HAL Id: jpa-00206571
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Opérateurs à trois particules pour les configurations (d + s) N
S. Feneuille
To cite this version:
S. Feneuille. Opérateurs à trois particules pour les configurations (d + s) N. Journal de Physique,
1967, 28 (8-9), pp.701-710. �10.1051/jphys:01967002808-9070100�. �jpa-00206571�
701.
OPÉRATEURS
A TROIS PARTICULES POUR LESCONFIGURATIONS (d + s)N
Par S. FENEUILLE
(1),
Laboratoire A.-Cotton, C.N.R.S., Bellevue (Hauts-de-Seine) et Faculté des Sciences, Paris.
Résumé. 2014 Les
propriétés
desymétrie
desopérateurs
à troisparticules
à l’intérieur desconfigurations (d
+s)N
ont été étudiées dans lesopérations
des groupes de rotationR5
etR6.
La
symétrie symplectique (Sp12)
etl’espace
dequasi-spin
ont étéégalement
examinés. L’en- semble de ces résultats apermis
de montrer que l’interaction effective à troisparticules peut
être
représentée
pour lesconfigurations (d + s)N au
moyen decinq paramètres
additionnels seulement.Abstract. 2014
Symmetry properties
of threeparticle operators
for(d
+s)N configurations
have been studied under the
operations
of the rotation groupsR5
andR6. Symplectic
sym- metry(Sp12)
andquasi-spin
have been also examined. The results show that the effective threeparticle
interaction can berepresented
for(d + s)N configurations by only
five additionalparameters.
Lie JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 28, AOUT-SEPTEMBRE 1967,
1. Introduction. - Il a ete montre ant6rieure-
ment
[1]
que les effets des excitations mono6lectro-niques
sur lesconfigurations (I
+II)N pouvaient
etrerepr6sent6s
dans1’approximation
du second ordre aumoyen
d’operateurs
effectifs a deux et troisparticules.
Les
op6rateurs
a deuxparticules
sontidentiques
àceux
qui
sont introduits par les excitations bi-6lectro-niques,
et pour lesconfigurations (d
+s)N
ilspeuvent
etre
exprimes
au moyen desop6rateurs
de l’interaction coulombienne a l’int6rieur de laconfiguration pertur- bee,
del’op6rateur
L2 et desop6rateurs
de Casimirdes groupes de rotation
Rs
etR6 [1, 2].
Lesop6rateurs
a trois
particules, V( kk’ k") [3],
scalaires etparfaitement sym6triques
relativement a1’6change
des deux 6lec-trons sont construits a
partir
desop6rateurs
de base :y(k) (l, 1) (0 k pair 21),
y(k)(l’, 1’) (0
k’pair 2l’)
et
V + (k) (1, l’)
=2-1/2(y(k)(l, l’)
+(- l)(k)y(k)(l’, l)) (Il-l’ I k I
+l’, parite
de I +L’) ;
cesop6ra-
teurs sont definis par la relation suivante :
Pour les
configurations (d
+s)N,
cesop6rateurs
debase se r6duisent a
V(2)(d, d), Y(4)(d, d )
etV+(2)(d, s) ;
dans tous les cas,
1’6change
de deuxquelconques
deces
op6rateurs
laisse invariantv(kk’k")
et en cons6-quence seules les dix
possibilités
suivantes sont a+ ++
nombre de
parametres ainsi
introduits est doncassez élevé,
mais il en etait de m6me apriori
pour lesconfigurations
d’electronsequivalents [4, 5]
et, dans(1)
Cet article est lapartie principale
d’un travail de These de Doctorat d’Etat. Cette these a ete soutenue le 26juin
1967 devant la Faculte des Sciences de Paris.ce cas, l’utilisation des
propri6t6s
desym6trie
desop6rateurs V(kk’k")
dans lesoperations
de diversgroupes continus a
permis
de reduire notablement le nombre deparam6tres
r6ellement n6cessaires pour d6crire l’interaction effective a troisparticules [3, 6].
