Sur les méthodes de projection de moments angulaires

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Sur les méthodes de projection de moments angulaires

J. Raynal

To cite this version:

J. Raynal. Sur les méthodes de projection de moments angulaires. Journal de Physique, 1970, 31 (1),

pp.3-13. �10.1051/jphys:019700031010300�. �jpa-00206876�

3

SUR LES MÉTHODES

DE

PROJECTION

^DE

MOMENTS ANGULAIRES

Par

J. ^RAYNAL,

Service de Physique Théorique, ^{Centre d’Études} Nucléaires de Saclay, ^B.P. n° 2,

9I-Gif-sur-Yvette,

^France.

(Reçu

^{le 26 août}

1969.)

Résumé. 2014 Dans la méthode de

projection

par des rotations

finies,

^on doit calculer des fonctions des

angles

pour les normalisations ^et pour ^tout

opérateur

^{étudié. Leur calcul} pour

un déterminant de Slater est décrit dans le formalisme de la seconde

quantification.

^{Nous dis-}

cutons le nombre minimum de

points

pour

lequel

^{ces fonctions} doivent être calculées. La méthode des

opérateurs

de rotation infinitésimale donne directement un

système d’équations

^linéaires

dont Löwdin ^a donné la solution pour ^un

opérateur

scalaire. Cette solution est

généralisée

^{à un}

opérateur

tensoriel. En introduisant des fonctions

génératrices,

^{on ramène cette seconde méthode}

à la

première qui

serait utilisée avec des rotations

généralisées.

Ainsi, ^on

peut

démontrer la for- mule de Löwdin ^et

comprendre

le formalisme de

Shapiro.

Le passage d’une méthode à l’autre

permet

d’obtenir des résultats dans des cas extrêmes où ni l’une ni l’autre ne

permettraient

^de

les obtenir.

Abstract. ²⁰¹⁴ The

projection

^{method with finite} rotations, deals with

angular

^{functions for}

normalizations and any

operator

^under

study.

^Their

computation

^{for a} Slater determinant is derived in the framework of the second

quantization

formalism. The minimum number of

points

^where these functions must be known is discussed in details. The method which uses

infinitesimal rotation

operators,

^leads

directly

^{to a} set of linear

equations,

^of which Löwdin _gave

a solution for a scalar

operator.

This solution is

generalized

^{for a tensor}

operator. Using

gene-

rating

functions, the second method can be shown to be the first ^one used with a

generalized

rotation. This _way, Löwdin’s ^{formula can} be demonstrated and

Shapiro’s

^formalism

understood. In some cases, the use of the two methods

provides

results which cannot be obtained

by

any ^one alone.

LE Journal PHYSIQUE ^TOME 31, JAXYIER 1970,

1.

Introduction.

^- Les méthodes de

projection

ont été étudiées pour être

appliquées

^{au schéma}

allongé [1, 2].

^{Elles ont} été nécessaires pour évaluer les

conséquences

^d’une

approximation qui permet

d’obtenir des formules très

simples [3, 4]

^et pour le comparer

[5]

^au schéma de séniorité dans des cas non encore étudiés

[6].

Bien que ^cette étude soit aussi

générale

que

possible,

^{elle a} été orientée par les diffi- cultés rencontrées dans ces

applications.

Les méthodes de

projection

^avec des rotations finies ^et avec des

opérateurs

de rotation infinitésimale

seront

présentées

^l’une

après

^{l’autre avant d’étudier}

les relations

qui

^{existent entre elles.}

La

première [7, 8]

^est

largement

utilisée. C’est la meilleure _pour

projeter

^un déterminant de Slater

[9] ;

les fonctions d’onde à ^une

particule

n’ont pas forcé- ment un bon moment

angulaire :

^une méthode pour les fonctions propres de l’oscillateur

harmonique

^ani-

sotrope

^est donnée dans

l’appendice

A. On obtient

une fonction des

angles

de rotation pour ^tout

opé-

rateur ; ^cette fonction doit être

analysée

^{comme une}

somme de

polynômes

^de

Legendre (ou, plus généra- lement,

d’éléments de matrice de

rotation) ;

^{les coef-}

ficients de ces

polynômes

^sont les éléments de matrice de

l’opérateur. Habituellement,

^cette

analyse

^{est faite}

par ^une

intégration.

^Nous

préférons

choisir certains

angles

^{et résoudre un}

système d’équations

^linéaires.

Cependant,

^{si on}

préfère

^{mener tout} le calcul avec

des

fonctions,

la méthode décrite dans

l’appendice

^B

permet

d’obtenir directement les coefficients des

polynômes.

La seconde

méthode, qui

n’est pas aussi

largement

utilisée que la

première,

^{a été}

développée

par Kel-

son

[10] ;

^en

principe,

^{elle ne}

peut

^être utilisée que si le nombre de moments

angulaires

^est fini. Elle conduit à un

système d’équations

linéaires dont la solution

a été donnée par Lôwdin

[11]

pour ^un

opérateur

scalaire. Une solution

analogue

^est donnée pour des

opérateurs

tensoriels.

En introduisant une fonction

génératrice

pour le

système d’équations

^{obtenu avec un}

opérateur

^de

rotation

infinitésimale,

^{cette méthode}

peut

^{se ramener} à la

première,

mais utilisée avec des rotations

généra-

lisées.

