La théorie du deuton et les forces d'échange de forme exponentielle

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La théorie du deuton et les forces d’échange de forme

exponentielle

Theodore Kahan

To cite this version:

LA

THÉORIE

DU DEUTON ET LES FORCES

D’ÉCHANGE

DE FORME EXPONENTIELLE

(1)

Par THEODORE KAHAN.

(Institut Henri-Poincaré, Paris.)

Sommaire. - On établit l’équation d’ondes relative à la théorie du deuton (proton + neutron), dans

le cas d’une interaction _d’échange entre le _proton et le neutron. On montre ensuite, après la discussion de

cette équation, comment la connaissance des énergies des états simple et triple du deuton _permet d’établir que l’interaction du type Majorana est environ trois fois plus intense que l’interaction d’échange du _type Heisenberg.

On

_peut

_envisager

l’interaction

_{neutron-proton}

soit

comme une force ordinaire comme le fait

_Wigner

_soit,

comme le font

_Heisenberg

et

_Majorana,

comme une force

_d’échange

_{telle que celle}

_qui

est

_responsable

de la liaison

_{homéopolaire.}

Les forces ordinaires ne

présentent

pas de caractères de

saturation,

tandis que les forces

_{d’échange,}

comme l’a montré la théorie de la molécule de

_{l’hydrogène}

_{élaborée par Heitler} et London donnent lieu à une saturation des liaisons.

Heisenberg

admet une interaction

_d’échange

où la

charge négative

passe d’un

corpuscule

à l’autre sans modification du

_spin

de chacun

_{d’eux; Majorana,}

_par

contre,

admet un

_type

d’interaction dans

lequel

la

charge négative

et le

_spin

sont

_échangés

simultané-ment entre le neutron et le

proton.

Pour établir

_{l’équation}

d’onde du deuton constitué par un

_proton

et un

_neutron,

nous

_partirons

de

l’ana-logie

que

présente

la liaison

_{homéopolaire}

de l’ion de molécule H2013H+ avec notre cas.

Notons dès maintenant que les forces d’interaction

présentent

un caractère tout à fait nouveau,

entière-ment différent de la nature des forces connues en

phy-sique atomique.

Une forme

_{particulière}

pour l’inte-raction

_{proton-neutron}

ne saurait se

_justifier

_{que par} la

_comparaison

des résultats déduits de cette interac-tion avec les données

_{expérimentales}

relatives aux noyaux

atomiques.

Ceci

dit,

on _{sait que la} fonction d’onde U de la molé-cule

H2

ionisée,

est le

_produit

de la fonction d’onde

électronique ~,,

(qui

dépend

de la distance de l’électron aux deux

protons a

et

_b,

ra et

_r6)

et de la fonction

d’onde ~,

relative aux mouvements _{des deux noyaux}

(protons) (qui dépend

des coordonnées des deux

pro-tons r1 et

_J’2)

~7=:’~(~

rô) ’~P (rl, r2)

~~e

(?~a, peut

être soit

_symétrique

soit

antisymé-trique

par

rapport

à ra et _{rb, donc par}

_rapport

aux coor-données des deux

_protons.

Comme la fonction d’onde totale U est

_{antisymétrique (les}

_protons

obéissent à la

statistique

de

_Fermi)

doit être

_{antisymétrique}

dans (1) Cf. T. KHAN C. R. de rAc. des Sciences, 1937, 204, p. 414.

les deux

_protons

si

_~e

est

_symétrique

et

réciproque-ment. En vue de notre

_{problème, envisageons}

en par-ticulier les états

_{électroniques qui correspondent}

à un atome

_{d’hydrogène}

à l’état normal

_plus

un

_proton.

Ils y a deux états de ce _{genre, l’un dont la fonction}

propre tÿe

est

_symétrique

_par

_rapport

aux coordonnées des deux

_protons,

et _{l’autre pour}

_{lequel ~,,}

est

antisy-métrique.

Dans ce cas

_{l’énergie électronique}

du

_système

a pour

expression.

est l’interaction de Coulomb

_(exprimée

en unités

ato-miques)

entre un atome

_{d’hydrogène}

dans l’état fonda-mental

_Lfonction

_{d’onde Ça}

_{== 2 exp}

_(-

_ra)]

et un

proton

à une distance r _{du noyau, et}

désigne

l’intégrale

d’échange qui

mesure la

probabilité

de passage de l’électron d’un noyau à l’autre. Le

signe

-

correspond

à la fonction d’onde

_symétrique,

le

_{signe +,}

à la fonction

_{antisymétrique.}

Un tel

échange

au cours

_duquel

l’électron

_change

de

_place

se

produit

par

exemple

pour » = 4 _rayons

_{d’hydrogène}

Á,

tous les 10-14 sec, pour » =10

À,

tous les sU-8 sec, et _pour r = 5.10-7 _{cm tous} les 1011 ans. _{La liaison}

chimique

H-H+

_correspond

à la fonction d’onde

symétrique [-

Ve

(l’)].

