Traitement des configurations (d + s)n dans le formalisme des quasi-particules

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Submitted on 1 Jan 1969

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Traitement des configurations (d + s)n dans le formalisme des quasi-particules

S. Feneuille

To cite this version:

S. Feneuille. Traitement des configurations (d + s)n dans le formalisme des quasi-particules. Journal

de Physique, 1969, 30 (11-12), pp.923-926. �10.1051/jphys:019690030011-12092300�. �jpa-00206859�

TRAITEMENT DES CONFIGURATIONS

(d + s)N

DANS LE

FORMALISME

DES

QUASI-PARTICULES

Par S.

FENEUILLE,

Laboratoire Aimé-Cotton, ^C.N.R.S. II, 91-Orsay.

(Reçu

^{le 2}

juillet 1969.)

Résumé. 2014 La factorisation des espaces

spin-en-haut

^et

spin-en-bas

pour les

configu-

rations

électroniques mélangées

^du

type (l

⁺

l’)N

est étudiée sur le cas

particulier

^{des confi-}

gurations (d

+

s)N.

La classification ^des états est

précisée

^{et entre} ceux-ci sont calculés les éléments de matrice réduits des

opérateurs

par

lesquels

^{sont définies les}

quasi-particules.

Ces derniers

permettent

^de calculer dans la seule

algèbre

des moments

angulaires

les éléments de matrice de

n’importe quel opérateur agissant

^à l’intérieur des

configurations (d

+

s)N.

Abstract. ²⁰¹⁴ The factorization of the

spin-up

^{and the}

spin-down

space ^{into two}

parts

for mixed

configurations (l

+

l’)N

is studied in the

particular

^{case of}

(d

+

s)N configurations.

The different states of these

configurations

^are classified in this scheme. Reduced matrix éléments of the basic

operators

which define

quasi-particles

^are calculated. By ^{means of} the

angular

^momentum

algebra only,

^matrix elements of _any

operator acting

within the

(d

+

s)N configurations

^can be found from these reduced matrix elements.

1. Introduction. ^-

L’emploi

^des

quasi-particules

^a

permis

^{tres r6cemment a}

Armstrong et Judd [1]

^d’in-

troduire ^un nouveau schema _pour definir et classer les 6tats des

configurations

d’electrons

equivalents

^IN.

Cette classification _repose en fait sur une nouvelle

structure de _groupe dans

laquelle

^les espaces

spin-en-

haut et

spin-en-bas

introduits par Shudeman

[2]

^sont

factoris6s en deux

parties 6gales.

^Les etats correspon- dants dans

lesquels

^{seule est}

pr6serv6e

^la

parite

^du

nombre de

particules

^{mais non ce}

^dernier, peuvent

etre consid6r6s comme resultant du

couplage

^{de quatre}

moments

angulaires,

^{et aucune}

ambiguite n’apparait

si 1 reste inf6rieur a 9. D’autre part, le calcul des 616-

ments de matrice de

n’importe quel op6rateur

^{ne fait}

intervenir _que des coefficients de

recouplage

^{et ne}

necessite

1’emploi

d’aucun coefficient de

parent6

^frac-

tionnelle. Ainsi sur le

plan formel,

^les avantages ^{de ce}

nouveau schema sont donc

particulierement impor-

tants. Comme cela ^a

deja

^ete

remarque

par

Armstrong

et

Judd [1],

la factorisation des espaces

spin-en-haut

et

spin-en-bas

peut ^etre

6galement

^r6alis6e pour les

configurations m6lang6es

^{a deux} types d’61ectrons du genre

(I

⁺

l’)N,

^{mais un} certain nombre de diff6rences

apparaissent

par rapport ^{au cas} des electrons

equiva-

lents. Afin de

pr6ciser celles-ci,

nous avons choisi d’6tu-

dier de

façon

^tres d6taill6e le cas

particulierement simple

^des

configurations (d

⁺

s)N, qui

^ont

deja

conduit a de nombreuses 6tudes dans une

approche

conventionnelle.

II.

Rappels

^et

gdn6ralit6s.

^{- Pour les}

configurations

d’61ectrons

equivalents lN,

la factorisation due a Shu- deman

[2] correspond

^a la reduction

[1] :

ou les indices + ^{ou -} caract6risent 1’orientation des

spins.

^La factorisation des _espaces

spin-en-haut

^et

spin-en-bas

^dans

lesquels

^la

parite

du nombre de _par- ticules est conserv6e se traduit quant ^{a elle} par les reductions suivantes

[1] :

ou les

indices ;k,

fl., v

et §

caract6risent les

op6rateurs

de base a

partir desquels

^sont construits les

g6n6ra-

teurs de chacun des _groupes consid6r6s.

