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Sur les équations d’ondes des corpuscules de spin
quelconque. I
Gérard Petiau
To cite this version:
SUR LES
ÉQUATIONS
D’ONDES DES CORPUSCULES DE SPINQUELCONQUE.
I. Par GÉRARD PETIAU.Institut Henri-Poincaré.
Sommaire. 2014 Différentes théories ont été
proposées pour représenter les corpuscules de spin quelconque. Nous montrons ici comment ces théories se présentent les unes par rapport aux autres
et, en particulier, comment la théorie générale qui introduit plusieurs valeurs propres pour les états de masse du corpuscule renferme, comme cas particulier, la théorie de M. Louis de Broglie, dans
laquelle on peut isoler la théorie de M. Fierz.
Actuellement,
troispoints
de vue sont considérés dans la théorie descorpuscules
despin quelconque
et il en résulte troisdéveloppements
théoriques
assezdifférents. Ce sont :
a. La théorie de M. L. de
Broglie (1);
b. La théorie de Fierz’(2);
c. La théorie extensive.
Nous nous proposons d’examiner les
positions
respectives
de ces théories et notamment depréciser
)un certain nombre de
points
de la théorie extensive. j1. La théorie de M. L. de
Brogüe.
-- Selon cettethéorie,
lecorpuscule
despin
total maximum nh
est
représenté
par les fonctions d’ondes solu-tions simultanées de néquations
de Dirac que nouspouvons écrire
Par itération de
(1),
on voit immédiatement que~2~11...Ln
(0 = °(2)
Si n est
pair (n
=2p),
lesystème
(1)
peut
seremplacer
par les péquations
En
effet,
on a, entreopérateurs,
Par
suite,
si 1.~
o, c’est-à-dire si la masse n’est pasnulle,
l’application
de 821’-1 - à(3)
donneet, par addition et
soustraction,
(3)
et(4)
redonnent(1).
(1) Théorie générale des corpuscules à spin, Paris,
Gauthier-Villars, 1943.
(1) Helvetica Physica Acta, ~.2, fasc. 4.
Si n est
impair (n
=2p +
1),
cette réduction nepeut
s’effectuer que d’unefaçon
incomplète,
le sys-tème(1)
se ramenant auxp +
1équations
T ,
Les fonctions d’ondes
t¥i1...in
introduitesjusqu’ici
ne
présentent,
dans leursindices,
aucunepropriété
de
symétrie
et l’ordre de numération deséquations
correspond
à un choixarbitraire,
mais fixé une foispour toutes.
Les matrices
¡{L
permettent
de construire unsystème
de 16 matrices que nous écrivonsLes seuls sont hermitiens et l’on a
( yWV )+* = -
Y"", = - I.Deux
systèmes
de tellesmatrices,
soienty-4
sontliés
par la relation de Pauliqui
s’écrit iciDans un
système
de 16 matricesy’,
on montrequ’il
existe une matrice .R telle que les 10 matricesRylJ., Ry~’’
soientsymétriques
et les 6 matricesRy°, Ry~~
antisymétriques.
R est alors défini par
Réciproquement,
ces matricespermettent
d’asso-cier aux ondes des ondes tensorielles oumixtes,
définies par
125 Les
équations (3)
s’écrivent alorset les
équations (4)
donnentLes
équations
(5) (n impair
=2p +
1)
se ramènent à deséquations analogues
entre fonctionsauxquelles
s’ajoute
l’équation
Dans cette
représentation,
aucunehypothèse
desymétrie
n’étant faite sur les indicesil,
..., 1in,
aucune
symétrie
n’estpréétablie
entre indices ten-sorielsA,,
...,Ap.
De
plus,
il est nécessaire que la masse soitessen-tiellement non nulle.
Toutefois,
les fonctions d’ondes ne sont pas linéairementindépendantes.
En
effet,
la relation(6),
multipliée
par(R)
nous donne
Or,
si l’on considère deux deséquations
(1)
- d’indices r et
s, additionnées et
multipliées
par R,elles nous donnent la relation
o.
quels
que soient les indices r et s.Par
suite,
si nousmultiplions
la relation(11)
...,
in,
le second membre sera nul et il restePosant « _
p.,5,
cette relation s’écrit encoreavec A = 0, oc,
La
représentation corpusculaire
caractérisée par leséquations (1)
ou(9)
n’est pas irréductible. On le voit immédiatement enremarquant
que les indices pL, p.’) ou 5,5 p. ne semélangent
que dans lesgroupes
(9 a), (9 b).
