Symétrie des opérateurs scalaires a deux particules pour les configurations (d + s) n

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Submitted on 1 Jan 1969

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les configurations (d + s) n

S. Feneuille

To cite this version:

S. Feneuille. Symétrie des opérateurs scalaires a deux particules pour les configurations (d + s) n.

Journal de Physique, 1969, 30 (4), pp.325-335. �10.1051/jphys:01969003004032500�. �jpa-00206790�

SYMÉTRIE

DES

OPÉRATEURS

SCALAIRES A DEUX

PARTICULES POUR

LES

CONFIGURATIONS (d + s) N

Par S.

FENEUILLE,

Laboratoire Aimé-Cotton, C.N.R.S. II, Orsay, ^Essonne.

(Reçu

^le 10 ddcembye

1968.)

Résumé. 2014 Un ensemble

complet d’opérateurs indépendants

^{à deux}

particules, symétriques,

scalaires,

hermitiques

^et

possédant

^des

propriétés

^de

symétrie

bien définies dans chacun des groupes ^{de la} chaîne suivante :

Sp12 ~ SU2 {R6 ~ R5 ~ R3}

a été construit

explicitement

pour les

configurations (d

⁺

s)N,

^à

partir

de tenseurs doubles

monoélectriques.

Abstract. ²⁰¹⁴

Symmetrized,

^{scalar and} hermitian,

two-particle operators

^{are defined from}

basic monoelectronic double tensors, ^for

(d + s)N configurations.

^{From these, a}

complete

set of

independant two-particle operators having

well-defined symmetry

properties

^{in each}

of the

following

groups :

Sp12 ~ SU2 {R6 ~ R5 ~ R3}

is constructed

explicitly.

1. Introduction. ^- _{Tant pour} la classification des 6tats que pour le calcul des elements de

matrice,

^la

th6orie des _groupes de Lie

joue

^un role essentiel en

spectroscopie atomique [1], [2].

^C’est

elle,

^en

parti- culier, qui

^a

permis

^{a Racah}

[3]

de classer les 6tats des

configurations fN

^et de determiner les

energies

coulombiennes

correspondantes,

^{resultats sans}

lesquels

aucune

interpretation

^des

spectres

^{des terres rares et} des actinides n’eut ete

possible.

C’est elle aussi

qui

^a

conduit

plus

^{r6cemment a une} reduction notable du nombre de

parametres

r6ellement n6cessaires a d6crire l’interaction effective a trois

particules

pour les confi-

gurations

^dN

[4],fN [5]

^et

(d

⁺

s)N [6],

^ce

qui

^autorise

l’introduction de cette interaction effective dans de nombreuses

interpretations paramétriques.

^{Les pro-}

pri6t6s

^de

symetrie

d’autres interactions ont ete

6gale-

ment

6tudi6es,

^{et dans tous les cas ont}

apporte

^de

grandes simplifications;

^{citons en}

particulier

^{les inter-}

actions

magn6tiques

^{dans les}

configurations

^dN

[7]

et fN [8],

ainsi que l’interaction coulombienne pour les

configurations (d

⁺

s)N [9].

De

façon

^{tout a fait}

g6n6rale,

^{tous les}

op6rateurs

^à

p particules agissant

^entre les 6tats d’une

configuration

donnee

peuvent

^etre classes suivant leurs

propri6t6s

de

sym6trie

^{dans les}

operations

des divers groupes de Lie

qui

^{servent a} caract6riser les 6tats de la

configura-

tion consid6r6e. Cette classification ^a ete donnee r6cernment _par

Wybourne [10]

pour les

operateurs

a deux

particules, sym6triques,

^{scalaires et}

hermitiques, agissant

^a l’int6rieur des

configurations pN, dN, fN

et

(d

+

s)N.

