Symétrie des opérateurs de l'interaction coulombienne pour les configurations (d + s)n

HAL Id: jpa-00206522

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Submitted on 1 Jan 1967

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Symétrie des opérateurs de l’interaction coulombienne pour les configurations (d + s)n

S. Feneuille

To cite this version:

S. Feneuille. Symétrie des opérateurs de l’interaction coulombienne pour les configurations (d +

s)n. Journal de Physique, 1967, 28 (3-4), pp.315-327. �10.1051/jphys:01967002803-4031500�. �jpa-

00206522�

SYMÉTRIE

DES

OPÉRATEURS

DE

L’INTERACTION COULOMBIENNE

POUR LES

CONFIGURATIONS (d + s)N

Par S.

FENEUILLE,

Laboratoire Aimé-Cotton, C.N.R.S., Bellevue, Hauts-de-Seine, ^et Faculté des Sciences, ^Paris.

Résumé. 2014 L’interaction coulombienne à l’intérieur des

configurations (d

⁺

s)N

^{a été}

représentée

^au moyen de

sept opérateurs ei possédant

^des

propriétés

de transformation

simples

dans les

opérations

des groupes

R5

^et

R6.

Les coefficients ^de Clebsch-Gordan nécessaires à leur construction ont été calculés par ^une méthode utilisant essentiellement les

propriétés

^des

opéra-

teurs de Casimir des groupes considérés. Les

propriétés

^des

opérateurs ei

^ont été examinées

également

^{dans la}

symétrie symplectique (Sp12)

^et

l’espace

^de

quasi-spin.

^Par

application

^du

théorème de

Wigner-Eckart,

l’ensemble de ces résultats ont

permis d’exprimer

^de

façon simple

la

dépendance

^{sur N} des éléments de matrice de ces

opérateurs

^et de nombreuses factorisations ont conduit à

exprimer

^{tous ces} éléments de matrice à

partir

d’un nombre restreint de coefficients

qui

^ont été tabulés.

Abstract. ²⁰¹⁴ The Coulomb interaction within the

configurations (d +s)N

^{can be}

replaced by

^seven

operators ei,

with well-defined transformation

properties

^{under the}

operations

^of

the groups

R5

^and

R6.

The Clebsch-Gordan coefficients involved in the construction of these

are calculated

by

^a

projection

^method

using essentially

^the

properties

of Casimir’s

operators.

The

properties

^{of the}

operators ei

^with

respect

^to

symplectic

symmetry

(Sp12)

^and

quasi-spin

are examined and

by using

^the

Wigner-Eckart

^{theorem, we can solve the}

problem

^{of the}

N-dependence

^of their matrix elements. Numerous factorizations allow us to calculate these matrix elements from a small number of coefficients, ^{which are tabulated.}

1. Introduction. ^- Nous avons montre dans un

article ant6rieur

[1]

que 1’ensemble des concepts introduits _par l’interm6diaire de la theorie des _groupes de

Lie,

^dans 1’etude des

configurations

d’electrons

equivalents IN, peuvent

^etre

generalises

^aux

configu-

rations

m6lang6es (l

-{-

l’)N.

^{11 est}

possible,

^en

parti- culier,

de classer les diff6rents 6tats

(S, L)

^{de ces}

configurations

^a l’aide des

representations

irr6ductibles des _groupes

R2(l +

^{l’ +}

1)

^et

R21

+1 X

R21’+

1. L’ étude du groupe

symplectique

^en

4(/ + 1’ + 1)

^dimensions

nous a

permis

d’introduire le

concept

^de

seniorite,

^et

la definition d’un

op6rateur quasi-spin generalise

^nous

a conduits a

appliquer

^{une seconde}

quantification.

Nous nous proposons, dans le

present article, d’ap- pliquer

1’ensemble de ces résultats au cas

particulier

des

configurations (d

+

s)N,

^et d’etudier les

propri6t6s

de

sym6trie,

dans les differents _groupes

consid6r6s,

des

op6rateurs

de l’interaction coulombienne a l’int6- rieur de ces

configurations.

Cette etude nous a tout

d’abord conduits a 6tablir une

correspondance

^entre

les

op6rateurs w(xk)(la, lb) d6jh

^d6finis dans la r6f6-

rence

[1],

^{et les 6tats}

(S, L)

^{de la}

configuration (d

+

s)2.