Si l’on classe les fonctions d’ondes
d’après
les états despin
total dans lesystème
propre, on voit facilement que la théorierenferme,
à côté de l’état despin
totalmaximum,
des états despin
total inférieurs. Nous n’insisterons pas sur cetaspect
de la théoriequi
se trouve étudié en détails dans le livre de L. deBroglie.
2. La théorie de Fierz. - La théorie
précédente
rejoint
la théorie de Fierz si l’on faitl’hypothèse
les fonctions d’ondes étant
complètement symétriques
parrapport
auxindices il,
..., in.Si l’on considère les matrices nous avons vu
que sont
antisymétriques
et,
parsuite,
D’autre
part,
lasymétrie
en indicesir,
iJ entraîneLes fonctions d’ondes tensorielles sont
symé-triques
etpeuvent
serépartir
en classes d’ordre msuivant le nombre m d’indices vecteurs ~.1, . , ., et le nombre p - m d’indices li,).
Les
équations (9)
se réduisent àOn est alors ramené à p + i
équation,
cesystème
étant
complété
si n = 2p + i, par
les fonctions d’ondes étant dans ce cas de la forme
La relation
(6)
et la relationcomplétée
par celle que l’on obtient en lamultipliant
parnous
donne,
parmultiplication
par(R) (R~y~)
et enl’appliquant
àcfi1...i71’
" ,
ce
qui
donne les relationsconditions de traces de la théorie de Fierz.
3. La théorie extensive. - Dans cette
de
l’équation
que nous écrivons encore
Désignant
par Dl’opérateur
l’opérateur
S satisfait à l’identitéet à
Si l’on tient
compte
de(21), ~~,,",,;,~
étant unesolution,
nous avons° ’
Par
suite,
les fonctions serépartissent
enclasses d’ordres r
(r
= o, r,..., p
-1)
suivantqu’elles
satisfont à
l’équation
(21)
et auxéquations
Les ondes
peuvent
être considérées commereprésentant
un étatcorpusculaire
de masseet, par
suite,
la solutiongénérale
de(1)
secomporte
comme unesuperposition
de solutionscorrespondant
à des états de massemultiples
non nécessairementmultiples
entiers de ~.Si nous écrivons
l’application
à ~
del’opérateur
nous donne
Si nous posons alors
nous aurons
Cette définition des montre immédiatement
que
1 Si
nous écrivons
l’équation (21)
sous la forme..- , "’
c-les fonctions sont telles que
Or,
l’opérateur s;
est telque s)
= D,et,
parsuite,
l’équation
(30
b)
entraîneSi l’on substitue cette
expression
dans(30
a),
l’on
obtient127
Par
suite,
n - r des Ej doivent avoir la valeur + i,et les r autres la valeur -
i.
Les solutions du
système
(30)
se ramènent doncà celles du
système
Pour r =
o, nous retrouvons la solution de la
théorie de M. L. de
Broglie
et l’on voit que l’on n’a que cette solution pour n = 1, 2, les nouveauxtypes
de solutions ne s’introduisant que pour n ~ 3. Par
combinaison,
lesystème
(33)
peut
se ramenerà p
équations
pour n =2p, ou pour n =
2p -
I. En
effet,
groupant
parpaires
leséquations,
onpeut
remplacer
cesystème
par leséquations
et si n === 2p - r, l’une de ces
équations
se réduisant àS2p-2r+1 = °
Ce
système
estéquivalent
à(33),
carJ’r
étant diffé-rent dezéro,
ceséquations
entraînent commeconsé-quences
T .
qui
nousredonne,
par addition et soustractionavec
(34),
lesystème
(33).
Si nous considérons la transformation T telle que
transformation
représentée
par la matrice y5, nous avonsSi nous
multiplions
leséquations
(33 a)
par(T)n-1’+1...
