DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS

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Submitted on 1 Jan 1968

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DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS

R. Arvieu

To cite this version:

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 1, Suppltmenl au no I , Tome 29, jlrnvier 1968, page C 1

-

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DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS

par R. ARVIEU

Division de Physique Théorique, Institut de Physique Nucléaire, Laboratoire Associé au C . N. R. S. (*)

Résumé. - Nous examinons les aspects actuels sur la structure des noyaux lourds et nous étu- dions la validité des différentes approximations utilisées pour ces noyaux.

Abstract. - We review some recent developments on the structure of heavy nuclei. We analyze the validity of the approximations which have been used for these nuclei.

1. Introduction. - 11 est bien connu que les théo- riciens de la structure nucléaire sont placés devant trois difficultés principales :

a) I'interaction nucléon-nucléon libre n'est pas bien connue ;

6) on ne sait pas encore clairement comment déter- miner les paramètres du modèle en couches à partir d'une force à deux corps ;

c) on ne peut diagonaliser que des matrices de rang modeste de façon économique, alors qu'un gain d'un facteur 10 ou 100 serait peut-être indispensable.

Des progrès sont accomplis simultanément par les physiciens qui travaillent parallèlement dans les trois voies correspondant respectivement à chacune de ces difficultés. Nous ne parlerons pas ici des travaux rela- tifs aux deux premières mais seulement de ceux menés dans la troisième voie, c'est-à-dire des calculs de modèle en couches effectués en supposant connue I'interaction à deux corps ct dans lesquels des hypothèses sont faites relativement au nombre, aux énergies et aux fonctions d'onde des états individuels qui interviennent dans les calculs. L'interaction peut être soit déduite des résultats expérimentaux comme dans les calculs d'interaction effective, soit inspirée dc l'interaction nucléon-nucléon librc, soit encore, purement phénoménologique, peut revêtir une forme simple avec le secours de quelques paramètres ajustables (mélanges de forces courants, forces d'appariement, quadrupolaires, octupolaires).

Les états individuels que l'on considère sont ceux occupés par lcs nucléons de valence, leur énergie est déduite le plus souvent elle aussi des résultats expéri- mentaux, ou peut être ajustée, les fonctions d'onde

(*) Adresse Postale. - Boite Postale No 1, 91-Orsay.

dans la grande majorité des calculs sont des fonctions d'un oscillateur harmonique.

L'usage des grands ordinateurs a permis à de très nombreux calculs de modèle en couches de voir le jour depuis une dizaine d'années. Il faut rappeler à ce stade que l'on possède, avec le modèle en couches. un modèle mathérnatiquerilerit complet dans lequel un calcul exact peut être conduit à condition d'effectuer au préalable des hypothèses très restrictives sur le nombre d'états individuels mis en jeux. On se limite par exemple à une ou deux sous-couches telles que 1 fYl2

ou 1 f,/,, 2 p , , , à partir desquelles on construit tous les états permis par toutes les règles habituelles (moment angulaire, parité, isospin, antisymétrie) ayant de plus le nombre désiré de particules. La matrice de I'interaction est construite sur la base de ces états en utilisant des techniques déjà classiques [l], et diago- nalisée [2].

Ce programme a surtout été appliqué à la description des noyaux moyens dans les régions ou peu de sous-couches interviennent. 11 devient rapidement impraticable dès que le nombre de particules de valence et le nombre d'états individuels dépassent quelques unités car le nombre total d'états atteint très vite une très grande dimcnsion. Aussi est-on amené à utiliser des approximations qui permettent de ramener le pro- blème à des dimensions raisonnables. La dificulté existe principalement lorsqu'on doit tenir compte en même temps des neutrons et des protons des couches ouvertes.