^{Le cas des}

configurations (d

⁺

s)N

^semble

particulierement int6ressant,

^{car ces}

configurations

sont a la fois suffisamment

simples

^et suffisamment riches _pour autoriser une 6tude

complete

^{de toutes}

les interactions r6elles ou effectives a deux

particules :

interaction

coulombienne,

corrections relativistes

[11]

et effets de second ordre dus au

couplage spin-orbite

et a 1’interaction coulombienne

[12].

^C’est

pourquoi

nous nous sommes

propose

de construire

explicitement

les

op6rateurs

definis par

Wybourne,

^{d’en discuter}

l’ind6pendance

^{et de}

pr6ciser

^les

simplifications

appor- t6es _par le th6or6me de

Wigner-Eckart

^{dans ce cas}

particulier.

2. Construction des

operateurs.

^{- Nous} consid6rons

comme

op6rateurs monoélectroniques

de base les doubles ^{tenseurs :}

dans cette

expression,

^{x et k}

repr6sentent

^{les rangs}

respectifs

relativement a

1’espace

^de

spin

^{et a}

1’espace d’orbite, e

peut

prendre

les valeurs + ^ou

-1,

^tandis

que I ^et l’ doivent etre identifies a d ou s. Les

op6ra-

teurs

w(xk) (1, 11)

^{ont 6t6} définis dans ^un article

pr6-

c6dent

[13].

^Les

propri6t6s

^de

sym6trie

^des

op6ra-

teurs we(xk)

(1, l’) peuvent

^{etre très} facilement obtenues

puisque,

suivant la valeur de _s, ils se transforment

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003004032500

TABLEAU I

SYMETRIE ^DES TENSEURS DOUBLES POUR LES CONFIGURATIONS

(d

⁺

S)N

comme les 6tats soit

antisymétriques (e

⁼

1),

^soit

sym6triques (e = -1 )

^de

(d + s) 2,

^ce

qui

^{conduit à}

la classification donnee dans le tableau I

[9], [10].

En

consequence,

^les

operateurs monoélectroniques

de base

peuvent

^{etre 6crits :}

ou

OJI,

^{W et ny}

repr6sentent respectivement

^une

repr6-

sentation irr6ductible de

spl2,

^de

R6 et

^de

R5’

Les seuls

op6rateurs

^{a deux}

particules symétriques,

scalaires et

hermitiques qui peuvent

etre construits à

partir

^des

op6rateurs

^{de base}

precedents

^{sont tous de}

la forme :

expression qui peut

^{etre 6crite de}

faqon plus compacte :

On obtient ainsi les 63

op6rateurs qui

^{ont ete}

port6s

dans le tableau II. Les

op6rateurs

d6finis par

Wy-

bourne

[10]

^{et dont nous}

reportons

la liste dans le tableau III peuvent ^etre

6crits, quant

^{a eux :}

Ils

s’expriment

6videmment comme combinaisons lin6aires des

precedents

^{et on}

peut

^ecrire

plus pr6ci-

s6ment :

Un th6or6me du a Racah

[3]

permet de factoriser les coefficients

(; I) )

^{de la}

faqon

^{suivante :}

et les diff6rents coefficients

(+ I)

vérifient les relations d’orthonormalité ci-dessous :

TABLEAU II

Les coefficients

(W1 V1 + W2 V2 WV)

^et

(Yllkl + ’//2k2l’y/’k)

^{ont ete calcul6s par une m6-}

thode que nous avons

d6jA

d6crite dans un article

precedent [9].

