Sur un formalisme de la théorie des corpuscules de spin 0 ou ħ et leurs équations d'ondes dans les champs extérieurs

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Sur un formalisme de la théorie des corpuscules de spin

0 ou ħ et leurs équations d’ondes dans les champs

extérieurs

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR UN FORMALISME DE LA

THÉORIE DES

CORPUSCULES DE SPIN 0 OU 0127 ET LEURS

_ÉQUATIONS

D’ONDES DANS LES CHAMPS

EXTÉRIEURS

Par GÉRARD PETIAU. Institut Henri Poincaré.

Sommaire. - Examen et

discussion des _équations d’ondes obtenues après élimination des

fonc-tions d’ondes n’évoluant pas directement dans la théorie du corpuscule de spin zéro ou 0127 de M. Louis de _{Broglie. Étude} de la _{correspondance} entre le formalisme _développé et les diverses formes de la théorie du méson. Examen des différents _types de _champs extérieurs _{susceptibles d’agir} sur le corpuscule et des modes d’introduction de ces _champs dans _{l’équation} d’ondes. _Application à l’étude

des _propriétés du _corpuscule de spin zéro dans divers champs extérieurs.

12,

1951,

1. Dans le formalisme introduit _par M. L. de

Broglie

(1),

les

_équations

d’ondes du

_corpuscule

de

spin

total maximum

li,

photon

ou méson suivant la valeur attribuée à la masse _{propre m o,} se

_{représentent}

par le

système

Les matrices _{a o} =

I , OCOI OC, ti4 forment deux

sys-tèmes

_{indépendants}

de _{matrices de Dirac telles que}

Si le

corpuscule

porte

la

_charge

e, nous

rempla-cerons les

_opérateurs

_{po, p par les}

_opérateurs

modi-fiés

s =

,

V,

A,

potentiels

scalaire et vecteur d’un

champ

électromagnétique

extérieur. Les valeurs _{propres de la matrice}

sont + i, -

i et o et, _par

suite,

seules 8 des 16 fonc-tions d’ondes

_(j)il,

i2 satisfont à des

équations

d’évo-lution dans le

_{système (1).}

Dès le début du

_{développement}

de la théorie du méson divers auteurs

₍₂₎

se sont

_préoccupés

de

l’élimination des fonctions d’ondes non évolutives

(1) L. DE _BROGLIE, Une nouvelle théorie de la lumière, t. 1 et 2.

(2) Voir notamment : GUNN, Proc. Roy. Soc., 1948, A 193, p. 559 et la _{Bibliographie} donnée par cet auteur.

des

_équations

du méson en

_partant,

non _{pas de}

l’équation

(1),

mais des formes irréductibles de celle-ci écrites comme

_équations

de

_champs,

les

fonctions

_})i1,i2

étant

_remplacées

_{par certaines de} leurs combinaisons linéaires

_{correspondant}

à des formes tensorielles

_{remarquables.}

Pour effectuer cette élimination à

_partir

de

l’équa-tion

₍₁₎

nous considérerons avec M. Dirac les

matrices « (.(4 construites à

partir

de matrices du

.

second rang, le

système

des matrices de Pauli et

un

_système

_analogue

_p en écrivant

Les 16 fonctions

_{(j)i1, i2 (il, ’2}

=

1, 2, 3,

4)

s’écri-ront maintenant avec deux

_paires

d’indices variant sur i et _2, soient

(Di,k,;!,k.,

les indices

il, i2

corres-pondant

au

_couple

des matrices

(1;

les indices

_kj,

_k2

au

_couple

des matrices p.

Nous

_{développerons}

maintenant

_{l’équation (1)}

en

mettant en évidence les fonctions

correspondant

aux indices

_k1,

_k2.

Nous _{écrirons (pu, CPJ2, CP2h CP22 pour}

_{«I»m11,m21,}

nall,m,

«I»,n12,m2h (})m1,m22.

Nous obtenons alors le

système

Ces

_équations

mettent en évidence l’évolution des

fonctions cpil, 922 et la

_possibilité

de l’élimination des fonctions CPl:l et CP:!t.