Trois attitudes principales ont alors cours. On peut, à partir d'une base correspondant à un potentiel moyen sphérique, rechercher par la théorie des groupes des classifications d'états correspondant à des interactions simples [3], ou rechercher, ce qui revient au même, à

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DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS C 1

-

75 généraliser des méthodes dérivées de la théorie de la

supraconductivité. Cette méthode ou plutôt ces méthodes n'ont pas, il faut le dire, débouché sur des applications pratiques. On peut aussi utiliser la méthode de Hartree Fock comme un moyen de produire, à relativement peu de frais, des fonctions d'onde très complexes. Les applications n'ont pu être menées jusqu'ici que pour les noyaux légers [4]. On peut enfin, comme Kisslinger et Sorensen l'ont fait pour la plupart des noyaux supposés sphériques au-delà du nickel, tenir compte séparément des forces d'appariement entre particules identiques, puis de l'interaction à longue portée par la R. P. A. Ces calculs ont eu un succès principalement qualitatif, la variation de nom- breuses propriétés avec le nombre de particules est par exemple correctement assurée. En revanche ils ne peu- vent pas rendre compte quantitativement de toute la complexité des spectres de basse énergie. Aucune comparaison avec des calculs plus exacts n'a de plus pû être encore développée.

La situation scmble plus claire lorsqu'on ne traite qu'un seul typc de particules, comme c'est le cas pour les noyaux à une seule couche fermée. En effet on peut généralemcnt incorporer plus d'états individuels et plus de particules que dans un calcul comportant à la fois neutrons et protons, et l'on a maintenant une idée de plus en plus précise de la validité des méthodes d'approximations. Nous examinerons donc avec plus de détails les résultats de ccs calculs. Nous ne discute- rons pratiquement pas de la comparaison avec l'expé- ricnce [5, 61, mais nous chercherons surtout quel degré de confiance par rapport à des calculs plus exacts on peut attribuer à des résultats approchés obtenus à l'intérieur d'un modèle bien défini.

II. Validité des méthodes d'approximation pour les noyaux a une seule couche fermée.

-

Les travaux auxquels nous nous référons dans cettc partie sont ceux menés par l'équipe d'Argonne [7-81 et par Hsu et French [9-101 à Oak Ridge et Rochester. Ces auteurs ont étudié la validité des méthodes approchées en comparant les résultats obtenus à ceux du calcul exact. Les calculs ont été menés dans le cas dc 2 à 8 particules identiques remplissant les sous-couches 2p,,,, 2p,,, et l,f,,,. Tls correspondent aux isotopes pairs et impairs du nickel. Ces calculs fournissent donc un ordre de grandeur de la confiance que l'on peut attribuer aux calculs approchés lorsqu'on les conduit dans des régions oii les calculs exacts ne sont plus pos- sibles, par exemple pour les isotopes de l'étain.

La fonction d'onde du fondamental d'un noyau pair peut être approchée tout d'abord en diagonalisant l'interaction résiduelle dans un sous-espace compor-

tant un nombre de configurations plus réduit que le nombre exact, par exemple celles de seniorité 'U

<

4. La séniorité en question est relative à un mélange de sous-couches, c'est la somme des séniorités relatives aux sous-couches prises séparément CU =

C

Wi. On

1

possède ainsi pour 4 particules 5 états W = 0 : (112); (5/2);, (112); (312)k (312); (5/2);, (512):~ (312);. Si la séniorité est nécessairement un bon nombre quantique pour une seule sous-couche de j

<

712, l'expé- rience montre qu'il en est de même pour : j = 912.

Qu'en est-il alors pour des mélanges de sous-couches ? TABLEAU 1. - Pourcentage des fonctions d'onde exactes de 6 4 ~ i contenu dans chaque sous-espace de W = 0,2 et 4, d'après la référence [8].

Etat Pourcentage Séniorité Décomposition

w = o

9 Y = 2 w = 4

w = G

Les calculs du groupe d'Argonne [5-81 dont une partie est reproduite dans le tableau 1 relatif à 64Ni (6 particules) révèlcnt que l'état fondamental du calcul exact comporte moins de 112 "/, d'états de séniorité différente de zéro. II en est ainsi dans les autres isotopes [5]. Le tableau 1 nous montre que la séniorité pcut également être utilisée pour caractériscr d'autres états puisque le premier 2

+

(2, +) a sa fonction d'onde située elle aussi à moins de 1

%

près dans le sous- espace W = 2 (une paire brisée). A côté de ces deux cas, d'autres états tels 2,

+

ou 4,

+

sont moins purs mais possèdent une composante de séniorité 2 d'envi- ron 90

%.

