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Submitted on 1 Jan 1932
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La théorie unitaire d’Einstein et Mayer et les équations de Dirac - II.
W. Pauli, J. Solomon
To cite this version:
W. Pauli, J. Solomon. La théorie unitaire d’Einstein et Mayer et les équations de Dirac - II.. J. Phys.
Radium, 1932, 3 (12), pp.582-589. �10.1051/jphysrad:01932003012058200�. �jpa-00233124�
LA THÉORIE UNITAIRE D’EINSTEIN ET MAYER ET LES ÉQUATIONS DE DIRAC (II)
Par W. PAULI et J. SOLOMON.
Sommaire . 2014 Ce travail complète et rectifie sur certains points un travail antérieur sur le même sujet. On y examine d’un point de vue général la théorie des spinors dans l’espace à cinq dimensions. On discute ensuite la forme du tenseur énergie-quantité de mouvement et du vecteur de courant dans la théorie d’Einstein et Mayer.
1. Introduction. - Le présent sujet a déjà été traité dans un travail précédent (1).
Malheureusement il s’est montré que les considérations du q 7 de la première partie sont
entachées d’une faute de calcul; la (l, 47) se montre en effet inexacte. Ceci a rendu nécessaire l’introduction d’une nouvelle expression pour le tenseur énergie-quantité de
mouvement et, fait caractéristique, également pour le vecteur de courant, modifications qui
sont indiquées et discutées dans le §4 du présent travail, Avant d’y arriver, pensant à des généralisations futures possibles de la théorie, nous discutons les propriétés d’invariance des spinors pour un choix quelconque des signes ez de la métrique quintidimensionnelle (~ 2). Pour cela, il est commode d’introduire à côté des composantes conjuguées ~!~ les com-
posantes adjointes ~!~ ~ d’un spinor. Leur équation d’ondes se trouve au §3.
2. Relation entre les composantes complexes conjuguées et adjointes d’un spinor. - Nous considérons à nouveau dans un espace vectoriel à cinq dimensions une
métrique avec les cinq signes e-, qui fait correspondre à un vecteur de composantes ap. rela- tives à des axes quelconques et de composantes
relatives à un polyaxe orthogonal à cinq dimensions le carré de la longueur
avec
Si
est l’inversion de (1), on a les relations
donc aussi
De plus il s’ensuite
(1) Ce Journal, série 7, 3 (1932),4;)2; cité dans ce qui suit comme première partie. Nous désignons de plus les formules de ce travail par (I, ~1;... etc. 1
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01932003012058200
583 Comme dans la première partie nous considérons maintenant les transformations linéaires
pseudoorthogonales du polyaxe quintidimensionnel dans l’espace vectoriel, transfor- mations définies par la propriété de laisser l’expression (2) invariante de sorte que
Avec
la condition pour que ceci ait lieu est
Les spinors § à quatre composantes sont maintenant définis par cinq matrices hermi- tiennes E,, de rang quatre qui satisfont aux relations
et qui existent quel que soit le choix des signes e~. étant fixées, il existe en effet,
comme cela a été montré dans la première partie, pour toute rotation pseudoorthogonale D~ une matrice S telle que si
les grandeurs
se transforment d’après (1, 6) comme les composantes relatives au polyaxe d’un quinti- vecteur, c’est-à-dire que l’on a
Pour beaucoup de considérations il est commode d’introduire à côté des composantes §*
de spinor d’autres que nous appellerons ~+ de telle sorte que celles-ci se transforment
d’après
Posons
où A doit être une matrice invariante par rapport aux transformations S. D’après (4), la
condition nécessaire et suffisante pour que (5) ait lieu est alors que pour toutes les D5
on ait
.
Pour cela il est à nouveau suffisant de remplir cette condition pour les transformations infi- nitésimales
pour lesquelles on a, d’après la première partie,
~~) Dans ce qui suit, nous désignerons toujours par + la conjuguée hermiticnne d’une matrice
Ceci donne pour A la condition
ou
On peut même obtenir que
et que
OÙ ê désigne un signe que nous égalerons immédiatement au produit des cinq signes e, :
, - n n
En tenant compte de (I, 18) :
est en effet une solution des équations (9), (9’) d’où suivent alors immédiatement les relations (8’). De plus on a alors pour les matrices définies (i) par
et qui en général ne sont plus hermitiennes la relation
Pour et
on a alors
Remarquons encore que ~~9 ), abstraction faite d’un facleur scalaire, est la .seule solution des relations (8) ou (8’). S’il existait en effet deux solutions A et B de (8), alors C= AB-’ serait
une matrice qui devrait permuter avec tous les S (.D~), donc aussi avec tous les Or ceci n’est possible dans le cas quintidimensionnel (quels que soient les e,) que lorsque C est
un multiple de la matrice unité.