Or 1’ensemble des
concepts
introduits par l’interm6- diaire de la th6orie des groupes de Lie et de la secondequantification [5]
pour lesconfigurations
d’61ectronsequivalents IN,
segeneralise
sans difficult6 aux confi-gurations (I
+II)N [7],
et 1’etude despropri6t6s
desym6trie
desop6rateurs
de l’interaction coulombienne a l’int6rieur desconfigurations (d
+s)N
a conduit ades resultats
[2]
enparfaite analogie
avec ceuxobtenus par Racah
[8]
pour des electronsequivalents.
Il était donc
possible
d’6tudier lespropri6t6s
desym6trie
desop6rateurs
a troisparticules
pour lesconfigurations (d + s)N
et de chercher ainsi a reduire le nombre deparam6tres
n6cessaires pourrepresenter
cette interaction effective. En
cons6quence,
nous avonsconstruit des combinaisons lin6aires des
op6ra-
teurs
V(kk’k") poss6dant
despropri6t6s
desym6trie
bien d6finies dans les
operations
des groupes de rota- tionR5
etR6.
Lespropri6t6s
de cesop6rateurs
ont 6t6ensuite examinees dans la
sym6trie symplectique
etrelativement a
1’espace
dequasi-spin. Finalement,
lesresultats ainsi obtenus ont
permis
de montrer que, pour lesconfigurations (d
+s)N,
l’interaction effective a troisparticules peut
etrerepresentee
au moyen decinq parametres supplémentaires seulement,
et, par cons6- quent,qu’il
estpossible d’envisager
son introduction dans une etudeparam6trique
de cesconfigurations.
2.
Opdrateurs.
- Lesop6rateurs
de base(2) (4)
+
et
(2)
peuvent etre classes suivant leurspropri6t6s
detransformation dans les
operations
des groupes deArticle published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002808-9070100
rotation en
cinq
et six dimensionsRs
etR6 [2], (2)
+
et
(4)
d’une part, et(2)
d’autrepart
se transformentrespectivement
comme lesrepresentations
irr6duc-tibles
(20)
et(10)
deR5.
L’ensemble de ces troisop6rateurs
ne forme pas unerepresentation
irr6duc-tible de
Rs,
mais si nousajoutons
a cet ensemblese transforme comme
(00)
deR5,
il constitue alors larepresentation (200)
deR6.
Pourpouvoir
construiredes
op6rateurs
a troisparticules
se transformantcomme une
representation
donn6e 1X’ deR6
et 1/de
R5,
il est donc n6cessaire deconsid6rer,
enplus
desdix
op6rateurs
introduitspr6c6demment,
lescinq op6rateurs
suivants :L’introduction de ces
op6rateurs
ne constitue pasune
difficult6 ;
il est en effettoujours possible
dansle resultat final d’annuler les
parametres
corres-pondants.
Les
op6rateurs
a troisparticules
consid6r6s sontparfaitement sym6triques
etscalaires,
enconsequence,
les
représentations
if/’ et rqui
interviennent effecti-vement dans leur classification sont celles
qui
appa- raissent dans la reduction des diversproduits
deKronecker
[(200) (00), (10), (20)]3, appartiennent
ala
representation [3]
deU2o
et contiennent unerepre-
sentation S dans leur reduction au groupe
R3,
c’est-a-dire
(600) (60), (600) (30), (600) (00), (420) (42), (420) (30), (400) (30), (400) (00), (310) (30), (222) (22), (22 - 2) (22), (220) (22), 2(200) (00)
et(000) (00).
Les
op6rateurs
a troisparticules
se transformant comme *- deRs
et ny deR5 peuvent
etre 6crits commela composante scalaire
t(if/ny)
d’un tenseurgeneralise.
Plus
pr6cis6ment,
si nous tenonscompte
des factori- sations habituelles des coefficients(V - C), t( if/’ny)
peut
etre 6crit sous la forme suivante :dans
laquelle
les coefficients(kk’ k" ] llX’Y’)
sontegaux
à :
Les coefficients
i
thonormalite suivante :
Ces relations ont ete extremement utiles dans la determination effective de ces
coefficients, qui
a 6t6conduite par
1’emploi
du th6or6me deWigner-
Eckart et d’une m6thode de
projection analogue
acelle utilis6e par Nutter et Nielson
[9]
dans le calcul des coefficients deparent6
fractionnelle. Cette m6thodequi
repose essentiellement sur lespropri6t6s
desope-
rateurs de Casimir
G(R6)
etG(R5)
n6cessitait la connaissance des elements de matrice r6duits :703
H
M L B T
or la
representation (400),
parexemple, n’apparait
pas dans la classification des 6tats de(d
+s)N,
il était doncimpossible
de calculer les elements de matrice r6duits :( (400) V’k V(2)(d, s)
-V(2)(S, d) I (400)
Vk’)
a l’aide des
techniques
habituelles. Nous les avons donc determines par un calcul enchaine,
utilisant les 616-ments de matrice r6duits :
- .
eux-memes obtenus a
partir
des seuls :qui
peuvent etre calcul6s par les m6thodesclassiques.