11 existe enfin d'autres états comme

(4)

C l - 7 6 R. ARVIEU

TABLEAU 2.

-

Pourcentage des fonctions d'onde exactes de 65Ni contenu dans chaque sous-espace de TJ = 1,3 et 5, d'après la référence 181.

Etat Pourcentage Séniorité Décomposition W = l w = 3 v = 5

Dans le cas des noyaux impairs (tableau 2 correspondant à 63Ni) la séniorité V = 1 peut être utilisée pour caractériser chaque premier état de caractéristi- ques 112

+,

312 -i- et 512

+,

puisque le poids est alors supérieur à 90

%.

Ces résultats justifient donc une diagonalisation qui n'incluerait que les deux séniorités les plus basses. Si l'on ne s'intéresse qu'au fondamental ou au 2,

+,

il

méthodes connues depuis plusieurs années sont celles dans lesquelles on utilise une base de quasi-particules (9.p). On peut distinguer plusieurs degrés dans la hiérarchie de ces méthodes comme on l'a indiqué dans le tableau 3 pour les noyaux pairs. Le premier degré, l'approximation des quasi-particules indépendantes, n'a pas été indiqué.

On distingue les calculs dans lesquels on tient compte de la cassure d'une ou deux paires. Le premier ordre consiste à diagonaliser l'interaction dans le sous-espace à deux quasi-particules. Comme dans cette méthode on ne conserve pas le nombre de particules, on peut, à l'ordre suivant, n'utiliser que la partie des fonctions d'onde à O et 2 quasi-particules ayant le nombre correct de particules. Le calcul dans lequel on tient compte exactement des états à une paire brisée consiste à diagonaliser l'interaction dans le sous-espace de W = O et = 2 ce qui demande un effort numérique nettement plus grand que les méthodes précédentes. On peut se tourner enfin, avant le calcul exact, vers les approximations à deux paires brisées dont la hiérar- chie est parallèle & la précédente.

La comparaison de l'énergie du fondamental extraite du travail de Hsu nous montre l'excellence de TABLEAU 4.

-

Energie du fondamental dans le calcul exact (shell) et dans diverses approximations, d'après la référence [IO].

PTD2 et

Isotope Couche B. C. S. PTD4 v2 v4 suffit même de la séniorité la plus basse. Ils suggèrent - -

-

58Ni

-

2,95

-

3,37 - 2,95

-

2,95

-

2,95 aussi que l'on peut rechercher des métliodes qui per- _60Ni

_-

_7,11

_-

_7,62

_-

_6,97

_-

_6,98

_-

_7,11 mettent d'approcher ou de simplifier la diagonalisation 62Ni

-

12.36

-

12.78

-

12.04

-

12,05

-

12,35 dans un sous-espace de séniorité donnée. De telles 64Ni

-

18134

-

18k5

-

18i18

-

18;19 - 18,34

TABLEAU 3

Hiérarchie des Approximations pour les Noyaux Pairs Toutes les configurations

(Calcul exact)

1 Configurations de Séniorité 0, 2 et 4 Configurations de Séniorité O et 2

Calculs conservant le

\

f

nombre de particules

1

Configurations à 0, 2 et 4 quasi parti- Configurations à

I

O et 2 quasi parti-

cules projetées cules projetées

f

1'

I

Configurations à 0, 2 et 4 quasi-parti- Configurations à O et 2 quasi parti-

cules cules

-

1- --- '?r --

(5)

DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS C l - 7 7

toutes les méthodes. La fonction d'onde de B. C. S. fournit l'énergie correcte à 500 keV près. La projection de la fonction d'onde sur l'espace à nombre fixé de particules rend compte d'une partie de la différence. Une énergie de corrélation supplémentaire de 200 à 300 keV seulement est obtenue pour la diagonalisation dans l'espace des séniorités O et 4.

