Formulation rationnelle de la théorie des corpuscules de spin 1, en vue d'une théorie des mésons et des forces nucléaires

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spin 1, en vue d’une théorie des mésons et des forces

nucléaires

Bernard Kwal

To cite this version:

868.

FORMULATION RATIONNELLE DE LA

THÉORIE

DES CORPUSCULES DE SPIN

_1,

EN VUE D’UNE

THÉORIE

DES

MÉSONS

ET DES FORCES

NUCLÉAIRES

Par BERNARD KWAL,

Institut Henri

Poincaré,

Paris.

Sommaire.. 2014 Les théories habituelles du

corpuscule de spin 1 sont basées sur une confusion de la notion des _potentiels et de celle des _champs. Il est _possible d’introduire des _{potentiels vrais, jouissant} de la _propriété fondamentale et distinctive d’admettre des transformations de jauge. Ce sont ces

potentiels vrais _qui doivent figurer les variables canoniques indépendantes dans le schéma de Lagrange-Hamilton. On aboutit ainsi à une formulation rationnelle de la théorie des _{corpuscules :} maxwellien

_C|,

broglien C10, pseudo-maxwellien C’| et _{pseudo-broglien} C’10. Les potentiels vrais. n’admettant que la même _{singularité (en} r _’) que celle qui caractérise le potentiel-vecteur de la théorie de _{Maxwell-Lorentz;} les _équations de Dirac, en _présence des _{champs mésiques} d’interaction dérivant de ces _potentiels,

admettent donc les solutions stationnaires.

1. Formulation habituelle de la théorie du

’

corpuscule

de

_spin

1. - Dans la théorie du

cor-puscule

de

_spin

i, on doit faire une distinction

entre

_quatre

sortes de

_corpuscules:

On leur

donne,

à la suite de

Kemmer,

les noms de

_corpuscules

vectoriel,

_{pseudo-vectoriel,}

scalaire et

pseudo-sca-laire. Cette nomenclature reflète la manière habi-tuelle d’assimiler aux «

_potentiels

» certaines

gran-deurs

_qui

s’introduisent dans la théorie.

Ainsi,

dans le cas du

_corpuscule

vectoriel dont les

_équations,

en

_présence

des « sources de

_champs

»,

s’écrivent _

on _{admet que le}

_{quadrivecteur ale}

_peut

_jouer

un

rôle

_analogue

à celui du

_{potentiel-quadrivecteur}

_A~ de la théorie

_classique

de Maxwell-Lorentz. Le

cor-puscule

en

question porte

donc la marque de «

vec-toriel », parce que son

_{champ (hil)}

dérive d’un

«

_potentiel

vectoriel »

(a~),

C’est cette

_{grandeur ah}

qui

se trouve introduite comme variable

_canonique

indépendante

dans le schéma de

_{Lagrange-Hamilton,}

et l’on

_prend

comme fonction de

_Lagrange

l’expres-sion suivante :

,

où est la forme dérivée du

_potentiel

ak, défihie

à l’aide de la relation

Le terme

_souligné

dans

_{l’expression}

du

lagran-gien

tient

_compte

de

la

_présence

des sources

_Sj

du

_champ,

et il est _{f ormé par}

_analogie

avec le terme

_pkAk,

_{qui figure}

dans la théorie de Maxwell-Lorentz. Dans cette

formulation,

les sources du

type

tensoriel n’ont _{pas de}

_place

dans le

lagran-gien

et _{elles s’introduisent par l’intermédiaire des}

équations

de définition des

_champs.

Cela

étant,

considérons le mouvement d’un nucléon dans un

champ mésique (a;, hll)

émanant

d’un ou de

_plusieurs

autres nucléons. Si l’on admet que les états d’un nucléon sont

_{descriptibles}

au

moyen des solutions de

l’équation

de

Dirac,

alors

on

_peut

écrire

yi

étant les matrices de Dirac. ’

Le terme

_souligné

est le terme

d’interaction,

où

_figurent

les deux

_grandeurs

de la

_théorie,

le

«

_{potentiel »}

_{ai et} le «

_{champ »}

Or ces

_grandeurs,

en vertu des

_{équations (1.1),}

satisfont aux

_équations

du second ordre suivantes :

où dans les seconds membrés

_figurent

les dérivées

premières

et secondes des sources, ce

_qui

entraîne

pour les solutions de ces

_équations

des

_expressions

présentant

des

_{singularités}

en r-2 et r-:1, pour

lesquelles l’équation (1.4)

n’admet _pas de solutions stationnaires.

