Perturbations à oscillations lentes de l'opérateur de Schrödinger périodique.

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Schrödinger périodique.

Asya Metelkina

To cite this version:

Asya Metelkina. Perturbations à oscillations lentes de l’opérateur de Schrödinger périodique.. Equa-

tions aux dérivées partielles [math.AP]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2011. Français. �tel-

00714033�

Laboratoire Analyse, Géométrie et Appliations UMR

7539

N

◦

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THÈSE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PARIS 13

Disipline : Mathématiques

présentée et soutenue publiquement par

Asya METELKINA

le 30 septembre 2011

Perturbations à osillations lentes de

l'opérateur de Shrödinger périodique

Jury

M. Mouez DIMASSI examinateur

M. Setsuro FUJIIE rapporteur (absent)

M. Alain GRIGIS examinateur

M. Frédéri KLOPP direteur

M. Franis NIER rapporteur

M. Maiej ZWORSKI examinateur

Sommaire iii

Remeriements 1

Introdution 2

1 Résultats antérieurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Généralisation de la méthode de B. Simonet Y. Zhu . . . . . . . . . . 8

2.1 Densité d'étatsintégrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Exposant de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Matries de transfert et matriesde monodromie . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Symétries de (AdiabQP)et solutionsohérentes . . . . . . . . 13

2.2 Dénition etpropriétés de lamatrie de monodromie . . . . . 15

2.3 Matries de monodromieet matriesde transfert . . . . . . . 18

3 Asymptotique de la matriede monodromie :le as général. . . . . . . 19

I Équation de Shrödinger périodique 23 1 Spetre de l'opérateur périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Matrie de monodromie pour l'équationpériodique (EqnPer) . . . . . . 24

1.2 Solutions de Bloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Quasimomentde Bloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Densité d'étatsintégrée pour l'équation périodique . . . . . . . . . . . 25

1.5 Exposant de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Énergie omplexeet propriétés analytiques de quasimoment de Bloh . 30 1.7 Prolongementanalytique des déterminations du quasimoment . . . . . 32

1.8 Calul des indies etdes signatures des ourbes . . . . . . . . . . . . . 33

1.8.1 Indie et signature d'une ourbe : leas des laets. . . . . . . 33

1.8.2 Indies et signatures des ourbes: la matrie

A(γ, k)

^{. . . . . 34}

1.8.3 Appliations:ourbeomposée

γ = γ

N

◦ . . . ◦ γ

1^ethangement de détermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Énergie omplexeet l'opérateurpériodique . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9.1 Énergie omplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9.2 Équation périodique et ensembles

B

^et

C

^{. . . . . . . . . . . . 37}

1.9.3 Ensemble des énergies

Σ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37}

1.9.4 Deux types d'intervalles :

Z

^{R et}

G

^{R . . . . . . . . . . . . . . . 37}

1.9.5 Moment omplexe

κ(z)

^etses déterminations . . . . . . . . . 37

II Densité d'états intégrée et formule de Thouless 39

1 Propriétés de ladensité d'étatsintégrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1 Valeurs propresde restritions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.2 Enadrement par Dirihlet etNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Densité d'états intégrée :la preuve du Théorème 10 . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1 Enadrement dans le adrede mon problème . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Estimations par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.2 Modiation de l'estimation: la n de lapreuve de l'existene 47 2.2 Preuve du Théorème 16: la formule de Thouless . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Théorème d'osillations de Sturm pour

H

^et

H

0 ^{. . . . . . . . 48}

2.2.2 Démonstration de la formule de Thouless : premierpas . . . . 49

2.2.3 Démonstration de la formule de Thouless : deuxièmeétape . . 50

2.2.4 Démonstration de la formule de Thouless : troisièmeétape . . 50

2.3 Preuve du Théorème 16: formule de l'exposant de Lyapounov . . . . . 52

2.3.1 Formule de l'exposant de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 52

IIIMéthode WKB omplexe 55 1 Théorème prinipalde la méthode WKBomplexe . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.1 Comportement asymptotique standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.1.1 Courbes etdomaines anoniques . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.1.2 Théorème prinipalde la méthode WKB omplexe . . . . . . 57

1.1.3 Lignes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.1.4 Lignes de type Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.1.5 Domaine anonique à partir d'uneourbe anonique . . . . . 59

1.1.6 Constrution d'une ourbe anonique à partir d'une ourbe pré-anonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.1.7 Symétrie pour lesourbes etlesdomaines anoniques . . . . . 59

1.2 Méthodes de prolongementdes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . 60

1.2.1 Diagrammesde prolongementpour lessolutions . . . . . . . . 60

1.2.2 Lemme du Retangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.2.3 Prinipedes Domaines Adjaents . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.2.4 Desriptifdes domaines anoniques enveloppants . . . . . . . 62