3. Déplacement parallèle des spinors ; équations d’ondes. - Le déplacement parallèle des spinors est déterminé, d’après la relation (19) de la première partie, par
l’opérateur
a
où, en posant
(1) La définition ~’’ = ¡ 4 E’ de la prelnière partie n’est pas correcte et doit être remplacée par
= F- A E~, où, par suite de e, = e, = e3 = e. - 1, e4 = - 1 et de El - J, on peut poser c- - - 1, ,4 = E2 E3 Ej.
1
(2) Dans la première partie, on doit compléter la relation (23, au second membre par un
facteur ’2’
585
CI est déterminé par
La grandeur Cl se décompose en une partie riemannienne G’i et un terme supplémen-
taire caractéristique de la géométrie d’Einstein et Mayer d’après
L’équation d’ondes s’écrit maintenant (en tenant compte explicitement à partir de main-
tenant de et = e2 = e3 = _ + 1, e!.~ - - 1) : 1
ce qui avec
peut encore s’écrire
La matrice conjuguée hermiticnne à CI est donnée par
et satisfait aux relations
Il est cependant plus commode pour vérifier les théorèmes de conservation et pour obtenir
l’équation du second ordre de calculer avec les ~~+_~.~~ ~ et les (J:J. au lieu des ’~* et des
E~~. Les grandeurs ~+ satisfont aux équations 1
’
d’où suit pour le vecteur
(1) Il est commode de changer le signe ~i par rapport à la première partie.
(2) Nous introduisons le terme en ,,l dans Cio, de plus le terme supplémentaire a le
facteur 2 1
au lieu de2 comme dans la première partie.
(3) Dans le cas e, = e2 = e;1 = 1., e, = e5 1, le terme proportionnel à la masse devrait être encore multiplié par i.
1’) Dans les relalions correspondantes de la première rarMe, - Gl+ 1 EA est remplacé de façon > erronnée par Ci El, ce qui n’est possible que pour des C’c hermitiques gauches (lous les Pp. _ + 1).
comme on l’a montré dans la première partie, l’annulation de sa divergence :
Quant à l’équation du second ordre, remarquons encore que les termes supplémentaires
de l’équation du second ordre (1, 39) provenant des termes supplémentaires proportionnel
à de l’équation du premier ordre peuvent s’écrire sous la forme
où désigne la combinaison linéaire des permutations du produit
divisée par 3 ! ~ 6.
4. Tenseur-énergie-quantité de mouvement et vecteur de courant. - Dans la théorie d’Einstein et Mayer, les équations de Maxwell et les équations de la gravitation
de l’espace sans charges sont réunies en une équation tensorielle de l’espace à cinq dimen-
sions que l’on peut écrire
rr n 1- w
où (1)
(le ; indique comme d’habitude la dérivation covariante). Ceci conduit à poser
où les Fki sont les champs électromagnétiques habituels. Si de plus nous postulons l’un des systèmes d’équations de Maxwell :
- . ..--- r-..._-,
on a
C’est un fait important que cette relation se déduit seulement de la définition de et de (24) sans utilisation de (1, 12).
Lorsqu’il y a de la matière présente, il nous faut trouver un tenseur T~q formé au
moyen des fonctions d’onde ’f’ qui satisfasse aux équations de champ
En posant
soit
(1) Rnq est le tenseur de courbure de ln 1t5 rlui est défini chez Einstein et Mayer avec le signe opposé à celui habituellement usité.
587
les équations de champ (26) prennent la forme
/ 1 ~ ,, / .
Comme le premier membre de (28 a) est symétrique en jo et n, il doit en être de même du second membre :
rr’9 - .J - - ’-
De plus, de (25) suit
ce qui d’après (27) et à cause de
se décompose en les deux identités
Nous devons demander aux expressions ’de Tmn et v~2 à former au moyen des fonction
d’onde ~ et de leurs adjointes ~+, qu’elles satisfassent à ces identités seulement comme
conséquences de l’équation d’onde (16) (et de l’équation adjointe (16 bis)).