^{En ce}

qui

^{concerne les} coefficients :

nous les avons determines _par une m6thode

analogue, reposant

essentiellement sur les

propri6t6s

^de

l’op6ra-

teur de Casimir

[14]

^de

SP12 :

TABLEAU III

N.B. ^- Les

op6rateurs

munis d’un

ast6risque

^{ne sont} pas tabul6s par

Wybourne ;

^{ils se} transforment

comme 4 >

et tous leurs elements de matrice entre les 6tats

antisymétrisés

^de

(d

+

s)N

^{sont nuls.}

dont la valeur propre pour ^une

representation

^{Y de}

poids

^maximal

(GlC72C73C74C75a6)

^est

6gale

^a

[1] :

^:

11 faut noter

cependant

que ^cette m6thode a n6ces- site

6galement

le calcul des elements de matrice reduits des

op6rateurs W-(xk)(l, l’)

aussi bien ^entre

les 6tats de fermions

qu’entre

^ceux de bosons de la

configuration (d

+

s) 2.

Les coefficients :

ainsi determines ont ete

port6s

dans le tableau

IV,

mais ^nous devons

rappeler

que les m6thodes

prece-

dentes ^ne permettent pas de

separer

^les coefficients

(Y1 W1 Y, Y-1 kl; ’32 *2 ’//2 Y-2 k2 I 1& [21 ± I ] rKK);

M L B

11

W4

H

L B

te uiN

U I

M 1-4

seule, l’opération

^«

plethysm »

^{nous a}

permis

^{de les}

distinguer

^{autrement que de}

^façon

arbitraire

[15].

3. Théorème de

Wigner-Eckart

^et

independance

des

opdrateurs.

^{- A}

partir

^des

op6rateurs

^mono6lec-

troniques ^choisis,

nous avons construit 63

op6rateurs biélectroniques, sym6triques,

^{scalaires et}

hermitiques;

51 d’entre eux

possedent

des elements de matrice non

nuls entre les 6tats de fermions de la

configuration (d

+

s) 2. Cependant,

nous savons a

priori

que 30 d’entre eux seulement sont

independants puisqu’on

ne

peut

^trouver que 30 elements de matrice distincts

entre les 6tats

antisymétriques

^de

(d

⁺

s) 2.

N6anmoins,

^{ces 30}

op6rateurs

^ne

peuvent

^{etre choi-} sis

arbitrairement,

^{car a}

chaque type

^de

sym6trie {YWVK} correspond

^un nombre maximal

d’opéra-

teurs

indépendants;

^{le th6or6me de}

Wigner-Eckart

montre imm6diatement _que ce nombre est celui des

opérateurs {(Y1 Y2) YWVeK}

pour

lesquels

^{E = 1.}

On obtient bien ainsi 30

op6rateurs independants.

Ceci a pour

consequence

^immediate que ^tout

ope- rateur { (Y1 W1, V1x1 k1) (Y2 W2 Y2 X2 k2) eK }

pour

lequel

^{e = - 1} peut ^6tre

exprim6

^{comme une combi-}

naison lin6aire de ses

homologues qui

^{ont meme valeur}

de K et pour

lesquels

^{e = 1.}

Cependant,

^certaines

interactions effectives

s’expriment

^au moyen

d’ope-

rateurs pour

lesquels

^{e = - 1 et} il 6tait intéressant d’obtenir une formule

qui permette

^de

changer

^1’en-

semble

d’operateurs independants.

^{Celle-ci a} pu etre trouv6e au moyen des

techniques

^{de la} seconde quan- tification

[16], [17].

^En

effet,

^nous pouvons ecrire dans ce formalisme :

et

apres

avoir effectu6 un certain nombre de

recouplages,

^{on obtient :}

avec :

11 en resulte _{que :}

Cette formule

qui

peut

apparaitre

^{comme la}

g6n6-

ralisation d’un resultat obtenu _par Fano et Racah

[18]

permet

^{de retrouver} imm6diatement un resultat bien

connu : tout

operateur d’6change s’exprime

^comme

une combinaison lin6aire des

op6rateurs

^{directs corres-}

pondants.

