Énergie omplexe et propriétés analytiques de quasimoment de Bloh . 30

et par la formule de Thouless :

γ

₀

(E)− ℑ^√E =

Z

ln|E−E

^′

|d(k

₀

(E

^′

)− ℜ^√E

′

).

1.6 Énergie omplexe et propriétés analytiques de quasimoment de

Bloh

Dans ette setion, on onsidère l'équation (EqnPer) pour une énergie

E ∈ C.

On va dérire les propriétés des multipliateurs de Floquet, des solutions de Bloh et du

quasimo-ment de Blohomme fontions de la variableomplexe

E

Multipliateurs de Floquet Lesmultipliateursde Floquet

λ

(E)

sont analytiques en

E

dans

C\σ(H

)

.Auxbordsdeslaunesouvertes,

λ

+et

λ

−ontdespointsdebranhement de type raine arrée,i.e.

λ

(E)−λ

(En) =cnp

E−En+O(E−En).

On peut onsidérer

λ

₊ et

λ

− omme deux déterminations de la fontion multivaluée

λ(E)

déniepar l'équationpolynomiale de degré deux :

λ

−D(E)λ+ 1 = 0.

La surfae de Riemann

Γ

assoiée est onstruite ommesuit :

On prendsdeux exemplaires de

C

eton lesoupele long des zones spetralesde

H

₀, i.e. des intervalles

[E

2n−1

, E

]

. On note es deux feuillesoupées

Γ

+ et

Γ

−.

Onolleensemble

Γ

+ et

Γ

− defaçon àequelebord

[E

2n−1

, E

] +

0 Γ

+ soitollé aubord

[E

2n−1

, E

]−

0 Γ

− et vieversa.

Ainsi

λ(E)

estunefontionholomorphesur

Γ

.Onappelle

λ

lemultipliateurdeFloquet global.

Solutions de Bloh Lessolutionsde Bloh

Φ

+ et

Φ

− ont également despointsde branhe-mentde type raine arrée dans lesbords des launesouvertes de

H

₀ :

{E ∈ {En}

n∈N tel que

En

−1

6=En 6=En

+1}

.

Deplus,

Φ

±sontméromorphesen

E

etdanshaquelauneousursonbordunedesdeux solutionsdeBlohaunple.Cesplessontundéfautdenormalisationdessolutions

Φ

±. A.FedotovetF.Kloppontmontréque, loalement,auvoisinagede haque point

_E˜

,on peutrenormaliserunouplede solutionsdeBlohdefaçon àlesrendreanalytiques.Soit

˜

E

uneénergieet

U ⊂C

unpetitvoisinagede

_E˜

;ondénitdeux fontionsméromorphes

g

+ et

g

−,

g

:U →C

g

(E) :=

R

x+1 x

p

(x, E)∂Ep

∓

(x, E)dx

R

x+1 x

p

(x, E)p

−

(x, E)dx ^.

(1.1.10)

A l'aide des

g

(E)

, ondénit deux formes méromorphes

Ω

+ et

Ω

− :

Ω

(E) =g

(E)dE.

(1.1.11)

Une propriété importantedes formes

Ω

± onerne leurs ples et leursrésidus.

Lemme 1.16 (Lemme 1.1 de [FK04a℄). Les ples des formes méromorphes

Ω

± sont simples; ils sont situés dans les points de

P ∪Q

, où

P

est l'ensemble des ples de la solution de Bloh

Φ

± et où

Q

est l'ensemble des zéros de

k

′

(E)

. Les résidus de

Ω

± sont donnés par la formule :

respΩ

= 1 ∀p∈P\Q; resqΩ

=−¹₂ ∀q∈Q\P; resrΩ

= ¹

2 ∀r∈P ∩Q.

Lemme 1.17. Pour toute énergie

_E˜

, il existe un voisinage

U

tel que les solutions

Φ

:R×U →C

de l'équation (EqnPer) déniespar :

Φ

⁰_±

(x, E; ˜E) := p

k

′

(E)e

^R_E^E˜ g_±(e)de

Φ

(x, E)

(1.1.12)

soient analytiques en

E

pour tout

x∈R.

