Etude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrödinger périodique

HAL Id: tel-00007868

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00007868

Submitted on 30 Dec 2004

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Etude de perturbations adiabatiques de l’équation de Schrödinger périodique

Magali Marx

To cite this version:

Magali Marx. Etude de perturbations adiabatiques de l’équation de Schrödinger périodique. Mathé- matiques [math]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2004. Français. �tel-00007868�

UNIVERSITE PARIS XIII

ETUDE DE PERTURBATIONS ADIABATIQUES DE L’EQUATION DE SCHR ¨ODINGER PERIODIQUE

TH`ESE

pr´esent´ee et soutenue le 6 d´ecembre 2004 pour l’obtention du grade de

Docteur de l’Universit´e Paris XIII

Discipline : Math´ematiques

par

Magali MARX

Composition du jury

Pr´esident : Alain Grigis Rapporteurs : Alain Joye

Johannes Sj¨ostrand Examinateurs : Mouez Dimassi

Bernard Helffer Directeur de th`ese : Fr´ed´eric Klopp

1

Introdution 1

1.1 Motivationphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Perturbation desopérateurs périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Prinipale s étapesde l'étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Les prinipaux résultats 5 2.1 Le potentiel V ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5}

2.2 La perturbation W ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6}

2.3 Le asde laroixsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Cas de laroixdouble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Shéma de l'étude 21 3.1 Opérateurs périodiquesperturbésen dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Constrution desolutions de Jost ohérentes. Coeient de transmission . . . . . 22

3.3 Prolongement desasymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Opérateurs de Shrödinger périodiques en dimension 1 ²⁵ 4.1 Fontions deBlohet struture en bandedu spetre . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Quasi-moment de Bloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Composantes périodiquesdessolutions de Bloh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Lessolutions analytiques de Bloh de l'équation(4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5

Les prinipaux outils de la méthode WKB omplexe 29

5.1 Lesdomaines anoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Solutions anoniquesde Bloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 La notionde ohérene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4 Le théorèmede laméthode WKBomplexe surun domaine ompat . . . . . . . 32

5.5 Lesobjets géométriquesprinipaux de laméthode WKBomplexe . . . . . . . . 33

5.6 Construtionde déterminati onsdumoment dansleasdelaroixsimple etdela roixdouble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.7 Lignes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.8 La onstrution d'unebase ohérente à l'asymptotiquestandard autour delaroix 42 5.9 Compléments pour leas oùκ(ϕ⁻_r) =π ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51}

6 Solutions de Jostohérentes de l'équation (1.3). 53 6.1 Constrution desfontionsde Jost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Propriétés de F₋^{g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55}

6.3 Renormalisation desfontionsF₋^{g et} F₊^{d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57}

6.4 Quelquesremarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Le théorème WKB surdes domaines non ompats 61 7.1 Théorème de prolongement sur desdomainesnon ompats . . . . . . . . . . . . 61

7.2 Constrution d'uneδ^{-haîne dedomaines stritement anoniques . . . . . . . . . 65}

8 Calul du oeient de transmission dans le as d'une roix. 67 8.1 Hypothèses. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Méthode de alul desasymptotiques deswronskiens . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3 Calul duoeient a⁻_g ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71}

8.4 Calul duoeient a⁺_d ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74}

9 Valeurs propres assoiées à la roix simple 77 9.1 Démonstration du Lemme 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.3 Loalisationdesvaleurspropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.4 Appliation à laformule detrae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.5 Développement asymptotiquedesvaleurspropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10

Etude de la roix double 93

10.1 Compléments surles oeientsde phases,et d'ations. . . . . . . . . . . . . . . 93

10.2 Démonstration du Théorème 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.3 Loalisationdesvaleurspropres : démonstration desThéorèmes2.3et 2.4 . . . . 102

11

Démonstrations des résultats de la méthode WKB sur des domaines non om-

pats 105

11.1 Démonstration de laProposition7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.2 Démonstration du Théorème deprolongement 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12

Conlusion et perspetives 115

12.1 Généralisation auproblème à n^{puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115}

12.2 Extensionstehniquesde laméthode WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Bibliographie 117

Introdution

L'objetif de ma thèse est d'étudier le spetre d'opérateurs de Shrödinger périodiques

perturbés, endimension 1.Préisément, pour ε >0^et ϕ∈R, ononsidère l'opérateur dénisur

L²(R)^{par :}

Hϕ,ε=− d²

dx² + [V(x) +W(εx+ϕ)], ^(1.1)

lorsque V ^{est unefontion périodique dearré loalement intégrable et} W ^{déroitsusamment}

vitevers0 ^àl'inni.

