Configurations de spin et théorie des groupes

HAL Id: jpa-00236452

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00236452

Submitted on 1 Jan 1961

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Configurations de spin et théorie des groupes

E.F. Bertaut

To cite this version:

E.F. Bertaut. Configurations de spin et théorie des groupes. J. Phys. Radium, 1961, 22 (5), pp.321-

322. �10.1051/jphysrad:01961002205032100�. �jpa-00236452�

321.

LETTRES A LA ^RÉDACTION

CONFIGURATIONS DE SPIN ET THÉORIE DES GROUPES

Par E. F. BERTAUT,

Laboratoire d’Électrostatique ^{et de} Physique ^{du Métal,}

Institut Fourier, ^Grenoble.

LE

JOURNAL

PHYSIQUE

^RADIUM TOME 22, ^MAI 1961,

Notations.

Les configurations ^de spins possibles

dans une structure cristallographique ^{donnée sont les}

solutions d’un problème ^matriciel [1]

où les éléments de la matrice (() ^sont

ici

Si ^est le spin ^en Ri. Iii ^est l’intégrale d’échange ordinaire, (À) ^{est une matrice} diagonale ^{dont les}

termes Xi représentent ^{à un facteur}

² près, ^{la con-}

tribution à l’énergie d’échange ^{H du} spin ^Si

Les Xi ^d’atomes équivalents ^sont égaux. Ti(k) ^{est la}

transformée de Fourier de spins ^unitaires cri(cri

Si /Si)

Cas k

0.

Considérons le cas où maille chimique

et magnétique coïncident. On peut ^alors poser k

^0.

ai et Ti(O) s’identifient alors (5). ^{Les vecteurs} propres.

T(0) ^de ((0) (1) ^sont les combinaisons linéaires de spins

décrivant la configuration ^de spins. Envisageons ^{le cas} particulier ^{de n atomes} équivalents ^{porteurs de} spins.

Le coefflcient Cii ^dans (1) (cf. (2)) ^{connecte un} spin ^ai

au spin cri.

Or ^ces spins sont reliés par ^une opération ^de symé-

trie C telle que ci

Cai. ^{Dans le} système ^matriciel (1)

le coefficient ^de Cu ^est précisément la matrice repré-

sentative de l’apérateur ^C appliqué ^{aux n} spins équi-

valents. Pour fixer les idées nous envisageons ^{le cas de}

structures du type ^corindon [2] telles que cx-Fe20s, Cr203 ^{où les atomes} de base des sous-réseaux, ^numé-

rotés 1, 2, 3, ^{4 sont} respectivement ^en (OOz),

La matrice repré- sentative t(0) ^{a alors la forme}

où les A, B, C, D, ^{sont des fonctions} linéaires dans les intégrales d’échange. ^Les coefficients de A, B, C, ^D

sont des matrices que ^{nous noterons} par les mêmes lettres. Par exemple :

est la matrice qui ^{réalise les} substitutions 1 > 3 2 ->4 ;3->1 ;4->2.

Elle représente l’opération ^{d’un axe binaire, pas-}

sant par l’origine.

De même, ^{la matrice} (D) correspond ^à l’opération

«

centre d’inversion » (situé en ± 00 ¼) ^{dans la}

description ^des Struktur-Berichte [3]). ^On érifie ^que

description ^des Struktur-Berichte [3]). ^On vérifie que

(B) = (C) (D).

Les vecteurs propres de la matrice t(0) apparaissent

ainsi comme les combinaisons linéaires de spins, ^inva-

riantes dans les opérations ^de symétrie ^du groupe

cristallographique. ^Dans l’exemple (7) ^{les vecteurs}

propres sont Tl

(1,1,1,1), TII

^{(1, -1,} -1,1), TIII =: (1, + 1, - 1, - 1) et TIV == (1, - 1, + 1, - 1).

