HAL Id: jpa-00234783
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234783
Submitted on 1 Jan 1953
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Sur une nouvelle théorie des corpuscules de spin
quelconque et son application au calcul des sections
efficaces de diffusion coulombienne
Gérard Petiau
To cite this version:
Mais il est
possible
que ces chiffres ne soient encore mesure que latempérature
s’élève,
la limitesupé-que des
approximations,
surtout pour lespetits
rieure étant environ5o atm
à - 100° etplus
volumes,
car nous ne savons pas si la loi d’iso- de T 5o atm à oo. Mais il nepeut
pas s’étendreindé-condensation,
surlaquelle
tout le calcul repose, est finimentpuisque
nos calculssupposent
le covolumeencore valable à haute
température
pour des pres-constant,
cequi
n’estplus
vraipour
lespressions
sions très fortes. Tout ce que nous pouvons dire est très élevées. Toutes lesthéories
rencontrent la même que son domaine de validité s’étendbeaucoup
à difflculté., Manuscrit reçu le 2 4 avril 1953.
BIBLIOGRAPHIE.
[1]
J. Chim. Phys., I952, 49, 523; I953, 50, II3. [2] J., Physique Rad., I950, 11, 235.SUR UNE NOUVELLE
THÉORIE
DES CORPUSCULES DE SPINQUELCONQUE
ET SON APPLICATION AU CALCUL DES SECTIONS EFFICACES DE DIFFUSION COULOMBIENNE Par GÉRARD PETIAU,
Institut Henri Poincaré.
Sommaire. 2014 Nous nous proposons dans la première partie de ce travail l’examen de quelques
caractères fondamentaux du formalisme d’une théorie générale des corpuscules de spin
multiple de 0127/2,
dans laquelle un système d’équations d’ondes irréductible représente un corpuscule possédant le spintotal
n 0127/2
et une seule valeur de la masse propre mo tout en échappant aux objections élevées contre les théories analogues proposées antérieurement.Dans la seconde partie, nous établissons les formules générales donnant l’expression de la section efficace de diffusion coulombienne électromagnétique résultant du choc de deux corpuscules élémen-taires discernables de spins n 0127/2 et m
0127/2.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
14,
OCTOBRE1953,
PAGE 501.1. Caractères
généraux
d’une nouvelle théorie descorpuscules
despin quelconque.
- Plusieursauteurs
[1], [2], [3]
ontdéjà proposé
dereprésenter
lescorpuscules
élémentairespossédant
lespin
total maximumn 2
et la masse propre minimum mo par lesystème d’équations
d’ondesdans
lequel
Les
(yIJ.) irlr
sont lesgénérateurs
de nsystèmes
de matrices deDirac,
que nous supposons écrits dansla même
représentation.
Nous avons doncLes
i, ... 1.
forment un tableau de4n
fonctions d’ondes.A
l’équation (1)
écrite en variables d’univers xIJ.(x,
=icf,
x) correspond
uneéquation
écriteen
variables
d’espace-temps
ct,
x et en matricesa,
[rl4
=Ï4’ OCO = If
rlp -- -
lY4Yp (p
1, 2,3)],
soitdans
laquelle
on aSur les
équations (1)
ou(4),
onpeut voir,
d’unepart
que lecorpuscule
représenté possède
une série d’états de masse propre déterminée àpartir
de mo et que, d’autrepart,
lespin
totalpossède également
une série de valeurs propres bien déterminée. Il enrésulte que les
équations
(1)
ou(4)
et les fonctions d’ondesi, ... i.
correspondantes
constituent unsystèmes
doublement réductible.Nous nous proposons ici de montrer
qu’il
existeet de déterminer un
projecteur
que nous écrironstel que les fonctions
solutions de
(1)
ou de(4)
constituent
uniquement
la solution dusystème
irréductible extrait de(1)
.ou de
(4) correspondant
à la masse propre mo etn fi
au
spin
totaln ;- .
