Application de la théorie des groupes de Lie aux configurations mélangées

HAL Id: jpa-00206487

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206487

Submitted on 1 Jan 1967

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Application de la théorie des groupes de Lie aux configurations mélangées

S. Feneuille

To cite this version:

S. Feneuille. Application de la théorie des groupes de Lie aux configurations mélangées. Journal de

Physique, 1967, 28 (1), pp.61-66. �10.1051/jphys:0196700280106100�. �jpa-00206487�

APPLICATION

DE LA

THÉORIE

DES

GROUPES

DE LIE

AUX

CONFIGURATIONS MÉLANGÉES

Par S.

FENEUILLE,

Laboratoire A. Cotton, C.N.R.S., Bellevue, Hauts-de-Seine.

Résumé. - Par

généralisation

des résultats

applicables

^aux

configurations

d’électrons

équivalents

^{lN, il est} montré que ^la théorie des groupes ^de Lie

permet

^de classer les différents états

(S, L)

^des

configurations mélangées (l

+

l’)N.

^Pour l’ensemble de ces

configurations,

^le

concept

^{de séniorité est introduit}

logiquement

par l’intermédiaire de la

symétrie symplectique,

et un

opérateur quasi-spin généralisé

^{est défini à}

partir

^des

opérateurs

annihilation et création.

Le caractère ^tensoriel de ces

opérateurs

^est

rappelé,

^{et leur}

application

^est

simplifiée

par ^la définition de tenseurs

triples.

^{Associés à leurs} commutateurs, ils sont reliés ^aux

opérateurs

infinitésimaux du groupe des rotations ^en

8(l

+

l’)

+ 9 dimensions.

Abstract. ²⁰¹⁴ The

generalisation

of the results for

configurations

^of

equivalent

^electrons

of the

type lN

shows that

theory

^of continuous groups allows ^a classification of the diflerent terms

(S, L)

^{of mixed}

configurations (l

+ l’)N. ^{For these}

configurations,

^the

concept

^of

seniority

is introduced

through symplectic

symmetry ^and

generalized quasi-spin

^{is defined in terms of}

annihilation and creation

operators.

^{The tensor} character of these

operators

^{is reviewed,}

and their

application

^is

simplified by using triple

^tensors.

Together

^{with their} commutators,

they

^{are related to the} infinitesimal

operators

^{of the rotation} group ⁱⁿ

8 (l

+

l’)

+ 9 dimensions.

1. Introduction. ^-

Depuis

^les

premiers

^{travaux de}

Slater

[1]

^et leur extension dans le livre c6l6bre de Condon et

Shortley [2],

la determination des 6tats et

des niveaux

d’6nergie

^{des atomes}

complexes

^{dans le}

couplage

Russel-Saunders ^est l’un des

probl6mes

^fon-

damentaux de la theorie des

spectres atomiques.

^La

definition des

op6rateurs

tensoriels

[3], puis

^l’intro-

duction des

concepts

^de

parente

fractionnelle et de seniorite

[4]

^ont

permis

^{a Racah de}

degager

^le

processus

math6matique

de 1’ensemble des

r6gles

6nonc6es par Slater.

Enfin,

la theorie des groupes continus 1’a

conduit,

par ^une

remarquable interpr6-

tation des resultats

qu’il

avait obtenus

antérieurement,

a la classification des etats des

configurations fN

^{et à}

la determination des

energies

coulombiennes corres-

pondantes [5] [6].

L’oeuvre de Racah sur ce

sujet,

ainsi _que les

d6veloppements

ult6rieurs de

Jahn [7]

^et

de Flowers

[8] portent

essentiellement sur les

configu-

rations d’61ectrons

equivalents,

^{IN. Il en est de meme de}

1’application

^{de la theorie des}

op6rateurs

annihilation- creation et de la seconde

quantification,

^introduits

recemment _par

Judd [9], qui,

par

ailleurs,

^{a remar-}

quablement expose,

^{dans son livre}

Operator Techniques

in Atomic

Spectroscopy [10],

1’ensemble des méthodes de Racah.

