Sur les équations de mouvement en théorie unitaire

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Submitted on 1 Jan 1957

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Sur les équations de mouvement en théorie unitaire

Pham Tan Hoang

To cite this version:

Pham Tan Hoang. Sur les équations de mouvement en théorie unitaire. J. Phys. Radium, 1957, 18 (1), pp.27-32. �10.1051/jphysrad:0195700180102700�. �jpa-00235611�

SUR LES

ÉQUATIONS

^{DE MOUVEMENT EN THÉORIE UNITAIRE}

Par PHAM TAN

HOANG,

Institut Henri-Poincaré, ^Paris.

1. Introduction. ^- Tout

champ

^extérieur

donné, interprétable physiquement,

porte ^{en lui-même}

l’empreinte

^{des masses}

susceptibles

^{de le}

produire,

et tout tube d’univers de ce

champ qui

peut ^être

meublé en masse doit contenir à son intérieur une

singularité (1).

Nous pensons que ^cette

proposition

de la Relativité

générale explique

^la

possibilité

d’obtenir les

équations

^{du mouvement en Rela-}

tivité

générale

par la méthode d’Einstein-Infeld- Hoffman

[1],

méthode dans

laquelle l’approxi-

mation

porte

^{sur les}

équations

^du

champ

^{du cas}

extérieur et les masses matérielles sont considérées

comme des

singularités

(à

symétrie sphérique).

Cette

méthode,

que ^nous allons

rappeler,

suppose d’autre part essentiellement

l’hypothèse quasi- statique :

^les

potentiels

^de

gravitation

^sont peu différents des valeurs

galiléennes ~a~(-~- 1, - 1,

-

1,

^-

1)

^et la dérivée par

rapport

^{à la coordonnée}

de temps

XO( = ct) est petite

devant les dérivées par

rapport

^aux coordonnées

d’espace

^xi.

Posons :

ce, fi ^{et tout} indice grec ⁼ 0, 1, 2, ^3.

i, j ^{et tout} indice latin ⁼⁼ 1, 2, ^3.

Un tenseur

symétrique quelconque

^étant

donné,

définissons le tenseur

A*e

par la relation :

Nous pouvons ^noter que les relations

(1-1)

^{et :}

~~a~ =- ~(a~~)

^{(1- 2)}

S’entraînent l’une l’autre.

Considérons le tenseur de Ricci dans

l’espace

riemannien de

métrique

Au lieu des prenons

y:~

^{comme fonctions}

inconnues en eff ectuant dans

Gap

^le

^changement

de fonction défini _par

(1-2).

Cela étant, il est clair que les

équations

^{du cas}

extérieur :

sont

équivalentes

^aux

équations :

(1) Cf. LICHNEROWICZ (A.), ^Problèmes globaux ^{en méca-} nique relativiste. Hermann, Paris, 1939, p. 36.

8

Considérons un

système

^de

particules P(s

⁼ 1,

2,

^...,

p).

^A

partir

^de

(1-3)

^formons

l’équation :

l’intégrale

^étant

prise

^{sur une} surface fermée

k

entourant seulement la

particule

^{P. Or en sub-}

stituant on peut ^{écrire :}

eu

C~(- i’al 2013 ~

^~),

Yl*r

⁺

par ^sa forme en

divergence

^{donne une}

intégrale identiquement nulle,

^{et où}

2A,,,i

^{satisfait à}

chaque étape d’approximation

^à la condition 2 di

A,,,i

^{= 0}

.

en vertu des identités _B7p

,, -1 ^dpa

^{G - 0.}

Il résulte _que

l’intégrale

^du

premier

^membre

de

(1-4)

^{se réduit à :}

et

qu’elle

^est

indépendante

de la forme de Sk.

Par

conséquent

^{elle ne}

dépend

que des coor-

données de la

particule

^{P et du} temps. Si elle n’est pas

identiquement

nulle, ^les

équations

^{du mou-}

vement peuvent s’obtenir à

partir

^{de :}

La

quantité

^{de -}

2 G:f3) pouvant

être consi- dérée à

chaque étape d’approximation

^{comme une}

quantité

^{connue, les}

équations

^{du mouvement}

dans la méthode d’Einstein- Infeld- Hoff man _appa- raissent comme la condition _que doivent satisfaire les

champs déjà

calculés pour que les

équations

^dn

champ

^à

l’approximation

suivante soient inté-

grables.