Les resultats finals n6cessaires a la construction des
op6rateurs t(if/’i/)
ont 6t6report6s
dans les tableauxI, II,
III etIV ;
nous avons ecarte de ces tableaux uncertain nombre de coefficients
égaux
a l’unit6.Les coefficients
([1] (200)
+[1] (200) 1 [2] 0")
peuvent etre
pris égaux
a 1 et les coefficients( [2] if/’ + [1] (200) 1 [3] W) qui
ont 6t6report6s
dans le tableau V ont ete determines de
façon
telleque les coefficients
(kk’k" ( #’Y)
soient invariants dans unepermutation quelconque de k, k’
et k". Cette determination a pu etre faite sansambiguity
sauf dansle cas if/’ =
(200) ;
dans ce dernier cas, la distinc-tion entre les deux
op6rateurs t( (200) (00))
ne peut etrequ’arbitraire,
elle a donc ete faite defaqon
telleque l’un des
opérateurs ta ((200) (20))
soit en fait unop6rateur
a deuxparticules,
comme le montre letableau
VI,
ou est donne 1’ensemble des coefficients(kk’k" (W V) qui
vérifient la relation d’orthonorma- lit6 suivante :3.
gldments
de matrice etparametres.
- Auxquinze op6rateurs t(W V),
doivent etre associ6squinze parametres
que nous noteronsT(if/’’’Y).
Enfait,
noussavons a
priori
queparmi
ceux-ci dix seulement sontindependants puisque
lescinq parametres
relatifs aux+ + +
op6rateurs (000) (022) (022) (022) (044)
doiventetre choisis nuls. Nous pouvons convenir par
exemple
de
representer
l’interaction effective a trois par- ticules au moyen des dixparam6tres T((OOO) (00)), Ta ((200) (00)), T( (400) (00)), T( (220) (22)), T( (420) (22)), T( (310) (30)), T( (400) (30)), T( (420) (30)), T( (420) (42))
etT( (600) (60)).
Enfait,
un certain nombre d’entre euxpeuvent
etre elimi-n6s,
en raison despropri6t6s
desym6trie
desop6ra-
teurs
t(W V).
Toutd’abord,
larepresentation (600)
n’apparait
dans aucun desproduits
de Kronecker des diversesrepresentations
deR6,
nécessaires à caracteriser les 6tats de(d
+s)N,
etd’apres
le th6or6me deWigner-
Eckart,
les elements de matrice entre ces6tats,
desop6rateurs t( (600) (00)), t( (600) (30))
ett( (600) (60))
705
TABLEAU IV
TABLEAU V
sont tous
nuls;
ces dernierspeuvent
donc etre 6cart6s de l’hamiltonien effectif. En outre, lestriples produits
deKronecker WxW’
x(400),
VxV’x(00)
et VxV’x(30)
contiennent au
plus
une fois larepresentation
iden-tite [2], et pour (d
+S)3 c(if’"if’" (400))
n’est diff6rent de zero que dans le cas ou W =(210).
Les elements de matrice desoperateurs t( (400) (30))
ett( (400) (00))
sont donc
respectivement proportionnels
a ceux desoperateurs
a deuxparticules
e5 et e6,dej a
introduitsdans Fetude de l’interaction coulombienne a l’int6rieur de
(d + s)N ;
leurs effets sont donc absorb6scomple-
tement par les
param6tres Es
etE6
associ6s auxop6ra- teurs e5
et e6, et dans une th6orieparam6trique,
nouspouvons choisir T( (400) (00))
=T( (400) (30))
= 0. Ilen est de meme des
parametres Ta( (200) (00))
etT((000) (00)) puisque l’opérateur ta( (200) (00))
est enfait un
op6rateur
a deuxparticules,
et que les effets del’op6rateur parfaitement
scalairet( (000) (00))
sontabsorb6s par eo et e1.