_Ainsi,

la théorie des forces nucléaires

se heurte au

_départ

à une

_difficulté

_formidable,

_que

des artifices divers

_permettent

certes de tourner,

mais d’une manière

_qui

laisse

beaucoup

à désirer.

2.

_Critique

de la méthode habituelle. - Nous

ne _{croyons pas nécessaire ici l’examen}

plus poussé

des différentes

théories,

qui

ont été édifiées dans le dessein de

_pallier

la difficulté en

_question.

Nous pensons, en

_effet,

_{que dès} le début de la théorie du

corpuscule

de

_spin

i, une confusion subtile fut

introduite entre la notion des

_champs

et

_des

poten-tiels et

_qu’il

suffit de démêler cette _{confusion pour}

supprimer

d’une manière

_simple,

mais

radicale,

l’obstacle des

_{singularités gênantes.}

En nous adressant aux

_{équations (1.1),}

nous

remarquons que les

grandeurs a,,.

et

jouent

un

rôle

_symétrique

_{et que} c’est seulement _par un

décret arbitraire _que nous déclarons que les gran-deurs ak sont des

_{pot entiels.}

_{La seule apparence}

trompeuse

est la forme des

_équations

proche

parente

de celle que nous trouvons en théorie

de Maxwell-Lorentz à l’occasion de la

définition

du

champ

électromagnétique

en fonctions du

potentiel

Mais n’oublions pas que dans cette dernière théorie le

_potentiel

est -indéterminé et _{que la} transfor-mation dite de

_jauge

et est une fonction scalaire

_arbitraire,

effectuée sur le

potentiel,

se trouve être sans

_{répercussion}

sur les valeurs du

_champ.

Or,

il n’en est _pas ainsi, avec notre

_{prétendu potentiel}

ak,

qui

lui est bien

déterminé,

en

_conséquence

de l’ensemble

d’équa-tion

_(1.1).

Il- est donc

_dépourvu

de la

_propriété

essentielle et

_{caractéristique}

des

_potentiels.

Par

ailleurs,

du

_point

de vue de la théorie des

corpus-cules à

_spin,

son rôle se confond avec celui du

champ

hik.

Force nous est _{donc d’admettre que les}

grandeurs

al et

h;~

doivent être traitées sur un

même

_{pied d’égalité,}

en _{tant que}

_champs

et _que

nous devons chercher des

grandeurs

autres, dis-tinctes de

_celles-ci,

_susceptibles

de

_jouer

dans la théorie du

_corpuscule

de

_spin

i, le rôle

important

des

_potentiels.

3. L’introduction des

_potentiels

_vrais,

dis-tincts des «

_champs

» _{ai et}

_hil,.

- Il est

relati-vement aisé de définir les

_potentiels

« vrais » en

l’absence des sources. Au cours de nos recherches

sur cette

_question,

_que nous

_poursuivons

_depuis

quelques

années

_[15],

nous nous sommes avisés

d’ailleurs,

que d’autres auteurs, en

_particulier

Stueckelberg

[10],

Caldirola

_[11]

_]

et Salvetti

_[12],

les ont

_{déjà employés,}

sans _pour autant en avoir

tiré toutes les conclusions

_{qui s’imposent,}

selon nous,

en vue de la formulation rationnelle de la théorie

du

_corpuscule

de

_spin

i.

Le

_{problème qui}

se _pose est d’introduire d’une manière rationnelle des

_potentiels

« vrais » en théorie des

_quatre

sortes de

_corpuscules

de

_spin

i, en les

adoptant

d’une manière convenable aux sources des

champs.