Nous tirons immédiatement _y,,, et _{921 des deux}

dernières

_équations

et en

_reportant

dans les deux

premières

nous obtenons

Or,

nous avons

Dans le cas où il existe un

_potentiel

vecteur A

auquel correspond

un

_champ

_magnétique

_H,

nous avons

et,

par

suite,

De

même,

nous avons

Nous introduisons les matrices

₍₃₎

du

_spin

li

et les matrices de leur

_système

Nous avons alors

(3) G. PETIAU, C. R, >lcad. SC., 1 yq 1, 213, p. 8G3.

Reportant

(8)

et

₍₉₎

dans

_(4),

ce

_système

s’écrit

Remarquons

que nous avons

de telle sorte que, dans

(10),

nous _pouvons

_également

remplacer 1

Pi

Pj

Si, j

par

Nous introduisons maintenant les fonctions d’ondes

m1,7nQ:k

avec

_{k = 1,}

2, m" m2 = 1, 2, telles que

Remarquant

que

le

_{système (10)}

s’écrit

Cette

_équation

_{n’étant pas hermitienne}

_{(P:J Pl}

est

antihermitien),

nous la

_multiplions

_{par p,,,} et nous

obtiendrons ainsi

_{l’équation}

d’ondes

_mésique

l’enant

_compte

de

_(12),

nous _pouvons

_également

l’écrire sous la forme

Les

_équations

₍₁₅₎

ou

₍₁₆₎

sont des

_systèmes

de huit

_équations

d’ondes. Le

_système

des matrices S n’étant pas irréductible il en est de même de ces

systèmes d’équations.

On sait

_qu’après

réduction,

le

_système

des

matrices S se ramène à un

_système

formé de

neuf matrices linéairement

_{indépendantes,}

donc du

troisième rang et en un

_système

de _rang i. Par

suite,

le

_système

_{d’équation}

_{(15) [ou}

_(16)]

se

décom-posera en deux

_systèmes

irréductibles,

l’un formé

Avec la

_{représentation}

considérée des matrices u,

d’où des matrices S on _{passera du}

_système

réduc-tible des matrices S aux

_systèmes

irréductibles _par

une transformation

canonique

U telle que l’on ait

U étant une matrice

rectangulaire

3 X 4

dans la

première représentation,

i X

₄

dans la seconde.

On voit facilement que, pour la

première

repré-sentation,

nous devons _poser

ce

_qui,

à

partir

des matrices

(6),

soient

nous donne les matrices réduites

Les matrices

Si,

Si,j

étant ici de _rang 3 _{il y} a

six

_{fonctions §}

dans cette

_{représentation.}

Nous _passons

_également

à la

_{représentation}

de

rang 1 du

système

des matrices S par la matrice

ce

_qui

nous donne

Nous avons alors seulement deux fonctions

_tf.

Dans ce dernier cas, on _{voit immédiatement que}

le

_{système (15)}

se

_simplifie

et s’écrit

car,

_{d’après (21),}

Tout terme de

_spin

a

_disparu

de cette

_équation

et le

_corpuscule

n’est

_plus

_{caractérisé que par le}

+

système

des

_{matrices p.}

Nous allons examiner ce

_système

et montrer

_qu’il

correspond

au cas du méson scalaire

_(ou

pseudo-scalaire).

-Développé

en mettant en évidence les fonctions

_Y;1

et

_rf2,

le

_{système (22)}

s’écrit

Nous pouvons retrouver des

_{équations analogues}

en faisant la même élimination des fonctions d’ondes non évolutives à

_partir

des

_équations

d’ondes du méson scalaire

_{(ou pseudoscalaire)}

écrites sous la forme

_{d’équations}

de

_champs.

Dans ce cas, étant un

_invariant,

_{A o,}

u un

quadrivecteur (ou

un

_{pseudo-invariant,}

et un

pseudo-vecteur),

les

_équations

d’ondes du

_corpuscule

s’écrivent

+

L’élimination de ét

_qui

_{n’évolue pas directement}

donne immédiatement

d’où

Posant

par addition et soustraction de

(27),

nous retrouvons

les

_équations

₍₂₄₎

ou

(22)

ce

_qui

met en évidence le

Dans le cas de la

_{représentation}

de _rang 3 des matrices

S,

nous _pouvons

_également

nous ramener

aux formes connues déduites des

_équations

de

champs

du méson vectoriel.