L'opérateur H_ϕ,ε ^{apparaît omme une} perturbation d'un opérateur périodique H₀ ^:

H₀=−△+V. ^(1.2)

LespetredeH₀^{estabsolumentontinuetestonstitué}d'intervallesréelsappelésbandesséparés par deslaunes.

SilaperturbationW ^estrelativementompateparrapportàH₀^{,ilapparaîtdansleslaunesde} H₀ ^{desvaleurspropres [39, 31℄. Onsepropose deloaliser es valeurspropres appeléesniveaux}

d'impureté.

L'équation

H_ϕ,εψ=Eψ ^(1.3)

dépend de deux paramètres ε ^et ϕ^{. On se plae dans le adre de la limite} adiabatique où le paramètre ε ^{est petit. La périodiité de} V ^{implique que les valeurs propres de} H_ϕ,ε ^sont ε^-

périodiquesenϕ^{.Onhoisiradonleparamètre}ϕ^{omplexeetonsupposeraque}W ^{estanalytique}

dansune bande duplan omplexe.

Lorsque le potentiel V ^{est nul, le problème a été largement étudié. Par exemple, le as où} W

est un puits de potentiel est bien onnu : dans l'intervalle ] inf

R W,0[^{, il y a une suite quantiée}

de valeurs propres [9℄. On donne une desription similaire des valeurs propres de Hϕ,ε ^dans

un intervalle J ^{hors du spetre de} H₀^. Préisément, lorsque W ^et J ^{vérient de plus quelques}

onditions supplémentaires dérites dans les paragraphes 2.2.1, 2.2.3 et 2.3.1 du hapitre 2,on

montre quelesvaleurspropres deHϕ,ε^{osillent autourde ertaines énergiesquantiéespar une}

onditionde typeBohr-Sommer feld; l'amplitudedesosillationsestexponentiellement petite et

est déterminée par unoeient tunnel.

Des perturbations plus ompliquées du laplaien ont été étudiées. Le as où W ^{est un double}

puits est notamment un problème intéressant [34, 20, 26, 19℄. Ces études ont en partiulier mis

en évidene desphénomènes de splitting entre les valeurs propres assoiées à haque puits.

Ondémontreau hapitre 10desrésultats analoguespour H_ϕ,ε^.

1.1 Motivation physique

L'opérateur H_ϕ,ε ^{est un des modèles importants de la physique du solide. La fontion} ψ

estlafontiond'onded'un életrondansunristalavedesimpuretés.V ^{représentelepotentiel}

du ristal parfait : il est périodique. Le potentiel W ^{modélise la} perturbation induite par les impuretés. Dansles semi-onduteurs notamment,ette perturbation està variationlente ([40℄,

[2℄hap.29); ilestdonnatureldeseplaerdansleadredelalimitesemi-lassique,'estàdire

lorsque ε → 0^{. Les valeurs propres du problème à un életron forment une éhelle de niveaux}

d'énergie quantiés. La statistique de Fermi-Dira appliquée à es niveaux d'énergie pour une

partiule permet de développer une théoriedutransportsimilaireà elledesgazou desmétaux

([2℄ hap.28,[3℄ hap.15,[22℄ hap.8).

1.2 Perturbation des opérateurs périodiques

DansR^d, lathéoriespetrale desperturbations d'un opérateur périodique

H_P =H₀+P ^(1.4)

a donné lieuà de nombreusesétudes ave despoints devue diérents.

