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Une théorie du champ unitaire avec Γµ
̸= o
S.N. Bose
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
UNE
THÉORIE
DU CHAMP UNITAIRE AVEC039303BC~
oPar S. N. BOSE, Université de Calcutta.
Sommaire. - On établit des
équations du champ unitaire en faisant varier une intégrale qui
satisfait au postulat d’hermiticité. On obtient l’équivalence formelle avec les théories anciennes, soit
avec 039303BC= o, soit avec ~ 03B103BB03BC~ = o quand 03A603BB = o; on peut interpréter 03A603BB comme la force de Lorentz
si on
prend
les 03B103BB03BC comme les composantes du champ électromagnétique.Les équations approchées avec composantes antisymétriques prennent la forme maxwellienne
pour une certaine valeur des constantes. Toutefois, pour une autre valeur, il est possible d’avoir le
champ sans aucune singularité.
TOME 14. N° 12. DÉCEMBRE 1953.
1. Introduction. - On
peut
classer en troisgroupes les
équations
caractéristiques
de la théorie duchamp
d’Einstein : .I. Les
équations
duchamp
qui
intéressentuni-quement
les coefficients de connexion-r), P.’V
et leursdérivées.
II. Les
équations
de connexionqui
relient letenseur g
aux coefficients de connexion affine.III. Les
quatre
relations de caractère restrictif :Notons que les relations
(III)
sont semblables aux2q
équations
qui,
dans la théorie relativiste de lagravitation
sont les
conséquences
dupostulat
de lasymétrie
de la connexion affine.Dans la théorie du
champ
unitaire aussi bien que dans la théorie. de lagravitation,
leséquations
duchamp (I)
et leséquations
de connexion(II)
peuvent
se déduire simultanément d’unprincipe
devariation où l’on
égale
à zéro la variation arbitraired’une
intégrale,
la variation étantcependant
assu-jettie
’aux restrictions dutype
(III).
Néanmoins les conditions arbitraires sont bien
moins nombreuses dans la théorie unitaire que
dans la théorie de
la , gravitation.
Dans cet
article,
on essaye d’éliminer toutes lesconditions restrictives et d’établir un
système
d’équations
fondamentales ens’appuyant
unique-ment sur le
principe
de variation. 1On a toutefois utilisé le
postulat
d’hermiticité récemment énoncé par Einstein pour construirel’intégrale
dont la variation conduit à cette nouvellegénéralisation.
On verra
dans
les résultatsprécisés
ci-dessousque des
termes
additionnels contenantr [1
inter- ’ viennent aussi bien dans leséquations
duchamp
que dans leséquations
de connexion.Les
équations
de connexionqui
concernent letenseur g donnent lieu à
quelques
remarques.Elles
prennent
ici la formetandis que dans les deux théories
précédentes
lepremier
membre de cetteégalité
est nul./ est défini ici par les
équations
suivantes :et
Si
1’,,
= 0, k3
= o etpar
conséquent
on a aussi4J = o et
l’équation reprend
la forme ancienne.642
Néanmoins il existe une autre
possibilité :
que csoit la
partie antisymétrique
du tenseur covariant considérée comme liée au vecteur à sixcompo-santes
(E, H)
de la théorieélectromagnétique..
Si le déterminant
on
peut
avoir+j,
= o même si kJ. etr [1
ne sont pas nuls.Remarquons
quepuisqu’on
suppose-toujours
k[1 et
r [1
sont nuls simultanément., La condition
)) a,p
=
o combinée avec larègle
habituelle de corrélation citée ci-dessus conduit
immédiatement à
(EH)
= o,propriété classique
duchamp
électromagnétique.
On est ainsi tenté de poser une corrélation d’une
part
entre ka et le vecteur àquatre
dimensionscourant-charge (car
A
= o découleimmédia-tement des
équations
générales)
et, d’autrepart,
entre 6b>, et la force
pondéromotrice
deLorentz,
en raison de l’identification
classique
On
peut interpréter
w), = o comme déterminantune distribution stationnaire où la force de Lorentz
est
nulle,
cequi
ramènel’équation
de connexion àla forme
qu’elle
avait dans les théoriesprécédentes.
Dans les
équations
dechamp,
l’élémentsymé-trique
P)v
et l’élémentantisymétrique
G,v
ontdes rôles essentiellement différents.
Au moyen
d’hypothèses
sur les ordres degran-deurs relatifs des différents termes, nous avons pu ramener les
équations
fondamentales à une formesimple.
Physiquement,
ceshypothèses impliquent qu’il
est
possible
denégliger
lagravitation
dans l’étude des relations entregrandeurs électromagnétiques.
.
Les
équations
ainsi transformées ont une formeintéressante et l’on
peut
lesinterpréter
comme desimples
conséquences
de la théorie de Maxwell sil’on attribue certaines valeurs
particulières
aux constantes arbitraires. Mais il estpossible
aussid’obtenir un
champ
sanssingularités
pour d’autresvaleurs
particulières.