Nous

_remplacerons

ici les six

_{fonctions §j , ’f;?}

_par les

_composantes

_d’espace

de deux vecteurs en

effec-tuant, par le

procédé

de la théorie du

photon,

des combinaisons linéaires sur les

_,,,iî,,;k.

Nous écrirons ici

Yj étant une matrice telle _que

Avec la

_{représentation}

_adoptée

_{ici pour les}

matrices u, nous avons Y) == _72. Le

_système

₍₁₅₎

s’écrit alors

ou encore

Ce

_système

est à

_rapprocher

de celui _que l’on obtient par l’élimination des

_composantes

non évolu-tives dans les

_équations

du méson vectoriel.

Ces

_équations

s’écrivent

L’élimination de ’"’1 et de ce donne alors

or,

ce

_qui

ramène le

_{système (35)}

à la forme

Posant

par addition et soustraction des deux

_{équations (36),}

introduisant les matrices _p, et _p., nous obtenons à

nouveau le

_{système (32).}

Nous avons donc mis en

_évidence,

à

_partir

des

équations (15)

ou

_(16),

le passage aux formes

irré-ductibles et montré leur

_{correspondance}

avec les

systèmes représentant

les mésons scalaires ou

vecto-riels écrits sous forme

_{d’équations}

de

_champs.

2. Le

_{système (15)}

ou

₍₁₆₎

introduit un

opéra-teur _{hamiltonien pour} le

_corpuscule.

En

_effet,

nous écrivons cette

_équation

A

_partir

de cette

_équation,

nous _pouvons définir

la dérivée d’une

_{grandeur représentée}

_par un

opéra-teur C ou

_Cp,

_(si

C et _P3

_commutent,

_’CP3,

si C et _p3

anticommutent).

Si C ne _{contient pas}

_{explicitement}

le

_temps,

nous avons ainsi .

Il en résulte _que nous _pouvons considérer deux

définitions pour une

_{grandeur intégrale première.}

io C est

_{intégrale première}

si

(P3

et C

_commutant).

20 C est

_intégrale

_première

si

de

_dépendant

_{explicitement}

_{de p,} ne commute _pas

avec _{P3 et, par}

suite,

ces deux définitions sont distinctes.

Toutefois,

la

_première

de ces définitions semble mieux en accord avec le formalisme

_général

de la théorie du

_corpuscule

de

_{spin li}

et nous allons

Considérons la

_grandeur

«

_{position » représentée}

par

l’opérateur

x. Nous en déduisons la

_grandeur

« vitesse » par la dérivation

Par

_suite,

nous sommes amenés à considérer

l’opérateur

comme

_{correspondant}

à la

_{grandeur (pvl) (p}

densité de

_{présence représentée}

_par

_{l’opérateur}

_P3

_qui

est

intégrale première,

car l’on a, pour p,, C = _1,

1. ce - ¿le.

i =

o).

P3

possédant

la valeur

propre

- i

pour les états voisins du repos, on retrouve

l’expres-sion

_classique

de la

vitesse,

mais dans le cas

_général,

à la vitesse

_{classique P s’ajoute}

un terme

supplé-mo

mentaire

_dépendant

du tenseur

_Sl,;

_(appelé

«

gyro-scopique

» _{par certains}

_auteurs).

L’expression (44)

de X se

_simplifie

particuliè-rement dans le cas de la

_{représentation}

de

_spin

zéro

(rang

2).

On a alors

-et,

par suite, la densité

_{correspondante}

s’écrira

A

_partir

de la définition

₍₄₁₎

de

_{l’intégrale}

pre-mière,

nous _pouvons

_préciser

la

_{représentation}

de la

grandeur spin

et

_justifier

l’attribution du

_spin

zéro et t aux deux

représentations

irréductibles du

sys-tème des

_équations

d’ondes.