Ainsi,

^{la même fonction est calculée}

point

par

point

^{dans la}

première méthode,

alors que la deuxième la définit par ^son

développement

^en série. Les rotations

généralisées

^ont des éléments de matrice de rotation

ayant

^certaines

propriétés

des rotations ordinaires et

s’exprimant

^{aussi avec les}

polynômes

^de

Jacobi;

les relations

d’orthogonalité

^des

polynômes

^de

Jacobi permettent

de démontrer la formule de Lôwdin. Cette méthode est

équivalente

^au formalisme de

Shapiro [12]

qui

^{utilise ces mêmes}

polynômes

^{sous leur nom de}

fonction

hypergéométrique. L’emploi

des fonctions

génératrices permet

d’utiliser la méthode des

opé-

rateurs de rotation

infinitésimale,

même si le nombre de moments

angulaires

n’est pas

fini,

^{sous certaines}

conditions de convergence.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031010300

2.

Projection

par la méthode des rotations finies. ^- Considérons un

étant ) ) ^qui

^{n’ait pas un bon moment}

angulaire

^mais

qui

soit fonction propre de

l’opé-

rateur

I,

de rotation autour de l’axe de

quantification

avec la valeur _propre ^m. On

peut

^{l’écrire comme une}

somme d’états propres ^{du moment}

angulaire 1 lm > :

^:

Si 1 >

^et

les Im ~

^sont

normalisés,

^les

amplitudes aI

sont définies à une

phase près.

^{Notre but est d’étudier}

les

propriétés

^des

états 1 lm >

^{sans connaître}

explici-

tement leur fonction d’onde. On

peut

^{le faire avec} des

opérateurs

de rotation. Dans la

première méthode, l’opérateur

de rotation finie

R(oc, ~, y)

^est

appliqué

sur

l’état 1 >;

^{dans la}

^deuxième,

^{on utilise les}

^opéra-

teurs de rotation infinitésimale

I +

^{ou 1_.}

2 . l. FONCTION NORMALISATION ET ÉNERGIE. ^-

L’opé-

rateur de

rotation, appliqué

^sur

l’état ~,

^{donne :}

En

projetant

^sur

l’état 1 >,

^{on obtient une fonction}

des

angles

^{d’Euler :}

qui

^{est le} recouvrement entre

l’état 1)

^{et le même}

état

qui

^a subi la rotation

(cc, ~3, y).

^Cette

fonction,

que ^nous

appellerons

^fonction

normalisation,

^doit

être

analysée

pour obtenir les

1 al 12 (voir § 2.3).

Pour calculer les éléments de matrice réduits d’un

opérateur

tensoriel irréductible

T’,

^{il faut définir}

(2k ⁺ 1)

^{fonctions des}

angles

d’Euler. Chacune d’elles est obtenue en faisant

agir

^{une des}

composantes

^de

l’opérateur

^{tensoriel sur} l’état tourné

(2.2)

^{et en} pre- nant le

produit

^scalaire

avez

Les éléments de matrice réduits du tenseur sont obtenus à

partir

des coefficients des éléments de matrice de rotation :

Par

exemple,

^si

^{T k}

^est

l’opérateur quadrupolaire,

^les

éléments de matrice

diaconaux 1 [ 1 T k 1 Il

^sont

les moments

quadrupolaires

^des

états 1 lm) :

^{: ils}

sont

parfaitement

déterminés

car [al [2

^{est donné par}

la fonction

normalisation ;

^{les éléments non}

diagonaux

permettent

d’obtenir les BE2 : ils sont connus à un

signe près qui

^{est une}

phase

commune aux éléments de matrice réduits de tous les

opérateurs

^tensoriels

entre les

états [1) et [l’).

Le cas le

plus important

^{est celui de}

l’opérateur

scalaire

qu’est

l’hamiltonien. Pour calculer les éner-

gies,

^{il faut}

analyser

la fonction

énergie :

ce

qui

^{donne le}

produit 1 a, 2 EI.

2.2.

PROJECTION

D’UN DÉTERMINANT DE SLATER. ^- Considérons

l’état 1 >

décrit dans le formalisme de la seconde

quantification

par :

1 .. .. . , 1 , 1-. -,

où 0 ~

^{est le vide et}

a~ l’opérateur

de création d’une

particule

^{dans un état}

qui

n’est pas forcément état propre ^de 12 ni de

Iz.

Le théorème de Wick

permet

d’écrire :

L’ensemble ~t’ 2, - .., ~C~,,)

^{est le même} que l’en- semble

(~,1,

P-21 - - .,

~.1~,,)

^{et P est la}

parité

de la permu-

tation. Le second membre de

l’équation (2.8)

^n’est

autre que le déterminant d’une matrice

M(~x, ~, y)

dont les éléments sont les fonctions normalisation à unf

particule f.Li R (a, ~, y) ~,~ ~ ^qui

^{seraient utilisées}

pour

projeter

^{un état}

quelconque

^{à une seule}

parti-

cule formé avec les éléments du déterminant de Slater. Par

conséquent :

La fonction

(2.4)

^{relative à un}

opérateur

^tensoriel

s’écrit :

La somme sur f.L ^est restreinte aux états

présents

dans le déterminant de

Slater,

tandis que la ^somme

sur

ti’

^{s’étend à tout}

l’espace généré

par leur rotation.