Finalement,
1’hamiltonien A troisparticules peut
etre ecrit sous la forme suivante :dans
laquelle
lesop6rateurs ta(22)
ett( (420) (42))
sontrespectivement identiques
auxoperateurs t2
ett3 deja
introduits dans 1’etude des
op6rateurs
a troisparti-
cules pour des électrons d
equivalents [6]. Cinq
param6tres
additionnels seulement sont donc n6ces- saires pour d6crire l’interaction effective a trois par- ticules a l’int6rieur desconfigurations (d
+s)N.
707
Les elements de matrice des
op6rateurs t(W-*-)
entre les 6tats
((d
+S)N virrSL) s’expriment
sansdifficult6 a
partir
de ceux desop6rateurs V(kk’ k") pris
entre les 6tats
I dN vSL) I dN-l v’S’ L, s, SL)
etI dN-2S2VSL).
Ces 616ments de matrice nous ont 6t6 tres aimablementcommuniques
par K.Rajnak
etJ. Schrijver,
et les resultats concernant laconfigura-
tion
(d + s)3
ont eteport6s
dans le tableau VII.L’emploi
du th6or6me deWigner-Eckart permet
de verifier ungrand
nombre de cesresultats ;
enparti- culier,
toutes les valeurs nullescorrespondent
aI’absence de la
representation
identite dans lestriples produits
deKronecker c( 11/11/’ 11/") ou c( 1/1" 1/") (un grand
nombre deces
coefficients ontdeja
6t6publies [2, 6]
et nous avonsport6
dans le tableau Xc( 11/11/’ (22 :f: 2)), c( 11/11/’ (31 0))
etc( 11/11/’ (420))).
En outre, le fait par
exemple
quec((20) (22) (11))
soit6gal
a 1permet
depr6voir
apriori
que leséquations :
restent valables
quel
que soit L.4.
Symdtrie symplectique
etquasi-spin.
- Il a 6t6montre que les
op6rateurs
de base apartir desquels
ont ete construits les
op6rateurs t(W V)
ne formentpas une
representation complete
du groupeSpl2 [2] ;
encons6quence,
lesop6rateurs t(W V)
neposs6dent
pas,a
priori,
despropri6t6s
de transformationssimples
dansla
sym6trie symplectique,
et nous ne pouvons pas leur associer unerepresentation
irr6ductible deSP12’
Ce-pendant,
lesop6rateurs
de baseprecedents
sont propor- tionnels aux tenseurs doubles :et ces
derniers,
associ6s auxop6rateurs Wlll>(d, d), W(13) (d, d)
etW+12>(d, s),
constituent lareprésen ta-
tion
(110000)
deSP12 [2].
Apartir
de ces tenseurs dou-bles,
il estpossible
de construire desop6rateurs
a troisparticules, auxquels peuvent
etre associ6es desrepre-
sentations données Y de
Spl2,
W deR6
et r deR5.
Les
representations
Yparfaitement sym6triques
sontcelles
qui, apparaissant
dans ladecomposition
duproduit
de Kronecker[(110000)]3, appartiennent
a larepresentation [3]
deU65
et contiennent unerepre-
sentation IS dans leur reduction a
SU2
XR3 ;
cesrepresentations,
ainsi que leur reduction aSU2
XR6,
ont ete
port6es
dans le tableau VIII. Nous consta-tons
qu’a chaque representation
11/ deR6 peuvent
etre associ6es au moins deux
representations
Y deSP12’
Cependant,
le théorème deWigner-Eckart
nousmontre imm6diatement que les elements de matrice d’un
op6rateur
se transformant comme(33000)
sontnécessairement nuls entre les 6tats de
(d
+s)N ;
en
cons6quence,
auxrepresentations (400)
et(420)
peuvent
etre associ6esrespectivement
lesrepr6sen-
tations
(220000)
et(221100).