Toutes les racines sont distinctes et chacun des vec-

teurs est invariant dans les opérations ^{de symétrie.}

Il n’en est pas toujours ^ainsi. Lorsqu’une ^{racine est q}

fois dégénérée, les q ^vecteurs propres correspondants

forment un sous espace invariant de dimension _{q. Les}

opérations du groupe transforment les ^vecteurs propres

en eux et entre eux.

Comme exemple envisageons les sites B octaédriques

dans les spinelles cubiques ^{et situés en}

La matrice ’((0) ^{a la forme (6) avec A == 0 et}

B

C

D. Les mêmes vecteurs propres TI ^à TIV diagonalisent la matrice. Mais il n’y

qu’une ^racine

non dégénérée correspondant ^{au mode} TI ^{et une racine} triplement dégénérée. Effectivement, l’opération ^de

l’axe ternaire, passant par change TII ^en TIII TIll ^en TIV.

Dans le langage ^familier

^théorie quantique ^on peut ^{énoncer la} proposition ^{suivante :}

Si l’opérateur ^matriciel ((0), ayant pour ^vecteur propre T(0) ^et pour valeur propre X, ^{reste invariant}

dans une opération ^de symétrie ^C (C-1 1(0) ^C

(0)),

alors C’T(0) ^{est aussi une} solution de valeur propre À.

t

Ce qui fait l’intérêt de la théorie des groupes, c’est

qu’elle permet ^{de trouver a} priori, ^sans considérer (1)

et compte ^tenu uniquement ^{de la nature} axiale des vecteurs spins

la base des représentations ^irréduc-

tibles _», c’est-à-dire les combinaisons de spins qui ^sont

invariantes dans toutes les opérations ^de symétrie (racines distinctes) ainsi que celles qui ^se transforment

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01961002205032100

322

dans

sous-espace de dimension q (racines ^fois dégénérées). Remarquons que pour k ^{== 0 la combi-}

naison (1, 1, ..., 1), correspondant ^{à la} représentation

identité ou,

langage ^de physicien, ^{au mode ferro-} magnétique, ^est toujours

^vecteur propre invariant.

Le calcul des valeurs propres de )(0), lorsque ^les

vecteurs propres sont connus, ^est évidemment immé- diat. Naturellement

peut aussi déterminer les vec-

teurs et valeurs propres de )(0) ^{et de} )(k) ^{sans avoir} explicitement ^{recours 4} la théorie des groupes.

Couplage ^de Systèmes.

^Soit

système A } ^de

nA spins couplé ^avec

système B} ^{de nB spins}

par des intégrales d’échange. ^On peut ^{alors déterminer} séparément ^{les modes} de {A} ^et de. { B }. ^{Les nA + nB}

vecteurs propres constituent un système complet ^{et la}

solution du système couplé {AB} ^{va être une combi-}

naison linéaire de ces vecteurs. La matrice )(k) ^du

système { AB aura ^{la forme (8) et la}

bonne » combi- naison de vecteurs propres ^{est celle} qui diagonalise ^la

matrice de perturbation (p) (9).

A titre d’exemple 1 4 1 représente les sites tétraé-

driques (000 ; 4 4 4) ^{dans les} spinelles. B } ^repré-

sente les sites octaédriques. ^{Pour k}

0, ^{les vecteurs}

propres du système {A} ^sont TA, := ^{(1,1) ;} TA,,

(1, - 1). ^{Ceux du} système {B} ^{sont déjà}

connus. La matrice d’interaction rAB ^{de dimen-}

sion 2 X 4

tous ses termes égaux (proportionnels ^à l’intégrale d’échange JAB). ^{Les 6 vecteurs} T{AB} ^qui

diagonalisent )(k) (8) complètement ^sont

et

Le mode Tjj ^{est le mode} ferrimagnétique classique

de Néel [4]. ^{Le fait} que pour k

^{0 dans} tout sys-

tème, { A } ou { BI ^{le mode} ferromagnétique ^est

vecteur propre, confère évidemment au couplage ^ferri- magnétique ^une position privilégiée.