1.2.5 Lemme du Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.2.6 Lemme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3 Formules asymptotiques pour leswronskiens de solutions . . . . . . . . 63

1.3.1 Solutions

h

^et

g

^auomportement asymptotique standard . . 63

1.3.2 Ars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.3.3 Domaines de renontre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.3.4 Amplitudeet ationsur un ar . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.3.5 Coeients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3.6 Prinipede omportementstandard àplusieurs omposantes . 65 2 Base ohérente

{ f

J

, f

_J^∗

}

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69}

2.1 Objets géométriques assoiés au momentomplexe . . . . . . . . . . . 69

2.1.1 Détermination naturelle

κ

J ^{du moment omplexe . . . . . . . 69}

2.1.2 Propriétés de la détermination naturelle

κ

J ^{et les lignes de} Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.3 Branhes omplexes de

E ( R ) ∩ S

Y ^{. . . . . . . . . . . . . . . . 71}

2.2 Diagrammes de prolongement pour

f

J ^et

f

J∗

. . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.1 Diagramme de prolongement de

f

J ^{. . . . . . . . . . . . . . . 72}

2.2.2 Asymptotique de la solution

f

J∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2.3 Wronskien des solutions

f

J ^et

f

J∗ etla renormalisation . . . . 75

2.3 Démonstration de la Proposition2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1 Constrution loale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.2 Solution

f

J ^{: dans lesdeux as . . . . . . . . . . . . . . . . . 77}

2.4 Prolongementde l'asymptotique de la solution

f

J ^{dans tout}

D

J ^{. . . . 78}

IVMatrie de monodromie 85 1 Matrie de monodromieet matriede transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2 Asymptotique de la matriede monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.1 Théorème 2.3 etasymptotique de lamatrie de monodromie . . . . . . 88

2.2 Remarque struturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.3 Preuve du Théorème 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4 Cas où

E − W ( R ) ⊂ [E

2n−1

, E

2n

]

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93}

2.5 Cas où

Z

^R

∩ C

^{ontient un pointpar intervallede longueur}

2π

^{. . . . . 95}

2.5.1 Cas où

σ( H

₀

) ∩ (E − W ( R )) ⊂ [E

2n−1

, E

2n

]

^{. . . . . . . . . . 95}

2.5.2 Cas où

σ( H

₀

) ∩ E ( R ) ⊂ [E

2n−3

, E

2n−2

] ∪ [E

2n−1

, E

_2n

]

^{. . . . . 97}

2.6 Cas où

C ∩ E

⁻¹

(σ( H

₀

)) = ∅

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98}

2.7 Propriétés des solutionsau CASpl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

V Exposant de Lyapounov 103 1 Hypothèseset struture du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.1 Intervalles

I

n ^etapproximationdu potentiel

W (x

^α

)

^{. . . . . . . . . . . 104}

1.1.1 Première étape : hoix du paramètre

z

0 ^{. . . . . . . . . . . . . 105}

1.1.2 Deuxième étape : hoixdes intervalles

I

n ^{. . . . . . . . . . . 105}

1.1.3 Troisième étape : hoix des paramètres

ε

n ^et

z

n ^{. . . . . . . . 105}

1.1.4 Justiation du hoixdes paramètres . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Solutionsde (SlOs)par la méthode de larésolvante approhée . . . . . . . . . 106

2.1 Desription de la méthode de larésolvanteapprohée . . . . . . . . . . 106

2.1.1 Familles de solutions de (AdiabQP) aupoids exponentiel . . . 107

3 Énergies

E

^dans

σ

ac

( H

_θ

)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108}

3.1 Asymptotique des solutions de (SlOs) sur

I

n ^{. . . . . . . . . . . . . . 109}

3.2 Matrie de transfertsur

I

n ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110}

3.3 Exposant de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4 Énergies

E

^{dans lespetre singulier de}

H

_θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.1 Estimationde larésolvantedans un domainede renontre . . . . . . . 113

4.2 Solutions de (SlOs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3 Matries de transfert pour (SlOs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A Exposant de Lyapounov et spetre singulier 129

Bibliographie 133

Je suis très reonnaissante à Frédéri Klopp, qui a su me proposer un sujet de reherhe

inspirantettrouverdutempsdanssavieprofessionnelletrès ativepour enadrerettethèse.

Frédérim'alaissée libredans mareherhe, tout en insistantsur l'aboutissement vers un ré-

sultat nal. J'ai une très grandeestime pour ses onnaissanes mathématiques.

Setsuro Fujiie et Franis Nier ont aepté de rapporter ette thèse et s'en sont aquitté

ave unegrandeminutie.Leursremarquestrèsjudiieusesontlargementontribuéàl'amélio-

ration de e manusrit et je les en remerie vivement. Je suis ravie qu'Alain Grigis préside

mon jury de thèse etje leremerie haleureusement pour ses enouragements toutle longdu

hemin,parfois épineux,vers lasoutenane,pourson magniqueours, presquepartiulier,

d'analyse miroloale et pour son sourire amial. Je remerie également Mouez Dimassi et

Maiej Zworski quime fontl'honneur de partiiperà mon jury de thèse.