Si les états à une

particule

^sont fonctions propres de l’oscillation

harmonique anisotrope,

^{la somme sur}

~/

est infinie. En commutant

l’opérateur

d’annihila- tion et

l’opérateur

^de

^rotation,

^{on obtient :}

En

effet,

le calcul

de ( ) a~ R(a, ~3, y) a (1. , 1 >

^{est le}

même que celui de

N(oc, ~, y),

sauf que l’état

[1.’

^a

été

supprimé

dans le ket et

l’ éta t [1.

^{dans le bra.}

C’est donc un mineur de la matrice

M(a, ~3, y) ; il

peut s’exprimer

^avec les éléments de la matrice inverse si

N (oc, ~3, Y)

^ne s’annule pas. Dans

l’équation (2.11) apparaît

^{la fonction} relative à

l’opérateur

étudié pour

un état à une seule

particules pL ) 1 T’R(oc, ~, y) ~/ ^)~.

Cette

quantité peut

^{être difficile à}

évaluer,

^{mais il}

faut considérer que les sommations sur ~L ^et

~t’

^sont

limitées aux états

présents

^dans le déterminant de Slater.

L’emploi

^de la formule

(2.11)

^est

justifié

^{si la}

dimension de

l’espace généré

par la rotation ^est beau- coup

plus grande

que celle du déterminant

[13].

Sinon,

^{il est}

préférable

d’utiliser :

où les sommes sur ~ ^et

[1.’

portent ^{sur les états}

occupés

et celle sur

~,"

^sur les états

inoccupés.

^{Le résultat}

de la somme sur

f.L’ peut

^être obtenu directement

comme solution d’un

système d’équations

^linéaires.

Si l’hamiltonien contient une interaction résiduelle à deux corps, il lui

correspond

^{une fonction}

V(oc, ~3, y) qui

peut

s’exprimer

^{avec les fonctions}

analogues

^d’un

problème

^{à deux}

particules :

Si le déterminant de la matrice s’annule _{pas :}

Si les états à une

particule

^{ont un bon moment}

angulaire,

^on

peut

utiliser les éléments de matrice

particule-particule

de l’interaction résiduelle :

mais une formule

analogue

^à

(2.12) peut

^être

plus simple.

Avec des états propres de l’oscillateur harmo-

nique anisotrope,

^ces fonctions doivent être calculées directement.

2.3. CALCUL DES AMPLITUDES ET DES ÉNERGIES. ^- Si l’état à

projeter

^{est un} déterminant de Slater et si les éléments de la matrice

M(oc, ~3, y) peuvent s’expri-

mer avec des éléments de matrice de

rotation,

^le

calcul du déterminant et de la matrice inverse

peut

se faire en terme d’éléments de matrice de rotation

(voir appendice B).

^{Les fonctions} normalisation et

énergie

^{sont obtenues comme des sommes d’éléments}

de matrice de rotation dont les coefficients sont res-

pectivement les aI 2

^{et les}

1 al 2 Ei.

^On

^peut

^aussi

considérer les éléments de matrice comme des

poly-

nômes Î

^en

sin 2 03B2

² par

exemple ; /

^{on obtient} pour les fonctions normalisation et

énergie

^des

polynômes qui

doivent être

analysés

comme sommes d’éléments de matrice de rotation.

Mais l’état à

projeter

n’est pas

toujours

^{un déter-}

minant de Slater.

Supposons

que l’on sache calculer

explicitement

les fonctions des

angles

d’Euler définies par les

équations (2.3), (2.4)

^et

(2.6)

pour ^une

rotation donnée. On

peut

utiliser les relations d’ortho-

gonalité

^entre éléments de matrice de rotation pour extraire leurs coefficients.

Ainsi,

pour la fonction ^nor- malisation :

Les

intégrations

^{sur oc et} y ^sont triviales si une seule valeur de m est

présente.

^Pour

~,

la méthode de Gauss semble

particulièrement indiquée [13].

Si le

plus grand

^moment

angulaire présent

^est

J, l’intégrant

^de

l’équation (2.16)

^{est un}

polynôme

^de

degré ^{I +} J;

^on obtient le résultat exact en

employant

la méthode de Gauss

qui

^{utilise les À zércs du}

poly-

nôme de

Legendre Px

^{avec 2~,}

plus grand

^ou

égal

à I

~- J ~--

^{1. Pour extraire toutes les}

normalisations,

il faut calculer la fonction

en j

^{+ 1}

points. Si,

pour certaines

raisons,

le nombre de moments

angulaires

est inférieur

à j

⁺

1,

le nombre de valeurs nécessaires est réduit en

conséquence. Ainsi,

^{si tous les moments}

angulaires

^sont

pairs,

la fonction est

symétrique

par

rapport à ~

⁼

nf2;

^{si m est} différent de

zéro,

^on

peut

^utiliser les zéros du

polynôme

^de

Jacobi P J ~ mm~l.

Par

conséquent,

^si le nombre de moments angu- laires est

fini,

il faut évaluer la fonction normalisation pour le même nombre de valeurs de

~3.