Posant
’
l’équation
d’ondesreprésentera
au moyen de ses solutionsci ",
in uncorpuscule
possédant
un seul état de masse propreet un seul état de
spin
total.A
partir
del’équation
(4),
on met facilement enévidence l’existence des différents états de masse
propre en se
plaçant
dans lesystème
propre.L’équation (4)
qui
se réduit dans cesystème
àdonne immédiatement
l’équation
du second ordreSi,
suivant la méthode deDirac,
nousrepré-sentons les matrices ce, par la combinaison de deux
systèmes
de matrices du second rang(aa),,,i, (P,4)k,,,
avec .
’
nous avons avec les
représentations
habituelles
Nous en déduisons
l’expression
de(A o)2
Si nous considérons un
système
de solutions’fùkt, .’., jnkn,
nous pouvons dans celui-cirépartir
les fonctions d’ondes en
n + i
classes suivant lenombre des indices
k1, ...,
kn
prenant
la valeur iou la valeur 2.
Écrivant
y;IP
pour le cas où pindices k ont la valeur i, les n - p autres
ayant
la valeur 2, on a immédiatement : ,L’état décrit par le
système
(P)
correspond
donc dans lesystème
propre à uncorpuscule
possédant
la masse propre
Par
suite,
l’équation
d’ondesgénérale
décrit suivant que n estpair
ouimpair
uncorpuscule
possédant 2
2ou
n 2 j états
de masse propre(pour
npair,
le2
Bcas 2 p = n conduit à
f()
=0).
Considérons
l’état
de masse propre minimum mopour
lequel
p = o.Pour cet
état,
nous avonsOn voit facilement que
cette
condition nepeut
être réalisée que si lafonction ’fj1kt, ..’./nkn,
nonnulle,
est
complètement
symétrique
parrapport
aux nindices
k¡,
...,kn
un
spin
totalreprésenté
parl’opérateur j 1 S 12
oùOn a alors
En écrivant cet
opérateur
au moyen d’indicesvariant sur 1 et 2 et en utilisant la relation de Pauli
liant deux
systèmes
de matricesaA,
soiton obtient
z
Par
suite,
si l’on considèreparmi
l’ensemble des fonctionstfjl kt,...,jn kn,
la classetf(S)
des fonctionscomplètement
symétriques
enj1,
...,in,
on aurapour ces fonctions
ce
qui
montre que ces fonctions décrivent des étatspour
lesquels
lespin
total estn!!..
Nous voyons donc que l’état de masse propre
minimum.
mo est décrit dans lesystème
propre par les fonctionstJ;j1 k1) ". ,jn kn
totalementsymé-triques
enkl,
..., kn
et que l’état despin
totaln 11
2
est décrit par les fonctions totalement
symétriques
eni,,
... , j,t.
Nous réaliserons simultanément cesétats en considérant des fonctions
tJ;(i1 .., ln)
tota-lement
symétriques
parrapport
aux n indices de Diracil,
i2,
...,in.
On voit alors facilement que.la
séparation
ainsi effectuée est invariante parrapport
aux transformations de Lorentz.Nous proposons donc pour
équation
d’ondes ducorpuscule
élémentaire despin
totaln 1. h
et de massepropre ma, ,
l’équation
avec
les 039303BC étant définis en
(2).
Nous écrivons encore cette
équation
en introduisant
l’opérateur
deprojection
sur lesfonctions
symétriques
tel que
On
peut
voir facilement quel’opérateur
nn>
complètement
symétrique
parrapport
aux indicesil... in
et 11 ... 1,,
admet pour n = 2,3,
... letsreprésentations
suivantes définies par récurrenceD’une
façon générale
On montre
sans difficulté au moyen de cesexpres-sions
que
l’on aL’opérateur
n’i> a pour valeurs propres o et 1 etsa trace donne immédiatement le rang de la
repré-sentation irréductible de
spin
total maximum etde masse minimum extraite de
l’équation (1)
etreprésentée
par leséquations (23)
ou(24).
or
d’où
On voit ainsi que pour n = 1, 2,
3,
4,
..., les
rangs des
représentations
irréductiblesconsidérées
1sont
4,
10, 20,35, ....