Nous considérons

_{l’opérateur}

« moment orbital _»,

soit

L=xAp

(47)

et nous calculons le commutateur

avec, pour JC,

l’expression (38)

en l’absence de

champ

extérieur

_{( V}

= _o, A =

o, H =

o).

Nous voyons facilement que

On en déduit _{que si}

_{S #}

o, L n’est pas

intégrale

première,

mais que

Le

_spin

est donc

_représenté

_par

_{l’opérateur}

jzS et

possède

les valeurs propres o, + h dans la

repré-sentation _{de rang} 3

_[matrices

_(19)]

des matrices S. Il est nul dans la

_{représentation}

de _rang 1 _pour

laquelle

ces matrices

_{disparaissent,}

alors le

_spin

est nul et le moment orbital est

_{intégrale première.}

3. Certaines

_propriétés

de

_{l’équation}

d’ondes et

de ses solutions

_apparaissent

facilement à

_partir

de

l’équation (16).

Considérons d’abord le cas de l’absence de

_champ

extérieur.

On sait que, dans ce cas, les fonctions

(j),

solutions de

_{l’équation (1),}

satisfont à

_{l’équation}

des ondes.

Il en est de même a

_priori

_pour

_{les Ç}

_qui

ne sont

que

certains, des

(D.

Toutefois,

la démonstration de

cette

_propriété

est

_plus

directe à

_partir

de

_(16).

En l’absence de

_champ

extérieur,

nous écrivons

cette

_équation

Par

_{multiplication}

_par

_{’J’ (p . S) 2}

et utilisant les

rnoc

relations

_{opératorielles}

nioc

nous

_obtenons,

_après

réduction,

_{l’équation}

des

ondes

On

_peut

chercher à étendre ce résultat au cas

d’un

_champ

_{extérieur caractérisé par} un

_potentiel

scalaire

V,

indépendant

du

_{temps tel que}

Nous

_remplaçons

alors,

dans

_(50),

_{po par}

_Po

_{+ E V}

et _{par le même}

_procédé

_que

_{précédemment}

nous

obtenons,

toutes réductions

_faites,

_{l’équation}

L’équation (53)

n’est pas hermitienne et ne le

simple

comme c’est le cas _pour

l’équation

d’ondes

de Dirac.

Toutefois,

(53)

se

_simplifie

dans le cas de la

représentation

de

_spin

_{zéro pour}

_laquelle

nous

obtenons

Dans ce cas, la définition des ondes tensorielles

nous donne

d’où immédiatement

L’équation (52)

nous montre

_qu’en

l’absence de

champ

extérieur les

_équations

d’ondes

_{(15) possèdent}

des solutions ondes

_planes

_{monochromatiques}

de telle sorte _{que l’on peut} écrire

Pour l’onde

_tf+

_{l’équation (15)}

donne

Introduisant trois constantes

Cn2

telles que C* C = _I, et normalisant par la condition

on obtient immédiatement la solution normée

_tf+

sous la forme

De même pour les

amplitudes b

de l’onde à

_énergie

négative §-,

normée à la valeur + l, le

système

nous

_donne,

les

Dnt

étant trois constantes telles _que

Si nous écrivons

les indices

k, 1

correspondant

aux matrices p, les

indices mi, m2 aux

matrices Si, i,

l’onde

_plane

d’impulsion

p

générale

s’écrit

4. Nous allons maintenant examiner les actions

possibles

de

_champs

de forces de diverses variances tensorielles sur le

_corpuscule

considéré. Nous

discu-terons ensuite les conditions de l’élimination des fonctions d’ondes non évolutives dans

_quelques-uns

des cas _que nous serons amenés à considérer.

Pour examiner les divers

_types

d’interactions

auxquelles

peut

être soumis le

_corpuscule

de

_spin

o

ou

_fi,

nous _{passerons d’abord de la forme}

₍₁₎

de

l’équa-tion d’ondes à la forme d’univers

_{correspondante.}

Posant

par

multiplication

de

(1)

par i

cx(Il,

nous obtenons

immédiatement

Les

_quatre

matrices f1J.