En

1958,

^{Elliott a montre} que certains des resultats valables pour les

configurations 1-"" pouvaient

^{etre faci-}

lement

generalises

^aux

configurations melangees

(1

⁺

l’)N [11],

^{mais les}

applications qu’il

^{en a faites a}

diff6rents modeles nucleaires ne

presentaient qu’un

interet restreint pour la

spectroscopie atomique,

^et

6taient

susceptibles

^d’un

grand developpement.

^Il

nous a donc semble int6ressant de

reprendre

le pro- bleme de

l’application

de la theorie des groupes de Lie a 1’etude des

configurations (I

+

l’)N,

^{et de tenter}

de

g6n6raliser

^{a celles-ci un} certain nombre de

concepts,

seniorite ^et

quasi-spin

^en

particulier, qui

^{se montrent}

d’un interet considerable pour les

configurations

^lN.

Parmi les m6thodes et les raisonnements que ^nous

avons

utilises,

^{nombreux sont ceux}

qui

^{sont en}

complete analogie

avec ceux de Racah ou de

Judd,

^{et nous}

n’avons _pas

jug6

^{utile de les}

reproduire

^{dans cet}

article. Les demonstrations d’ordre

purement

^math6-

matique

^{en ont ete}

egalement 6cart6es,

^{mais nous}

avons tenu a conserver, dans la mesure du

possible,

le maximum de

generalite,

^a la fois dans les methodes

et dans les resultats. Afin de mettre en evidence l’int6r6t

qu’ils présentent,

^leur

application

^{a un} pro- bleme

physique particulier,

celui de l’interaction cou-

lombienne entre les 6tats des

configurations (d

⁺

s)N,

fera

1’objet

^d’une

publication

ult6rieure.

2. Classification des dtats

(S, L),

^des

configurations (l + l’)N.

^{- A. GROUPES. -} Nous définissons les

tenseurs

w(xk)(la’ lb)

^de rangs

respectifs

^{x et k relati-}

vement aux espaces de

spin

^et

d’orbite,

par leurs

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196700280106100

62

elements de matrice r6duits entre deux fonctions

monoelectroniques :

ou les

symboles [ ]

^{ont leur}

signification

habituelle :

[x]

^{= 2x} + ^{1. Les}

composantes, wlg§> (§, lb),

^{de ces}

tenseurs

agissent

^{sur une} fonction mono6lectro-

nique sl" ms" mi"

> de

façon

telle que :

Il s’ensuit que les

operateurs wlg §> (l, lb)

vérifient la relation de commutation suivante :

Ces

operateurs peuvent

^{donc etre}

regard6s

^comme

les

operateurs

infinit6simaux d’un groupe, ^{au sens} de Lie. Si nous nous limitons au cas ou

1,,, lb, 1, et ld

^sont

identiques

^{a I ou}

^l’,

les conditions

triangulaires

^{sur les}

symboles

⁶

- j indiquent qu’il

^{n’est utile de considerer}

que les

(4l

+

2)2 composantes W(x TC q k) (1, l) (x = 0, 1;

0 k 21),

^les

(41’

+

2)2 composantes w(xk) ^l’) (x = 0, 1; ^{0 k} 2l’)

^{et les}

8(2l

⁺

1) (2l’

+

1) composantes W(x k) (l, l’)

^et

W(x k) ^{(l’, l) (x}

⁼

^{0, 1 ;}

k , /+/’).

^{Si nous}

imposons

^{que les}

transformations du groupe conservent l’orthonormalite des fonctions propres, le groupe considere ^est alors le groupe unitaire ^en

4(l ^{+ l’}

⁺

1) dimensions, U4(l + I’ + 1)’

de dimension

1 fi (l

^{+ l’} +

1)2.

