quatre solutions que l’on donnera sous forme Exponentielle

REVISION 1

Mr. Karmous Abdelhamid Exercice 1

On considère , dans l’ensemble C^* des nombres complexes non nuls , l’équation (E) : z³ = 22i  . 1. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe u 22i 

2. On pose i z = r où r est un réel strictement positif et un réel de l’intervalle 0,2.

a) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation : r² = 4

b) En déduire que l’équation (E) admet, dans C^* , quatre solutions que l’on donnera sous forme Exponentielle.

3) Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O,u, v. On note A , B , C et D

les images des solutions de (E) d’arguments respectifs _, _, Cet Dvérifient ABCD

a) Placer les points A, B , C et D. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b) Soit E le milieu du segment [AD]. Ecrire l’affixe zE de E sous forme exponentielle et sous forme algébrique.

c) En déduire les valeurs exactes de cos( ) et sin( )

Exercice 2

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct O,u, v 

On désigne par A , B et C les points d’affixes respectives 1 , 2 et 1i .

Soit un réel de l’intervalle . On considère l’équation (E) : iz² - 2(i - cos )z - 2cos = 0 1/ a- Résoudre dans C l’équation (E).

b- Mettre chacune des solutions de (E) sous forme exponentielle.

2/ Déterminer et construire l’ensemble  = { M(z) tel que arg( ) } 3/ Soit les points M1 et M2 d’affixes respective : z1 = 1 + et z2 = 1 +

a) Montrer que lorsque décrit , chacun des points M1 et M2 décrit l’ensemble .

b) Lorsque M1 M2 on désigne par G le centre de gravité du triangle A M1 M2 Déterminer l’ensemble points G lorsque varie dans

c) Déterminer les valeurs de pour lesquelles le triangle AM1 M2 est équilatéral

Exercice 3

Soit la fonction f définie par : f(x) =

a- Etudier les variations de f.

b- ₊

 Montrer que h réalise une bijection de IR+ sur un intervalle J que l’on précisera.

 Expliciter h^-1(x) pour tout x de J .

c- Tracer dans le même repère orthonormé les courbes représentatives de f et de h^-1 d- Vérifier que pour tout x de IR ; f(x) = e^x – 4 +

e- Calculer . Exercice 4

On considère les suites U et V définies sur IN par : Uo = 0, Vo=8 ; Un+1= et Vn+1= , n IN 1/ Montrer que pour tout n de IN , on a : 0 Un < 3 et 3 < Vn 8

2/ a- Montrer que pour tout n de IN on a : Vn+1 – Un+1 ( Vn – Un ) b- En déduire que pour tout n de IN , on a : Vn – Un 8 (

)ⁿ 3/ a- Montrer que les suites U et V sont adjacentes.

b- Calculer la valeur de leur limite commune L.