^On

peut

^aussi résoudre le

système d’équations

^linéaires

(2.3),

^ce

qui

^donne

plus

^de liberté pour le choix des valeurs de

~.

^Par

exemple,

dans le schéma

allongé, ni

^{= 0 et}

les valeurs du moment

angulaire

^sont

0, 2, 4,

^...,

7~~,

soit N valeurs. Les valeurs

de ~

doivent être choisies entre 0 et

n/2;

^{nous les avons}

prises équidistantes

parce que la densité des zéros des

polynômes

^de

Legendre

^{est uniforme en}

~3.

^{En résolvant le}

système d’équations

^{linéaires avec} la méthode du

pivot

^maxi-

mum, l’erreur sur le résultat est de l’ordre de l’erreur

sur les fonctions normalisation et

énergie.

^D’autre

part, les I al j2

décroissent

rapidement lorsque

^{I aug-}

mente, ^et

peuvent

devenir inférieurs aux erreurs de

calcul;

^{si on ne} tient pas

compte

^{des moments} angu- laires

élevés,

^{en réduisant la} dimension du

système d’équations linéaires,

^{les erreurs}

supplémentaires

^sont

très faibles. On

peut

^donc

appliquer

^{cette méthode}

même si le nombre de moments

angulaires

^{est infini.}

Cette

propriété

^{est à}

rapprocher

^d’une

propriété

^ana-

logue

^{de la méthode}

d’intégration

^{de Gauss}

qui permet

de

l’utiliser,

^{même si}

l’intégrant

^{est un}

polynôme

^de

degré trop grand.

L’utilisation d’un

système d’équations

linéaires à la

place

^d’une

intégration

^ne constitue pas ^un chan-

gement important

^{dans le cas d’une}

symétrie

^axiale.

S’il

n’y

^a pas d’axe de

symétrie,

^cela

paraît

^{la seule}

méthode

possible

pour

projeter

^en calculant les fonc- tions au minimum de

points.

2.4.

ÉTAT

SANS SYMÉTRIE AXIALE. ^- Si

l’état 1 )

n’a pas d’axe de

symétrie [14],

^à

chaque

valeur propre de

7~ correspond

^{une «} bande » définie par ^son nombre

quantique

^{K. Le}

développement (2 .1 )

^{doit être rem-}

placé

par :

Le nombre

quantique magnétique

^{de l’état}

de ce

développement

^est

égal

^à

K,

^{mais il}

peut prendre

toutes les valeurs de ^- I à I

après

rotation. Ces états

ne sont pas

orthogonaux,

^{mais :}

où

nkK’

^{est une matrice}

hermitique

d’élément dia-

gonal

unité. La fonction normalisation est :

et la fonction

énergie :

Pour

chaque

valeur de

I,

la matrice

hermitique a;KI aIR EJe R

doit être

diagonalisée

^{avec la}

métrique

définie par la matrice

a;RI

am

nIe

^~.

Si le moment

angulaire

^{est limité}

à J

^{et si on ne}

tient

compte

^d’aucune

symétrie,

le nombre d’éléments de matrice de rotation des

équations (2.19)

^et

(2.20)

est

de J- ^{( 2 J + 1) ) ( 2 J + 2)} ) ( 2 J + 3).

En faisant 6

varier 03B2,

^{on ne}

^peut

^obtenir que

(2 J ⁺ 1)

^relations

entre leurs coefficients. Il faut donc utiliser ~x et y.

On

peut procéder

^{de la}

façon

suivante : pour ^une

première

^valeur

de ~,

les fonctions

7V (o~ ~ y)

^et

j5’((x, ~3, y)

^{sont calculées à}

(2 J ⁺ 1)

^{valeurs de oc et}

de y

équidistantes

^{entre 0 et 27U. On} obtient alors :

où

Io

^{est la}

plus grande

^{des deux valeurs}

1 K 1 et K’ I .

Parmi les sommes du

premier

^{membre de}

l’équa-

tion

(2.21),

il y ^{en a}

8 J qui

^ne contiennent

qu’un

seul terme. Par

conséquent,

pour ^une seconde valeur de

~3,

^on n’a besoin que de

(2 J -1 )

^{valeurs de x}

et y. On

peut corriger N(oc, ~, y)

^en utilisant les inconnues

déjà déterminées,

^{ou on}

peut

^noter que la formule

(2.21)

^ne

sépare

pas

K == ] de K == - J +

¹

si on utilise

(2 J -1 )

^{valeurs de oc et} de y. De

proche

en

proche,

^{on obtient tous les} coefficients des éléments de matrice de rotation comme solutions de

systèmes

d’au

plus 1 ⁺

¹

équations

^{linéaires en calculant les}

fonctions en un minimum de

points.

Si le moment

angulaire

n’est pas

limité,

^{une limite}

supérieure

^{valable au moins}

pour K peut

être obtenue

en choisissant

J’ assez grand

^{et en} calculant :

En

fait,

les fonctions

7V ((X; ~ y)

^et

E(~x, ~, y)

pos- sèdent un certain nombre de

symétries qui

^{se tra-}

duisent par ^une diminution très

importante

^{du nombre}

des coefficients des éléments de matrice de rotation.

