Pseudo-inverse 1

(1)

Mots lés: Algébrelinéaire, systèmeslinéaires,inverse.

Lejuryn'exigepasuneompréhension exhaustivedutexte. Vousêteslaissé(e)

libre d'organiservotre disussion omme vousl'entendez. Il vous est onseillé

de mettreen lumièrevosonnaissanesàpartirdul onduteuronstitué par

letexte. Lejurydemandequeladisussionsoitaompagnéed'exemplestraités

sur ordinateur. Ilestsouhaitablequevousorganisiezvotreprésentation omme

si le jury n'avait pas onnaissane du texte. Le jury aura néanmoins le texte

sousles yeuxpendantvotreexposé.

Pseudo-inverse

1. Introdution

Lorsqu'onherheà modéliserunphénomènephysiqueà l'aidededonnées ex-

périmentalespourobtenirsoituneloi,soitunereprésentationgraphique,laplus

simple possible,on dispose en général de trop de données, non toutes ables.

Si lamodélisation est linéaire, on obtient un système linéaire Ax =b ^dont ^le

nombred'équationsestsupérieuraunombred'inonnues. Untelsystèmeestdit

sur-déterminéetengéneraln'admetpasde solutions. Unesolution aeptable

est dehoisirunveteurx^qui^minimise ^la^quantité||Az−b||²^.

Dans un système physique, un ontrleur prend des mesures et alule une

ommandenumériquedefaçondisrèteauboutd'undélaixé,périodiquement

renouvelé. Si le alul est linéaire et en "boule ouverte", le ontrleur doit

eetuer laommande x ^sans ^utiliser ^les ^mesures éventuelles internes au sys- tèmean d'amener une partiedu système dansunertain état. Ce alul est

alors le produit par une matrie A ^dénie ^par ^le ^système ^d'un ^veteur ^dont

lesomposantesreprésententlest^premières ^ommandesx1, ..., xt^. ^Le^alul^se

fait dans une dimension xée(par exemple 1 ^si ^le ôntrleur âlule ûne ^po-

sition sur un segment) alors que le nombre de ommandes utiliséespeut-être

arbitrairementgrand. Lesystème linéaire AX =b ^que ^doit^vérier ^le ^veteur

des t ^premières ômmandes ân ^de ^parvenir âu âlul ^de b â ên ^général ^plus

d'inonnues que d'équations. Untelsystème est dit sous-déterminé ets'il est

ompatible,il admetune innitédesolutions. Ilest donpossible deherher

parmi es solutions une qui minimise unoût (par exempleune durée ou une

quantitéd'énergie)equidansertainsaspeutserameneràlareherhed'une

solution denormeeulidienne minimale,parmi lessolutions.

Soit A ûne ^matrie (s, t) ^à ôeients ^réels êt ^soit b ûn ^veteur ^de R^s ^; ^nous

herhonsàminimiserlaquantité||Ax−b||^lorsquex^parourtR^t^,^en^notant|| ||

lanorme eulidienne. Aubesoin enajoutantdes ontraintes (par exemple||x||

minimal), le minimum est atteint en un unique veteur x ^de R^t^, ^qu'on ^note A^◦b^. ^Lespropositionssuivantespeuventsevérier :

(2)

Proposition 1 SiA ^est^une ^matrieinversible,alorsA^◦=A⁻¹^.

Proposition 2 Soit b ∈ R^s^. ^Un ^veteur z ^réalise ^le ^minimum ^de ||Ax−b||

lorsquex^parourtR^t^,^si^et^seulement ^si∀x∈R^s^,< Az−b, Ax >= 0^.

Corollaire1 SiA^◦b^existe,^alors^tAAA^◦b=^tAb^.

Le but de e texte est détudier sous ertaines onditions omment aluler

eetivementune telleappliationA^◦^.

2. Pseudo-inverses

Dénition : Soit A ûne ^matrie ^réelle (s, t)^. Ôn âppelle ^matrie ^pseudo

inverse deA ^toute^matrieB ^telle^queABA=A^.

SoitAûne^matrie^réelle(s, t)^. Îlêxiste^des^matries^dedéterminantnonnuls,

U ∈ Ms(R)êtV ∈ Mt(R)^,êtûne^matrieπ^telle^que π=

Ir 0

0 0

et A=U πV.

Onmontrealorsquelespseudo-inversesdeA ^sont^toutes^de^la^forme V⁻¹

Ir W

S T

U⁻¹.

En eetuant des opérations élémentaires sur lamatrie A^, ^une ^telle ^matrie

pseudo inverse peut êtrealulée de façon à êtreinversiblelorsque s= t^. ^De

plus, on montre pour toute pseudo-inverse B ^de A ^que ^si ^le^système AX =b

admetunesolution,alorsBb ênêstûne^solution.

3. Pseudo-inverse de Moore-Penrose

Dénition : Soit A ûne ^matrie ^réelle (s, t)^. Ôn âppelle ^matrie ^pseudo

inverse deMoore-PenrosedeA ^une^matrieB ^vériant^les^quatre^propriétés^:

(i) ABA=A^,

(ii) BAB=B

(iii) AB êstûne^matriesymétrique, (iv) BA êstûne^matriesymétrique.

Proposition 3 Tout matrie réelle admet une unique matrie pseudo inverse

de Moore-Penrose.