Nous avons ensuite calcule les coefficients de Clebsch-

Gordan,

n6cessaires a la construction des

op6rateurs possedant

^des

propri6t6s

^de

sym6trie

^bien

definies;

^ce

calcul ^a ete

largement

facilite par

1’emploi

^des

ope-

rateurs de Casimir des _groupes de rotation

R6

^et

R..

Afin de

permettre

^une

comparaison precise

^{entre les}

résultats d6sormais

classiques

^{de Racah}

[2, 3]

^et

notre propre

calcul,

nous avons

exprime

^{les 6tats}

(S, L)

^des

configurations (d

+

s)N,

^{classes a 1’aide de}

la theorie des _groupes, comme combinaisons li- n6aires des

fonctions I dN vSL dN-1 v’ S’ L,

s,

SL )

et

I

^dN-2S2VSL

>.

Enfin,

les nombreuses relations que nous avons

obtenues ^entre les divers elements de matrice des

op6rateurs

^de l’interaction coulombienne ^nous ont

permis d’exprimer

1’ensemble de ceux-ci a

partir

^d’un

nombre restreint de

coefficients,

^et par Ih de d6montrer l’intérêt _que

peuvent presenter

^les résultats obtenus

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002803-4031500

dans la reference

[1].

^{LA était notre}

^but,

^{et c’est}

pourquoi

nous avons choisi ce

problème simple

^et

bien connu comme

pr6liminaire

^{a d’autres}

applica-

tions d’un intérêt actuel

plus important,

mais aussi d’une

complexite plus grande.

2.

Opdrateurs.

^- L’interaction coulombienne

3fi

entre les differents 6tats des

configurations (d ⁺ s)N

peut

^{etre 6crite a} 1’aide des

op6rateurs w(xk)(la’ lb)

définis dans la reference

[1].

^Plus

précisément £1 prend

la forme suivante :

ou la somme est faite sur les

electrons,

^et ou les para- metres

Fk, Gk

^et

Hk

^{sont ceux} d6finis par Racah

[2, 3],

a

partir

^des

int6grales

^{de Slater}

correspondantes.

^Il

est donc

n6cessaire,

^avant d’etudier les

propri6t6s

^de

transformation de

.0,

^{dans les}

operations

^des groupes

SP12, Rs et R5,

de determiner celles des

op6rateurs

^de

base, qui

^{sont tous} de la forme

Les

op6rateurs

infinitesimaux des groupes

R2l + l’

R2l’ + l’ R2(1+1’+,) et SP4(l +l’ + 1),

sont tous de la forme

et il est ais6 de montrer que :

Si maintenant

nous

definissons les fonctions d’onde

ou IlalbSMsLML>

^{est un 6tat}

antisymmétrisé

^de

la

configuration (I + l’)2,

^{il est facile de montrer}

que :

TABLEAU I

La

comparaison

^{de ces deux}

equations

^montre

immediatement l’identit6 des coefficients

respectifs

^de

gurations (d ⁺ s)N,

il suffit donc de classer les 6tats de

(d ⁺ S)2

^{et de les}

exprimer

^comme combinaisons lin6aires des 6tats des

configurations d2, ds

^{et s2} pour atteindre les

propri6t6s

de transformation des

op6ra-

teurs

w+ (x k) (la, lb).

Les résultats ont 6t6

portes

^dans

le tableau

I, qui

^nous

indique

que 1’ensemble des

op6rateurs

de base de

3fi

^se transforment comme

[(200) + (000)] de Rs et [(110000) ⁺ (000000)]

^de

SP12,

^Les

produits

^scalaires

(wtOk>(la, lb) . wt(ok) (Ic, Id))

se transforment naturellement comme la

représenta-

tion 1S de

SU2

^X

R3,

mais ils n’ont pas de

propriétés

de transformation

simples

^{dans les}

operations

^des

groupes

R6, R5

^et

spl2.