Par

exemple, pour J

^{= 6 et des états}

pairs,

^il

n’y

^a

que 24 inconnues ^au lieu de 455 données par la formule

générale.

Il existe

[15]

^{un état 1 =}

0,

^deux

états 1

= 2,

^{un état I =}

3,

trois états

1 = 4,

^deux

états 1 = 5 et

quatre

états 1 = 6. Avec 10 valeurs

. .

/

^{7U . TU 27r 3n}

des

fonctions = 2’ rx ^{et y = 0,} 7 ’ 7 ’ 303C0/7

^avec

oe a

y),

^{on détermine}

quatre

^{inconnues et on obtient} six relations entre les autres inconnues en utilisant

une formule semblable à

(2.21).

^{Avec 9 autres valeurs}

’-’ ’-’ - ,

1

paires

^et les valeurs

impaires

^de

I;

^{en tenant}

compte

des inconnues

déjà

déterminées et des relations

déjà obtenues,

^on obtient huit inconnues

supplémentaires

et

sept

^relations

parmi

les douze inconnues restantes.

2n

Enfin, quatre

_2n ^calculs

pour 03B2 = 03C0/6

_27r ^{avec 03B1 =} y

0, 3

, ^. , ,

3 et 03B1

- 3 03B3 = + 203C0/3

^{et un} dernier calcul pour

~ ==

^{0 donnent des relations entre} inconnues du

type

des

équations (2.3)

^et

(2.6)

écrites pour des

angles équidistants.

3.

Projection

par les

opérateurs

de

rotation

infinité-

simale.

^-- Nous considérons de nouveau un état propre de

I,

^avec la valeur propre ^m. Le cas d’état

sans

symétrie

^{axiale sera} examiné brièvement ^en fin de

paragraphe.

3.1.

ÉQUATIONS

^DE NORMALISATION ET D’ÉNERGIE. ^-

Supposons

^m

positif (si

^{m était}

négatif,

^on utiliserait

I_

au lieu de

1+). L’opérateur I,

^est

appliqué n

^{fois sur}

l’état

(2.1)

pour obtenir

Fêtât n ) :

L’état 1 n )

^{n’est pas}

normalisé ;

^au

contrainre, 1 Im + n >

est normalisé : c’est

l’état 1 lm >

^{de la}

décomposi-

tion

(2 .1 ~

^{dont le nombre}

quantique magnétique

^a

été

augmenté

^{de n unités.}

Si la somme sur I est limitée à la

valeur J,

^les

états 1 n >

^{sont en nombre fini et}

correspondent

^{à n}

allant de 0

à J -

^{m. La méthode de}

projection

^avec

les

opérateurs

de rotation infinitésimale ne

s’applique

que dans ^{ce cas.}

Le calcul

explicite

^{de la norme}

Nn

^de

l’état ~ 1 n >

donne une

équation

pour les

amplitudes a, :

,- . -J

Les informations sur l’état à

projeter

^contenues

dans l’ensemble des

Nn

^sont

équivalentes

^{à celles de la}

fonction

N(a, ~, y) qui

^{a été définie} pour la

projection

par des rotations finies. De

même,

^à la fonction

énergie correspondent

^{les valeurs} moyennes de l’hamiltonien dans les

états 1 n >.

On obtient le

système d’équations

suivant :

qui permet

^{de calculer les}

énergies EI.

3.2. CALCUL DES AMPLITUDES ET DES ÉNERGIES. ^- Les

systèmes d’équations

^linéaires

(3.2)

^et

(3.3)

^sont

triangulaires :

le nombre de termes de la somme des seconds membres décroît

lorsque

^rc croît. Elles peuvent être résolues par élimination successive. Les

énergies

des états ayant ^les

plus grands

^moments

angulaires

sont obtenues avec le

plus

^de

précision

^car leur calcul nécessite moins

d’opérations.

^Pour les faibles moments

angulaires,

^on

peut espérer qu’une

^inversion

algé- brique

^serait

plus précise

que le processus d’élimina- tions successives. Une telle inversion a été donnée par Lôwdin

[11] ; c’est,

pour les

équations (3 . 2) :

Nous démontrerons cette formule ^en étudiant les rela- tions entre les deux méthodes de

projection.

Dans le cas

particulier

^{m = 0 et I -- 0 :}

Dans les

applications

^{au schéma}

allongé,

les limitations de cette méthode

apparaissent

dès que l’on obtient les valeurs des

N,, :

^{ce sont} des entiers très

grands, produits

de n ! n ! par ^un entier

qui

^est

déjà

^très

grand.

^{Pour huit} neutrons et huit

protons

^{dans une} couche

~1512~ qui

^{est le cas} extrême que ^nous ayons

considéré, ~’V64

^est de l’ordre de 10195 et le

plus grand

terme de la somme

(3.5)

^est

1,7

^{X 1025 et vient de}

N42, Ainsi,

pour ^retrouver la

valeur 1 ao 1 2

⁼

^0,0206185

obtenue par la méthode des rotations

finies,

il faudrait utiliser un

grand

nombre de chiffres

significatifs

^dans

les calculs intermédiaires.

Le calcul des

énergies

^est le même que celui des

amplitudes.