^{En 6cartant}

l’op6rateur :

de 1’ensemble des

op6rateurs

infinitésimaux de

U4(l + l’ + 1)’

^nous limitons le groupe ^au groupe uni- taire

special S U4(l + l’ + 1)

de dimension

(4l

+ ^4l’ +

3) (4l +

^41’

+ 5), qui,

^au contraire du groupe

unitaire,

est un groupe

simple [12].

Le groupe unitaire

special

contient un certain nombre de sous-groupes, ^{et en}

particulier

^{il est ais6}

de montrer,

apartirde 1’6quation (3),

que les

op6rateurs

infinitésimaux de ce groupe, pour

lesquels

^{x =}

0,

forment un groupe

invariant;

^{il en est} de meme pour les trois

composantes

^{du tenseur :}

Or,

^{les tenseurs :}

constituent les

operateurs

infinitésimaux du groupe unitaire

special SU2(l+l’ +1)

^en

2(l + l’ + 1)

^dimen-

sions,

^et les trois

composantes

^{du tenseur}

ceux du groupe

S U2.

Le groupe

SU4(1+1’ +1) peut

donc etre reduit au

produit

^direct

S U2

^X

SU2(z+z’ +

1) et cette reduction

permet l’ind6pendance

^{des trans-}

formations relativement aux espaces de

spin

^{et d’orbite.}

Le groupe

SU2(z+1’

+1) ^est lui-même

réductible;

^en

effet,

^les

op6rateurs W(Ok) (I, I), W(Ok) (l, I’),

correspon- dant a des valeurs

impaires ^{de k,}

^{et les}

op6rateurs (2)-1/2{W(Ok)(l, l’)

^-

(-l)kw(Ok)(l’, I)}

constituent les

operateurs

d’un groupe; ^ce groupe ^est le groupe des ^ro- tations

R2(1 +

^{1, +} 1) ^en

2 (l

⁺

1’+ 1)

dimensions. Remar- quons enfin que le groupe

R2(I+Z’

⁺¹⁾ contient deux sous-

groupes invariants

R21+ 1

^et

R2l’ + l’ d’opérateurs

infinitésimaux

respectifs

^W(Ok)

(I, I) (1

^k

impair 21)

et

W(Ok)(l’, 1’) (1 k impair 2/’);

^il

peut

^{donc etre} limit6 au

produit

^direct

R2l+

^{1 X}

R2l’ +

1,

qui

^Iui-même

peut

^{etre limite au} groupe

R3,

^{dont les}

op6rateurs

infinitésimaux

peuvent

^{etre choisis comme} compo- santes du tenseur :

L’ensemble de ces

resultats peut

^etre

represente

par les

sequences :

B. REPRESENTATIONS. ^- Nous considerons les

ope-

rateurs

W(,, k) (1,, ^lb)’

sommes sur tous les electrons des

op6rateurs

^{a un electron}

7r q" lb).

^Ces

op6rateurs

satisfont a

1’6quation (3) ;

ils d6crivent une transforma- tion simultanee de toutes les fonctions d’onde mono-

6lectroniques,

^et les fonctions d’onde a N electrons

I (l

⁺

I’) -N YSLM, M,, >

forment la base d’une

repré-

sentation de

U4(l + 1, + 1).

Ces fonctions d’onde sont

totalement

antisymétriques

relativement a

1’6change

de deux

electrons,

^{et l’on montre} que la

representation

consideree est

irreductible;

^elle

peut

^etre caract6ris6e par ^son

poids

^maximum que l’on 6crit :

Il faut noter ici _que la

representation

est strictement

identique

^{a la}

representation prece- dente,

^cette identite introduit formellement

1’equiva-

lence

trou-particule,

^et

permet

^de reduire 1’etude des

configurations (I

+

l’)N

^a celles pour

lesquelles

^{N est}

inferieur ou

egal

^a

2(l + l’ + 1).