^Le

premier problème

^{est donc}

de trouver

des

combinaisons lin6aires de ces

ope-

rateurs

qui

^se transforment comme une

repr6senta-

tion 11/ donnee de

R6

^{et une}

représentation

^{Y’ don-}

n6e de

R,,,

Le ^cas de la

symétrie symplectique

^{sera étudié}

plus

^{loin. Les}

representations

^{11/ et}

^Y’ qui

^inter-

viennent effectivement dans cette classification sont

celles

qui, parfaitement sym6triques, apparaissent

dans la reduction des divers

produits

de Kronecker

[(000) (00) + (200) (00), (10), (20)]2,

^et contiennent

une

représentation S

dans la reduction a

R3

du groupe

consid6r6, c’est-a-dire, 2(000) (00), 2(200) (00),

etre mis sous la forme suivante :

ou les

op6rateurs

^a deux electrons eo, e1, e2, e., e4, e5

et e6

se transforment

respectivement

^comme

(000) (00), (000) (00), (200) (00), (200) (00), (220) (22), (400) (00)

et

(400) (30),

^{et ou}

Eo, El, E2, E3, E4, E5

^et

E6

^sont

des

param6tres,

combinaisons linéaires des

int6grales Fk, Gk

^et

Hk

introduites

précédemment.

Le calcul des formes

explicites

^des

opérateurs 8

necessite celui des coefficients de Clebsch-Gordan :

Il est

possible

^de factoriser ces coefficients de la

façon

^suivante

[4] :

et les conditions d’orthonormalisation conduisent aux

relations :

Ces differents coefficients ont ete calcul6s par ^une m6thode

analogue

^{a celle} utilis6e par Nutter ^et Niel-

son

[5]

pour les coeflicients de

parent6

fractionnelle.

Cette m6thode utilise essentiellement les

propriétés

des

op6rateurs

de Casimir

[6]

des groupes consid6r6s :

Les valeurs propres

respectives

^{de ces}

op6rateurs,

pour des

representations

irr6ductibles if/’ de

R6

^et

Yl’ de

R5, s’expriment

^tres

simplement

^en fonction du

poids

^maximum

(’11 ’12 ’13)

^et

(001 (02)

^{de ces}

repre-

sentations

[7] :

En

posant,

nous avons obtenu finalement :

et

et en

consequence :

et

3.

Symétrie symplectique

^et

quasi-spin.

^{- Les}

op6rateurs

^{de base a}

partir desquels

nous avons

construit les

opérateurs e

^ne forment pas ^une

repr6sen-

tation

complete

du groupe

SP12 et, a priori,

^les

op6ra-

teurs e ne

possèdent

^{pas de}

propri6t6s

de transformation

simple

^{dans la}

sym6trie symplectique. Cependant,

^si

nous avions

adjoint

^aux

op6rateurs

^{de base}

precedents

w(li)

(d, d), W(13)(d, d)

^et

W(12) (d, s)

^-

W(12) (s, d),

^nous

aurions pu construire des

op6rateurs,

combinaisons lin6aires de

produits

^{scalaires des}

précédents,

^{se trans-}

formant comme une

representation

donnée OJ! de

SP12,

if/’ de

Rs

^{et 1/ de}

R5.

^Les

representations

intervenant r6ellement dans ce calcul sont celles

qui apparaissent

dans la

decomposition

des divers

produits

^{de Kro-}

necker

[(000000)

+

(110000)]2

^et contiennent ^une

representation

^1S dans la reduction a

SU2

^X

R3.

Nous les avons

port6es

dans le tableau II. Or il

apparait

que la

representation 1 (400)

^de

SU2

^X

R6

^se

trouve

uniquement

^{dans la}

decomposition

^{de la}

repre-

sentation

(220000)

^de

SPI2;

^{nous pouvons} donc affir-

mer que les

opérateurs e5 et e6

^se transforment comme cette

representation.

^D’autre

part, l’operateur e2

^est

le seul

qui, parfaitement sym6trique, corresponde

^au

produit

de Kronecker

(000000)

^X

(110000),

^{il se}

transforme donc comme

(110000).

^{11 est}

possible,

^de

la meme

manière,

^{de montrer} que

1’operateur eo

^se

transforme comme

(000000); l’op6rateur el

^ne

poss6de

pas de

propri6t6s

de transformation

simples

^{dans la}

sym6trie symplectique,

^{mais nous verrons} que ceci ^ne constitue pas ^une difficult6 dans le calcul de ses

elements de matrice. Les

op6rateurs

e3

et e4

^{ne se} transforment pas ^comme des

representations

^{bien defi-}

nies de

spl2,

^{mais il est}

possible

^{de montrer} que les

op6rateurs

e3 +

Qi (Ql = 4G(Rs)

^-

9/2G(R5))

^et

TABLEAU II

e4 +

Q2 (Q2

^{= -}

9G(R5)

⁺

L2), qui

dans les groupes

Rs

^et

R5

^ont les memes

propri6t6s

de transformation que e3 ^et e4, ^se transforment

respectivement

^comme

(110000)

^et

(111100).

