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CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - exercices A. EXERCICES DE BASE I. Référentiel en rotation 1. 2. 3. II. Référentiel en rotation III. Référentiel en rotation 1. 2. 3. R R R R R R R R

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Academic year: 2022

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CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Référentiel en rotation

• Un manège tourne à une vitesse angulaire constante ω > 0. Un homme ramasse les tickets : en partant du centre à t = 0, il suit un rayon de la plate-forme avec un mouvement de vitesse constante vʼ (par rapport au manège).

1.

• Établir les équations paramétriques de la trajectoire (c'est à dire en fonction de t), puis lʼéquation de la trajectoire (en éliminant le temps) :

a) dans le référentiel

R

ʼ lié au manège ; b) dans le référentiel

R

lié au sol.

◊ indication : les coordonnées polaires peuvent simplifier certains calculs intermédiaires.

2.

• Exprimer la vitesse du mouvement de lʼhomme par rapport à

R

:

a) à partir des équations paramétriques dans

R

;

b) par composition des mouvements (interpréter chaque terme).

3.

• Exprimer lʼaccélération du mouvement de lʼhomme par rapport à

R

:

a) à partir des équations paramétriques dans

R

;

b) par composition des mouvements (interpréter chaque terme).

II. Référentiel en rotation

• Traiter les mêmes questions que dans lʼexercice (I), mais pour un autre mouvement : lʼhomme par- court sur la plate-forme un cercle de rayon r0, centré sur lʼaxe de rotation, avec une vitesse de rotation cons- tante ωʼ (par rapport au manège). Discuter le cas particulier ωʼ = -ω.

III. Référentiel en rotation

• Dans le plan xOy, un cercle de diamètre OA et de centre Oʼ tourne à la vitesse angulaire constante ω autour de lʼorigine O. On associe à son centre Oʼ un repère orthogonal xʼOʼyʼ dont lʼaxe Oʼxʼ est suivant OA.

A lʼinstant t = 0 le point A est sur Ox (qui est donc confondu avec Oʼxʼ).

• Un point M, initialement en A parcourt en outre la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire ω.

1.

• Calculer les coordonnées de la vitesse et de lʼaccélération de M dans le référentiel

R

associé à xOy.

2.

• Calculer les coordonnées de la vitesse et de lʼaccélération de M dans le référentiel

R

ʼ associé à xʼOʼyʼ.

3.

• Retrouver les résultats de la question (1) en utilisant la composition des mouvements.

(2)

2

IV. Trajectoires de mouvements composés

• Le plan étant rapporté à un repère xOy orthonormé, on considère un point M, initialement immobile en O, qui décrit lʼaxe Oy avec une accélération constante a0. Quelle est sa trajectoire pour un observateur parcourant lʼaxe Ox avec une vitesse constante v0 ?

V. Trajectoires de mouvements composés

• Le plan étant rapporté à un repère xOy orthonormé, on considère un point Oʼ qui décrit lʼaxe Ox avec une vitesse constante v0. On lui associe un repère xʼOʼyʼ avec Oʼxʼ et Ox confondus.

• Un point M décrit un cercle de centre Oʼ et de rayon R à la vitesse angulaire constante ω.

• Déterminer les équations paramétriques (c'est à dire en fonction de t) pour la trajectoire de M par rapport au référentiel associé à xOy, puis tracer lʼallure de la trajectoire correspondante dans les trois cas : v0 < ωR ; v0 = ωR ; v0 > ωR.

B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT VI. Vecteur “rotation d’entraînement” instantané

• Soit un repère (O,

!

ux,

!

uy,

!

uz) associé à un référentiel

R

, et soit un repère (Oʼ,

!

"

u x,

!

"

u y,

!

"

u z) asso- cié à un référentiel

R

ʼ, en mouvement par rapport à

R

. Les vecteurs fixes de

R

ʼ étant inchangés par transla- tion, on étudie le changement de référentiel en le considérant comme une translation de lʼorigine combinée à une rotation de la base de vecteurs.

• En dérivant les relations du type :

!

"

u x 2= 1 et

!

"

u x

!

"

u y = 0, vérifier que le “vecteur rotation dʼentraînement” défini par :

!

" = [(

!

"

u y)

!

"

u z]

!

"

u x + [(

!

"

u z)

!

"

u x]

!

"

u y + [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u z est tel que

!

"

u x =

!

"⨯

!

"

u x et de même pour

!

"

u y et

!

"

u z.

• En déduire que de même :

!

W =

!

"⨯

!

W pour tout vecteur

!

W = Wx

!

"

u x + Wy

!

"

u y + Wz

!

"

u z constant dans

R

ʼ.

◊ remarque : le vecteur

!

" est appelé “vecteur rotation dʼentraînement” de

R

ʼ par rapport à

R

; il nʼest

généralement pas constant.

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