Dans la reduction :

cette

representation

^se

decompose

^{en un certain}

nombre de

representations

^de

SU2(l+l’+1);

^{a chacune}

d’elles ’est

associ6e une valeur de

spin

^{S. On montre}

que le

poids

maximum de ces

representations

^est

necessairement de la forme :

oii b ⁼ 2S et 2a

+ b

^{= N. La donnee de cette r6duc-} tion est donc

identique

^a celles de N et de S. 11 n’en

est

plus

^{de meme des autres} reductions obtenues dans le

paragraphe precedent,

^et

chaque

^6tat

(S, L)

^{de la}

configuration (I

⁺

l’)R

pourra etre caractérisé par le

produit

^{de deux}

representations respectives

^{1/ et Y’}

des groupes

R2l + 1

^et

R2l’ + l’ et

^une

representation

du groupe

R2(l+ l’ + 1)’

^{· Nous} noterons cet 6tat :

Il peut

arriver,

^{si I ou I’ sont}

identiques a f,

que

cette classification ne soit _pas

suffisante,

^{mais on}

peut

alors lui

adjoindre

la donnee d’une

representation

^du

groupe

G2,

sous-groupe de

R7.

Les reductions

prece-

dentes ^et les

r6gles

d’embranchement

correspondantes

peuvent

^etre d6duites des

r6gles

de Littlewood

[13]

et de

Murnaghan [14], explicit6es

^par

Jahn [7]

^et

Judd [10].

3.

Symdtrie symplectique

et sdnioritd. ^- Nous ^avons

vu

pr6c6demment

que la reduction de

S U4(l + l’ + 1)

^à

S U2

^X

SU2(l+l’+1) n’apportait

^{aucune donnee}

supple-

mentaire a N et

S et,

^en

consequence, qu’elle

^ne

presentait

pas d’interet dans la classification des etats

(S, L)

^des

configurations (I

⁺

II)N.

^{Il existe}

cependant

^{un autre mode de}

decomposition

^de

S U4(l+ l’ + 1)’

^{et cette r6duction}

apparait

d’un intérêt

beaucoup plus grand

que la

pr6c6dente.

^{La relation}

(3)

nous

indique

^en effet que

parmi

^les

op6rateurs

infinitésimaux de

SU4(l+Z’+1)’

^les

(21

⁺

1) (4l

⁺

3) operateurs

^w(’-’)

(i, 1)

^{et les}

(21’

+

1) (41’

⁺

3) opé-

rateurs

w(",) (1’, 1’)

pour

lesquels (x

⁺

k)

^est

impair,

ainsi _que

4(2/

+

1) (2l’

⁺

1) operateurs

forment un sous-groupe de

SU4(l+l’+1).

Ce groupe de transformations dans un espace ^a

4(l

^{+ /’} +

1)

^dimen-

sions a pour dimensions

2(l ^{-E- l’}

⁺

1) (41

^{+ 4l’ +}

5);

il

s’agit

du groupe

symplectique SP4(l+ l’ + 1) ^[6].

^{Il est}

clair, d’apr6s

^ce

qui

^{a ete vu}

pr6c6demment,

que le groupe

SP4(l + l’ + 1) ^peut

^{etre limit6 au}

produit

^direct

S U2

^X

R2(Z+l’+1); la ^sequence

alternative de celle obtenue dans le

paragraphe precedent

^{est donc :}

Chaque

^6tat

(S, L)

^des

configurations (I

+

l’)N

pourra donc etre caractérisé par ^une

repr6senta-

tion Y du _groupe

SP4(l+l’+1) :

^les

representations

^Y

sont définies par

2 (l

^{+ I’} +

1)

nombres entiers

(’gl I ’g2l - - " (72(l + 1’+ 1))

^{tels que}

gl >

0’2 ^... >

G2(i + 1’+ 1) >- 0 -

La reduction

S U4(l + l’ + 1) ::::> SP4(l + l’ + 1)

^{et les}

^regles

d’embranchement

correspondantes peuvent

^{etre obte-}

nues a

partir

^des

r6gles generales

de Littlewood

[13].