^En

conclusion,

^cette méthode donne

plus

facilement les

grands

^moments

angulaires

que les

petits;

^le

plus

souvent, ^les

grands

^moments

angulaires

n’ont pas de ^sens

physique.

3.3. OPÉRATEURS TENSORIELS. ^- Les éléments de matrice réduits d’un

opérateur

tensoriel irréduc- tible sont aussi donnés par ^un

système d’équations

linéaires

[10].

On obtient une

équation

^du

système

en calculant la valeur moyenne d’une

composante Tq

entre

l’état 1 n >

^et

l’état ~ n’ ~

tel que n’ ^{= n}

+ q :

Le nombre

d’équations

^du

système peut

^être

plus grand

que le nombre d’inconnues :

I,

^I" et k doivent vérifier les

inégalités

^du

triangle, ^mais,

pour les

équa- tions,

^{il suffit}

que 1 n

^-

^n’ 1

^{soit inférieur à k. Si}

m ⁼

0,

^cela

représente 1

₂

k(k

^-

1) équations supplé-

mentaires.

Ce

système d’équations peut

aussi être résolu par éliminations successives car

a;, al l’ Il Tk 1 [ 1 >

^est

seulement fonction des

T n, n

^{avec .} n > I ^et

n’ >

^l’.

On

peut

^{aussi obtenir une inversion}

algébrique,

^res-

semblant à la formule de Lôwdin. Pour la

démontrer, exprimons

^le coefficient

3 - j

^de

l’équation (3.6)

avec la formule de Racah

[16] :

Considérons les

quantités :

Les

quantités T,,,

^{ne sont} nécessaires que pour z variant ^entre la

plus grande

^{des deux valeurs 0 et n - k et la}

plus petite

^{des deux}

valeurs J

^{et n -r k. Dans leur}

définition,

^{la somme sur n’ va de z à la}

plus petite

^{des deux}

valeurs J

^{et n --f- k. En utilisant}

l’équation (3.7),

^{la somme sur n’} peut ^{se faire et} élimine la variable t

qui prend

la valeur k -j- ^{n - z. La} formule de Lôwdin

peut

alors être

appliquée

^deux

fois,

^la

première

^{avec les variables}

I et n, ^la seconde ^avec les variables I’ et z. On obtient ainsi :

La somme sur z de

l’équation (3.9)

^{et celle sur t de}

la formule de Racah ont des structures semblables.

Pour I et I’

fixés,

^{ces deux sommes ont le même nombre} maximum de termes.

Cependant,

^la somme sur z ne

constitue pas ^un coefficient 3 -

j.

Remarquons

que les trois sommations de la for- mule

(3.9) ^peuvent

^{se faire} successivement : les élé-

ments de matrice réduits sont obtenus

après

^trois

combinaisons linéaires ne

portant

chacune que ^sur

un seul indice.

Nous n’avons aucune

justification

^de l’utilisation des

quantités (3.8)

^comme

étape

intermédiaire. Une autre méthode

possible correspond

^aux

équations (2.4)

et

(2.5)

^de la méthode des

projections

^{avec des rota-}

tions finies. Considérons les

quantités :

La sommation sur n’ n’élimine pas la sommation sur t de la formule de

Racah,

mais transforme le coefficient

3 - j

^{en un autre} coefficient 3 -

j.

^Nous

expliquerons

^{ce fait en} étudiant les relations entre les deux méthodes de rotation

(cf. § 4. 3).

^En

appliquant

la formule de Lôwdin avec I _{et n,} on obtient les _quan- tités

6§

^de

l’équation (2.4).

^{Les éléments de matrice}

réduits sont obtenus avec la formule

(2.5).

3.4.

ÉTAT

SANS SYMÉTRIE AXIALE. ^- Pour

projeter

un état sans

symétrie axiale,

^{il faut utiliser les}

opé-

rateurs

lz

^et

I-,.

^Par

exemple,

les normalisations sont

données _par le

système d’équations :

Le calcul de ces

expressions

pour ^un nombre suffisant de valeurs de k

permet

^de

séparer

^{les termes du second}

membre

pour K

^{et K’ fixés.} Les valeurs de

sont alors données par ^un

système d’équations

^linéaires

qui

^{est un} peu différent des

équations (3.2)

^si

^{K’ #}

^K.

La formule de Lôwdin peut ^être

généralisée

pour résoudre ces

équations (cf. § ^{4. 4).}

4.

Relations

entre

les

deux

méthodes.

^- On

peut

transformer la méthode de

projection

^{avec les}

opéra-

teurs de rotation infinitésimale ^en celle

qui

^{utilise les}

rotations finies en introduisant des fonctions

généra-

trices. Une fonction

génératrice N(t)

^{est obtenue}

en

multipliant

^la

équation

^du

système (3.2) par tn

^{et en sommant sur n.}

Considérons le cas m ⁼ 0 et la fonction

génératrice :

En

remplaçant Nn

par ^son

expression (3.2),

^{le coef-}

ficient de

chaque 1 a, 12 peut

^{être identifié au}

dévelop-

pement

^{en série du}

polynôme

^de

Legendre Pi(1 ⁺ 2t).