Ce

_seront

ces

_potentiels

vrais

_qui

devront

figurer

dans le schéma

_canonique

de

Lagrange-Hamilton et _y

_joùer

le rôle des variables

_canoniques

indépendantes.

Tel est le but du

_présent

travail. Mais avant _que de

_pénétrer

dans le vif du

_sujet,

montrons

rapide-ment comrapide-ment

_l’emploi

de la

_cinquième

coordonnée

nous met sur la

_piste

des

_potentiels

vrais. On

sait,

en

_effet,

_{que les}

_{équations (1.1)}

_peuvent

_revêtir,

en l’absence des sources, la forme condensée suivante :

où _{les indices grecs} et _y

_prennent

les valeurs ~, 2,

3,

4

et 5 et où se réduit à

_{lorsqu’aucun}

des ,indices a

_et

n’est

égal

à _5, et se réduit _{à ak}

_lorsque

l’un des indices est

_égal

à 5. On doit

considérer,

d’autre

_part,

_que

_{l’opération}

de la _{dérivation par}

rapport

à la

_cinquième

coordonnée

_«()’J)

se ramène à une

_{multiplication}

_par x.

De cette

manière,

nous donnons aux

_équations

de L. de

_Broglie,

relatives à un

_corpuscule

de masse m

et de

_spin

i, la forme des

équations

de Maxwell

dans

_l’espace

à

_cinq

dimensions.

_Or,

dans un _espace

à un nombre

_quelconque

de

dimensions,

les

équa-tions de Maxwell

_jouissent

des

_propriétés

fonda-mentales suivantes :

10 On

_peut

définir un

_potentiel

n-vecteur

Py,

tel que l’on a

et

_qui

est

_susceptible

d’une transformation de

jauge

-

’

°

(et

d’une transformation de

_{jauge plus générale).}

20 On

_peut

définir un

_{anti-potentiel,}

tenseur

complètement antisymétrique

à

trois indices tel que l’on a

et

_qui

est

_{susceptible également}

d’une transforma-tion de

_jauge

En revenant aux

_équations

de L. de

_Broglie,

nous _{voyons que les}

_{champs qui}

_y

_figurent

admettent

quadri-vecteur

_Pl

et un scalaire P:, et

_qu’on

_peut

écrire

où, en introduisant

l’antipotentiel

qui,

dans

l’espace-temps,

se ramène à un

_potentiel

tenseur P ;,a

et un

_potentiel

_{pseudo-quadrivecteur P IAI,}

De

_quelle

manière devrons-nous choisir les

poten-tiels ? En théorie de

Maxwell-Lorentz,

le choix du

potentiel quadrivecteur

est déterminé par

l’adapta-;

Iïan aux sources,

_qui

sont du

_type

_{quadrivectoriel.}

Dans la théorie du

_corpuscule

de

_spin

i, nous

devons

_également

nous laisser

_guider

par la nature relativiste des sources du

_champ.

En théorie du méson « vectoriel », les sources sont

_{représentées}

par un

_{quadrivecteur}

et un

tenseur,

grandeurs qui

se

_partagent

entre- les deux _groupes

_{d’équations}

du

champ

’

Nous allons donc introduire un

_potentiel

vecteur

_Pj

qui

résulte du

_potentiel

Px

et un

_potentiel

ten-seur

_{Pjk, qui}

résulte de

_{l’antipotentiel P[aBy],}

en

posant

Il est facile de voir

_qu’on

a alors

Les

_potentiels

_que nous venons

d’introduire,

satisfont à la transformation

_{généralisée}

de

_jauge

les fonctions

_{génératrices}

de la transformation de

jauge

satisfont aux

_équations

_{que voici :}

Cela

étant,

en

_analogie

_parfaite

avec la théorie de

Maxwell-Lorentz,

nous allons écrire la fonction de

Lagrange

de la manière que voici :

en _y considérant les

potentiels

_Pi

et

_Pjk

comme

variables

_{canoniques indépendantes,}

tandis que les

_champs

_h/&

et _ai comme les formes

dérivées,

définies à l’aide des relations

on trouve alors facilement les

_équations

d’Euler-Lagrange

sous la forme suivante :

Quant

aux

_équations

de Dirac décrivant l’état d’un

nucléon se mouvant dans le

_champ

du méson

maxwellien,

nous les écrirons de la manière que

voici :

où dans le second membre ne

_figurent

_{que les}

potentiels

vrais

_Pi

et et non _{pas les}

_champs.