_(que

nous écrivons encore

r,",’)

appartiennent

à un

_système

de

136 matrices de forme

_générale

les

_{Y’, ’YB,}

... .

désignant

l’une

quelconque

des

16 matrices de Dirac :

Pour déterminer les

_{couplages possibles}

du

corpuscule

avec un

_champ

de variance tensorielle

donnée,

nous devons chercher

_parmi

les matrices

:r 1, u,

celles

_qui,

associées d’une

façon

covariante aux

composantes

du

_champ,

_permettent

de construire des invariants

_qui

introduits dans les

_équations

₍₇₄₎

ou

_{(75) représenteront}

la masse _propre localisée dans

le

_{couplage champ-corpuscule.}

Considérons d’abord un

_champ

vectoriel

carac-térisé par un

_potentiel

vecteur

_A,,,

Nous devons chercher

parmi

les matrices du sys-tème fA,n les ensembles de

_quatre

matrices

_ayant

la variance tensorielle de vecteurs.

Nous trouvons immédiatement

_quatre

de ces

matrices, :

Par

suite,

l’invariant le

_{plus général}

construit

avec le vecteur

_A,.

s’écrira

gl, g2, 93, 94

désignant

quatre

constantes.

Toutefois,

on

_peut

se demander si les

_quatre

matrices

vecteurs

₍₇₀₎

sont linéairement

_{indépendantes.}

Cette

indépendance

est réalisée en

_général;

toutefois,

nous allons montrer que la réduction du

système

des r> à l’une de ses

_{représentations}

d’ordre 5

(mésons

de

_spin

_zéro)

ou 10

(méson

de

_{spin fi)}

ramène les

_quatre

matrices-vecteurs à deux d’entre elles.

Pour

_cela,

il sufit de se

_reporter

à la discussion de la réductibilité des

_systèmes

de _{matrices Ir, que}

nous avons étudiée en détail dans d’autres

publi-cations et notamment dans un article de la Revue

Scientifique (1 945,

83,

p.

67-74).

Nous avons montré que ces

_{représentations}

sont

caractérisées par les valeurs

prises

par deux

commu-tateurs.

qui,

dans la

_{représentation}

_{de rang}

5,

prennent

les valeurs

et dans la

_{représentation}

de _rang 10 les valeurs

A

_partir

de ces

_{commutateurs,}

on voit

immédia-tement _que, dans la

_{représentation}

de rang

5,

d’où

De

même,

dans le cas de la

représentation

de rang 10, on a

Dans l’une ou l’autre de ces

_{représentations,}

il nous

reste donc seulement deux matrices-vecteurs

indé-pendantes.

Le

_corpuscule

_{pourra donc être}

_couplé

avec deux

_potentiels

vecteurs

_Ay

et

_Brr

_(pouvant

d’ailleurs être

_identiques)

et l’interaction

vecto-rielle la

_{plus générale}

s’écrit

ou encore en variables

_d’espace

_temps

Nous avons

_posé

ici

Avec un

_champ

tensoriel

_{antisymétrique}

du second ordre

_{(tel qu’un champ électromagnétique}

ou un

champ

mésique vectoriel)

soit F _rlLV" nous _pouvons

associer trois matrices tenseurs

_{antisymétriques}

du second

ordre,

soient

Mais,

dans le cas de la

_{représentation}

de rang

5,

on montre _{facilement que l’on} a

tandis que, dans le cas de la

_{représentation}

de

rang 10, la seule relation de ce

_type

_que l’on obtient

s’écrit

Par suite dans le cas du méson de

_spin

zéro

(représentation

de _rang

₅₎

il

_n’y

a

_qu’un

seul

_couplage

possible

avec un

champ

tensoriel

antisymétrique

du

second

ordre,

soit

tandis que dans le cas du méson de

_spin

li

(repré-sentation de _rang

_Io),

il y a deux

_couplages

_possibles

de ce

_type,

soient

Avec un

_champ

invariant

(tel

_que l’invariant du

cinq

matrices invariantes

Mais dans la

_{représentation}

de rang 5 on a,

d’après

(73)

De même dans le cas de la

_{représentation}

de

rang o on a immédiatement

Dans chacune des deux

_{représentations}

il y aura

donc deux

_{couplages possibles}

avec un

_champ

invariant le terme

_général

de l’interaction de ce

type

s’écrivant

Dans le cas de l’interaction

pseudoinvariante

ou

pseudovectorielle,

on trouve une seule matrice

pseudoinvariante

rUJ.Vp0152],

o et deux

pseudo-vecteurs

équivalents

f[tJ.vp],

o,

rj, ,,,aj , "

n’existant que dans le cas de la

_{représentation}

_{de rang} 10.