Le tableau 5 nous montre les spectres d'énergie d'excitation dans le nickel 62. 11 en ressort que la projection sur l'espace à nombre fixe de particules amé- liore nettement l'énergie du 2,

+

par rapport au calcul mené dans la base non projetée. Il suffit d'ailleurs de se limiter aux configurations définies par la projection des fonctions d'onde à deux quasi-particules. Une fois encore les excitations à 4 quasi-particules ou les excitations de séniorité 4 jouent peu de rôle. Pour les autres

TABLEAU 5.

-

Energies d'excitation dans 64Ni d'après la référence [IO] suivant les diverses approximations

du Tableau V Approxima-

tions OZ+ 21+ 4i+ I I + 3i+

-

Calcul exact 2,46 1,37 2,55 3,13 2,79 W = 4 2,44 1,38 2,56 3,26 2,84 W = 2 2,35 1,24 2,72 2,96 3,17 qp

(

pro- 2,14 1,30 2,56 3,20 2,72 2 q p ) lection 2,21 1,30 2,63 4,04 3,33 4 9~ 2,52 1,51 2,56 3,96 3,25 2 q ~ 2,36 1,56 2,72 4,31 3,71

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R. ARVIEU

Probabilités de transition dans 64Ni d'après la référence [IO]

Approximations

-

Calcul exact

'\Y

= 4 'U = 2 2 qp projection 4 q p

I

avec 4 qP 2 qP

états l'effet de la projection est dc même généralement positif (Ex : 4,

+

dans 2 qp) ; cette projcction permet le plus souvent de mieux reproduire la diagonalisation dans l'espace de séniorité donnée (Ex : 1,

+

ct 4, +)

qui est déjà bien approchée dans le calcul du prcmier ordre. La figure 1 nous montre l'influence dans Ic spectre de basse énergie de l'introduction des états de séniorité 4 qui apparaît mieux en comparant les spectres dc séniorité 2 ct 4. La dcnsité de niveaux est plus grande pour 'U = 4 que pour CU = 2 ; un grand nombrc de niveaux sont abaissés, et de nouveaux venus (tcl iin O +) apparaissent [9]. 11 est donc nécessaire de tenir compte au moins d'une manière approchée des états à deux paires brisées.

Pour tester Ics fonctions d'onde, des probabilités de transition quadrupolaires ont été calculées [IO]. La transition 2,

+

-, O,

+

est obtenue correctement à 20

0/o

près dans l'approximation à 2 q.p et à 1

%

lorsqu'on projette. Les propriétés qui ne dépendent que du 2,

+

et du O,

+

exclusivemcnt sont donc rcn- dues dc manière très satisfaisante. Les résultats devien- nent malheureusement plus variés pour les autres transitions commc en témoignent lcs exemples sui- vants :

1) La valcur de la transition 2, -, 2, est comparablc dans le calcul cxact à 2, -+ O,. Mais cette transition est

sous-estiméc d'un facteur qui peut s'élever jusqu'à 200

si l'on ne brise qu'une paire. L'ordre de grandeur cor- rcct est attcint dès lors que l'on brise 2 paires (par exemple pour 4 p.q). 11 est remarquable que cet e f i t coopératif soit dû aux 10

%

de composantes 'U = 4 dc la fonction d'ondc du 2,

+

(cf. tableau 1) qui ne figurent pas dans les calculs à une paire ; nous revien- drons un peu plus loin sur cct effet coopératif.

projetées ou non) sont donc incapablcs de rendre compte corrcctement de cette transition.

3) La transition 0,

+

+ 2, enfin, est beaucoup plus

petitc que les autres dans Ic calcul exact. C'est aussi ce qu'indiqucnt les méthodes approchées à I'exccption des méthodes dc quasi-particules avcc projection qui fournissent un résultat 15 fois trop grand.