Le

système d’équations (3.2)

^{a donc été}

remplacé

par ^une

équation

^{semblable à}

(2.3). Les ) ai )2 ^peuvent

être obtenus _par

intégration

^du

produit

^de

N(t)

^avec

un

polynôme

^de

Legendre.

^{Si on}

remplace N(t)

par ^son

développement

^{en série}

(4.1),

^{on obtient la}

formule de Lôwdin comme nous le démontrerons dans le ^cas le

plus général.

Les deux méthodes consistent donc à obtenir la fonction des

angles N(t)

que nous avons

appelée

fonction normalisation. Dans la

première ^méthode,

cette fonction est calculée à des

angles p fixés;

^{dans la}

deuxième,

^{elle est} obtenue par ^son

développement

en série de t ⁼

sin2 0/2.

Si m n’est pas

nul,

^la

correspondance

^{est moins}

directe et il faut introduire la notion de rotation

généralisée.

4.1. FONCTIONS GÉNÉRATRICES. ^- Considérons l’état :

L’opérateur appliqué

^à n’est pas ^un

opéra-

teur de rotation

physique,

^car il décrit une rotation oc autour d’une droite

isotrope

^du

plan

xy; c’est ^un

opérateur

de rotation

généralisée.

^Le dénominateur n !

a été introduit pour ^conserver les

propriétés

de groupe des rotations.

Les éléments de matrice de e«I+ sont

simples.

^Entre

des fonctions propres du ^moment

angulaire,

^{ce sont :}

Cette rotation ne

peut

pas être utilisée pour

projeter

car e«I+ ~ ~

^{= 1}

quel

que soit ^oc.

La fonction

génératrice

^{des normes des}

états 1 n >

est la norme de

l’état ~ oc ~.

^Nous

préférons

^introduire

un deuxième

angle ~

^{tel que = t, et écrire :}

Nous avons introduit une deuxième rotation er3I- dont les éléments de matrice sont

hermitiques conju- gués

^{de ceux de Les} éléments de matrice du

produit

^{de ces deux rotations sont un cas}

particulier

de ceux des rotations

généralisées.

4.2. ROTATIONS GÉNÉRALISÉES. ^- Comme pour les rotations

physiques,

^{toutes les}

représentations

^irré-

ductibles des rotations

généralisées

peuvent ^{être obte-}

nues à

partir

^{de la}

représentation

irréductible à deux dimensions. Cette

représentation

^à deux dimensions d’une rotation

généralisée

^{est une matrice :}

telle

que ad

^{- bc =} 1. Le groupe des rotations

géné-

ralisées est donc

isomorphe

^au groupe des matrices unimodulaires à deux dimensions

(le

groupe des rotations

physiques

^étant

isomorphe

^{à son} sous-groupe des matrices

unitaires).

On obtient les éléments de matrice en

appliquant

sur une base

spinorielle [17] :

où X =

( X+, X_ )

^{est un}

spineur

à deux dimensions.

Si on

remplace X

par X’ ⁼ S2X dans la défini- tion

(4.6),

le coefficient de

Ol/(jm’)

^est l’élément de matrice :

- -- ..

J

Comme pour les rotations

physiques,

^{ces éléments}

de matrice

peuvent s’exprimer

^{avec les}

polynômes

de

Jacobi :

Cette formule est valable _pour toutes les valeurs de m et de m’ : le

polynôme

^de

Jacobi

^est

un

polynôme

^de

degré n

pour ^toutes les valeurs

posi-

tives ou nulles de n

+

^{oc et n}

+ p ^[18]. Cependant, (1)

^{s’annule si oc est}

négatif

^et la formule

(4.8)

ne

permet

pas d’obtenir les éléments de matrice

(4.3)

pour m’ m, si ^on n’utilise pas les relations :

Pour la rotation

physique (0, ~, 0), a

^{= d = cos}

p/2

et c = - b ⁼ sin

~/2;

^on

obtient :

^1-

Les relations de

symétrie

des éléments de matrice des rotations

physiques

^sont dues à la forme

spéciale

de

Q;

^{elles ne sont} pas valables pour les rotations

généralisées.

Pour le

produit

des deux rotations

généralisées

^exl+

et

ef3I- :

l’argument

^des

polynômes

^de

Jacobi

^{est 1} -Î- En

posant

= t, les éléments de matrice de rota- tion sont :

C’est seulement pour ^{m =} m’ ⁼ 0 que l’élément de matrice de rotation

(4.12)

^est

égal

à l’élément de ma-

trice de rotation

physique (4 .11 )

pour

sin2 pj2

^{= - t;}

si m ⁼

m’ =1= 0,

^ces éléments de matrice diffèrent

" 2m

d’un facteur

cos 2 ²

^.

4.3. OPÉRATEURS TENSORIELS. ^- Avec (X = t et

~ = 1,

la différence entre les fonctions

(2. 3)

^ou

(2. 6)

et la fonction

génératrice

pour les normalisations :

.1 .... . _ 1. .

(4.14) n’est que l’utilisation de rotations

généralisées.

^De

même,

la seconde méthode de calcul des éléments de matrice réduits d’un

opérateur

^tensoriel

irréductible, exposée

^au

paragraphe précédent, correspond

^{à l’uti-}

lisation des fonctions

(2.4)

pour ^cet

opérateur.