(3)

Notation: LamatriepseudoinversedeMoore-PenrosedelamatrieA^est

notéeA^♯^.

On montre que A^♯ = (^tAA)^{♯ t}A^. ^Le ^alul ^de A^♯ ^repose ^don ^sur ^elui ^de S^♯^,

pourS ^matriesymétrique.

Théorème 1 Leminimumde ||Ax−b||^,^lorsquex^parourtR^t^,^est^atteint^pour

le veteur x=A^♯b^. ^De ^plus, x=A^♯b ^est ^l'unique ^veteur ^de ^norme ^minimale

parmilesveteurs y ^réalisant^le^minimum ^de ||Ay−b||^.

4. Algorithmes de alul

LamatriepseudoinversedeMoore-Penrosed'unematrieA^de^rang^maximal

peutsealulerenutilisantladéompositionU DV ^de^la^matrieA⁽U ^orthogo-

nale,D^diagonale^positivedéroissante,V orthogonale). Eneet,A^♯=^tV D^{♯ t}U^.

Cettedéomposition sealuledefaçon itérative,arellesupposelealuldes

valeurs singulières deA^,^'est ^à ^dire^des^raines ^arrées^des^valeurs ^propres ^de

tAA^,^dont^le^alul^ne^peut-être^exat. ^Néanmoins^puisqu'il^s'agit^de^la^solution

d'unsystème linéaire,lealuldelamatrieA^♯^peut^se^faire^de^façon^exate.

OnpeutaussialulerlamatriepseudoinversedeMoore-Penrosed'unematrie

A^en^utilisant^ladéompositionQR^de^la^matrieA⁽Qorthogonale,R^triangu-

laire supérieure). LamatrieQ^seâlule^de ^façonêetiveômme^produit^de

matriesdeHouseholder.

Soit R =

T 0

0 0

ave T triangulaire supérieure inversible de taille r ^;

∀x ∈ R^t^, ||Ax−b||² = ||Rx−^tQb||² = ||T x^′ −u||²+||v||²^, ^en ^ayant ^noté x^′

(respetivementu⁾^le ^veteur ^formé ^par^lesr ^premières ^oordonnées ^dex ^(re-

spetivement

tQb⁾ ^et v ^par ^les s−r ^dernières ^oordonnées ^de ^tQb^. ^don A^♯b

est leveteurdontlesr^premières ôordonnées^sontêlles ^deT⁻¹uêt^lest−r

suivantessont0^.

L'algorithmesuivantdûàGrévillepermetaussilealuldeA^♯ ^:

SoitA= (ai,j) ûne^matrie (s, t)^réelle. Ôn ^noteCi ^la i^-èmeôlonne^de A

etAi ^la^matrie(C1, ..., Ci)^formée^par^lesi^premières^olonnes^deA^.

(4)

siC1= 0 ^alorsA^♯1:= 0

sinon A^♯₁:= tC₁¹C₁tC1

fin si

Pour k= 2^à t ^fairedk:=A^♯_k−₁Ck

ck:=Ck−Ak−1dk

sick= 0^alorsbk:= ₁₊^t_d¹_k_d_k^tdk−1A^♯_k−1

sinon bk :=^t_c_k¹_c_k^tck

fin si

A^♯_k:=

A^♯_k₋₁−dkbk

bk

5. Un exemple

Un appareil de leture optique permet de prendre des mesures rasantes plus

ou moins exates d'un objet irulaire dont on souhaite déterminer le entre

et le rayon. Les mesures fournissent les points : Z1 = (9/4,1)^, ^puis ^à 90

degrés, Z2 = (1,17/8)^, ^puis^à 180 ^degrés,Z3 = (−1/16,1)^, ^puis^à 270 ^degrés, Z4= (1,−1/16)^. Ên^herhant^à^minimiser^la^distaneêntreZ1, ..., Z4êt^quatre

points obtenus omme images par Z 7→ C+RQZ ⁽C êst ^le êntre ^du êrle, R ^son^rayonêtQ ûnetransformation orthogonale) despoints

1

0

,

0

1

,

−1

0

,

0

−1

, une des méthodes dérites i-dessus permet d'obtenir que

C=

67/64 65/64

etR= 9/8^.

0 0.5 1 1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

(5)

Suggestions de développements

Soulignonsqu'ils'agitd'unmenuàlaarteetquevouspourrezhoisird'étudier

ertainspoints,pastous, pasnéessairementdansl'ordreetd'unefaçonplusou

moins fouillée. Vous pouvez aussi vous poser d'autres questions que elles in-

diquéesplusbas. Ilesttrèsvivementonseilléquevosinvestigationsomportent

une partie traitée sur ordinateur et, si possible, desreprésentations graphiques

de vosrésultats.

• ^On^pourra^justier^laproposition3.

• Ôn^pourra^proposerûnâlgorithme^quiâluleûne^matrie^pseudoînverse.

• ^On^pourra^justier^laproposition4.

• ^On^pourra^justier^le^théorème^1.

• Ôn ^pourra ^justier ^préisément ûn ôu ^plusieurs ^des algorithmes dérits danslapartie4.

• Ôn^pourra^mettreênôeuvrel'algorithmenéessairepourréaliserl'exemple

de façon paramétrée (ave en entrée des points Z1, ..., Z4 ^dont ^les ^oor-

données sontdesparamètres etensortielareprésentationgraphique des

quatrepointsainsiqueduerlesolution.