Pour les

configurations m6lang6es

^du type

(I

+

l)N,

les reductions

analogues

^aux

pr6c6dentes

^{sont les sui-}

vantes

[3], [1] :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030011-12092300

924

Le formalisme de base a

partir duquel

^{sont d6finis}

les

g6n6rateurs

des divers _groupes

R(2l

^{+ 2l’ +}

2)

est

identique

^a celui de la reference

[1],

^{mais il semble}

preferable d’adopter

^{une notation}

16g6rement

^diff6-

rente mieux

adaptee

apparemment ^aux

configurations m6lang6es.

Nous definissons ainsi les

op6rateurs

^de

base :

ou e et e’

peuvent prendre

les valeurs +

ou - 1 ;

a+

^et

amsa mZa representent respectivement

^les

ope-

rateurs creation et annihilation d’un electron dans

Fetat I slamsamza).

^{Comme on} peut ^{le voir en 6tudiant} les relations de commutation avec les composantes du moment

angulaire I,

^les

(2la

⁺

1) op6rateurs :

pour

lesquels e

^{et s’ sont}

fix6s,

forment les

composantes

d’un tenseur de _rang

la

que ^{nous notons :}

A

partir

^de

ceux-ci,

^{il est}

possible

de définir des

tenseurs

couples

^et d’6tudier leurs relations de com-

mutation ^en utilisant la relation d’anticommutation suivante :

Dans le cas ou I et l’ sont de m6me

parit6,

^on peut

montrer ainsi _que les

composantes

des divers ^{tenseurs :}

peuvent

^etre consid6r6es comme les

op6rateurs

^infini-

t6simaux du

groupe RE’ (2l

^{+ 21’ +}

2).

Suivant les valeurs donn6es a e et

E’,

^{il existe} quatre ^ensembles distincts de

g6n6rateurs,

^et

puisqu’un op6rateur quel-

conque d’un ensemble donne commute avec tous ceux

des ^autres

ensembles,

1’ensemble des

op6rateurs

^cou-

pl6s

d6finis ci-dessus constitue les

op6rateurs

^infinité-

simaux du

quadruple produit

de Kronecker 6crit

pr6c6demment.

Dans la reduction de

R(8l

^{+ 8l’ +}

9) utilisee,

^un

6tat

quelconque

^{de la}

configuration (I

⁺

l’)N peut

etre ecrit :

dans cette

expression,

^les

symboles

^if/’ caract6risent des

representations

irr6ductibles de

R(2l

^{+ 2l’ +}

2).

En

fait,

^en utilisant les m6thodes de la reference

[1],

on

peut

^montrer que T4i’ ne

peut prendre

que les valeurs

( 1 /2,1 /2,

^...,

1/2)

^et

(1/2, 1/2,

^...,

- 1/2).

Plus

pr6cis6ment

^{dans le cas ou I et l’ sont de meme}

parit6,

^{les 6tats}

decouples ] T1i’+ I+ m+,

^{1j/- l-}

m-)

^s’ex-

priment

^comme des combinaisons lin6aires d’états d6terminantaux

comportant

^un nombre de

parti-

cules

pair

^{si w+ et W- sont} diff6rents et

impair

^s’ils

sont

identiques.

Ces combinaisons lin6aires

qui

^ne

peuvent ^etre factoris6es ont une

expression g6n6rale qui

s’obtient pour l ^et l’

quelconques

^{de meme}

parite

par utilisation des resultats

precedents

^{et des m6thodes}

d6crites en

[1]; cependant,

les formules obtenues sont tres

complexes

^{et nous ne les} 6crirons que dans le ^cas

particulier

^des

configurations (d

⁺

s)N

que ^{nous avons} choisies _pour illustrer ces m6thodes. En outre, devant la

parfaite sym6trie

des espaces

spin-en-haut

^et

spin- en-bas,

nous ne nous int6resserons

qu’au premier,

^les

resultats s’obtenant _pour le second _par

simple change-

ment de

signe

^de ms.

III. Classification des dtats des

configurations (d + S)N.

^- Dans la reduction

R(6) D R(3),

^les

representations (1/2, 1/2,

^{..., ±}

1/2)

^{se r6duisent}

respectivement

^{a D3/2. Les 6tats}

decouples

^introduits

dans le

paragraphe precedent

^{sont donc au nombre}

de 64 et

peuvent

etre 6crits dans une notation sim-

plifiée :

ou les e"

peuvent prendre

^{la valeur + ou -1 et cor-}

respondent

^aux

representations (1 /2, 1/2,

^{..., e"}

1/2).