^Consi-

dérons la fonction

génératrice

^{à deux} variables pour les

Tn’n

définis par

l’équation (3.6) :

Tq

( 03B1) e5I- Tl, k ^{1 ).}

n. nfn

(4.15) L’opérateur

^tensoriel

apparaît

^{entre les deux}

opé-

rateurs de rotation. Pour obtenir l’ordre de la for- mule

(2.4),

^{il faut commuter}

^e5I-

^avec

T"

^{et définir}

de nouvelles fonctions

génératrices : T’z (03B2,03B1)

C’est la

justification

de la combinaison linéaire faite à

l’équation (3.10).

^Ces nouvelles fonctions

génératrices peuvent

^{s’écrire :}

T-’z(1, t)

Il faut donc obtenir le coefficient de l’élément de matrice de

rotation, puis

utiliser la formule

(2.5)

pour avoir les éléments de matrice réduits.

4.4. FORMULE DE LÔWDIN GÉNÉRALISÉE. ^- Les coefficients des éléments de matrice de rotation dans les

équations (4.13)

^et

(4.14)

^sont obtenus par la formule de Lôwdin. Une certaine

généralisation

^est

nécessaire pour obtenir les coefficients des éléments de matrice de rotation dans

l’équation (4.17)

^dont

les deux nombres

quantiques magnétiques

^{ne sont} pas

identiques.

Pour démontrer une formule de Lôwdin

généralisée,

considérons une fonction :

Si m’ > _m, les sommations sont

pour n >

^{0 et}

m’ ;

si m’ m, elles sont

pour n >

^{m - m’ et}

I >

^m. Nous désirons

exprimer

^les coefficients

XI

^{en fonction des}

Fn.

En

remplaçant

les éléments de matrice de rotation par des

polynômes

^de.

Jacobi,

^on

peut

^{utiliser la} relation

d’orthogonalité :

et la formule de

Rodrigue :

On obtient ainsi :

Les dérivées de

l’intégrant

^sont éliminées par I ^- m’

intégrations

par

parties :

Le terme

(1

~-

t) disparaît

^avec

(I ^-~- ~)

^nouvelles

intégrations

par

parties.

^{Le résultat est :}

où la somme sur n commence à la

plus grande

^des

deux valeurs

(I - m)

^ou

(I - m’).

^{Si m =}

m’, l’équa-

tion

(4.23)

^est la formule de Lôwdin. Si

m’,

on obtient une

généralisation

^triviale.

4.5. FORMALISME DE SHAPIRO. ^- La méthode de

projection

d’un déterminant de Slater avec des rota- tions finies

peut

être utilisée en

employant

la rotation

généralisée (4.11).

^Les éléments de la matrice M

sont alors des éléments de matrice de rotation

(4.12).

La méthode est alors très

proche

^de celle utilisée par

J. Shapiro [12]. Shapiro

^{considère un état à}

N-particules

^sans

antisymétriser,

c’est-à-dire un des N !

produits

d’éléments de matrice dont la somme est le déterminant de M.

Chaque

^{élément de}

matrice, multiplié

par ^une

puissance

convenable de oc

et ~,

est

exprimé

^{comme un}

développement

^{en série de}

x ⁼ Il utilise les fonctions

hypergéométriques,

reliées aux

polynômes

^de

Jacobi

par :

Le coefficient

de xk

dans le

produit

des fonctions

hypergéométriques

^{est un des}

Nn

^{de la formule}

(4.13) multiplié

par ^un certain coefficient. Au lieu d’utiliser la formule de

Lôwdin, Shapiro multiplie

^{le tout} par

une autre fonction

hypergéométrique qui

^{n’est autre}

qu’une

^{fonction de}

Jacobi

de seconde

espèce :

Il cherche ensuite le coefficient d’une certaine

puis-

sance de x dans le

produit

^{de ces N} -f- ¹ fonctions

hypergéométriques.

^{Mais ce} coefficient

pourrait

^être

obtenu par ^une

intégrale

^de contour autour de l’ori-

gine qui peut

^se transformer en

intégrale

^{autour de}

la coupure

(- 1, 1)

de la fonction de

Jacobi

^de

deuxième

espèce.

^Cette méthode de calcul

des

revient à utiliser :

ce

qui

^{se démontre avec} les relations

d’orthogonalité

des

polynômes

^de

Jacobi,

^{et :}

+

10) io)

^-

n n n

(4.27)

valable pour des valeurs entières de _n, oc et

~.

^On

pourrait

ainsi démontrer la formule de Lôwdin à

partir

des relations de

bi-orthogonalité

^des

poly-

nômes de

Jacobi

^{et des} fonctions de

Jacobi

^{de seconde}

espèce

^{dans une}

intégrale

^{de contour.}

Remarquons

que

Shapiro

^{utilise un}

paramètre

^dont

la

puissance

^décroît

lorsque

^{le moment}

angulaire

augmente.

^{On retrouve} le fait que les ^moments angu- laires élevés sont obtenus

plus

aisément que les ^autres dans la méthode des rotations infinitésimales.

5. Conclusion. ^- L’introduction d’une fonction

génératrice

dans la méthode de

projection

^{avec des}

opérateurs

de rotation infinitésimale

permet

de pro-