La force

_d’échange

est donc

proportionnelle

à la

_fréquence

_{d’échange.}

Le mouvement des deux

_protons

est _{décrit par la}

fonction de

_{Schrôdinger ~,}

_{(Pb r2)}

ou

_~~p

_(r,

S1

;r~ s~)

en mettant en évidence les coordonnées de

_spin

s, et 82.

Pour

antisymétrique

il convient de

_prendre

le

signe

-, pour

’fp

symétrique

le

_signe

+.

On obtient ainsi deux

_équations

d’ondes différentes

_{pour §p}

sui-vant la

_symétrie

de

_’fp.

En introduisant

_{l’opérateur P,2}

qui

a _{pour effet}

_{d’échanger}

les deux coordonnées des deux

_protons,

on

_{peut exprimer}

ces _{deux fonctions par}

282

une seule fonction

si

_Yp

est

_symétrique,

et

si

_~~p

est

_{antisymétrique.}

On sait d’autre

_part

_que

_l’énergie

_{électronique}

doit être

_regardée

comme

_{énergie potentielle,}

_{pour r}

(distance

des deux

_protons)

donné,

en ce

_qui

concerne le mouvement des noyaux de la molécule

(1).

L’équation

de

_Schrodinger

relative aux

_protons

prend

donc la forme suivante

_{[E énergie}

totale de la

molécule]

(ni

masse du

_proton).

Le second terme du second membre est

_équivalent

à

_(ri

si ;

r2 s2)

si

_~p

est

_symétrique,

et à

- Ve

(r,

S1 ;

j-,2 s,)

si

_Çp

est

_{antisymétrique.}

Comme

_{l’équation}

de

_Schrôdinger

_que nous venons d’obtenir ne concerne _{que les}

_protons,

on

_peut

directe-ment la

_prendre

comme

_point

de

_départ

_{pour la} thé-orie du deuton. Ainsi la théorie de l’ion de la molécule

d’hydrogène

suggère

une certaine forme d’interaction

qui

conduit à une saturation des forces nucléaires. Nous admettrons donc par

analogie

que

l’équation

de

Schrôdinger

relative à un neutron et un

_proton

en interaction a _pour

_expression

m étant la masse du

_proton

_qui

est sensiblement

_égale

à celle du

neutron,

_6.p

et

_o,~,

les

_{opérateurs laplaciens}

relatifs au

_proton

et au

_neutron,

.E

_l’énergie

_totale,

J

_{(~°) l’énergie}

_potentielle

fonction de la distance 1~

= 7°p

- rn entre neutron et

proton

et un

_opérateur

qui

échange

aussi bien les coordonnées que les

spins

des deux

_particules.

On voit

_qu’on

n’admet dans cette théorie aucune interaction

ordinaire V,

_(r)

entre le

proton

et le

_neutron,

en dehors de l’interaction

d’échange

L’équation (l.)

a été

_proposé

pour la

première

fois par

Heisenberg

(2).

Elle conduit à un effet de saturation mais elle

_correspond

à une interaction

_{qui dépend}

des orientations relatives du

_spin

du

_proton

et du neutron. Pour nous en rendre

_compte,

écrivons la formation

d’onde v

comme le

_produit

d’une fonction

_{dépendant des}

(1) Handbuch _{der.Physik, 24, 1, p.} 524.

(2) IlisisicNBBRG. Z. _Physik, i932, 77, p. 4 ; 1932, 78, p. 156

i933, 80, p. 587.

coordonnées

_spatiales

seules des deux

_particules

etd’une fonction

_dépendant

des

_spins

seuls :

Si les

_spins

du

_proton

et du neutron sont

_parallèles,

la fonction de

_{spin s}

est

_symétrique

_{en sp}

_{et sn}

c’est-à-dire

si les

_spins

sont

_{antiparallèles, s}

est

_{antisymétrique}

L’équation (1)

se transforme donc en une

_équation

ne renfermant

plus

que la fonction de coordonnées spa-tiales seule u

_(r

0 ’> Il

le

_signe

₊

concernant le cas de

_{spins parallèles,}

le

signe

-, le cas de

spin

antiparallèle

pour le neutron et le

_proton.

