2. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

TS Exercices sur les complexes _2011-2012

EXERCICE 1 :

1. Résoudre dans C l’équation : z

− 2z + 2 = 0.

2. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives : z

= 1+ i ; z

= z

; z

= 2z

; z

= 3.

4. Placer les points A, B , C et D sur une figure qui sera complétée tout au long de l ?exercice.

5. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

6. Calculer z

− 3

z

− 3 . En déduire la nature du triangle ADC.

EXERCICE 2 :

10 affirmations à examiner (VRAI/FAUX). Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; − → u ; − → v ).

1. Si Z = 4 − i

1 + 2i alors Z = 6 + 7i 5 2. Le conjugué de Z = 1 − z

1 + i , où z ∈ C est égal à 1 − z 1 − i 3. Le module de 1 − i √

3

1 + i est égal à √ 2.

4. Un argument de − √ 3

1 + i √ 3 i

est égal à 5π 6 . 5. Si z est d’argument π

7 alors − z a pour argument − π 7 6. z

= − 3 et z

= 2i. AB = 5

7. L’écriture trigonométrique de z = 1 − i √ 3

i est z = 2(cos π

6 + i sin π 6 ) 8. z

= 1 − 3 √

3 et z

= 1 − 3i alors ( − → u , −−→ AB) a une mesure de − π 6

9. L’ensemble des points m d’affixe z tels que | z + i | = | z + 4 | est un cercle.

10. Un argument de z = − p 2 + √

2 + i p 2 − √

2 est − π 4 .

EXERCICE 3 :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; − → u ; − → v ).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives z

= − 2i, z

= − √

3 + i et z

= √

3 + i.

1. (a) Déterminer le module et un argument de z

, z

et z

.

(b) En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C.

(c) Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C.

2. (a) Soit q = z

− z

z

− z

. Déterminer le module et l’argument de q.

(b) En déduire la nature du triangle ABC.

3. (a) Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que : | z | = | z + √ 3+ i | . (b) Monter que les points A et B appartiennent à (E).

EXERCICE 4 :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; − → u ; − → v ).

On considère les points : A d’affixe z

= 2 √

3 − 2i, B d’affixe z

= 2 et C d’affixe z

= 4 + 2i .

1. Ecrire z

sous forme exponentielle.

2. Soit R la rotation de centre O et d ?angle 2π

3 et T la translation de vecteur 6 − → u . On appelle E l’image de D par T .

(a) Montrer que z

= 6 + 4i.

(b) Montrer que C est le milieu de [BE].

3. Soit M le point d’affixe z

= 6 5 + 12

5 i.

(a) Calculer (sous forme algébrique) le nombre complexe z

− z

z

− z

(b) Justifier que le triangle M BE est rectangle et que M E = 2M B

4. Soit N le milieu de [BM] et M

l’image de M par la rotation de centre B et d’angle − π

2 . Justifier que BM

CN est un rectangle

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