Elles ont ete donn6es

explicitement

par Flowers

[8],

^et

la

decomposition

^{de la}

representation

est

particulièrement simple :

Le dernier terme de cette

decomposition

^{est, suivant}

la

parite

^de

N, (0

^....

0)

^ou

(10

^....

0).

^{Si N est}

supérieure

^à

2(l

^{+ l’}

+1),1’equivalence trou-particule

etablie dans le

paragraphe precedent

^{doit etre utilis6e.}

Puisque

^les valeurs de a sont, ^au

plus, 6gales

^a

1,

toutes les

representations

^Y

qui

interviennent dans la classification des etats

(S, L)

^des

configurations (I

⁺

L’)N peuvent

^{donc etre} caract6ris6es par la donnee d’un seul

nombre, v,

d6fini par la relation :

ce nombre est

F analogue

du nombre s6niorit6 d6fini par Racah _{pour les}

configurations lN [4].

^A

chaque

6tat

(S, L)

^des

configurations (I

+

I’)N

pourra donc etre associee ^une valeur de la

seniorite, qui

^caract6-

risera

compl6tement

^les

propri6t6s

^de transformation de cet

6tat,

^{dans la}

sym6trie symplectique.

^L’ensemble

des nombres

quantiques

introduits a l’aide de la

64

theorie des _groupes continus est donc finalement le suivant :

11 faut _remarquer aussi que la donnee simultanee de v et de S

peut

^ne

plus

^etre strictement

6quivalente

a celle de

0,

^comme c’etait le cas pour les

configu-

rations 1-"’

[5];

^{elle contient}

toujours cependant

^une

grande part

^de l’information sur les

propri6t6s

^de

transformation de 1’6tat considere dans les

operations

du groupe

R2(l + 1’+ 1) -

A titre

d’exemple,

^nous donnons dans les tableaux

I, II, III, IV,

^toutes les reductions necessaires a la classification

des configurations (d

⁺

s)N;

^{les trois pre-}

mières sont extraites de

l’ouvrage

^de

Judd [10]

TABLEAU I

TABLEAU II

TABLEAU III

TABLEAU IV

4.

Quasi-spin.

^- A. OPERATEURS ANNIHILATION ET

CRÉATION. TENSEURS TRIPLES. ^- Le caract6re tensoriel des

op6rateurs

annihilation et creation a 6t6 mis clai-

rement en evidence _par

Judd [9].

^En

particulier,

^les

[s] [1] operateurs

creation d’un electron

(nl), aa, (a

⁼ ms,

ml)

forment les

composantes

^{d’un tenseur}

double, a+,

^de rangs

respectifs

^{I et s} relativement à l’orbite et au

spin;

^{il en est} de meme des

[s] [1]

operateurs a6,

^{d6finis a}

partir

^des

operateurs

^annihila-

tion d’un electron

(nl),

at;, par la relation :

où

le tenseur double

correspondant

^{est note a.} Les pro- cedes habituels de

couplage

^ont

permis

^a

Judd

^de

montrer

1’6quivalence

^{suivante :}

ou W(47,) est un tenseur

double,

^d6fini par ^ses elements de matrice reduits :

Nous avons

generalise

^{ce resultat}

particulièrement simple,

^et reli6 les

op6rateurs W(xk) (la’ lb)

definis par

1’equation (1)

^aux

operateurs

annihilation-creation des

electrons la

^et

lb.