Les trois transitions considérées se comportent donc dc manièrc très différente suivant les divers ordres d'approximation. T I faut sûuligncr que lcs fonctions d'onde correspondantes (*) (Tableau 111) n'ont pas des composantes de séniorité 4 supérieures à 12 0/,, il est néanmoins nécessaire dc disposer de cette composante avec une précision suffisante pour que l'ordre dc grandeur de toutes les transitions soit correct.

Nous n'avons discuté que des transitions de carac- tèrc collcctif, i l est certain quc des différcnces au moins tout aussi importantes apparaissent dès que l'on S C penche sur le cas des transitions retardées.

En conclusion de cette partie il apparaît que les méthodes d'approximations conviennent bien à la description des éncrgies mais que la dcscription dcs probabilités de transition n'est assurée que lorsqu'on a inclu exactcmcnt tous les états des deux plus basses séniorités. Un tcl calcul est actucllcment hors de portée dans le cas des isotopes dc l'étain. Sawicki et colla- borateürs [ I I ] ont récemment mené à bien un calcul approché dcs spcctrcs de ces noyaux dans l'espace à

deux et quatre quasi-particules. Il convicnt toutefois dc tirer dcs conclusions séparées pour Ic premier 2

+

et le fondamental. Puisque lcur fonction d'onde est beaucoup niieux connue quc celle des autres états, il est permis dc calculcr des règles de somme qui fournissent

2) La transition 4, -+ 2, est sous-estimée d'lin fac-

(*) En toute rigucur les conditions dc calcul des tableaux 1

(7)

DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS C l - 7 9 des informations sur le comportement global des états

excités dont la fonction d'onde est plus difficilement accessible.

III. Informations qualitatives déduites des règles de somme. - a) NOYAUX PAIRS.

-

La règle de somme

So = B(E 2 2, -+ O,) (1)

a

où sc se rapporte à tous les états excités 2

+

s'écrit aussi uniquement à l'aide de la fonction d'onde du fondamental

(O,)

et du carré de l'opérateur quadrupolaire

Q

S, = < O ,

1

Q 2 I O 1 > . (2) Dans les calculs exacts des références (5) et (IO), on montre que cettc règle de somme est épuisée par le premier 2

+

dont la fonction d'onde peut s'écrire :

Cette règle de somme pcut être comparéca l'expérience dans tous les noyaux sphériques si on la calcule en supposant que le fondamental est le produit d'une fonction d'onde de neutron par une fonction de B. C. S. de proton. Le résultat ne dépend quc des protons si I'on n'introduit pas de charge enèctive pour les neutrons. Lorazo [12] a récemment réalisé un tel calcul ; il a montré que la fonction d'onde utilisée pour le fondamental est inadéquate dans la plupart des cas, excepté au voisinage des noyaux à une seule couche complète, car

On peut calculer pareillement la règle de somme relative à toutcs les transitions quadrupolaires qui font intervenir le 2,

+

S = B(E 2 21 + I,)

a l

= < 2 , 1 ~ ~ 1 2 ~ > . ( 5 )

Le rapport SIB(E 2 2, -+ 0,) est susceptible de fournir d'utiles indications sur l'existence éventuelle d'états collectifs lorsque la somme exclut l'état fondamental. Ce rapport vaut par exeniple 6 dans le cas du modèle classique des vibrations de surface, si I'on identifie le 2,

+

avec l'état à un phonon, et la règle de somme S, est entièrement épuisée par les transitions conduisant aux trois états à deux phonons.

On peut rechercher une règle semblable dans un calcul microscopiquc ; pour simplifier le plus possible les calculs ct pour en tirer un maximum d'enseignement on peut postuler les deux simplifications suivantes :

1) L'état fondamental de séniorité zéro est décrit par un mélange de configurations bien précis : chaque paire de particules dans un état j, a le poids

+

4 2 j,

+

1. La fonction d'onde totale s'obtient en faisant la somme de toutes les configurations chacunc étant affectée d'un poids obtenu à partir de la règlc précédente. Cette fonction d'onde peut être caractérisée par l'intermédiaire d'un nouveau nombre quantique séniorité que nous appellerons la séniorité généra- lisée [13].

