LA313 - Bases de la MMC Compléments - Cinématique des Milieux Continus
Opérateur de rotation
Mouvement de corps rigide :
OM =A+QOM0 ; ON =A+QOrN0
soit par différence :
M N =QM0N0 Ce mouvement conserve les longueurs :
kM Nk2 =M NTM N =M0N0TQTQM0N0 =kM0N0k2 L’opérateurQest donc une isométrie donc :
QQT =I
d
La formule du champ des vitesses est obtenue en dérivant : ON−OM =QM0N0
soit :
VN =VM + ˙QM0N0 ou
VN =VM + ˙QQTM N L’opérateurΩ = ˙QQT est antisymétrique, en effet :
QQT =I
d =⇒ QQ˙ T +QQ˙T = 0 =⇒ QQ˙ T + ( ˙QQT)T = 0 =⇒ Ω =−ΩT Il est donc associé à un vecteur vitesse de rotationω de sorte que :
ΩM N =ω∧M N
Dans une baseB(e1, e2, e3), les composantes de l’opérateurΩsont :
Ω =
0 −ω3 ω2 ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
B
avec ω=
ω1 ω2 ω3
B
ENS Cachan/UPMC L. Champaney