Lechamp
n’est alorsévi-demment pas maxwéllien. ,
Ces
aspects encourageants
du nouveausystème
d’équations
m’ont amené à penserqu’il
convenait depublier
lespremiers
résultats pour provoquer lescritiques
et les observations.2. Les nouvelles
équations.
- SuivantEins-tein,
toutes les relations de la théorie unitaire doivent satisfaire aupostulat
d’hermiticité,
c’est-à-direrester invariantes
quand
gfv,
gur§v
sontchangés
àla
fois eng’/[1,
gV[L,rv
parpermutation
desindices >
’et 1).
On voit facilement que dans cette transformation le tenseur d’Einstein E de
composantes
devient
le tenseur H decomposantes
Au lieu de
l’expression
.qui
intervient dansl’intégrale
soumise à variationpour obtenir les
équations
fondamentales,
nousadoptons
une formeplus
générale
où
et
puisque
lapermutation
de F et v ne modifie pas le déterminant. Les termes additionnels vérifientaussi la condition d’hermiticité
puisque r [1A[1V
changent
designe
et que y>v conserve le sien avecla
permutation.
Séparons
dans les coefficients de connexionaffine
]rÀ
lapartie symétrique
P,,,
et lapartie
antisymétrique
lf)v
’et posons encoreavec
on a
En effectuant les substitutions dans
l’,
tous lestermes
qui
sontproduits
d’un facteursymétrique
par un facteur
antisymétrique disparaissent
dansla sommation et nous avons finalement ,
est la
composante
symétrisée
du tenseurd’Eins-tein avec connexion affine
symétrique
etest la dérivée covariante
classique
calculée aussiavec connexion
symétrique.
Au cours de la variation arbitraire de
y[1 ’1, A [1 ’1 conservent
automatiquement
leurcarac-tère
symétrique.
Les variations deyfv et
A [1’1peuvent
donc être considérées commearbitraires,
cequi
donne immédiatement leséquations
duchamp
Pour obtenir les
équations
de connexion nouségalons
d’abord l’ à unedivergence
àquatre
dimen-sions
(H)
et considérons H seulementpuisque
ladivergence
se transforme en uneintégrale
étendueà un domaine à trois dimensions où tous les coeffi-cients des variations arbitraires
s’annulent..
Rappelons-nous
cependant
que dans la variation des élémentsr [1’
PA,,,
G
lesquatre
relationsGÀ = 0
restenttoujours
valables;
les24
compo-sants de
G,.,
ne sont pas arbitraires. Nous devonsdonc
appliquer
la méthodehabituelle,
employer
des
multiplicateurs
indéterminés k1J. et varier la fonctionCes coefficients k[1 seront déterminés en dernier
lieu à
partir
del’équation
final.,
Nous obtenons ainsi par un calcul facile le
système
d’équations
et par
conséquent
D’où on tire immédiatement
et
Nous pouvons maintenant donner aux
équations
de connexion la forme convenable : par addition
et
regroupement
on aoù
-en
multipliant
par les coefficientsg[’l
définis parnous avons d’abord
et
puis
enremplaçant
Li£, par sa valeur et en divisantpar
Vé,
nous obtenonsaprès
une transformation facileEn observant que
et en
regroupant
et additionnant certains termes,nous avons finalement
où
Les nouveaux coefficients affines sont
où
et
644
dans
l’équation
fondamentale,
nous pouvons écrireavec
3. Cas
particulier.
-Quand
cb" - o, mais1’[1’
ktL
o, on aEffectuons la transformation et observons que
P)v
etG)v
nechangent
pas et nous obtenonsla seule modification est une réduction du nombre
des constantes arbitraires.
L’équation
de connexion est(puisque
O)
=o)
mais avec
Irt 5;?-’
o.On montre alors facilement que
. 4.
Approximation. -
Pour trouverune
approxi-mation,
nous mettonsl’équation
de connexion sousla forme
Nous supposons que les coefficients
antisymé-triques
A[1V etG§v
sontpetits,
voisins de zéro. Alors lesPl[1
peuvent
aussi êtrenégligés
la dérivation covariante est
remplacée
par ladéri-vation
ordinaire,
et nous avons finalement enpremière
approximation
d’où l’on déduit facilement
et enfin comme
nous avons le
système
suivant :En éliminant k[1 nous obtenons
Si 1 =
:’0
nous pouvons poseret
l’équation
devientidentique
auxéquations
duchamp
électromagnétique
de Maxwell.Mais
Si 1 -
Ô -
o, leséquations
deviennentavec
système
différent évidemment- de celui deMaxwell,
mais
qui
peut
avoir une solutionsans
singularités
en aucun
point.
Il est
peut
être intéressant de remarquer que certaines recherches sur laquantification
duchamp
électromagnétique
ont amené de leur côté à poserAfJ(
= o, cequi
entraînaitimplicitement
une modi-fication deséquations
duchamp.
Si il
aA[111
= o on obtient uneapproximation
pré-sentant les mêmes caractères.