^{Pour ce}

qui

^{est des}

configurations (d

+

s)N,

on

peut

^{montrer a} 1’aide de la relation

pr6c6dente qu’a chaque

valeur de K

correspond

^{un nombre}

maximal

d’op6rateurs independants

pour chacun des ensembles

d’operateurs

^{suivants :}

ces nombres ont ete

port6s

dans le tableau V et 1’on peut ^verifier que 1’ensemble des

op6rateurs :

constitue bien un ensemble

d’opérateurs independants

comme nous 1’avions affirme

pr6c6demment.

Ainsi tout hamiltonien a deux

particules agissant

entre les 6tats

antisymétriques

^des

configurations (d

⁺

s)w

pourra etre

exprime

^en fonction des seuls

op6rateurs :

puis,

^a 1’aide du tableau

IV, s6par6

^{en diff6rents}

termes se transformant

respectivement

^{comme les}

ope- rateurs {(Y1 Y2)

^YWV

+ K}, operation particuli6-

rement int6ressante 6tant donne les

propri6t6s

^{tout à}

fait

remarquables

^des elements de matrice de ces

op6rateurs pris

^entre des 6tats de

sym6trie

bien d6finie.

TABLEAU V

NOMBRE D’OPÉRATEURS

BIELECTRONIQUES

INDEPENDANTS

Un

grand

nombre de ces

propri6t6s

peuvent ^etre trouv6es _par

application

du th6or6me de

Wigner- Eckart,

dans chacun des _groupes

SP12’ Rs

^et

R,,.

^Cette

operation

^{necessite la} connaissance des coefficients

c( Wl W2 W),

nombre de fois

qu’apparait

^la

repr6sen-

tation irr6ductible W d’un groupe donne dans le

produit

de Kronecker

Wl

^X

W2

^{de ce} meme groupe;

nous avons

port6

^dans le tableau VI les coefficients

c( W1 W2 W )

n6cessaires a cette 6tude en omettant

toutefois ceux

qui

^ont

d6jA

^ete

publi6s [9], [15], [19].

Le th6or6me de

Wigner-Eckart

peut

6galement

^etre

applique

^dans

1’espace

^de

quasi-spin,

^en

particulier

aux

op6rateurs qui

^se transforment

comme 14 >

^et

22 >

^et

possedent,

^en

cons6quence,

^un rang bien d6fini dans

1’espace

^de

quasi-spin (2

^{et 0}

respective- ment) ;

^la

dependance

de leurs elements de matrice

sur le nombre d’61ectrons ^est alors imm6diatement

pr6cis6e [9].

4. Conclusion. ^{- Nous avons} construit

explicitement

pour les

configurations (d

⁺

S)N

^{un ensemble}

complet

d’operateurs independants,

^{a deux}

particules, sym6-

triques, scalaires, hermitiques

^{et se} transformant TABLEAU VI

TABLEAU VI

(suite)

comme une

representation

irr6ductible de chacun des groupes de la chaine suivante :

A 1’aide de diverses m6thodes utilisant en

particulier

les

propri6t6s

^des

op6rateurs

de Casimir et le forma- lisme de la seconde

quantification,

nous avons tabul6 les coefficients et 6tabli les formules

qui permettent

de

s6parer

^tout hamiltonien scalaire a deux

particules

en diff6rents termes

independants

^de

sym6trie

^bien

definie. Ces resultats devraient ^etre

particulierement

utiles dans ^une 6tude

syst6matique

des corrections relativistes ou des effets de second ordre dus au cou-

plage spin-orbite

^{et a} l’interaction

coulombienne,

6tude pour

laquelle

^semblent

particulierement

^bien

adaptees

^les

configurations (d

+

s)N.

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Baltimore.

[17] Je

^remercie

J.

^{BAUCHE de m’avoir}

suggéré

^cette

méthode.

[18]

^FANO

(U.)

^{et RACAH}

(G.),

Irreducible Tensorial Sets, 1959, ^{Academic Press} Inc., ^{New York.}

[19] Je

^{remercie P. H. BUTLER de m’avoir}

communiqué

un certain nombre de ces coefficients.