Tn et leséquations (33 b)
par ceux de ces T autres que celui dont l’indice est celui del’équation
et si nous posonsle
système
(33)
s’écriraSi n =
2p, ce
système
seremplacera
par les péquations
et si n =
2p -
i, par ces
équations
avecLes
équations
satisfaites par les~l"1
peuvent
donctoujours
se ramener à deséquations
de la même forme que celles -de la théorie de M. L. deBroglie
en
remplaçant 1.
par la masse~.,
=k,.~
etpar
Nous pouvons encore définir des ondes tensorielles suivant le
procédé
indiqué
dans lapremière
Partie au moyen des combinaisons linéairesLa
multiplication
del’équation
(21)
parl’opé-
,rateur .
permet
deremplacer
cetteéquation
par unsystème
tensoriel.Nous pouvons
opérer
de même au moyen dusystème (33)
pour lesÇjrj
et pour lesc~~,.~
avec lesystème
(38),
enposant
et la définition
(37)
despermet
d’exprimer
les en fonctionSi nous remarquons que, dans les
équations (33),
le
numérotage
deséquations
estarbitraire,
du fait de r ~ p, nous pouvonsprendre
pouréquations
affectées du
signe
-- deséquations sj pour j pair.
Nous avons alors
et
réciproquement
consi-dérer les
équations (33 b) correspondant
aux derniersindices 2P, 2p -
i, ..., 2 p - r. Nous avons alors
à
distinguer
deux cas suivant que rpair,
r = 2kou r
impair,
r = 2k + 1. Nous avonsalors,
remar-quant que
Par
suite,
pour r = 2k les admettent lamême
représentation
tensorielle que Dans les cas n = 3 et n =~,
onn’a que les états de masse
"’0
et À1
et, parsuite,
on n’a que lesrepré-sentations tensorielles :
L’hypothèse
deFierz,
symétrique
enindices
i,
peut
s’appliquer également
aux solutionsde
l’équation
(21)
et, parsuite,
simultanément,
à tous lessystèmes (33).
Si nous considérons deux
équations
telles quenous pouvons
échanger,
dans laseconde,
le nom desindices
et 1,
nous avonsSi nous faisons maintenant
l’hypothèse
deFierz,
nous avons1) ..
ü...tz...il.,.
Il .,.it..,. 1et la dernière
équation
s’écritce
qui
est contradictoire avec(45
a),
à moins queL’hypothèse
de Fierz écarte donc les états demasse autres que le cas fondamental.
Mais
l’hypothèse
deFierz,
telle que nous laformu-lons,
vaplus
loin que laséparation
ensystèmes
irréductibles
correspondant
à des états despin
total dans lesystème
propre tellequ’on l’exprime
ordi-nairement.
En
effet,
dans lesystème
propre,l’équation (21)
s’écrit
-r TJ ,
Si l’on introduit la
représentation
des matrices ex en matrices Q et p suivant la méthode deDirac,
on a G!4 === Si l’on
remplace
les indicesprécé-dents ir
variant de i à4
par despaires
d’indices, ir,
kr variant chacun sur 1 et 2 etcorrespondant
respec-tivement aux indices des u et des p,les ~
s’écriventet
l’équation (46)
s’écritOr,
lesopérateurs
despin
nedépendent
que desmatrices o~ et il en est de même de
l’opérateur
despin
total. Parsuite,
dans lesystème
propre, lasépa-ration en états de
spin
total nedépend
que des indicesil,
..., in
qui
peuvent
serépartir
par classes desymétrie.
Lespin
total maximum est réalisé pour les fonctions ...,complètement
symé-triques
parrapport
aux indicesil,
..., in
etquelque
soient les indiceskl,
..., 1 kn.Les états de masse
dépendent
del’opérateur
et,
parsuite,
uniquement
des indiceskr.
L’hypothèse
de Fierz ne considère que la solutioncomplètement symétrique
enil,
... , in et enk,,
... , knce
qui
ne laisse queles ~
pourlesquels
cetopérateur
à la
valeur +
i.On
voit,
d’après
la forme del’équation (47)
que, pour un état de massedéterminé,
c’est-à-dire unevaleur déterminée de
~r
(-
tous les états despin
total nedépendant
que des indicesil,
...,in;
peuvent
exister etréciproquement
pour un état despin
totaldonné,
tous les états de massepeuvent
exister.
Mais,
dans lesystème
propre, à un état de masse mcorrespond
deux étatsd’énergie,
+ mo c2 et -mo C2. Par
suite,
dans lesystème
propre, nous avons deuxétats
d’énergie
(positive
etnégative)
correspondant
à
chaque
état de masseet,
de même que l’on doit considérer en théorie deDirac,
des transitions entre étatsd’énergie positive
etnégative,
nous aurons àconsidérer des transitions entre états de masses
différentes. Mais ici ces transitions seraient
possibles,
même dans une théorie
classique
de laparticule
neconsidérant que des états