Supposons

maintenant _que ces

potentiels

subissent

la transformation de

_jauge

_(3.11).

La forme de

l’équation

d’onde

_(3.16)

ne doit pas

changer

_et,

pour cette

raison,

la fonction

d’état §

doit subir

une transformation

_{généralisée}

de

_phase

_[13],

_qui,

-dans notre cas,

_prend

la forme suivante :

4.

_Équations

fondamentales de la théorie

des

_corpuscules

_{Co, C !}

et

_C".

--~ Nous allons

dresser maintenant le tableau

_{d’équations}

fonda-mentales,

relatives au

_corpuscule

_{broglien C~}

pseudomaxwellien

C’ ;

et

_{pseudo-broglien}

C"..

4, 20.

_Équations

du

_corpuscule

pseudo-maxwel-lien

G’ 1

:

du

_corpuscule

_{pseudo-broglien}

~’ ô :

Équations

d’onde des

corpuscules

de

_Dirac,

plongés

dans les

_champs

associés aux

corpus-cules de L. de

_Broglie

du

_{type C; , C~}

_{C’ ;}

et

C’ ~.

- Selon notre manière de

voir,

_lorsqu’un

corpus-cule de Dirac est

_plongé

dans un

_champ

émanant d’autres

_corpuscules

de

Dirac,

il doit être

_possible

de faire dériver ce

_champ

d’interaction de

_potentiels

généralisés,

liés aux sources du

_champ.

Ces dernières sont

_{représentées,}

en

_général,

_par un ensemble

multitensoriel de formes

bilinéaires,

formées à l’aide des solutions de

_{l’équation}

de Dirac

_[21,

ensemble dans

_lequel

on

_peut

_distinguer

certaines

_grandeurs

tensorielles,

caractérisant les interactions par l’inter-médiaire de

_corpuscules

de

_spin

i, du

_{type C;,}

C,’,, C’!

et

_C’Ó.

Ainsi

_{l’équation}

d’un

_corpuscule

de

Dirac,

plongé

dans les

_champs

_potentiels

P,

Pi,

et s’écrit-elle

_{[14] :}

où les Ei sont des coeflicients

_qui

définissent le

couplage

entre le

_corpuscule

de Dirac et le

_champ

dans

_lequel

il se trouve

_plongé.

Selon notre manière de

voir,

ce sont

_uniquement

des

_potentiels.

vrais

_qui

doivent

_figurer

dans les

_équations

du

_premier

ordre de Dirac et

_jamais

des

_champs,

sous aucun

_prétexte

que ce soü.

Au

_{paragraphe précédent}

nous avons été amenés à écrire les

_équations

d’un

_corpuscule

de

Dirac,

plongé

dans,

des

_champs,

associés aux

_corpuscules

C1,

C ¿,

C’

_i

et

_{C‘ ~,}

_{de la manière que voici :}

Nous allons écrire maintenant les

équations

du second ordre

_{correspondant,}

et cette fois nous allons

appliquer

aux deux membres des

équations (5.21),

(5 . 22), (5.23)

et

_{(5.24) l’opération (~/2013.r.),}

en

tenant

_compte

des

_équations

de définition des

872

et des relations de commutation suivantes :

On aboutit alors aux

_équations

suivantes :

M. Louis de

_Broglie

a bien voulu s’intéresser à ce

travail, et, les remarques,

qu’il m’a -adressées,

m’ont

fourni des idées nouvelles et m’ont

permis

de

_corriger

quelques

erreurs. Je lui

_exprime

ici ma

_plus

vive

gratitude.

Manuscrit reçu le ier mars _{19 I.}

BIBLIOGRAPHIE.

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Sc., 1951, 232,