Ces 6tats

peuvent

^{etre obtenus en faisant}

agir

^successi-

vement les

op6rateurs :

sur quatre états de base

qui,

dans Ie formalisme de la reference

[I],

peuvent ^etre considérés comme des états vides de

quasi-particules,

^et

qui s’expriment

^au moyen des seuls

opérateurs

^{creation d’un electron}

^d, amsl :

1>1 == al/21 alJ2 2 ) °)

¹

1>2 == alJ2-1 al/2-2 I o) 1>3 == ai/21 aV2-21 0) ; 03A64 = ai/2-1 at/2 210).

Un état

quelconque

construit de ^cette

façon

^est

nécessairement fonction _propre des

opérateurs

^de

Weyl [4]

^de

R)(6)

^et

R+ (6) qui

s’ecrivent :

R+ (6) :

les valeurs propres

correspondantes

determinent

e"

et E’. Pour ce

qui

^{est de} m+ ^et de m_, il suffit de remar-

quer pour les determiner _{que :}

On

peut

^{montrer ainsi} par

exemple

que :

(la

^{lettre b a ete utilis6e} pour caract6riser les

op6ra-

teurs annihilation-creation d’un electron

s).

^{Les 63 au-}

tres 6tats peuvent ^etre construits de la meme

maniere;

nous n’avons _pas

jug6

utile de les

reproduire

^ici.

Les 6tats

couples E+ 3/2, E’_’ 3/2, L+ M+), quant

^à

eux, s’obtiennent bien sur a

partir

^des

precedents,

mais on

peut 6galement

^les

exprimer

^{comme combi-}

naisons lin6aires des 6tats de

plus grande multiplicite

des

configurations (d

⁺

s)N.

^Plus

pr6cis6ment,

^on

peut

^montrer que :

remarquons que chacun des 6tats se transforme comme

. une

representation

^bien d6finie de

R(6)

que ^{nous avons} d’ailleurs

indiqu6e

^ci-dessus.

IV.

Opdrateurs.

^{- Tout}

op6rateur agissant

^{a l’in-}

t6rieur des

configurations (d

+

s)N peut

^etre

exprime

comme combinaison lin6aire de

produits d’op6rateurs

annihilation-creation d’électrons d ^ou s; ceux-ci _peu-

vent etre obtenus a

partir

^{des seuls}

0 (2) (e, e’)

^et

0(0) (e, e’),

et en

consequence n’importe quel op6rateur peut

^etre 6crit a 1’aide de ^ces derniers. Il s’ensuit _que tout 616-

ment de matrice _pourra etre

exprime

^a 1’aide d’un certain nombre de coefficients de

recouplage [5]

^{et des}

seuls elements de matrice r6duits des ^tenseurs

0(2) (E, e’)

et

0(0) (E, E’).

En outre, il ^est clair _que les tenseurs

pr6-

cedents _pour

lesquels e

^{= 1}

agissent uniquement

^sur

1’espace spin-en-haut,

^tandis que ^ceux pour

lesquels

E = -1

n’agissent

que ^sur

1’espace spin-en-bas,

^et

que ^toutes choses

6gales

par

ailleurs,

leurs elements de matrice r6duits sont

égaux.

^{Nous avons} choisi de les determiner dans

1’espace spin-en-haut;

pour

cela,

^nous

avons

calcul6,

^{et cela est}

trivial,

^les elements de matrice des

op6rateurs 0121(+ el)

^et

0(0)(+, e’)

^{entre les}

6tats

decouples

^definis

prec6demment,

^{et nous en avons}

deduit les elements de matrice r6duits

correspondants

par

application

^du th6or6me de

Wigner-Eckart.

^Nous

avons obtenu finalement :

bien evidemmemt,

^les

op6rateurs 0(2)(+ +)

^et

0(0)(+ -) n’agissent

que ^sur la

partie

^{1 du}

systeme,

^{tandis que les}

op6rateurs 03B8q2 ( + -)

^et

0(0) (+ +) agissent unique-

ment sur la

partie 2; cependant,

^nous constatons,

comme cela a

deja

^ete

precise, qu’il

n’est pas

possible

de factoriser les 6tats en deux

parties ind6pendantes.