]Les matrices rF ou AF introduites en
(2)
et(5)
sont des éléments d’unsystème
construit sur lesmatrices de Dirac dont le terme
général
s’écrit :
la somme étant étendue aux n ! 1
permutations
P
(al, .
-.. ,an)
desmatrices
yal, ... , Yan.’ .
On à notamment pour ces matrices les
construc-tions récurrentes
On démontre sans difficulté la commutation
A toute matrice
ra’;’" , an
dusystème
réductiblecorrespondra
une matrice dusystème
ducorpuscule
irréductible que nous écrivons
Pour faciliter les calculs de la seconde
partie,
nous établierons
quelques règles
del’algèbre
des matrices91"1
La trace d’une matrice
générale
P ... s’obtient
par la
règle
de récurrenceEn
particulier, parmi
les matricesras’, , , an,
nousOn obtient facilement pour les traces des
matrices
gln, ...
fl’J associées les relations de récurrenceOn établit
également
àpartir
des définitions larègle
decomposition
que nous utiliseronsplus
loin_
La relation de Pauli
et la relation
-entraînent des relations entre matrices
â’,’... n.
Celles-ci sont la
transposition
des relations bien connuesNous citerons seulement les identités
Dans la
représentation corpusculaire
utilisantl’équation (4),
la densité deprésence
estrepré-sentée par
l’opérateur Ao
dont les valeurs propres sont les nombresPar
exemple,
pour n = 3spin
total 3/2h),on
a ar exemp e, pour n ==3
spin total 2 fi
),
on aDans notre
théorie,
la densité deprésence
associée àl’opérateur Ao
est laquantité
avec _
Or la
symétrie
des entraîneet,
parsuite,
P
= (*I, ... - - - ... 1.)
(46)
quel
que soit r.Avec la
représentation
de OC4indiquée
précé-demment,
on aet,
parsuite,
prend
la même valeurquel
que soitir.
Ceciexige
que tousles 1;
possèdent
la mêmeparité.
p nefais
donc intervenir que
des ir
soit touspairs,
soittous
impairs.
On a alors
Nous voyons
apparaître
deux cas selon laparité
de n. ,
io n
impair (spin
demi-entier).
--Quelle
que soit laparité
desi,
est
une forme définiepositive.
On
peut
considérer que dans ce casl’opéra-teur
AoYJ(n) correspondant
à p nepossède
que lesvaleurs propres o
et +
i. La densité deprésence
esttoujours
définiepositive.
2° n
pair (spin
enfier)
L’opérateur
densité deprésence
possède
dans ce cas les valeurs propres o,+ i,
a - i. La densité deprésence
n’estplus
dans tous les cas définieposi-tive. ’
Si l’on cherche les solutions « ondes
planes
mono-chromatiques » représentant
uncorpuscule
libred’énergie,
impulsion
et masse propre réduites+
K,
K, F
(définie
par le vecteurK)
soiton voit facilement par une
généralisation
desrésultats de la théorie du
corpuscule
despin
t
2
que les
amplitudes Ùtl’.’ În}
etU(ll ...
,-j sereprésentent
par les
expressions
..X- et 1- sont des facteurs de normalisation. Ces
expressions
s’écrivent encoresymétriques
des indices ml, ... , mn. On a doncn + 1 constantes C+ et n + i constantes C-.
Pour déterminer k--l- et
À-,
nous devons évaluer la densité deprésence
pour chacun des états
§+
et§-.