Dénition 1.18. On appelle solutions de Bloh anoniques les solutions

Φ

(x, E; ˜E)

dénies dans l'équation(1.1.12) i-dessus.

Tout omme le multipliateur de Floquet, les solutionsde Bloh sont deux

détermina-tions d'unefontionmultivaluée,qu'on appellesolution de Blohglobale.Lasolutionde

Bloh globalevérie :

(

−Φ

′′

(x, E) +V(x)Φ(x, E) =EΦ(x, E)

Φ(x+ 1, E) =λ(E)Φ(x, E),

où

λ(E)

est le multipliateur de Floquet global. La solution de Bloh globale est une fontionméromorphedel'énergiesurlasurfaedeRiemann

Γ

.Loalement,auvoisinage dehaquepoint,ettesolutionpeutêtrerendueanalytiqueparlanormalisation(1.1.12).

Le quasimoment de Bloh Lequasimomentde Blohglobal

k(E)

s'exprimeen termesdu multipliateurde Floquet global:

k(E) =−ilnλ(E).

Ainsi

k(E)

hérite des points de branhement de

λ(E)

et de eux du logarithme. On peut xer une détermination analytique de quasimoment de Bloh dans tout ouvert

1.7 Prolongement analytique des déterminations du quasimoment

Dans tout e travail,une ourbe désigneune appliation lipshitzienne

γ : [0,1]→C.

Les ourbes sont orientées :

γ(0)

est l'origine de la ourbe

γ

γ(1)

son extrémité. On appelle domaine un ouvert simplementonnexe de

C.

Dénition 1.19. Unensemble

A⊂SY

est ditrégulier s'ilne ontientpas de bordsde zones spetrales de

H

₀, i.e

A∩ {En}

n∈R

= ∅

. On a ainsi la notion de point régulier, de ourbe régulière etde domaine régulier.

Soit

D

un domaine régulier. On peut xer une détermination

k

0 du moment omplexe analytique dans

D

k

₀

∈ H(D)

. Toute autre détermination

k

₁ du moment omplexe qui est analytique dans

D

s'exprime en termes de

k

0 de la façon suivante. Il existe un unique signe

σ ∈ {+,−}

, appelé la signature de

k

1 par rapport à

k

0, et un unique entier

m ∈ N,

appelé l'indie de

k

₁ par rapport à

k

₀, tels que :

k

(E) =σk

(E) + 2πm.

(1.1.13)

Soient

E

, E

2 deux pointsrégulierset

U

1 un voisinagerégulierde

E

1.Fixonsune détermi-nation du quasimoment

k

∈ H(U

)

. Soit

α

une ourbe régulièrequi vade

E

1 à

E

2 et

Uα

un voisinagerégulier de

α

. On note

k

1|α le prolongement analytique de

k

₁ lelong de

α

k

1|α

∈ H(Uα)

k

1|α

(E) =k

₁

(E)

pour tout

E ∈U

₁

∩Uα.

Soient

E

∈ C

E

∈ C

deux points réguliers. Sur l'ensemble des ourbes régulières de lasse

C

qui onnetent lespoints

E

1 et

E

2 on introduit la relationd'équivalene suivante. Dénition1.20 (Relationd'equivalene). On ditquelaourbe

α

est équivalente àlaourbe

β

eton note

α ∼β

(1.1.14)

α

est homotopeà

β

parmi lesourbes

C

qui onnetent

E

1 ave

E

2 et quisontrégulières. On note

[α]

la lasse d'équivalene de

α

[α] :={β |β ∼α}.

On note

C

₀

:= C\[E

,∞)

. Les observations suivantes onernant les prolongements ana-lytiques de

kp

à travers

[E

,+∞)

seront utiles par la suite :

Lemme 1.21. Prolongement à travers une zone spetrale :Soit

v

1 estuneourberégulière fermée qui onnete un point de

C

₀ ave lui-même et traverse une fois l'intervalle

(E

₁

,+∞)

dans un point intérieur d'une zone spetrale de

H

₀. Alors on a

kp|

(E) = −kp(E).