D’apr6s

^ce

qui

^{a ete vu dans le}

paragraphe pr6- c6dent,

les elements de matrice de

Ql

^et

Q2, qui

^se

transforment tous deux comme

(220000),

peuvent etre calcul6s tres facilement et, par

conséquent, l’étude

des

op6rateurs

e3 +

Ql et e4 + Q2, qui

permet ^d’uti- liser les

propri6t6s

^{de la}

sym6trie symplectique,

conduira sans difficult6 aux résultats cherch6s _{pour e3}

et e4.

Il a ete montre dans la reference

[1]

que tous les 6tats

de(toutes

^les

configurations (d

-)-

s)N forment,

pour

N pair,

^la

representation

irr6ductible

(1/2, 1/2,

^...,

1/2, 1/2)

et, pour N

impair,

^la

repre-

sentation

(1/2, 112,

^...,

1/2, - 1/2)

^de

R24. Judd [8]

a montre en outre que

Pour obtenir la relation entre le

quasi-spin

^{et la}

sym6trie symplectique,

il suffira donc d’étudier la

decomposition

^des

representations apparaissant

^dans

la

partie

^{droite de}

1’6quation ci-dessus,

dans la r6duc- tion

SU2

^X

spl2.

^{En outre,}

puisque

^{nous nous int6-}

ressons a des

operateurs

^{a deux}

electrons,

^nous pour-

rons nous limiter aux

representations (11

^{... 10 ...}

0)

de

R24

pour

lesquelles

le nombre de

symboles

^{1 est}

inferieur ou

6gal

^{a 4}

[8].

^{Les résultats ont ete}

portes

dans le tableau III. 11

apparait qu’h

^une

representation

donnée OJ! de

Spl2

^ne

correspond

pas ^en

general

^une

valeur d6termin6e du

quasi-spin; cependant,

^{a la}

representation (111100)

^{est associ6e une valeur}

unique

de

quasi-spin 6gale

^a

2,

^nous pouvons donc afbrmer

que

l’opérateur e4

+

Q2 poss6de

^un rang 2 relative-

ment au

quasi-spin.

^Les

opérateurs es et e6

sont,

quant

^{a eux,}

parfaitement

^{scalaires dans cet} espace

puisque

^{a la}

representation (220000) correspond

^une

valeur nulle du

quasi-spin.

^Nous montrerons

plus

^loin

toute

l’importance

^{de ces résultats.}

TABLEAU III

4.

Éléments

de matrice. ^-

L’application

des pro-

pri6t6s

de transformation des

op6rateurs,

^{dans les}

differents groupes

consid6r6s,

^au calcul de leurs élé-

ments de matrice reside essentiellement dans

1’emploi

du th6or6me de

Wigner-Eckart.

L’utilisation de ce

dernier necessite la connaissance des coefficients

c(Wl W2 W),

^{nombre de fois}

qu’apparait

^la

repre-

sentation irr6ductible W d’un groupe donne dans le

produit

^direct

W,

^X

W2

^{de deux}

representations

irr6ductibles

Wl

^et

W2

^{du meme} groupe. Nous avons

calcule ces coefficients

(tableaux IV, V, VI, VII, VIII)

par diverses m6thodes

propos6es

par

Weyl [10].

^{Afin de}

pouvoir

comparer ^nos résultats a ceux obtenus a 1’aide des m6thodes

classiques,

^{et de}

pr6ciser

^la

phase

^{des élé-}

ments de matrice non

diagonaux,

nous avons

exprime

nos

états (d

-)-

s)N v, if/, 1/, SL)

^{comme combinai-}

sons linéaires des

6tats dN vSL), I dN-l v’ SL’,

s,

SL) et I dN-2S2VSL) (tableaux IX, X, XI, XII).

TABLEAU IV TABLEAU V

TABLEAU XII

a) OPÉRATEURS eo

^ET

el(OOO) (00).

^{- 11 est}

clair _que les differents coefficients

c(’II’Yl-’(00)), c(1r1r’ (000))

^et

c(qvqv’ (000000))

^sont

respecti-

vement

égaux

^a

&(V, V’), &(7Xg iI/’)

^et

ö(OJI, &’).