Par

_conséquent

si J

_(r)

est

_négatif,

on obtient une attraction entre le neutron et le

_proton

ayant

leurs

_{spins parallèles,}

mais une

_répulsion

dans le cas de

_{spins antiparallèles.}

Si J

_(r)

est

_négatif,

c’est l’inverse. De toute

_façon

l’interaction entre les deux

cor-puscules dépendra

des orientations relatives des

_spins

et la saturation est atteinte

_lorsqu’un

seul neutron est lié à un seul

_proton,

le

_spin

du neutron étant

paral-lèle ou

_{antiparallèle}

_par

_rapport

an

_spin

du

_proton

suivant le

_signe

de .1

_(~’).

Ainsi non seulement un second neutron ne

_pourrait

se lier au

_proton

mais serait même

repoussé.

Le deuton serait donc un _noyau saturé au lieu de la

_particule

_a, ce

_qui

est contraire à

l’expérience.

C’est pour éviter cette

_conséquence

_que

_Majorana

a

proposé l’équation

d’ondes suivante

P’,,,

étant un

_opérateur

qui

appliqué

à la

_{fonction ~}

a

pour effet d’échanger

seulementles coordonnées

_spatiales

sans modifier les coordonnées de

_{spin :}

On voit donc que tandis que dans

l’équation

de

Heisenberg,

les coordonnées

_spatiales

_{sontinterchangées}

en même

_temps

_{que les coordonnées de}

_spin

dans le

terme

_{d’interaction,}

dans

_{l’équation}

de

_Majorana

seules

ou en

_{appliquant l’opérateur}

_P’pn

de

_Majorana

et on _{voit que la même fonction} de

_spin

_figurera

alors des deux côtés de

_{l’équation}

_(3).

Il s’ensuit

qu’indépen-damment des orientations relatives des

_spins,

l’équa-tion

₍₃₎

se réduit à

0_2 "-,,’"

Il en

_{résulte qu’une}

interac don

_{d’échange négative J (r)}

conduit à une liaison du

_proton

et du neutron,

quelles

que soient les orientations de

spins.

Il est

_utile,

_pour

_{l’application}

de

_{l’équation (4)}

au

deuton,

de

_séparer

le mouvement du centre de

_gravité

du deuton du mouvement relatif des deux

_corpuscules

dans le deuton. Le second mouvement seul

_présente

de l’intérêt. _{On le décrit par} une fonction

_{d’onde (p}

qui

dépend

des coordonnées relatives.

du

_proton

et du neutron. Permuter les coordonnées des deux

_corpuscules

revient donc à

_remplacer

r _{par a’n} -

ri

- - _r, c’est-à-dire à

changer

le

signe

de r : :

Nous obtenons

_{ainsi pour}

_{?l’équation}

de

_Schrôdinger

suivante en cas d’interaction du

_type

_Heisenberg

[J(.)=7~)]

et _{pour l’interaction du}

_{type Majorana}

_{~J(7~)=Il~(~°)~}

étant la masse réduite

_(mouvement

_relatif).

2

)

Le

_{signe (+)}

se

_rapporte

aux cas de

_{spins parallèles,}

le

_signe

_(-)

au cas de

_spins

_{antiparallèles.}

Si l’énergie

Edu

_système

proton-neutron

est négative,

- E

_{représente l’énergie}

de liaison du deuton.

Comme

_l’énergie

d’interaction J

_(1’)

est censée avoir

une

_symétrie

_{sphérique, l’équation (6)}

_peut

être

séparée

en coordonnées

_polaires

r, 8, c en

_posant

où

_{Pim {6)}

est une fonction

_{sphérique harmonique}

_que nous _{supposerons normalisée. Les}

_{fonctions e (1»}

et o

(- r) figurent

l’une et l’autre dans

_{l’équation}

(6).

Si les coordonnées

_polaires

du

point

7°

_(x,

_y,

_z)

sont 1~,

6, b,

les coordonnées du

point

r

(-

_{x, - y,} -

,~)

sont

’., 7t -

e, 7t

+

a. Or on _{démontre que}

Plm

(x

-

~)

exp im

(x + 0)

=

_(-

I)l

P,,, 0)

_exp

par

conséquent

l’équation

d’onde de la fonction R

Cr)

prend

la

_{forme, après}

des transformations

_classiques,

Si

_négative,

le

_{second membre de (8)}

co

_{.i e , po nd à une}

_énergie

d’interaction attractive au cas où 1 est

_pair

et à un

_{potentiel répulsif,}

au cas où 1 est

_impair.