Lepremier
de cesrésultats,
s’ilpeut apparaitre
sansgrand
intérêtpuisque
nous avons finalement ecarte lesop6ra-
teurs
T((400) (30))
etT((400) (00))
de l’hamiltonieneffectif,
montre n6anmoins que cesop6rateurs
a troisparticules
ont encore les memespropri6t6s
de trans-formation dans la
sym6trie symplectique
que leurshomologues
a deuxparticules es
et es. Pour cequi
estdes
op6rateurs t( (420) (30)), t((420) (42))
ett((420) (22)),
le faitqu’ils
se transforment comme(221100)
nouspermet
d’afhrmer que leurs elements de matrice vérifieront lar6gle
de selection Av =0, ::l: 2, puisque
les nombresc((v) (v’) (221100))
sont nuls sicette
r6gle
n’est pas satisfaite(tableau IX).
Lesrepre-
TABLEAU IX
sentations
(310), (220)
et(22 + 2) apparaissent
aucontraire dans
plusieurs representations
deSP12,
etdans ces cas les
op6rateurs correspondants
neposs6-
dent pas de
propri6t6s simples
relativement a la seniorite.Nous avons
indique
dans un article ant6rieur[2]
comment 6tablir la relation entre
quasi-spin
et s6nio-rit6. Dans le cas
particulier
desop6rateurs
a troisparticules,
il suffit d’etudier lesdecompositions
desrepresentations ((00
...0) (110
...0) (11110... 0)
709
TABLEAU X
et
(1111110
...0)
du groupeR24
dans sa reductiona
SU2
XSP12.
Les troispremi6res
ont ete 6tudi6es a propos desop6rateurs
a deuxparticules,
et nousavons
port6
celle de(1111110... 0)
dans le ta-bleau XI. Il
apparait qu’a
unerepresentation
don-née Y de
SP12
nepeut
etre associ6e engeneral
une valeurunique
dequasi-spin ;
pour larepresentation (221100) cependant,
lequasi-spin prend
la seulevaleur, 1,
etles
op6rateurs
a troisparticules T((420) 1/) poss6dent,
en
consequence,
un rang 1 relativement auquasi- spin,
cequi permet,
parapplication
du th6or6me deTABLEAU XI
Wigner-Eckart,
depr6ciser
immediatement lad6pen-
dance sur N de leurs elements de matrice :
De telles
equations
ne peuvent etre trouv6es pour lesautres
op6rateurs t( if/nj/), puisque
ceux-ci neposs6-
dent pas de rang determine par rapport au
quasi-spin.
I1 est 6videmment
possible
ded6composer
cesop6ra-
teurs en combinaisons lin6aires
d’op6rateurs poss6dant
soit des
propri6t6s
de transformationsimples
dans lasym6trie symplectique,
soit un rangparfaitement
determine relativement au
quasi-spin.
Cesd6compo- sitions, qui
sontanalogues
a celles que nous avonsr6alis6es pour les
operateurs
a deuxparticules [2] :
ne
présentent cependant,
dans Ie casconsidere, qu’un
mediocre interet.
5. Conclusion. - La mise en evidence des
propri6t6s
de
sym6trie
desoperateurs
a troisparticules
pour lesconfigurations (d
+s)N
apermis
de montrer que cette interaction effective peut etrerepresentee
a 1’aide decinq parametres
additionnels seulement. Lesop6ra-
teurs a trois
particules qui
ont ete construitsposs6dent
des
propri6t6s
de transformationsimples
dans lesoperations
de groupesRs, R6
et pour certains d’entre eux,spl2. Lorsqu’il
a etepossible
de leurassigner
unrang determine relativement au
quasi-spin,
lad6pen-
dance sur N de leurs elements de matrice a pu etre
exprimee
defaçon
tressimple.
Dans les autres cas, cettedependance
peut etrepr6cis6e
au moyen d’unedecomposition analogue
a celle r6alis6e pour lesope-
rateurs a deux
particules.
Lesrésultats,
enparfaite analogie
avec ceuxpr6c6demment
obtenus pour lesconfigurations
d’61ectronséquivalents,
montrent ainsitout l’intérêt que peut
presenter l’application
de lath6orie des groupes de Lie aux
configurations
m6-lang6es.
Je
desire remercier iciJ. Schrijver
de m’avoircommunique
les elements de matrice desop6ra-
teurs
V(kk’ k").
Manuscrit requ le 17 f6vrier 1967.
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