Il en r6sulte que les matrices

de eo ^{et e1}

^sont

parfai-

tement

diagonales,

^et que leurs elements

diagonaux

sont

independants

^de

L,

^{de © et de if’: En} outre,

ceux

de eo

^sont nécessairement

independants

^{de S et}

de v. Plus

pr6cis6ment,

^{il est}

possible

^{de montrer} que

Ce dernier r6sultat a 6t6 obtenu a 1’aide d’une m6thode utilisant essentiellement les

propri6t6s

^de

l’op6rateur

de Casimir _pour le groupe

SU6 :

b) OPÉRATEURS e2

^ET

e3(200) (00).

^{- Ces}

op6ra-

teurs 6tant

parfaitement

scalaires dans un espace à

cinq dimensions,

leurs matrices sont

diagonales

^rela-

tivement a

ny,

^et leurs elements sont

independants

de L. Le tableau VI nous

indique,

^par

application

du th6or6me de

Wigner-Eckart,

que la

dependance

en ny des elements

diagonaux

^est

identique

^{a celle}

des elements de matrice de

Ql,

^{si Fen}

^excepte

^tou-

tefois’’le :cas

^{1Y =-}

^(210).

Suivant les résultats obte-

nus dans le

§ 2,

^{ces derniers}

prennent

^{la forme} suivante :

L’operateur e2

^se transforme ^comme

(110000)

de

SP12;

les coefficients

c(vlv2(110000))

^{6tant au}

^plus égaux

^a

1,

^et vérifiant la

r6gle

de selection Av ⁼

0 :I: 2,

nous avons pu r6aliser les factorisations suivantes :

Le calcul montre que les coefficients

oc(NSa)

^et

p(NSV)

^sont

indépendants

^{de S et}

prennent

^{la forme}

suivante :

Tous les elements de matrice

de e2 peuvent

^{donc etre} obtenus a

partir

^des

seuls ( (d + s) v

^vF

I e2 (d + s) v v’Y’ ) et ( (d

⁺

s)v vT I e21 (d + s)v v - 2T’ >,

que nous avons tabul6s dans le tableau XIII. Les

propri6t6s

^de

I’ opé-

rateur e3

+ 01

^{dans la}

sym6trie symplectique

^nous

ont

permis

^{de montrer} la relation suivante :

Tous les elements de matrice de _e3

peuvent

^donc

etre obtenus a

partir

^{de ceux}

de el

^{et de}

Ql,

^{si l’on}

connait les coefficients

b(N, S, v, v’) ;

^{ceux-ci ont 6t6}

portes

dans le tableau

XIV,

pour des valeurs de N inferieures ou

6gales A

^6.

C)

^OPERATEUR

e4(220) (22).

^{- Nous avons montre}

dans le

paragraphe precedent qu’il

était int6ressant d’6tudier non pas e4l

mais e4

⁺

°2’ puisque

^{ce dernier}

op6rateur poss6de

^des

propri6t6s

bien définies relati-

vement a la

sym6trie symplectique

^{et au}

quasi-spin.

^Les

résultats obtenus dans

le §

4 de la reference

[1]

^per-

mettent de trouver imm6diatement la

dependance

^{sur N}

des elements de matrice de

l’opérateur e4

⁺

Q2, qui

suit d’ailleurs la

r6gle

de selection Av ⁼

0, ::t: 2, ::t:

^4.

Plus

precisement,

^{les formules}

explicites

des sym- boles

3 - j

donn6es par Edmonds

[11]

^conduisent

aux relations suivantes :

TABLEAU XIII

i

TABLEAU XIII

(suite)

TABLEAU XIV

Le tableau IV montre, par

application

^{du th6or6me}

de

Wigner-Eckart,

que si l’on

excepte

^{le cas Y,’ -=}

(22)

la

dependance

^{sur L} des elements

diagonaux

^est

identique

^{a celle des elements} de matrice de

Q2’

Ceux-ci, d’apres

^les résultats obtenus dans

le § 2,

sont égaux à :

^- _{* o 0o}

TABLEAU XV

(suite)

TABLEAU XVI

Le calcul montre, dans ^tous les _cas, que l’on

peut

r6aliser la factorisation suivante :

Nous avons

port6

^{dans les} tableaux XV ^et XVI les coefficients O.!f et

(I cp(L) ^[) qui

^ne

peuvent

pas etre obtenus a 1’aide des relations

pr6c6dentes.

sont en outre au

plus égaux

^{a 1}

(tableau VIII)

comme d’ailleurs les coefficients

c(rr’(30)) (ta-

bleau

V).