Les tenseurs

mono6lectroniques independants

^du

+ ^-

spin : V(O)(s, s), V(k)(d, d), V(2)(d, s)

^et

V(2)(d, s) [6]

peuvent

^etre

s6par6s

^{en deux}

parties n’agissant

respec- tivement _que sur les espaces

spin-en-haut

^et

spin-en-

bas. Pour ce

qui

^{est de la}

composante spin-en-haut,

celle-ci s’6crit _pour les diff6rents

op6rateurs :

Soit en utilisant les relations d’anticommutation des

op6rateurs

^de

^base,

^{soit en} remarquant que le _sym- bole 6

- j 2 ² 2

^{est nul et que} la condition

3/2 ^3/2 3/2 )

triangulaire (3/2, 3/2, 4)

^n’est pas

satisfaite,

^{on voit}

imm6diatement _que les elements de matrice r6duits

diagonaux

^en

E;

^{et el’ sont}

identiquement

^nuls pour

V(2) (d, d), V(4) (d, d )

^et

V(2) (d, s) ;

^{il est clair}

6galement

que les elements de matrice r6duits ^non

diagonaux

926

en

ei’

^{et c "} sont tous nuls _pour

V(’)(d, d), V(3)(d, d)

+

et

V(2) (d, s),

^{comme cela} aurait pu 6tre

pr6vu puisque

ceux-ci constituent les

op6rateurs

infinitésimaux du groupe

R+(6)

consid6r6. 11 s’ensuit _que

pour k

^different

de zero :

ainsi,

^{ces relations}

qui,

dans les tables de Nielson et

Koster

[7],

semblaient

accidentelles,

^{trouvent ici leur}

explication.

Les ^tenseurs

monoelectroniques dependant

^du

spin

ne peuvent

plus

^etre factorisés suivant l’orientation des

spins; cependant,

^ils peuvent ^etre construits a 1’aide des seuls

op6rateurs 0 12) (e, s’)

^et

0(0) (s, e’).

^{Ceci est}

vrai en

particulier

pour

l’op6rateur W(ll)O(d, d) qui

^est

proportionnel

^au

couplage spin-orbite

des electrons d et l’on obtient sans difficult6 les elements de matrice de cet

op6rateur

^a

partir

des seuls elements de matrice r6duits de

9(2) (E, e’).

Toute interaction a deux _corps

ind6pendante

^du

spin

^comme 1’interaction coulombienne _par

exemple

peut ^etre

s6par6e

^{en trois}

parties [8].

Deux d’entre

elles, biélectroniques, agissent respectivement

^{dans les}

espaces

spin-en-haut

^et

spin-en-bas,

^et peuvent ^d’ail- leurs etre nulles comme dans

l’op6rateur

^{associ6 a}

H2(d, s)

par

exemple;

la troisieme r6sulte du

couplage

de deux

op6rateurs monoélectroniques agissant

respec- tivement dans les _espaces

spin-en-haut

^et

spin-en-bas.

Les elements de matrice de cette derni6re

partie

s’obtiennent directement a

partir

^{de ceux des}

op6ra-

teurs

monoélectroniques

^d6finis

precedemment. Quant

aux interactions

biélectroniques agissant

^{sur un seul}

espace, elles

s’expriment

^{la encore tres} facilement a

partir

^des

op6rateurs

^de

base;

^{on obtient} par

exemple,

pour la

partie bielectronique (agissant

^dans

1’espace spin-en-haut)

^de

l’op6rateur

^{associ6 a}

G2(d, s) :

La encore, le calcul d’un tel

op6rateur

^{est trivial.}

Dans tous les cas et comme pour

les

^electrons

^6qui-

valents,

^{on constate} que la forme

prise

par les

op6ra-

teurs dans ce schema est

beaucoup plus compliqu6e

que dans une

approche conventionnelle; cependant,

la forme des

6tats, elle,

^est extremement

simple

^et,

finalement,

le calcul des elements de matrice se reduit a de _pures

questions

^de

recouplage

^{de divers moments}

angulaires,

^{et se} conduit ainsi dans la seule

algebre

^du

groupe

R(3).

^Les avantages ^de ce nouveau schema ^sur le

plan

^{formel sont donc}

identiques

pour les

configura-

tions d’61ectrons

equivalents

^{et les}

configurations m6lang6es

^{du type}

(l

⁺

l’)’,

^et permettent ^{de mieux}

comprendre

^la sous-structure du modele en couches

6lectroniques.

Remerciements.

- Je

^{tiens a remercier} ici le Docteur L.

Armstrong Jr

^et le Professeur B. R.

Judd

pour la

communication,

^avant

publication,

de leur manuscrit

sur les

quasi-particules,

^et pour les discussions fruc-

tueuses que nous avons pu avoir ensemble. Mes remerciements s’adressent

6galement

^{au Professeur}

B. G.

Wybourne qui

^{m’a fait}

part

^{de ses travaux sur}

ce

sujet.

BIBLIOGRAPHIE

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JUDD (B. R.), Quasi-particles

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^{B. R.} JUDD,

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in Atomic

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1967, 28, 315.

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The M.I.T. Press,

Cambridge,

^1963.

[8] JUDD (B. R.),

Phys. Rev., 1968, 173, ^40.