Parmi les interactions

_remarquables

_auxquelles

peut

être soumis le

_corpuscule

considéré,

nous

devons

_également

examiner le cas du

_couplage

avec

un

_champ

tensoriel

symétrique

du second ordre

Le

_système

-des r’>B nous

_permet

de construire trois matrices-tenseurs covariantes à

_{T [1.. v,}

soient

Mais,

dans le cas de la

_{représentation}

_{de rang}

5,

on a immédiatement

et dans la

_{représentation}

_{de rang} I o

Par

suite,

dans la

_{représentation}

de _rang

5,

nous avons un seul

_couplage

avec un

_champ

ten-soriel

_symétrique

du second

_ordre,

soit

tandis _{que, dans le} cas de la

_{représentation}

de rang 10, nous _{pourrons avoir deux}

_couplages

de ce

type,

soient

5. Nous allons

_préciser

_quelques

_{conséquences}

de

l’introduction de ces divers

_types

d’interaction en

examinant

_plus

_{spécialement}

le cas du méson scalaire

_(ou

_{pseudoscalaire)}

_{correspondant}

à la

représentation

matricielle de rang 5.

Considérons les

_équations

_(25),

nous les écrivons sous forme

_{matricielle, posant}

_{90’ (pi, Y2, Y3,}

-+

Y4 ==

do,

tl, /1,

désignant

par ei. j la matrice dont

tous les éléments sont

nuls,

sauf celui

_placé

à

l’inter-section de la

_ligne

de

_{rang i}

et de la colonne de

rang j

égal

à .

La matrice-vecteur

densité-courant,

et la matrice invariante

définissent un

_système

de 25 matrices linéairement

indépendantes

comprenant :

io deux vecteurs

_d’espace

_temps

20 un tenseur

_{antisymétrique}

du second ordre

30 un tenseur

_symétrique

du second ordre

40

deux invariants

Par

_suite,

le

_corpuscule

considéré

_peut

être

_couplé

avec deux

_champs

vectoriels

_(Ao,

_{A), (Bo, B),}

un ,

champ

tensoriel

antisymétrique

du second ordre

un

_champ

tensoriel

_symétrique

du second ordre

T(op]

=

T(po:, T[plj

==

Tiq/>:, T oo T(pPh

deux inva-riants I et K.

L’équation

(1)

dans le

_champ

d’interactions le

plus

général

s’écrit

-+

L’Ilo,

él nous écrivons

_également

. Nous examinerons d’abord le cas où l’interaction

générale

introduite ci-dessus est

_uniquement

vecto-rielle.

Nous introduirons deux vecteurs

_(A,,

_A),

_(Bo,

_B)

qui peuvent

être

_identiques

et deux coefficients ou

«

_{charges »}

_g1 et _g2.

Toutefois,

nous devons

remar-quer

qu’alors

que la densité YI UO se conserve au

cours du

_temps,

il n’en est _{pas de même de la}

densité 92 V 0

-Nous considérons donc le

_{système (97)}

réduit à la forme

L’élimination des

_composantes

A est

_immédiate,

posant

on obtient

Introduisant les fonctions

et les matrices _{p,, P2, p3} ce

_système

s’écrit

générali-sant

_(22),

Si nous éliminons

_également

_t10’