Laaratérisationdel'existenedesvaleurspropresn'estpasaisée:enpartiulier, endimension

quelonque, [23℄ met en évidene la présene de valeurs propres plongées dans les bandes. Sur

l'axe réel,lasituationest pluslaire. Si laperturbation estintégrable, lesseulesvaleurspropres

possiblessont dansl'adhérene deslaunes ([32, 21℄).

Pour dénombrer les valeurs propres dans les launes, l'étude des fontions de omptage a de

multiples appliations. Dans leasdesgrandes onstantesde ouplage, 'est-à-direlorsque P = λU^,etλ→+∞^{,[1,4,35℄ontétudié} lim

λ7→+∞

tr(P_[E,E^(λ) _′])^,oùP_[E,E^(λ) _′]= 1_[E,E′]H_λ^{(projeteurspetral}

de H_λ ^{sur un intervalle} [E, E^′]^{d'une laune de} H₀^{). Dans le adre} semi-lassique, [8℄ a donné, sous deshypothèsesvoisines des miennes, undéveloppement asymptotiquede tr[f(H_ϕ,ε)]^{, pour} f ∈C₀^∞(R)^{et Supp}f ^{dansungap de}H₀^{.Ces formules} asymptotiquesde traesontvalablesen toute dimension mais peuvent s'avérer insusantes. Dans l'asymptotique obtenue dans [8℄ par

exemple, la préision du reste dépend des dérivées suessives de lafontion f ^{et ne donne pas}

une loalisation exponentiellement préise desvaleurspropres.

En dimension 1, lathéorie de ladiusion bienonnue dans leas V = 0 ^{aété développée dans}

e adreplusgénéral [16, 27℄. Préisément,ononstruit dessolutions partiulière sde l'équation

(1.4)tendantvers0^en±∞^{,appeléesréessives.Lesvaleurspropresdel'équation(1.3)sontalors}

simplement donnéespar une relation deolinéarité entreessolutions.

1.3 Prinipal es étapes de l'étude

On donne ii les grandes lignes qui vont guider e travail. Une des diultés prinipales

de l'étude est de prendre en ompte la dépendane de l'équation en les paramètres ε ^et ϕ ^et,

en partiulier, de déoupler la variable rapide x ^{et la variable lente} εx^{. L'idée nouvelle}

développéedans[10,12℄estlasuivante:ononstruitdessolutionspartiulière sde(1.3),vériant

une relation ditede ohérene :

f(x+ 1, ϕ, E, ε) =f(x, ϕ+ε, E, ε). ^(1.5)

Cette relationpermet de relierleomportement en x^{et le}omportement en ϕ^.

Pour trouver une solution réessive de (1.3), il sutde trouver une solutionde (1.3) qui vérie

(1.5) et qui tend vers 0 ^quand|^Re ϕ| ^{tend vers} +∞^{. Onommene don par onstruire, sur la}

demie-bande horizontale {ϕ ∈ C ; ϕ ∈]− ∞,−A] +i[−Y, Y]}^{, une solution} h^g₋ ^{de l'équation}

(1.3)quiestohérente ettendvers0^quandReϕ^tendvers−∞^{.Demême,ononstruit}h^d₊ ^pour {ϕ ∈ C ; ϕ ∈ [A,+∞[+i[−Y, Y]} ^{(hapitres 6 et 7). Ces deux fontions sont réessives en la}

variablex^{. La} aratérisationdesvaleurspropres estalors simplementdonnée par larelationde olinéarité entreh^g₋ ^et h^d₊ ^:

w(h^g₋, h^d₊) = 0.