2) Le premier 2

+

s'obtient, à une constante près, en appliquant sur le fondamental l'opérateur quadru- pôle électrique comme dans l'expression (3).

Dans le nouveau schéma de séniorité comme dans l'ancien, un tcl état a la séniorité 2 mais le nouveau schéma présente l'avantage de relier la séniorité à un opérateur quasi-spin dont une des composantes est le

nombre de particules. L'application des techniques élémentaires dc l'algèbre des moments angulaires permet alors de déduire la dépendance des éléments de matrice par rapport au nombre de particules [14, 81. On peut alors dans tous les cas calculer la règle de somme en question et isoler les parts respectives des états de séniorité 2 et 4 (La nouvelle séniorité 4 correspond à des mélangzs d'états de séniorité zéro et quatre). On trouve ainsi [15] lorsque la dégénérescence dc paire du système Q tend vers l'infini

Si N -+ ao on a donc bien la même limite que dans le modèle collectif des vibrations. Le calcul détaillé [15] de chacune des transitions impliquées dans les règles de somme précédentes, effectué dans le cas d'une interaction delta de surface, nous montre que la règlc de somme est épuisée par trois états : un état 0

+,

un état 2

+

et un état 4

+

conformément aux règles du modèle vibrationnel. Cela signifie que ces trois états sont construits leur tour à partir dc l'opérateur quadrupolaire et s'écrivent :

(8)

C l -80 R. ARVIEU

FIG. 2. - Spectre des états de séniorité généralisée 0, 2 et 4

pour une force delta de surface. Les lignes obliques indiquent les probabilités de transition vers les états les plus collectifs.

b) NOYAUX IMPAIRS. - Ces résultats incitent évi- demment à étudier les propriétés des noyaux impairs à l'aide de ce modèle, en particulier les propriétés des règles de somme correspondant aux transitions entre un état de séniorité u n et tous les états de séniorité 3. Dans le cas du modèle du couplage faible (une particule cou- plée à un phonon) on a :

une interaction delta de surface [17] montre de nouveau qu'il existe parmi les états de séniorité 3 des états collectifs qui ont une très grande probabilité de désex- citation vers les états de séniorité un 1183. Ces états

sont obtenus à partir de la base

o ù I v a r i e d e j - 2 à j + 2.

Parmi les différences par rapport au couplage faible signalons de nouveau que les probabilités de transition de ces différents états sont inégales.

Ce modèle a donc le mérite de montrer assez simple- ment l'existence d'états collectifs de séniorité 3 et 4 (OU a 3 ou 4 quasi-particules), sans devoir entreprendre de longs calculs numériques.

Conclusion.

-

Pour résumer cette discussion il nous semble que la comparaison entre calculs exacts et approchés permet d'attribuer plus de confiance $ cer- tains résultats des calcuIs approchés, comme les éner-

gies, les fonctions d'onde du O,

+

et du 2,

+

et les règles de somme qui leur sont attachées. Ce dernier calcul permet d'envisager la présence dans le spectre d'états dont la fonction d'onde présente une analogie étonnante avec celle des états à deux phonons, ou à une particule plus phonon du modèle vibrationnel. Cette comparaison nous montre par ailleurs quel est le prix que l'on doit payer pour pouvoir, au moins dans le cadre d'un modèle bien défini, être assuré de l'ordre de grandeur des probabilités de transition. Il est certain que I'on doit s'attendre encore à des changements aussi bien pour les énergies que pour les fonctions d'onde lorsqu'on passe à un modèle plus large [19].

Références

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U r

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(9)

DESCRIPTION DES NOYAUX LOURDS C l - 8 1

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(J.1,

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IC/67/5, Trieste, 1967.

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[14] LAWSON (R. D.) et MACFARLANE (M. H.), Nucl. Phy- [19] LAWSON (R. D.), Conférence de Gatlinburg, 1966,