On obtient immédiatement
Nous choisirons les constantes
Cp,t1,,, "t,z
de tellesorte que l’on ait
Alors suivant la
parité
de n, nous aurons des condi-tions de normalisation différentes.- 1° Si n est
impair.
- La conditionunique
sera réalisée si nous prenons
2° Si n est
pair.
- Nousaurons des conditions
.
de normalisation différentes pour les ondes
§+
et§-.
À+ et a- seront encore donnés par
(57)
avec lesdeux conditions
On
peut
voir facilement que cette normalisation est invariante dans une transformation de Lorentz. Eneffet,
si l’on considère la transformationt
- - t, x - x,
renversement de l’axe dutemps
correspondant
au passage d’une onde àénergie
positive
à une onde àénergie négative,
laconser-vation de la forme de
l’équation
des ondes conduit àeffectuer
sur cL
lasubstitution §’
=S,
avecCelle-ci donne : Pour n
impair
Il en résulte que l’invariance de la
normalisation
dans la transformation faisant passer des ondes à
énergie positive
aux ondes àénergie négative exige
l’introduction de deux normes de
signes
contraires pour ces ondes.Si l’on évalue avec les
expressions
ci-dessusl’intégrale
on obtient la relation
que nous utiliserons
plus
loin.2. Calcul de la section efficace de diffusion
électromagnétique
dans le choc de deuxcor-puscules
despin
quelconque.
- Nous allonsmaintenant évaluer dans le cadre de la théorie
précédente
la section efficace de diffusionélectro-magnétique
coulombiennecorrespondant
au chocde deux
corpuscules
A et Bdiscernables,
de massespropres mA, mB, de
charges
ea, eB, despin
totalSA=
n h:’
SA
=m-,
supposés
libres etreprésentés
2 2
par des ondes
planes
àénergies positives
dans l’état initial et dans l’état final.Nous admettons donc que, dans l’état
initial,
lescorpuscules (A)
et(B)
dans les états(Ao), (Bo)
caractérisés par les
énergies,
impulsions
et massespropres réduites
sont
représentés
par les ondesplanes
àénergie
positive
normées dans le volume unitéDans le
choc,
cescorpuscules
échangent
laquan-tité de mouvement
par l’intermédiaire d’un
corpuscule
dechamp
vectoriel despin f (k,
k,
[J.o, k2
= k2+
F§),
P-o-+olorsque
cecorpuscule
est unphoton,
ce que noussupposons ici.
Dans l’état
final,
(A)
et(B)
se trouvent dans lesétats
(Ai), ( KA1 KÀI’
[J.A)
et(B1),
(KBi’
KB1, P-B)
représentés
par les ondesplanes
àénergies
positives
507
La conservation de
l’énergie
et de laquantité
de mouvement dans le processus
global
nous donneles relations :
AB
+KB. = KAt
+KBo
KAo
-i- KBo = KA, -h KBi.(63)
Suivant des notations que nous avons
déjà
utilisées dansplusieurs
Mémoiresantérieurs,
nousécrirons
iciLes relations de conservation
(63),
nous donnent alors :Un calcul
général
que. nous avons donnéailleurs
[4]
valable pour toutes les
équations
d’ondes linéaires conduisant à uneéquation
de conservation pour un vecteur-courant par l’intermédiaireduquel
a lieu l’interactionélectromagnétique
conduit à l’élément de ’matrice de diffusiongénéralisant
la formule deMiller
qui
s’écrit ici :, La section efficace de diffusion du
corpuscule (A)
dans
l’angle
solidedQKA1
autour de la directionK,,
tandis que(B)
recule dans la directionKB1,
a pourexpression
H’
(1)2 représente
le carré de l’élément de matriceH’ (1) sur
lequel
on a effectué une sommation sur tous les états de mouvement et une moyenne surles états de
spin
de l’état initial.Nous avons vu que pour
chaque
état de mouve-ment d’uncorpuscule
despin
n ? il y a n +
i ondesplanes
àénergie
positive indépendantes.