Don, l'indie de

kp|

v1 par rapport à

kp

est

m= 0

et la signature est

σ =−1

Prolongement à travers la

n

-ème laune spetrale : Soit

v

2 une ourbe régulière qui onnete un point de

C

₀ ave lui-même et traverse une fois l'intervalle

(E

,+∞)

dans un point de

n

-ème laune spetrale de

H

₀. Alors on a

kp|

(E) = kp−2πn.

Démonstration. Pour

E ∈ [E

2n−1

, E

]±i0

, ona

kp(E) ∈ ±[π(n−1), πn]

. Le prolongement analytiquede

kp

àtravers

[E

2n−1

, E

]

,noté

kp|

v₁,estdonnéparlasymétrie:

kp|

v₁

(E) =kp(E)

. Mais

kp(E) =−ℜkp(E)+iℑkp(E)

.D'où

kp|

v₁

(E) =−kp(E)

.Cequidémontrelepremierpoint. Le prolongement analytique àtravers une laune, noté

kp|

v2, est donnépar la symétrie :

∀E ∈C

_±

, kp|

v₂

(E) = 2ℜkp(ℜE∓i0)−kp(E).

Mais

kp(E) =−ℜkp(E) +iℑkp(E)

, d'où

kp|

v₂

(E) = 2ℜkp(ℜE∓i0) +kp(E)

. On a

ℜkp(ℜE∓i0) =∓πn,

e qui ahève ladémonstrationdu lemme.

Dans un voisinage

U ⊂ C

₀, xons une détermination du quasimoment

k(E) = σkp(E) +

2πm

. Alors:

En traversant une préimage d'une zone spetrale, ona

k|

(E) =−σkp(E) + 2πm

. En traversantune préimage de la

n

-ème laune,ona

k|

v₂

(E) = σ(kp(E)−2πn) + 2πm

. L'exposant de Lyapounov et la densité d'états intégrée pour le problème périodique se

pro-longenten des fontions harmoniquesdans

C

₊ etsont reliésà ladéterminationprinipaledu quasimoment de Bloh par larelation :

kp(E) =πk(E) +iγ(E).

(1.1.15)

k(E)

alesmêmespointsdebranhementque

Φ(x, E)

,i.e.

{En}

n∈N.SursasurfaedeRiemann, on peut distinguer deux types de ourbes fondamentales :

les ourbes, disons

an

qui font un tour autour d'une zone spetralede

H

₀; les ourbes, disons

bn

qui font un tour autour d'une launespetrale de

H

₀.

Soit

D

undomainesimplementonnexede

C

quineontientpasdepointsdebranhement du moment omplexe. Fixons dans

D

une détermination analytique de

k

, disons

k

₀

(E)

. On trouve toutes lesautres déterminations analytiques dans

D

par laformule :

k

±,l

(E) =±k

(E) + 2πl, l∈Z.

(1.1.16)

Enpartiulier,sur

C

₀

=C\[E

,∞)

onpeutxerdefaçonuniqueunedéterminationanalytique du quasimoment.

Dans le document Perturbations à oscillations lentes de l'opérateur de Schrödinger périodique. (Page 37-40)

Énergie omplexe et propriétés analytiques de quasimoment de Bloh . 30

γ

(E)− ℑ√E =

Z

ln|E−E

|d(k

(E

)− ℜ√E

).

E ∈ C.

E

λ

(E)

E

C\σ(H

)

λ

λ

λ

(E)−λ

(En) =cnp

E−En+O(E−En).

λ

λ

λ(E)

λ

−D(E)λ+ 1 = 0.

Γ

C

H

[E

, E

]

Γ

Γ

Γ

Γ

[E

, E

] +

0

Γ

[E

, E

]−

0

Γ

λ(E)

Γ

λ

Φ

Φ

H

{E ∈ {En}

En

6=En 6=En

.

Φ

E

Φ

E˜

˜

E

U ⊂C

E˜

g

g

g

:U →C

g

(E) :=

R

p

(x, E)∂Ep

(x, E)dx

R

p

(x, E)p

(x, E)dx .

g

(E)− ℑ^√E =

)− ℜ^√E

_E˜

_E˜

(x, E)dx ^.

=−¹₂ ∀q∈Q\P; resrΩ

= ¹

_E˜