de num´eraire

1

(2)

4. SoitR le processus solution (on admet que cette solution existe) de dRt= 1

Rtdt+dWt, R0= 1. (a) Montrer queZt= R1

t est une martingale locale.

(b) Montrer que (Ut = exp(−λ22t)sinhλRλRt

t , t 0) est une martingale locale. On admettra que c’est une martingale.

(c) En d´eduire la valeur deE(exp(−λ22Tm)) o`uTm= inf{t : Rt=m}, avecm >0.

(d) Soit f une fonction continue born´ee etaun nombre r´eel. Quelles conditions doit v´erifier la fonctionv pour que

v(Rt) exp[−at Z t

0

f(Rs)ds]

soit une martingale?

(e) Supposons quev est explicit´ee. Comment calculerez vous E(exp[−aTm

Z Tm

0

f(Rs)ds]) ? 5. Soita, α, b, β quatre constantes r´eelles. Soit x∈IR.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle stochastique

dXt = (a+αXt)dt+ (b+βXt)dBt (1) X0 = x

Soit (Yt)t≥0 l’unique solution de l’´equation (1) quand a =b = 0 v´erifiant Y0 = 1 et (Zt)t≥0 le processus d´efini par

Zt=x+ (a−bβ) Z t

0

Ys−1ds+b Z t

0

Ys−1dBs. Montrer que la solutionXtde (1) peut s’´ecrire Xt=YtZt.

2

(3)

M2GRA. Universit´e d’EVRY 2008-2009 M. Jeanblanc

Examen Calcul Stochastique. D´ ecembre 2008

Dans tous les exercices, W est un mouvement Brownien unidimensionnel construit sur un espace (Ω,F,P). On noteF= (Ft, t≥0) sa filtration naturelle.

1. Dans cette question, des r´eponses grossi´erement fausses seront affect´ees de points n´egatifs. Si vous ne r´epondez pas `a cette question, vous serez ´egalement p´enalis´es. Donner la d´efinition d’une mesure martingale ´equivalente (mme). Enoncer ses propri´et´es. Liens entre l’existence de mme et march´e complet, march´e sans arbitrage. Comment ´evaluer un produit d´eriv´e en utilisant une mme.

2. Expliciter la solution de

dXt=Xt(tdt+etdWt), X0= 1

On pourra donner la solution sans faire de calculs interm´ediaires, car des calculs de ce type ont

´et´e souvent effectu´es en cours, ou trouver de l’aide en introduisant le processusYt=Xte−t2/2. 3. On consid`ere un march´e financier o`u deux actifs sont n´egoci´es: un actif sans risque, de tauxr, un

actif risqu´e dont le prixS suit la dynamique

dSt=St(µdt+σdWt) les coefficientsµetσ´etant des constantes.

(a) Ecrire la valeur deSten fonction deS0, des constantesµ, σ, et du MB W. (b) D´eterminer le(s) mesure(s) martingale(s) ´equivalente(s).

(c) Justifier que ce march´e est complet, sans arbitrage.

(d) On consid`ere l’actif contingent versanth(ST) `a la dateT, o`uhest une fonction (d´eterministe).

i. Quel est le prix de cet actif `a la datet? Montrer que ce prix est obtenu par une int´egrale d´eterministe.

ii. Ecrire l’EDP d’´evaluation.

iii. Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer en particulier comment d´eterminer le nombre de parts d’actifs S. (on ne demande pas de calcul explicite)

(e) On se place dans le cash(x) =x2. Expliciter le prix `a la datetet le portefeuille de couverture.

(f) Quels changements apporter aux r´esultats pr´ec´edents si dSt=St(µ(t)dt+σ(t)dWt) les coefficients µetσ´etant des fonctions d´eterministes.

4. Formules de parit´e:

On rappelle que, lorsque le taux sans risque est constant ´egal `ar, le prix d’une option Europ´eenne de strikeK ´ecrite sur le sous-jacentS de dynamique

dSt=St(µdt+σdWt) est

C(t, x) =xN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2) avec

d1= 1 σ√

T−t

ln

x

Ke−r(T−t)

+1 2σ√

T−t, d2=d1−σ√ T−t SoitS le prix d’un actif versant des dividendes. Sa dynamiquerisque neutre est

dSt=St((r−δ)dt+σdWt), S0=x 3

(4)

Quel est le prix d’un call de strikeK? (donner une formule globale en terme d’esp´erance et une formule explicite). On notera CE(x, K;r, δ) ce prix: la premi`ere variable d´esigne la valeur du sous-jacent `a la date 0, la seconde la valeur du strike, la troisi`eme variable est le taux sans risque, la quatri`eme le taux de dividendes. On notePE(a, b;ρ, ν) le prix d’un put quand la valeur du sous- jacent `a la date 0 esta, la valeur du strike estb, le taux sans risque estρet le taux de dividende estν. Montrer en utilisant un changement de num´eraire (on prendraS comme num´eraire)

CE(x, K;r, δ;T−t) =PE(K, x;δ, r;T−t) 5. SoitR le processus solution de

dRt= 1

Rtdt+dWt, R0= 1. (a) Montrer, en utilisant le lemme d’Itˆo, queZt= R1

t est une martingale locale.

(b) Montrer que (Ut = exp(−λ22t)sinhλRλRt

t , t 0) est une martingale locale. On admettra que c’est une martingale.

(c) En d´eduire la valeur deE(exp(−λ22Tm)) o`uTm= inf{t : Rt=m}, avecm >0.

(d) Soit f une fonction continue born´ee etaun nombre r´eel. Quelles conditions doit v´erifier la fonctionv pour que

v(Rt) exp[−at Z t

0

f(Rs)ds]

soit une martingale?

6. Soita, α, b, β quatre constantes r´eelles. Soit x∈IR.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle stochastique

dXt = (a+αXt)dt+ (b+βXt)dBt (2) X0 = x

Soit (Yt)t≥0 l’unique solution de l’´equation (2) quand a =b = 0 v´erifiant Y0 = 1 et (Zt)t≥0 le processus d´efini par

Zt=x+ (a−bβ) Z t

0

Ys−1ds+b Z t

0

Ys−1dBs. Montrer que la solutionXtde (2) peut s’´ecrire Xt=YtZt.

4

Références

Documents relatifs

Après avoir fait un point sur les personnages du spectacle – une femme d’un certain âge, un jeune homme et le narrateur de La Recherche, que Camille de La Guillonnière et

Quoique ces chiffres fussent basés en partie sur des valeurs de domaines agricoles très supérieures à celles des périodes antérieures, à cause du prix élevé des produits

Quelle serait la richesse terminale (`a l’instant T ) d’un agent de richesse initiale x qui souhaite avoir un montant de cash ´egal `a (T − t)x `a chaque instant t en utilisant

Pour montrer que cette conjecture est toujours vraie, on désigne le premier des quatre entiers par la lettre n.. Exprime alors les

Pour montrer que cette conjecture est toujours vraie, on désigne le premier des quatre entiers par la lettre n.. Exprime alors les

Démontre que tout entier impair peut s'écrire comme la différence des carrés de deux entiers naturels consécutifsb. Trouve tous les triplets

[r]

[r]