Nous écrirons donc :
On passe des fonctions u+
correspondant
aux
ondes à
énergie positive
à uneamplitude
ugénérale
par une
généralisation
immédiate de la méthode deCasimir en considérant
l’amplitude
àénergie
posi-tive résultant d’une
projection
convenable.On pose ici
On voit alors que
Introduisant ces
projecteurs
pour les étatsAo,
Bo,
Ai, B,,
on obtient alorsPour effectuer la sommation sur les états u.4,,, uA,, et nous ramener
’à
un calcul de traces, nous nepouvons pas utiliser la relation usuelle du
produit
des matricescar dans la théorie considérée
ici,
la normali-sation n’est pas effectuée parL* cL
dT,
maisToutefois nous avons établi par la relation
(62)
une relation entre ces normes, cequi
fait que nousdevons ici
remplacer (74)
parL’expression
(S9)
s’écrit maintenant :en
posant
Nous sommes donc ramenés à un calcul de traces.
L’on passe de
l’expression (78)
deS1?X
écriteen matrices (XtJ. à
l’expression correspondante
écrite
en matrices
yF
en introduisant le facteur(-
i)-i,
On a alors avec maintenant
Nous introduirons les notations
abrégées
En utilisant la relation
(41)
donnantl’expression
du
produit
de deux matricesg(n),
nous obtenons :L’évaluation
de ces traces s’effectue parrécur-rence au moyen des formules
(38),
(39),
(40).
On obtient ainsi sans difficultéNous obtenons alors
après
réductionCette
expression
n’est valable que pour n icorpuscule
despin
n r
·Pour les
spins
oet h
(n
=1),
on a lesexpres-2
sions
En introduisant ces
.expressions
dans(84),
celle-ci s’écrit :Cette relation montre que
l’analyse
de la diffusionentre
corpuscules
despin
n et m se ramènera à unecombinaison avec des
poids
convenables
de diffusions entrecorpuscules
despin
o etil- .
Écrivant
on obtient
l’expression
nous obtenons les
expressions
générales
suivantes :-Si nous introduisons les valeurs
de
1 Htl) (n)(m) [2
correspondant
à n, m =o, i soient en
posant
Nous pouvons écrire
(90)
sous la forme :Si nous
reportons
cetteexpression
dans la for-mulegénérale
de la sectionefficace
da(n) (m)
d’uncorpuscule (A)
P)
despin
Pn h
par uncorpuscule (B)
2 P P
de
spin
m],
nous voyons que celle-cis’exprime
2
simplement
au moyen dedo’,o)(o, doejoj ji j, d’1’(1) (0)
etdoe,,1,,>.
On obtient, ainsi :
Ces diverses relations résolvent
complètement
leproblème
que nous nous sommesproposé
d’étudier en donnantl’expression
de la section efficace de diffusion coulombienne dans le choc de deux cor-puscules
despin
n -
etmh/2.
Toutefois,
ellesreposent
2 2sur
l’hypothèse
que l’interaction avec lechamp
électromagnétique
s’exerce suer le vecteur densité-’courant
r,nl
et non pas sur l’un des autresqüadrivecteurs
conservatifs que la théoriepermet
de construire. On .voit facilement que ceux-ci se
ramèneraient à des formes que l’on écrit
Les sections efficaces de diffusion
correspondantes
s’évalueraient sans difficulté par une’ extension
immédiate de la méthode que nous avons utilisée ci-dessus.
Manuscrit reçu le 5 janvier 1953.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] KRAMERS H. A., BELINFANTE F. J. et LUBANSKI J. K.
-Physica, I94I, 8, 597. [2] LUBANSKI J. K. -
Physica, I942, 9, 3I0 et 325.
[3] PETIAU G. - J.
Physique Rad., I946, 7, I24.
[4] PETIAU G. - J.