^Plus

precisement,

nous avons

obtenu

l’équivalence :

Par

analogie

^avec les resultats

de Judd [9],

^Flowers

et

Szpikowski [15],

nous avons d6fini les

operateurs suivants,

^les

symboles

^{a et} b 6tant relatifs relativement

aux electrons

(nl)

^et

(n’ l’) :

Les relations d’anticommutation entre les

ope-

rateurs annihilation ^et creation

permettent

^{de d6mon-}

trer les

equations

suivantes :

qui

^sont formellement

identiques

^aux relations de commutation entre les

composantes S+,

^{S_ et}

Sz

^du

spin

^total

S; Q+, Q-

^et

Q,z

forment les composantes du

quasi-spin Q [9].

L’equivalence (4)

^et les relations d’anticommutation satisfaites _par les

operateurs

annihilation et creation permettent de calculer sans difficultes les valeurs propres

MQ

^de

Q,z.

Le resultat est le suivant :

La valeur maximum de

MQ

^{est trouv6e}

quand

^{N = v,}

et par

consequent, Q = 1/2{2(l

^{+ l’ +}

1) -v}.

^Il

semble donc _que le

quasi-spin

^n’est

qu’une

^autre

façon

de

regarder

^la

seniorite, puisque

la donnee de

( QMQ )

est

equivalente

^{a celle de}

(vN ) ; cependant

^{ce forma-}

lisme

pr6sente

^un

grand avantage

^{du fait de son}

caract6re

operationnel.

^En

particulier,

^{si un certain}

operateur

^{tensoriel T}

possede

^un rang d6termin6 K _par

rapport

^au

quasi-spin,

le th6or6me de

Wigner-Eckart

permet imm6diatement d’ecrire la relation suivante :

Ce resultat

peut

^6tre

regarde

^{comme une}

g6n6rali-

sation des

equations

obtenues par

Judd

^{dans le} para-

graphe

^VI-E de la reference

[9],

^il

permet

^{de trouver} la

dependance

^{sur N d’un}

operateur

tensoriel de rang determine par

rapport

^au

quasi-spin.

Il est

possible

^de

pr6ciser

^{le caract6re} tensoriel du formalisme

quasi-spin.

^En

effet,

les resultats de Lawson

et Mac Farlane

[16] permettent

^{de montrer} que les

[s] [l] composantes

^{de a+ et les}

[s] [1] composantes

de ^a forment ensemble les

[q] [s] [/] composantes

d’un tenseur

triple

^a(qsl)

oii q

⁼

1/2 [9].

^Les

proc6d6s

habituels de

couplage peuvent

^{etre etendus sans diffi-}

cult6s,

^{et nous} d6finissons le tenseur

compose

^{suivant :}

Le

quasi-spin,

^le

spin

^{et le moment orbital}

peuvent

etre

exprim6s

^a

partir

^{de ces tenseurs}

triples; plus precisement :

resultat

qui

établit la

correspondance

^{6troite entre}

spin

^et

quasi-spin.

B. GROUPES. ^- Les

8(l -E- l’ + 1) operateurs at ,

an,

b+

^et

^b6

^{ne forment pas les}

operateurs

infinit6simaux d’un groupe de

Lie, cependant

^{il n’en est}

plus

^{de meme}

si nous leur

adjoignons

^les

4(l + l’

+

1) (8l

^{+ 8l’ +}

7)

commutateurs non nuls

qui

peuvent ^etre construits à

partir

^{de ces}

operateurs.

Les resultats de Racah

[6]

permettent

^{de montrer} que le groupe

correspondant

a ces

4(l + l’

+

1) (81

^{+ 81’ +}

9) operateurs

^{est le}

groupe des rotations dans ^un espace ^en

(8l

+ ^8l’ +

9) dimensions, R8(l + l’)+ 9’

^Les

4(l + I’ + 1) (8l

+ ^8l’ +

7)

commutateurs consideres

pr6c6demment

^vérifient

6ga-

lement la condition fondamentale de Lie et, ^{en cons6-} quence, constituent les

op6rateurs

infinitésimaux d’un sous-groupe de

R8(l + l’)+ 9;