nous obtenons

pour 5

l’équation

du second ordre

Si

_{(A o,}

_{A), (Bo, B)}

sont des

_potentiels

électro-magnétiques,

la

_{quadridivergence}

nulle des

poten-tiels réduit cette

_équation

à

Si,

en

_particulier,

_Aa

=

Bo

=: -

potentiel

coulom-bien,

A = o, B = _{o, nous}

pouvons facilement obtenir les niveaux

_d’énergie

W

_{correspondant}

à la solution

L’équation (103) qui

se réduit à

nous

_{donne, posant}

l’équation

radiale

à

_partir

de

_laquelle

nous obtenons facilement les niveaux

Nous allons maintenant examiner le cas où la seule interaction

_agissant

sur le

_corpuscule

est celle

due au

_champ

_{électromagnétique}

_E,

_H,

le

_corpuscule

étant caractérisé par un moment

_{électromagnétique}

propre

il.

Considérons d’abord le cas d’un

_champ

élec-trique

seul :

Nous tirons des

_équations

ci-dessus

d’où les

_équations

ce

_qui

s’écrit encore avec les fonctions d’ondes définies _par

_(91).

Si le

_champ

est

_{électromagnétique,}

div E = _o,

cette

_équation

se

_simplifie.

Remarquons

que, bien que ce

_système

soit

relati-vement

_simple,

l’élimination

_complète

de

_tto

pour obtenir une

_équation

en J donne des termes beau-coup

plus

compliqués.

Dans le cas où le

_champ

est

_uniquement

magné-tique

l’élimination de tl à

_partir

de

_{l’équation}

nous donne

immédiatement

Cette

_expression

_rapportée

dans

nous donnera avec

un

_système

_{en Ç qui,}

en

_général,

ne sera _pas hermi-tien.

Dans le cas

_particulier

où

le

_champ

_magnétique

est _constant,

_{l’expression}

ci-dessus de

(r - -C"*t)

se

simplifie

et nous écrivons

_{l’équation}

du second ordre

sous la forme

remarquable

Dans le cas

_général,

_posant

nous obtenons la forme

_{plus complexe}

6. Nous allons maintenant revenir sur l’intro-duction du second

_potentiel

vecteur dans le cas

général

et examiner dans ce cas l’élimination des

composantes

non évolutives.

L’équation (1) complétée

par un terme d’interac-tion en _{g2 traduisant l’action du second}

_potentiel

vecteur

_Bo,

B s’écrit maintenant

Par la

_,même

_{méthode que}

_{précédemment}

nous

décomposons

ce

_système

en

_quatre

_équations

en _{CPlh ?i2, CP2b Y21} et _{l’élimination de ?12, 021} nous

Introduisant les fonctions

_{’flJll, /J/2;k}

telles _que

ce

_système

s’écrit

et

_généralise

au cas du

_potentiel

extérieur

_Bo,

B

l’équation

(15).

Pour

_simplifier

cette

_expression,

nous introduirons

l’impulsion généralisée

On voit

_apparaître

sur cette

_{équation analogue}

à

₍₁₆₎

une action directe sur le

_spin

du

_champ

magnétique

H = rot B.

Dans le cas

_particulier

de la

_{représentation}

de

spin

zéro cette

_équation

nous redonne

l’expres-sion

₍₉₂₎

au

_signe

arbitraire

_près

_{de g2,}

Le choix ci-dessus de

_{l’opérateur}

II

_peut

être

justifié

par les considérations suivantes :

Dans le cas de

_{l’équation}

_(1),

à

_{l’opérateur}

_p

correspond

la densité

Lorsqu’un champ

B

_agit

sur la

particule,

nous

pouvons écrire

de sorte

_qu’à

_{l’opérateur}

correspond

maintenant

_{l’opérateur}

qui

nous donne immédiatement la densité

Les

_problèmes

_que nous venons d’examiner nous

montrent la

_complexité

des

_équations

des mésons dès que l’on veut tenir

_compte

de l’action de

champs

extérieurs. Le formalisme

_développé

_{ici bien que}

plus simple

que les

descriptions

usuelles ne

_fait,

sur bien des

_points,

_{que mieux}

_apparaître

les

nom-breuses difficultés que rencontre l’étude

_théorique

de

ces

_corpuscules.

Je remercie M. le Professeur Louis de

_Broglie

pour la bienveillante attention

qu’il

a accordée à ce

travail.