Nous allons maintenant examiner

l’application

de la méthode

précédente

^{à la} théorie du

champ

unifié

d’ Einstein-SchrÕdinger’ [2], [3],

^dans

laquelle

l’un des

problèmes importants

^{est d’obtenir}

lés

équations

^{dû mouvement des}

particules chargées (2).

(2) Une autre méthode d’obtenir les équations ^{du mou-}

vement en relativité générale ^{repose sur} l’emploi ^des

identités de conservation et du tenseur d’impulsion-énergie.

Appliquée ^{à la théorie unitaire, elle nous ramène au} pro- blème de la détermination du tenseur d’impulsion-énergie.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195700180102700

28

Nous

adopterons

la éonvention suivante : une

même lettre

désigne

^les composantes covariantes d’un tenseur, ^le déterminant _que forment ses

éléments et le mineur

qu’on

^en peut

déduire ;

par

exemple

^{g est le} déterminant _que forment les éléments gap,

ggcx(3

^les mineurs relatifs à ces mêmes éléments.

représente

^la

partie symétrique

de g«g,

sa

partie antisymétrique.

2. Les équations ^du champ ^{unifié. - L’élément}

primitif

^{de la} théorie unitaire d’Einstein-Schrô-

dinger

est constitué par ^une variété différentiable à 4 dimensions

h4

(3). ^{Sur cette} variété espace-

temps ^on suppose définis deux éléments

géo- métriques :

^un

champ

^{de tenseurs ne}

présentant

aucune

propriété

^de

symétrie

^{et une connexion}

affine arbitraire Nous posons :

et nous

désignons

^{par le vecteur de torsion}

de la connexioll

Le tenseur fondamental et la connexion affine

r;y

^sont astreintes à des

équations, qui

constituent les

équations

^{de la}

théorie,

^et

qui

^sont

déduites du

principe

variationnel :

où est le tenseur de Ricci de la connexion ^:

Si l’on introduit la connexion affine

qui

définit le même

parallélisme

que ^la connexion initiale et

qui

^{admet un vecteur} de torsion

nul,

^les

équations

^{de la théorie} s’écrivent sous la f orme :

est le ten8eur de Ricci de la connexion L

Il

Entre et existe la relation

En dehors d’un cas

exceptionnel

(4) que ^nous écartons

ici,

^les

équations (.~-1)

déterminent d’une

façon

unique

^la connexion affine en fonction des [4]. ^{Portant cette} solution dans

(2-3)

^on

(3) ^{La variété} V4 ^{est une} variété différentiable de classe (C2, C4 par morceaux). ^Pour plus ^de précisions ^cf. [3].

(4) g # ⁰ par hypothèse, ^{le seul cas} exceptionnel ^est

eehli où l’on a à la fois _cp ⁼ 0 2y. ,

obtient 4

équations (2-2)

^{et 16} équations (2-3) pour déterminer 16

quantités

gap ^{et 4} quantités

ra. Mais

ces

équations

^{ne sont} pas

indépendantes,

^{il existe}

4 identités de conservation

qui

assurent, ^{comme en} relativité

générale,

^le

jeu

^des

changements

^de

coordonnées.

3. Sur le choix de la

métrique.

^{- En théorie}

unitaire,

^la

métrique

^{- i. e. le tenseur}

qui repré-

sente le

champ gravitationnel

^{- sera un ten-}

seur

symétrique

aap fonction des et de leurs dérivées

premières,

^tel que -~ g«~

lorsque

g~~ ^{-~ 0}

[5]. Cependant

^si l’on restreint la

généralité

en prenant ^une

métrique proportionnelle

^à Ya:(3,

ou à

ha.(3,

^on peut ^montrer que le coefficients invariant de

proportionnalité

est 1 pour y, ^et pour

[6].

Dans le cas de la b«a la valeur de J peut ^s’obtenir par la considération des ^coor- données isothermes. La condition d’isothermie s’ écrit :

dans la variété

V4

^{et :}

dans

l’espace

riemannien de

métrique ba.(3.

^{Or on}

déduit par contraction de

l’équation (2-1) :

Tenant compte ^de

(2-2)

^{et de} l’identité :

on peut ^{donc mettre}

l’expression gÀP L-fp

^{sous la}

f orme :

Il résulte

qu’on

^{a l’énoncé :}

En vertu des

équations

^du

champ (2-1),

(2-2)

l’invariant J est entièrement déterminé par les deux conditions suivantes :

a) ^les

équations (3-1)

^et

(3-2)

^sont

équivalentes ; b) lorsque f aa

^-~

0,

^le

premier

^{membre de}

(3-1)

se réduit au

premier

^{membre de}

(3-2).