^{ce groupe est le groupe}

des rotations dans un espace ^en

8(/ + l’

+

1)

^dimen-

sions, R8(l+Z’+l)’ II

^est

^clair, d’apr6s 1’equivalence (5),

que les

operateurs

^{de ce} groupe

peuvent

^etre

exprimes

comme des combinaisons lin6aires des tenseurs

triples X([{xk) (la’ lb) ou la et lb

^sont

identiques

^{à 1 ou l’. En}

fait,

seuls interviennent les tenseurs

X(Kxk) (l, l)

^et

X( Kxk) (l’, l’)

pour

lesquels

^{K + x} + ^{k est}

impair

^ainsi

que

les

tenseurs

X(K,,k)(1, l’)

^-

(-l)K+x+k X(Kxlc) (l’, l) ;

lin6airement

independants,

^{ces tenseurs}

peuvent

^etre

regardes

^{comme les}

op6rateurs

infinitésimaux de

R8(l + l’ + 1)’

Nous pouvons isoler

parmi

^ces

operateurs

^les

16(l

^{+ l’ +}

1)2 qui correspondent

^{a une}

projection

nulle de

K;

le calcul montre

qu’ils

forment les

op6ra-

teurs infinitésimaux d’un groupe

qui peut

^{etre identifi6}

a

U4(l+l’+l)’

^{Une autre}

d6composition peut

^6tre

egalement realisee;

^{en effet nous} pouvons ^ne considerer que les

operateurs

et

ils constituent les

operateurs

infinitésimaux du

produit SU2

^X

SP4(l+l’+1)’ et

^cette

decomposition permet

^d’ob- tenir 1’association entre

quasi-spin

^et

sym6trie

sym-

plectique.

^Bien d’autres reductions

peuvent

^encore

etre

envisag6es,

^{mais nous ne} considerons ici _que les deux

pr6c6dentes qui peuvent

^etre

poursuivies

^{a l’aide}

66

des resultats obtenus dans les

paragraphes

^{2 et 3.}

Nous les 6crivons :

Parmi les

op6rateurs

infinit6simaux du _groupe

R8(Z+ [’)+ 9’

^se trouvent tous les

op6rateurs

creation de la couche ^l +

I’;

^en

conséquence,

1’ensemble des 6tats de

toutes les

configurations (I

⁺

11) N(0 ^N 4(l + l’ + 1)) peut

^etre

regarde

^comme la base d’une

representation

de

R8(l + 1’)+ 9;

^on

peut

^montrer que le

poids

^maximum

de cette

representation

^est

(1/2, 1/2, ..., 1/2)

^et, par

consequent,

que ^cette derni6re ^est irréductible. Dans la reduction

R8(Z+

1’)+ 9 -:::)

R8(l + 1’+ 1),

^cette

representation

se

decompose

^{en deux}

representations

irreductibles

(1 /2, 1/2, ..., 1/2)

^et

(1/2,1/2,...,20131/2).

^La

premiere

contient tous les 6tats de toutes les

configurations

pour

lesquelles

^{N est}

pair,

^{la seconde tous les etats}

de ^toutes les

configurations

pour

lesquelles

^{N est}

impair.

La suite des reductions ecrites

precedemment peut

^etre facilement obtenue a

partir

^{des resultats}

des

paragraphes

^{2 et 3.}

L’ensemble des notions introduites dans ce para-

graphe

^et les resultats _que nous y ^avons 6nonc6s

n’apportent

^{aucun element nouveau}

quant

^{a la clas-} sification des termes des

configurations (I

⁺

l’)N puisque,

^{de ce}

point

^{de vue,}

quasi-spin

^{et seniorite}

sont

equivalents,

^{mais il n’en sera}

plus

^{de meme dans}

la classification des

op6rateurs agissant

^{entre ces}

^6tats, puisque

la connaissance des

propri6t6s

de ceux-ci

relativement au

quasi-spin ,permet

^{de trouver la}

dependance

^{sur N} de leurs elements de matrice.