Cette alternance du

_signe

de l’interaction pour 1

pair

et

_impair

caractérise les forces

_{d’échange.}

L’état

_quantique

fondamental

_correspond

à / =

_0,

si

l’on suppose que est

_négative.

La fonction d’onde propre satisfait alors à

l’équation.

(r)

_{4 it2}

m

ER ,

4

7C2 rr M R (7 .

d h2 2

( )

h2 2

( )

’ ’,

La fonction R

_(r)

doit s’annuler en même

_temps

_{que ?} car autrement la

_{fonction cp}

_(r)

deviendrait infinie pour r - 0

d’après l’expression

(7).

Bethe et Peierls ont démontré d’autre

_part

_{que le} deuton ne

_{peut posséder}

d’états excités stables

_différant

de l’état

_fondamental

_(nombre

_quantique

azi1nutall ==-

₀₎

par leurs mouvements orbitaux si l’on

_fait

abstraction du

_spin

et si l’on admet l’existence de

_{grandes forces}

intranucléaires à _rayon d action

_fini.

Toutefois,

il y a lieu de

_prévoir

l’existence d’un second état du deuton

_qui

diffère de l’état fondamental par le

spin

total. Dans l’état

fondamental,

en

_effet,

le

spin

du deuton

_(exprimé

en

_{A/2 7:)}

est une

unité,

c’est-à-dire que les

spins

du

_proton

et du neutron sont

parallèles.

Il

_peut

_{donc y avoir} un état avec

_spins

antiparallèles

des deux

_corpuscules,

et _par

_suite,

caractérisé par un

_spin

total nul. Ce second état est un état

_simple

_{(poids statistique 1)}

tandis que l’état fondamental est un état

_triple

_{(triplement dégénéré}

à

cause des trois orientations

_possibles

du

_spin

par

rapport

à un

_champ

_{magnétique).}

Si l’on admet seulement une interaction du

_type

Majorana,

les

_énergies

de l’état

_triple

et de l’état

_simple

sont

_{approximativement égales.}

Leur différence ne serait alors due

_qu’à

une interaction

_magnétique

entre

les deux

_spins.

En

_supposant

une telle interaction entre les moments

_{magnétiques,}

on arrive à une différence

_d’énergie

d’environ 100 eV

_{(électronvolts)}

entre les deux états du deuton. Or _{il y} a de fortes raisons d’ordre

_{expérimental}

_{pour penser que le niveau}

énergétique

de l’état

_triple

est d’environ 2 . f06 eV

_plus

profond

que le niveau de l’état

simple.

L’interaction

284

Si nous

_désignons

_{alors par}

_{JI Cr)}

le

_potentiel

de

Majorana

et _par celui de

_Heisenberg,

_{l’équation des}

ondes

_(8),

relative à notre

_problème,

s’écrira

₍₁

=

_0).

où le

_signe

₊

est relatif à l’état

_triple

et le

_signe

- à

l’état

_simple.

Comme l’état

_triple

est

_plus

_profond

_que

l’état

_simple,

il faut que M

(r)

et

_{H (?)}

soient tous deux

négatifs (- E, énergie

de liaison du

_deuton).

J’atlmets que le

potentiel

d’interaction de

_Majorana

est cle la forme

_(cratère

de

_{potentiel exponentiel)}

et l’interaction du

_type

_Heisenberg

avec

a

_{(rayon (Faction)}

_-_ 2.i02013~ cm. En

_{portant ( 1 Ù)}

et

₍₁₁₎

dans

_(9),

on obtient

Pur résoudre celte

_{équation différentielle,}

_posons

de sorte que pour

L’équat’on

d’ondes

₍₁₂₎

se transforme donc en

qui

est une

_équation

différentielle de Bessel. Sa solution s’écrit

_(’)

1

-r , , _

(solution

particulière

restant finie à

_l’origine)

avec

p

_ 4xa /

,

~ ==

JP

étant une fonction de Bessel

_{d’ordre 1).}

Comme la fonction R

_(/’)

doit s’annuler à

_l’origine

(î-

=

0)

_{pour que (p}

(~)

reste

fini,

nous obtenons les deux conditions suivantes pour

Fi

et

V2

En utilisant les tables de fonctions de Jahnke-Emde pour le calcul des racines de

Jp

(x),

je

tire des conditions ci-dessus :

L’interaction du

_type

_Heisenberg

est donc environ trois fois

_plus

_{faible que l’interaclion du}

_type

_Majorana

dans le cas d’une interaction

_d’échange

d’allure