L’auteur

appliqué ^{la méthode décrite aux} grenats ferrimagnétiques ^{et aussi aux} spinelles ^{dans le cas} k # ^0.

Interactions non isotropes.

^En plus ^des intégrales d’échange, ^on peut introduire des interactions non iso-

tropes ^telles que l’anisotropie cristalline (couplage dipo-

laire et pseudo-dipolaire) ^{et le} couplage antisymétrique

de Dyzaloshinsky [5]-Moriya [6] ^sans changer ^{le for-}

malisme (1) [7]. ^{Pour k}

0, leur action ne crée par de modes nouveaux, mais. associe les modes déjà ^connus

entre eux. Par exemple, ^le couplage ^D-M [5], [6] ^asso-

cie les modes TI ^et TII dans Fe 20 s ^{et aussi} TIll ^et TIv (dans Cr203) (mais jamais Ty ^et Tlll ^{par exemple).}

Il suffira

général ^de diagonaliser ^{la matrice} ((k) par unecombinaison linéaire convenable des vecteurs pro- pres, trouvés dans ^{le cas} isotrope.

Comparaison ^{avec d’autres théories.}

Dzyalo- shinsky [5], ^Turov [8] ^cherchent d’abord, _par ^{la théorie}

des groupes, ^la base de représentations irréductibles à l’aide de laquelle ^{ils bâtissent}

hamiltonien phéno- ménologique invariant dans les opérations de groupe

cristallographique. Leur méthode est macroscopique.

Notre méthode est microscopique puisqu’elle ^descend

aux interactions élémèntaires. Elles est à notre avis

plus puissante puisqu’elle ^{fournit non seulement les}

mêmes renseignements, ^{mais en outre} permet ^{de diff é-}

rencier les divers modes par des conditions de stabilité et de déterminer les intervalles de variation possible ^des intégrales d’échange [2].

RÉFÉRENCES

[1] ^BERTAUT (F.), ^{C. R. Acad.} Sc., 1961, 252, ^76.

[2] ^BERTAUT (F.), ^{C. R. Acad.} Sc., 1951, 252, ^252.

[3] STRUKTURBER (I.), p. 240.

[4] ^NÉEL (L.), ^Ann. Physique, 1948, 3, 137.

[5] DZYALOSHINSKY (I.), J. Phys. ^Chem. Sol., 1958, 4, ^241.

[6] ^MORIYA (T.), Phys. Rev., 1960, 120, 91.

[7] ^BERTAUT (F.), ^{C. R. Acad.} Sc., ^avril 1961, ^252.

[8] ^TUROV (E. A.) ^{et NAJS} (B. E.), ^{J. Met. et} Metallurgie,

U. R. S. S., 1960, IX, ^10.

CINÉMATIQUE ^COMPARÉE

DE LA DIFFUSION ÉLASTIQUE ^DES MÉSONS 03BC

ET DES ÉLECTRONS Par M. Paul KESSLER,

Laboratoire de Physique Atomique ^du Collège ^{de France.}

Depuis quelques années, de nombreuses expériences

ont été réalisées (notamment par Hofstadter ^{et ses}

collaborateurs) ^sur la diffusion élastique des électrons dans la région des centaines de MeV. Actuellement, ^des expériences analogues

^la diffusion des mésons ,

sont en cours ou

préparation dans divers labora- toires. L’idée a été envisagée de faire des expériences parallèles ^sur les électrons et les mésons _p., dans les-

quelles interviendrait le même transfert d’impulsion, âonc le même facteur de structure pour ^une cible donnée. , Etant donné la différence de masse entre le méson pu

et l’électron, les conditions cinématiques doivent être

légèrement différentes. Plus précisément : si l’on consi- dère la diffusion du méson p., pour ^une impulsion ^ini-

tiale ^{et un} angle ^{de diffusion} donnés, il faut choisir dans l’expérience parallèle

l’électron soit une im-

pulsion ^initiale légèrement différente, ^{soit un} angle ^de

diffusion légèrement différent. Nous allons calculer ces

différences.