La condition a) ^{donne J == â une cons-}

tante

près

^{et la condition b) montre} que ^cette constante est

égale

^{à 1.}

Bien _{que la}

métrique b,

^soit

plus

naturelle

d’après

l’étude des variétés caracté-

ristiques

^des

équations

^du

champ

unifié par

A.

Lichnerowicz,

^{nous utilisons}

provisoirement

^ici

la

métrique

yaB pour ^{raison de}

simplicité.

4. Les valeurs

approchées

de la connexion affine

- La solution

générale

^des

équations (2-1)

^en

fonction

explicite

^de CP«(3 ^{a été} obtenue par Mme M. A. Tonnelat

(cf. [2]

^et

[4]).

^Elle

s’exprime

par ^les formules :

les

points

^{... au} deuxième membre de

LPI

^dési- gnent ^{les termes}

qui peuvent

^être

négligés

^{dans nos}

calculs

d’approximation,

^{comme étant de l’ordre}

du

triple produit

^des

champs

^Les

symboles

^de

Christoffel {puv}

^{sont formés avec les}

yap, la

^dérivée

covariante _VA est relative

aux ~ ( jv )

^et

par définition.

Si l’on considère un instant les

équations

^du

champ

^{du cas} intérieur du schéma matière pure de la relativité

générale G(/.f’. 2 1

^{G = XpUa up,}

(ua ⁼

dxa /ds),

la forme des

équations

^du

champ

en

première approximation

^et

l’hypothèse quasi- statique

conduisent à faire les

développements

suivants en fonction d’un

paramètre e :

Le

développement

^de

y~

^{ne contient pas de}

terme du second ordre.

On déduit par

(1-2) :

En

développant

^d’autre part ^{suivant :}

et en portant ^les

développements

^{de dans}

(4-2), (4-3)

^{on obtient}

(5) :

(5) ^Pour écrire les équations approchées il est commode d’étendre la convention d’Einstein à des indices répétés

deux fois mais pouvant occuper des positions quelconques.

au 2e et 3e ordre :

au 4e et 5e ordre :

au 6e ordre :

n 1

5. Les

équations approchées

^du champ ^{unihé. -}

Les

équations

^du

champ (2-2), (2-3) peuvent

^être

prises

^{sous la forme :}

(6) ^{La valeur} de Lfo ^est différente de celles données par

Infeld (L0j0 ⁼ Zo Tio) ^et par Callaway ⁼ 0).

30

(5-3)

^est

conséquence

^de

l’équation

à

laquelle

^{elle est} localement

équivalente.

Le tenseur de Ricci

Waa

^{peut s’écrire :}

En se limitant aux termes du 5e

ordre,

^{on obtient}

les

équations approchées :

(5-6)

^{forme les}

équations

^{de la}

gravitation, (5-5)

et

(5-7)

celles de

l’électromagnétisme.

^{Dans ces}

équations

^{il faut}

remplacer

^la connexion affine L par ^ses valeurs

approchées

^et substituer à y «(3.

Enfin,

^nous choisissons les 4 conditiuns de coordonnées :

Avec ces conditions de

coordonnées,

^les

équa-

(1) L’équation (5-5) ⁰ exprime l’existence loca- lement d’un potentiel vecteur yx dont le tenseur adjoint ^de

est le rotationnel :

A A

Le potentiel çx est à déterminer de façon que l’équation (5-7) ⁰ soit aussi satisfaite. Il est naturel

d’essayer l’identification de _yx avec le potentiel ^électroma- gnétique ^{en écrivant :}

où 1 ⁼ e/r ^{est le} potentiel créé par ^la particule ^{P dans le} repère propre qui ^{lui est attaché} et UÀ est le vecteur vitesse unitaire de cette particule. Cette identification donne en 1re approximation

d’où, ^{au 2e et 3e ordre :}

tiens ^-

~W~~ _ -

^{= 0}

(~

⁼ 0) ^se

mettent sous une forme

plus simple :

en posant :

qui représente

^{les termes non} linéaires de

l’expression

^-

2 G ~

^est donné par les relations :

Nous pouvons maintenant écrire les

équations approchées

^du

champ

^{unifié en} fonction de

yap,

6.