11 s’ensuit

immédiatement,

^d’une

part,

que la matrice

de e.

^est

diagonale

^et que ^ses elements

sont

independants

^de

L,

^d’autre

part, qu’il

^est

possible

de r6aliser les factorisations suivantes

[4] :

Nous avons vu

pr6c6demment

que les

operateurs e5 et es

^sont

parfaitement

scalaires relativement au

quasi-spin

^{et en}

consequence

^les

coefficients P

^et y sont

independants

^de

N ;

^on

peut

^{montrer en outre}

qu’ils

^ne

peuvent prendre

que deux valeurs

oppos6es

suivant que 2S + ¹ + vest ^{inferieur ou}

sup6rieur

^{a 8.}

Nous avons choisi

et tabul6 les diff6rents coefficients

g(O, nf/), xCfI/)

et

x(L) (tableaux XVII, XVIII, XIX).

TABLEAU XVII

TABLEAU XVIII

TABLEAU XIX

En dehors de l’intérêt

theorique

^{evident que}

pr6-

sentent les résultats

precedents,

^ils

permettent

^une verification

precise

des résultats obtenus a 1’aide des m6thodes

classiques,

^en

particulier

^{de ceux concernant}

les interactions

dN-1 S - dN

et dN-1 s ^-

dN-2 S2,

^cal-

cul6s par Racah

[3].

^En

^effet,

^{nous avons montre}

que

l’op6rateur

e6,

qui repr6sente

les effets de ces

interactions,

^se transforme

(220000) (400) (30),

^et

qu’il

^est

parfaitement

scalaire dans

1’espace

^de

quasi- spin.

^Ces

propri6t6s permettent

^{de trouver imm6dia-}

tement un

grand

nombre de relations entre les divers elements de matrice de ^cet

op6rateur.

Considérons par

exemple

1’element de matrice suivant :

le th6or6me de

Wigner-Eckart

^nous

indique qu’il

^est

nul

puisque

^le coefficient

c( (100) (210) (400))

^{est lui-}

meme

6gal

^{a zero}

(tableau VIII). Or,

le tableau X

montre imm6diatement _que cet element peut ^etre mis sous la forme suivante :

et suivant un r6sultat

classique

^{de Racah}

[3],

par

consequent,

r6sultat en accord avec celui de Racah

[3].

^Les

exemples pourraient

^etre

multiplies,

mais dans tous

les cas ils conduisent a des calculs aussi

simples

que les

precedents,

^{et nous} pensons avoir suffisamment montre la facilite

d’emploi

^{de nos résultats.}

5. Conclusion. ^-

L’application

de la theorie des groupes de Lie ^a la classification des

op6rateurs

^de

l’interaction coulombienne a l’int6rieur des

configu-

rations

(d + S)N

^{nous a}

permis

^de

representer

^celles-ci

au moyen de

sept

^termes

Eiei oii Ei

^{sont des} para- mètres

et ei

^des

op6rateurs

^a deux electrons

poss6dant

des

propri6t6s

de transformation

simples

^{dans les}

operations

des groupes

R5, Rs

^et pour certains d’entre

eux

spl2.

^La

dependance

^{sur N de leurs elements de}

matrice a pu ^etre

exprim6e

^de

façon

^tr6s

simple, principalement

par utilisation des

propri6t6s

^du

quasi-spin,

^et nous avons pu r6aliser de nombreuses

factorisations, qui permettent d’exprimer

^{tous ces}

elements de matrice a

partir

d’un nombre restreint de coefficients. Nous

esp6rons

avoir ainsi montre tout

l’intérêt de la theorie des groupes continus dans 1’etude de tels

problemes;

^les avantages

qui peuvent

^{en etre} retires ^sont voisins de ^ceux

d6jA

obtenus dans le cas

particulier

^des

configurations lN,

^{et l’on} peut penser

qu’il

serait souhaitable

d’appliquer

les résultats

g6n6-

raux de la reference

[1]

^{a d’autres}

problèmes phy- siques plus complexes,

interaction de

configurations lointaines,

par

exemple.

Manuscrit reçu le 10

septembre

^1966.

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