Application de la méthode de projection au calcul des transitions électromagnétiques

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Submitted on 1 Jan 1963

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Application de la méthode de projection au calcul des transitions électromagnétiques

Rouhaninejad Houchang

To cite this version:

Rouhaninejad Houchang. Application de la méthode de projection au calcul des transitions électro- magnétiques. Journal de Physique, 1963, 24 (10), pp.705-708. �10.1051/jphys:019630024010070500�.

�jpa-00205551�

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LE JOURNAL DE PHYSIQUE

APPLICATION DE LA MÉTHODE DE PROJECTION AU CALCUL DES TRANSITIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES

Par ROUHANINEJAD HOUCHANG,

Département ^de Physique Théorique

du Centre de Recherches Nucléaires du C. N. R. S., Strasbourg-Cronenbourg.

Résumé.

En considérant les fonctions propres de l’hamiltonien de Nilsson et en les pro-

jetant ^{sur les états} propres ^{du moment} cinétique total ; nous avons établi dans le cas des noyaux lourds et de A impair, ^{des formules donnant la} probabilité ^des transitions multipolaires ^électro- magnétiques. ^{Ces résultats ont été} appliqués ^{au cas des} transitions dipolaires électriques ^inter-

dites

K. L’accord avec l’expérience semble satisfaisant.

Abstract.

Considering the Nilsson eigen functions and projecting ^{them on the} eigen ^states

of total angular momentum, ^{in the case of} heavy ^{odd nuclei, we} establish formulas for the electro-

magnetic multipole transition probabilities. ^{These results are} applied to the electric dipole K

forbidden transitions. Agreement ^with experiment appears ^{to be} satisfactory.

Tome 24 No 10 OCTOBRE 1963

1. Introduction.

Dans le inod6le rotationnel du noyau [1], ^{si les} 6tats étaient repr6sent6s par

un simple produit des fonctions d’ondes intrin-

seques ^et rotationnelles ; ^la quantit6 K - ^la pro-

jection ^{du moment} ein6tique total suivant l’axe nuel6aire

serait une constante de mouvement,

ceci imposerait ^une règle ^de selection, connue sous

le nom d’interdiction

K.

Expérimentalement ^ces transitions « interdites ^» s’effectuent avec une probabilite beaucoup plus petite (- 107) que la valeur th6orique ^{donn6e par} Weisskopf [2].

11 est done souhaitable d’essayer ^{de trouver une}

m6thode pour ^le calcul th6orique ^{des dites tran-}

sitions.

Nous nous proposons d’appliquer la m6thode de

projection, d6velopp6e par J. ^Yoccoz [3] ^{et de} proc6der ^{ainsi a une} confrontation exp6rimen-

tale [4] ^{de cette m6thode.}

II. Le vecteur d’état.

On s’int6resse aux tran- sitions électromagnétiques ^{des noyaux lourds et}

de 9 impair ^{se trouvant dans la} region ^{ou le}

modele rotationnel s’applique.

Dans le systeme ^de reference lie au noyau, ^nous prenons des ^vecteurs d’états du type :

Nous ne tenons compte que des excitations de

la particule ^isol6e dont les 6tats sont repr6sent6s

par IN Ka >. Le vecteur jC > decrit le coeur

dont 1’effet sera approximé par ^un facteur dit de normalisation.

Nous montrerons que c’est a l’aide de ^{cette nor-} malisation que les facteurs d’interdiction des ^tran- sitions 6tudi6es pourront ^{etre calcul6s.}

Dans le système ^du laboratoire, ^{les 6tats sont}

decrits _{par les} vecteurs orthonorm6s NJMKa ^>

qui, ^{a 1’aide de la} m6thode de projection, ^s’obtient

a partir ^de (1) :

Où les angles d’Euler, qui ^font passer du sys- t6me intrins6que ^au syst6me ^du laboratoire, ^sont symbolises par R. Le facteur ^{N est} donn6 par :

avec

et

Le facteur F(B) possede ^{un maximum} pour

p ^{= 0. Plus} le noyau ^est lourd, plus ^{ce maximum}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019630024010070500

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est aigu [3]. ^Ceci permet d’effectuer l’int6gration

par méthode de Col. On peut poser :

avec

Une m6thode pour le calcul approximatif ^du param6tre ^{oc est} d6crite dans l’appendice.

Pour les vecteurs IN Ka > nous choisissons les vecteurs propres de 1’hamiltonien de Nilsson [5].

Ces vecteurs engendrent ^un espace d’Hilbert qui

se decompose ^{en sous} espaces invariants par

rapport ^aux deux transformations unitaires sui- vantes qui ^nous interessent :

1) La transformation C qui ^est définie par :

C’est un changement ^de base, ^{nos calculs seront}

.

effectu6s dans la nouvelle base ainsi obtenue.

La dimension de chaque ^sous espace invariant

(N ^{et K} fix6s mais quelconques), ^est donn6e par :

2) ^La representation irr6ductible D’ _{du groupe} des rotations spatiales. La dimension de chaque

sous espace invariant (N ^{fixe mais} quelconque), ^est

donn6e par :

III. L’élément de matrice de transition.

11 est defini _{par :}

Où T(À) est l’op6rateur 2x-polaire de transition.