Jusqu’ici nous avons essentiellement répété les développements 1, § 7. Maintenant nous
arrivons à une expression 7’mn et vn de la façon suivante. Soit ?nle tenseur non symétrique
de la théorie habituelle de Dirac, soit
En tenant compte de
on tire alors des équations d’onde (16), (16 bis).
si l’on pose
De plus on a
En tenant compte de (24) on obtient finalement pour
si, comme dans la première partie, on pose explicitement t
avec
La divergence de la première partie de vm, qui n’est autre que (- s’annule d’après (20), (21), la divergence de la deuxième partie disparaît identiquement à cause de l’anti--
symétrie On a donc en fait
On se serait tout d’abord attendu à trouver simplement
C’est cependant une conséquence ca1 actéî-islique des ternies supplénlenta’Ù’es de
tion d’ondes (second membre de 16) que l’on pas à satisfait-e azc de conser-
vation de l’énergie et de la quantité de mouvement au de cette hypothèse. On a en fait
encore pour la charge totale
car pour m = r, l’indice r dans (36) ne va que de 1 à 3 (le terme avec r ~ -4 s’annule iden-
tiquement pour m = 4), ce qui justifie également l’introduction du facteur (- e). Mais le
terme supplémentaire de (36) est (réel mais) en général aussi bien positif que négatif (il donne
v lieu à une contribution non nulle au moment de dipole électrique total) et empêche que
(- e)
reste définie positive (1). Cette différence la densité de charge et la densité de lité n’est, à vrai clire, pas impossible a priori, mais nous parait artificielle du point de vue physique pour une particule chargée.
Il reste encore à discuter la symétrisaiion du tenseur. Cellc-ci a lieu exactement comme-
dans la théorie de la relativité restreinte (T(,trode). On trouve, si signifie comme
dans (22) la combinaison linéaire antisymétrique des g/n(jn SJr, comllle conséquence âe l’équation d’ondes
de sorte que
(1) Tout à fait indépendamment de la question de la formulation quintidimensionnelle de la théorie, l’un 6e nous Pauli) avait discuté il y a un certain temps les termes supplémentaires de l’équation
d’ondes et de vm (deuxième partie de (36) dans le cas de la relativité restreinte et avec e - 0) comme hypothèse pour décrire le comportement d’un neutron R. Oppenheimer et J. Carlson, Phys. Rev., 41 (1932), 763.
589 On a pour
d’après (35)
comme cela devait être.
Le vecteur de courant défini par (36) et le tenseur d’énergie-quantité de mouvement
défini par (3), (33), (3 Î) peuvent être également mis en relation avec un principe de varia- tion, mais nous n’en dirons pas davantage, car on n’obtient ainsi aucun nouveau
résultat.
5. Remarques critiques finales. -- Nous considérons les résultats indiqués ici comme
forcés lorsqu’on accepte la conception d’Einstein et Mayer delà théorie classique en l’absence
de charges comme point de départ et que l’on cherche à incorporer l’équation d’ondes de
Dirac à ce schéma. D’autre part, on peut considérer le résultat, même du point de vue formel,
comme peu satisfaisant, car par introduction explicite des vecteurs de projection 1; et A,.,
on peut compléter un système quelconque d’équations d’une théorie quadridimcnsionnelle
en un système invariant quintidimensionnel d’équations. La notation quintidimensionnelle
n’a un contenu non trivial que lorsque les grandeurs qui y interviennent t ont une signifi-
cation naturelle du point de vue de la géométrie qui est mise à la base (par l’intermédiaire des F,’ C’est bien ce qui se présente dans la théorie classique, mais non pour le tenseur T,~
défini par (27) et qui réunit le tenseur énergie-quantité de mouvement et le vecteur de courant.
Nous ne sommes pas en effet arrivés à l’écrire de façon à éviter l’emploi explicite de ,1§ et .Au.
(La même difficulté intervient également lorsqu’on introduit un principe de variation car
alors l’nm et L’ni se dérivent de façon séparée à partir de la fonction d’action par différen- tiation par rapport à des grandeurs qui ne présentent aucune relation géométrique directe.)
A notre avis, cette ciiiüculté ne provient pas de la conception quintidimensionnelle de
la théorie elle-même qui est rendue très vraisemblable par l’existence de spinors à quatre composantes dans l’espace à cinq dimensions et par l’existence de cinq termes dans l’équation
de Dirac en l’absence de champ. En effet on peut s’attendre à ce que la difficulté disparaisse
avec l’utilisation de cinq coordonnées homogènes, qui est réalisée dans la théorie de Schouten et van Daîîtziq (1) et permet de poser un principe de variation dans un espace de cinq dimensions. Les recherches ultérieures montreront, si, par cette méthode, on peut
satisfaire aux conditions concernant la réunion formelle de et v"2.
D’autre part, l’intervention des termes supplémentaires dans l’équation d’ondes, n’est
pas très satisfaisante au point de vue physique (voir le précédent paragraphe) et on peut préférer de ce fait la théorie de Schouten et van Dantzig, où ces termes n’interviennent pas.
(1) Z. Physik. 78, (1932), 639.
Manuscrit reçu le 30 novembre 1932.