Je suis très reonnaissante à Günter Stolz pour les disussions que nous avons pu avoir

lors de son passage à Paris et lors de diverses onférenes. Elles ont largement ontribué à

l'avanement de mes travaux. De plus, je reste admirativede ses mathématiques, simples et

préises à lafois.

On pourrait omparer la préparation de ette thèse à une odyssée. Mon bateau est parti

de Saint-Pétersbourg, baptisépar AlexanderFedotov Vulaindes mathsapparaissantàses

dèlesdansunnuagedefuméeetjeleremeriehaleureusementardepuistoujoursilm'en-

voieson onseiletson soutien.Monnavireaensuitejetél'anredanstrois portssuessifs. À

haque fois les indigènes m'ont très haleureusement aueillie et m'ont fourni d'exellentes

onditions de travail.

Il y a eu d'abord le Laboratoire d'Analyse, Géométrie et Appliations, où j'ai passé de

très bonnes heures ave les thésards de la tribu. Je voudrais remerier partiulièrementmes

aniens ompagnonsde galèreSabrina, Stéphanie,Christine, Ibrahimaainsi queeux de

la galère voisine Olivier, Benjamin et Aurélien et enn un aranhi David. Meri à

mes guides dans laforêtde l'administration:Yolandeet Isabelle, toujoursgentilles, toujours

très belles. Dans les labyrinthes du LAGA, j'ai renontré Konstantin qui m'a fait déouvrir

les soirées de tango et, par onséquent, les matinées de mathématiques auxyeux ernés.

De e temps parisien, je garde un bon souvenir de la tribu des Bourbakettes de Chevaleret,

pratiquant des afé-roissants dans une grotte à géométrie tropiale. C'est dans ette même

grotte que j'ai eu lahane de suivre les ours de HakanEliasson. Ave mes amis, Martin et

Claire, ona trouvé ses ours très lairs.

Puis, mon bateau s'est amarré en Allemagne, au sein de l'équipe de Stohastique de

FernUniversität in Hagen : les adorateurs du dieu Expresso. Auprès du hef de tribu

Werner Kirsh, alias HerrDoktor Professor j'ai apprivoisé quelques opérateurs aléatoires.

Je remerie vivement Jessia, Tobias, Christian, Martin, Eugen et Wolfgang l'autre Herr

Doktor Professorpour leur entourageamial et stimulant. Vielen Dank!

Meri aussi aux ex-habitants de la olonie frano-suisse du Hausdor Center (olonie main-

tenant malheureusement déimée) : à Gérald pour ses enouragements et à Christian pour

m'avoirprêtésatable 1

.Meri àAntoine,(tribudesBonnerinnen) 2

,quiaeuleourage d'an-

noter une partie de e manusrit.

Enn, les tempêtes ont poussé mon navire en Mediterranée, où je suis reueillie par le

LaboratoireJ.-A.Dieudonné. Iiaussilesindigènes sonttrèssympathiques :MagalietJulien

(et bien sûr Camille et Jeanne), Laurent et Charlotte (et aussi Léo et Aurélien), François-

Xavier(qui me remplae gentiment pour mon td de L2 en e moment même), etmon voisin

Raphaël 3

(quise ahe derrière le plaard).

Dans e long voyage, j'ai été soutenue par les aborigènes russes Ira et Sasha, Katja,

Genja, Slava, Sasha et Katja, Maxim. Un jeune galérien Nikolai s'est hargé de trans-

mettre mes orandes auxDieux et son aide m'est préieuse.

Un grand meri au sribe Niolas (tribu des faux-Gres) pour le temps et les eorts qu'il a

onsarés à mes dessins (dontles six heurespassées dans l'amphitéAte 3).

Parmi lesplus anienssoutiens, il y abien sûr mafamille: maMaman,mon Papa etMarina

m'ont toujoursaidé à retrouver leourage dans les momentsdiiles, à me dépasser etpar-

fois, tout simplement,à hangerde rames 4

. Ma belle-familleaussi m'a beauoup soutenue à

l'aide de quihes etde tartes auxfraises.

J'ai gardé es dernières lignes pour mon her équipage, qui a partagé ave moi les jours

de soleileteux de tempête, qui m'a aidé àréparermes rames età dessiner mes èhes. Mes

penséeslesplushèresvontàmonmariChristopheetànos troismoussesAlexis,Catherine

et

. . .

^{5 quiilluminentmavie etfontgoner mes voiles.}

1. Desaries?

2. Ànepasonfondreavelesbonobos.

3. Adorateurdudieu Xerox.

4. DeRham??

5. Chut! 'estuneautrehistoire.