On a :

Dans les cas des transitions electriques ^nous

avons neglige la contribution du spin qui ^{est du}

meme ordre que celle ^du multipole magnétique

d’un ordre plus ^{élevé. Les} charges effectives sont not6es par c ^et e’, ^{nous avons} pose :

Ou _{u est} le moment magn6tique

^en magn6ton

nucleaire

qui ^{contribue a} la transition (10a) ^{et e.}

est la charge elementaire electrique. L’élément de matrice de transition s’écrit sous la forme :

avec

En utilisant I’algebre ^{de Racah} [6], [7], ^on

trouve :

ou :

F et G sont des fonctions de j ^et de j’ (cf. ^r6f6-

rence [7]).

IV. La probabilité de transition par unite de

temps.

^{Elle est donn6e} par [2]

avec

L’616ment de matrice tC;;’IV. etant défini _par l’équa-

tion (12). ^{En se servant des} expressions prece-

demment donn6es, ^{on trouve :}

ou l’on a pose :

avec

Notons que meme si ^{e’ =} 0, ^on peut ^avoir P(’M") 0 ⁰ (cf, 1’6quation 11). Rappelons que les nombres CkKa ^sont des fonctions du paramètre ö

de deformation et qu’ils ^sont calculables a l’aide des tables de Nilsson. L’equation (24) ^montre que si e-"’ -> 1, ^{on retrouve la} r6gle de selection

K :

En utilisant le. developpement ^{limit6 des fonc-}

tions dix,(x), ^{on obtient un} d6veloppement ^en ill/..

-

qui converge rapidement

^{de la} probabilite ^de

transition. 11 est meme souvent possible ^{de ne}

considérer que ^le premier ^{terme du} d6veloppement

et d’écrire la probabilite ^de transition sous la forme suivante :

Soit Pw la probabilite ^donn6e par Weiskoff et

Pex la probabilite expérimentale. On definit un

facteur Fw _{par :}

Nous verrons que le facteur Fw est essentiel- lement donne par le ^terme oc2r;, ^l’entier positif §

6tant calculable pour les transitions soumises ^à 1’6tude. On aura :

pour les transitions K - permises

pour les transitions K - interdites.

Le nombre § d6signe

^en quelque ^sorte

^le degr6 d’interdiction de la transition considérée.

V. Applieations numeriques.

^{Nous allons} appliquer la formule (17) ^{au calcul de la} proba-

bilit6 des transitions dipolaires electriques ^K-inter-

dites. Quatre exemples ^{sont trait6s et} les résultats sont donn6s dans la table ci-dessous (nous ^avons pris ^{a =} 0,3) :

On voit que ^le rapport ^des probabilités ^th6o- riques ^et expérimentales ^est de l’ordre de dix.

Compte ^{tenu du caract6re} approximatif ^{de nos} calculs, ^on peut considerer que l’accord ^avec l’expé-

rience est satisfaisant.

REMERCIEMENTS

Je tiens a exprimer ^mes remerciements a M. le Professeur Jean Yoccoz qui ^{m’a donne l’idée de ce}

travail et qui ^n’a cess6 de suivre ^son evolution tout

en m’accordant son aide et de precieux ^conseils.

Je remercie MM. M. Vergnes, ^{C. F. Perdrisat et}

A. Knipper qui ^m’ont communique ^{les r6sultats} exp6rimentaux ^{utilises dans le} chapitre ^des appli-

cations numeriques.

Je suis reconnaissant au Centre National de la Recherche Scientifique pour ^{son concours} materiel.

Manuscrit reçu le 15 mai 1963.

APPENDICE

Nous voulons d6crire ici, ^une methode pour le calcul de l’ordre de grandeur ^du param6tre ^a.

Comme il a dej a ^ete signal, ^nous envisageons ^les

cas ou le nombre des particules qui composent ^le

coeur est pair. ^{On aura donc :}

D’ou

708

et

Pour Ie vecteur C > ^{nous prenons la forme}

dimple suivante :

Les indices ^-n. et v correspondent ^aux protons

et aux neutrons respectivement. ^{Les vecteurs}

Ci > (i ^{= 1t,} v) ^sont des determinants de Slater, formés à l’aide ^{des vecteurs} propres de l’hamil- tonien de Nilsson. 11 est facile de voir que Fen

aura :

avec

Les sommations 6tant 6tendues sur tous les 6tats occupés par les nucléons correspondants. ^Il

est commode d’eff ectuer Ie calcul dans la base {( 1-s » : :

Ce qui ^{conduit au} résultat suivant

avec

REMARQUES. - 1) L’équation (32) ^montre que

la contribution d’une couehe N complètement occup6e, ^est nulle. En utilisant ce fait, ^on peut

reduire le nombre d’elements de matrice a calculer.

2) ^En applicant ^les équations ci-dessus, ^{dans le}

cas de 169Tm nous avons trouve ;

BIBLIOGRAPHIE [1] BOHR (A.) et MOTTELSON (B.), ^{Dan. Mat.} Fys. Medd.,

1953, 27, ^{n° 16.}

[2] ^BLATT (J. M.) ^{et WEISSKOPF} (V. F.), ^{Theor. Nuclear} Physics, ^1958.

[3] ^Yoccoz (J.)2014 Thèse, Paris, ^1956.

[4] Voir aussi le calcul des moments d’inerties nucléaires par : ^Yoccoz (J.), Proc. Phys. Soc., 1957, A, LXX, 388.

[5] ^NILSSON (S. G.), Dan. ^Mat. Fys. Medd., 1955, 29, ^{n° 16.}

[6] ^RACAH (G.), Phys. Rev., 1942, 62, ^438.

[7] KENNEDY (S. M.) ^{et SHARP} (W. T.), Statistical Factors

for Electromagnetic transitions, ^CRT 580, ^Chalk

River, 1954.