5. Conclusion. ^- L’ensemble des

concepts

^introduits

à 1’aide de la theorie des groupes continus de

Lie,

dans 1’etude des

configurations

d’electrons

6quiva-

lents

IN,

^{ont ete}

generalises

^aux

configurations

^m6lan-

g6es (l

⁺

L’)N.

^{Nous avons montre} que les diff6rents etats de ces

configurations peuvent

^etre

classes,

^sans

ambiguite,

suivant les

representations

irr6ductibles de diff6rents _groupes de

rotation,

^et 1’etude de la

sym6trie symplectique

^{nous a conduits a} introduire

logique-

ment le

concept

de seniorite pour ^ces

configurations.

Nous avons d6fini un

operateur quasi-spin generalise,

et nous avons pu ainsi

appliquer

^{une seconde}

quanti-

fication dont les travaux de

Judd [9]

^{ont montre toute}

l’importance

pour les

configurations

^{IV. Bien}

qu’il

^ne

soit _pas

possible d’esp6rer

que 1’ensemble de ces

resultats trouvent un

champ d’application

^{aussi vaste}

que pour les

configurations IN,

leur interet

theorique

est

cependant

^{evident et leur}

application peut

appor- ter de

grandes simplifications

dans 1’etude des

configu-

rations

(I

⁺

/’)N.

^{C’est ce que nous nous} proposons de d6montrer dans un certain nombre d’articles

ulterieurs, qui

^seront consacr6s a des

probl6mes phy- siques particuliers.

Je

^{tiens a} remercier ici le Professeur B. R.

Judd

pour 1’aide bienveillante

qu’il

^a bien voulu

m’apporter

dans la realisation de ce travail.

BIBLIOGRAPHIE

[1] SLATER

(J. C.),

Phys. Rev., 1929, 34, ^1293.

[2] ^CONDON

(E. U.)

^{et SHORTLEY}

(G. H.),

^The theory of ^{A tomic}

Spectra,

1935,

Cambridge University

Press, ^New York.

[3]

^RACAH

(G.),

Phys. Rev., 1942, 62, 438.

[4]

^RACAH

(G.),

Phys. Rev., 1943, 63, 367.

[5]

^RACAH

(G.),

Phys. Rev., 1949, 76, 1352.

[6]

^RACAH

(G.), Group

Theory ^and

Spectroscopy,

^1951,

mimeographed

^{lecture notes, Princeton.}

[7] JAHN (H. A.),

^Proc. Roy. Soc., London, 1950, ^A 205, 192.

[8]

^FLOWERS

(B. H.),

^Proc. Roy. Soc., London, 1952,

A 212, 248.

[9] JUDD (B. R.), University

of California Lawrence

Laboratory, Report

UCRL-16098, ^1965.

[10] JUDD (B. R.), Operator Techniques

^{in Atomic}

Spec-

troscopy, 1963, ^McGraw Hill, Book Co., Inc., New York.

[11]

^ELLIOTT

(J. P.),

^Proc. Roy. Soc., 1958, ^A 245, 128.

[12]

Toutes les définitions et les notations

employées

^dans

cet article sont celles utilisées par ^{B. R.}

Judd.

[13]

LITTLEWOOD

(D. E.),

^The Theory of

Group

^Charac-

ters, 1950, Oxford

University

Press, ^{New York.}

[14]

^MURNAGHAN

(F. D.),

^The Theory of

Group

Repre- sentations, 1963, ^Dover Publications, ^New York.

[15]

^FLOWERS

(B. H.)

^et SZPIKOWSKI

(S.),

^Proc. Phys.

Soc., London, 1964, 84, 673.

[16]

^LAWSON

(R. D.)

^{et MAC FAISANE}

(M. H.),

^Nuclear Physics, 1965, 66, 80.