Dans l'équationi-dessus, w^{désigne lewronskiendont ladénitionestrappelée en (3.4).}

Ilrestealorsàalulerw(h^g₋, h^d₊)^{.Pourela,onutiliselaméthodeWKBomplexeétablieparA.}

FedotovetF.Klopp.Cetteméthodeonsisteprinipalementàdérireertainsdomainesduplan

omplexe,appelés domainesanoniques,surlesquelsononstruit desfontionsvériant(1.5) et

admettant de plusune asymptotique partiulière:

f_±(x, ϕ, E, ε) =e^±iε

Rϕ

κ(ψ_±(x, ϕ, E) +o(1)), ε→0. ^(1.6)

Danslarelation(1.6),lafontionκ ^{estunefontionanalytique} multi-valuéedénieen (2.4);les fontions ψ_± ^{sont dessolutions} partiulières del'équation

H₀ψ= (E−W(ϕ))ψ,

analytiques en ϕ ^{sures domaines anoniques,appeléessolutions de Bloh. On justieral'exis-}

tene detelles solutions au paragraphe 5.2duhapitre 5.

A. Fedotov et F. Klopp ne prouvent l'existene de fontions ave l'asymptotique (1.6) que sur

desdomainesompats duplanomplexe desϕ^{. Nousétendronsertainsrésultatsà desbandes}

innies du plan omplexe. La relation de ohérene (1.5) implique en fait que la fontion h^g₋

vérie àgauhe de−Al'asymptotique (1.6)et queh^d₊ ^{vérie unepropriété analogueà droitede} A^{. Le alul de} w(h^g₋, h^d₊) ^{ainsiformulé estalors similaire auxaluls traités par A.Fedotovet}

F. Klopp. Il s'agitde trouver un domaine susamment grand du planomplexe dans lequelon

onnait lewronskien deh^g₋ ^et h^d₊^.

Lestehniquesmisesen plaedansleurs travauxmettenten évidenedesobstales topologiques

qui modient l'asymptotique (1.6)et qui dépendent del'allure deW ^{et de} E^.

Monétudeenvisagera essentiellement deuxaspour W^{, dontlesexempleslesplus parlantssont}

respetivementlesimpleetledoublepuits.Leshypothèsespréisessontdonnéesauxparagraphes

2.2et 2.3.1 du hapitre 2.

Les prinipaux résultats

Danse hapitre,on dérit leadregénéral et lesrésultatsprinipaux de lathèse.

OnommeneparprésenterleshypothèsesonernantlespotentielsV ^etW^,ainsiquel'intervalle

J^{. Ces hypothèses sont} essentiellement de trois types. Tout d'abord, l'étude demande ertaines hypothèses de déroissane sur le potentiel, néessaires pour mettre en plae la théorie de la

diusion.D'autre part,étantdonné les hypothèses imposées par laméthode WKBomplexe de

[10℄, on exigera que W ^{soit analytique dans un ertain domaine du plan omplexe. En dernier}

lieu, il faut xer le adre géométrique, et en partiulier l'allure de l'ensemble (E−W)⁻¹(R)

lorsque E ^{est réel.}

Au vu des études menées dans le as V = 0 ^{([18, 6, 19℄), deux exemples de potentiel} W ^ont

prinipalem ent motivée travail : lesimple et ledoublepuits.

Pour haque as, on énone une équation aux valeurs propres qui s'érit en termes d'objets

géométriques onstruits à partir de H₀^, W ^et E ^{: les intégrales de phases et d'ations, dénies}

préisément aux paragraphes2.3.2 et 2.4.4 dee hapitre.

2.1 Le potentiel V

OnsupposequeV ^{ales propriétés suivantes :}

(H_V,p⁾ V ^est L²

lo

, 1-périodique et à valeurs réelles.

Ononsidère alors (1.3) omme une perturbation de l'équationpériodique :

− d²

dx²ψ(x) +V(x)ψ(x) = (E−W(ϕ))ψ(x). ^(2.1)

On utilisera don ertains résultats onnus de la théorie des opérateurs périodiques, que l'on

présente en détailau hapitre 4.

L'opérateur H0 ^{déni en (1.2) est un opérateur} auto-adjoint sur H²(R)^{. Le spetre de} H0 ^est

formé d'intervallesréels :

σ(H₀) = [

n∈N

[E_2n+1, E_2n+2], ^(2.2)

où les{E_n} ^{vérient :}

E₁ < E₂ ≤E₃ < E₄...E_2n≤E_2n+1< E_2n+2..., E_n→+∞, n→+∞.