Équations

^du champ du 2e et 3e ordre et

équa-

tions du mouvement du 4e ordre.- Les calculs détaillés concernant ce

paragraphe

^{se trouvent}

dans

[1]

^et

[7].

^{Dans les}

équations

^du

champ

du 2e et 3e

ordre,

^les

champs symétrique yQ5

^et

antisymétrique

cpap ^se

séparent.

6.1. ^-

Équations

^des

(Gravitation) :

^et

2

étant

égales

^à zéro, ^{on a :}

avec la condition de coordonnées :

La solution de ces

équations qui représente

^un

système

^de

particules

^{est :}

s s

où r est la distance du

point (x2)

^{à la}

particule P

^de

8 s ⁸

coordonnées çi et § ^--- ~o ~’.

6.2. ^-

Équations

^des

( Électro magnétis me ).

Ona~

Ces

équations

^sont satisfaites _{par :}

en posant :

e

les e sont des constantes

proportionnelles

^aux

2

charges

^des

particules [7].

Cette solution entraîne :

~ ~ v CI

de sorte que ^ces

quantités disparaissent

^{dans les}

valeurs

approchées

^de

6-3. ^-

Équations

^du mouvement. - En théorie unitaire ^nous

généralisons

^les

équations (1-4)

par

[7] :

^a

L’équation :

montre que m ^{= const.}

2

Les

équations

^{de mouvement du 4e ordre sont}

données _{par :}

Tenant

compte

^{de :}

La

quantité 2K;;

peut ^{s’écrire :}

4

l’accolade est

antisymétrique

^en

j,

^{r. On déduit}

de

(6-2) :

4

a) ^{est une condition} nécessaire

qui

^{montre que}

l’intégrale

^du

premier

^{membre de}

^b)

^{est indé-}

pendante

de la forme de

Sk.

L’équation (6-1)

^{se réduit donc à :}

Dans cette

équation

n’interviennent pas les de sorte

qu’on n’obtient

pas l’action du

champ électromagnétique

^{sur la}

particule chargée.

^{On 1}

retrouve seulement un résultat fondamental de la Relativité

générale, qui

permet d’obtenir les

équa-

tions de mouvement d’une masse dans un

champ

^de

gravitation.

Dans le cas de deux

particules

(k ⁼ 1, 2) ^on

trouve :

qui

^{sont les}

équations

newtoniennes du mouvement dans la

mécanique classique.

^{Dans ces}

équations

nous avons

pose :

Le résultat

précédent

^{a été obtenu} par J. Calla- way

(cf. [7]).

Remarque.

^{-~ Si l’on}

emploie

^la

métrique

bOE’ ⁼

B/~7?

^{hOE’ et les}

^champs

^-

fl

^on

trouve une

quantité 2K¡j ^égale

^{à :}

4

l’accolade est

antisymétrique

^en

j,

^r. On déduit :

Le résultat est donc

équivalent

^{à celui obtenu}

avec

l’emploi

^de tpa,

[8].

7. Les équations ^du champ ^au 4e et 5e ordre. ^-- On peut ^se demander si tout effet du

champ

^électro-

magnétique

^{se trouve}

supprimé ipso facto

^{à un}

ordre

plus

élevé. Pour cela nous avons cherché à ^.

compléter

^{les résultats} obtenus par

Callaway

^et par

Einstein, Infeld,

^{Ho fiman en} considérant ^un ordre

d’approximation supérieur.

Les

équations

^du

champ

^{au 4e et 5e ordre}

s’obtiennent en tenant compte des valeurs appro- chées

L Il

^{et du § 4, des}

^équations approchées

4 5

32

du

champ

^et des conditions de coordonnées

du §

⁵

ainsi que de la solution en

y*, Yô~ ;

yoi.

2 8 2 S

7.1.- Les

équations

^{de la}

gravitation

s’écrivent :

où

2A~~

^{et ont les valeurs} suivantes : 6

Le calcul de

2A~

^{se fait}

d’après (5-14), (5-15) (cf. [1]). KOi se

^calcule immédiatement

d’après 5-12)

et :

7.2. ^- Pour former les

équations

de l’électro-

magnétisme,

calculons d’abord :

Dans ces

expressions, exprimons

^{les en}

fonction de en tenant compte ^de

il vient

après

^{calcul :}

Les

équations

V p

cppa =

⁰ s’écrivent donc :

uu, ^{en ione-uion ae 1}

D’autre part, ^en formant la

permutation

^cir-

culaire Q0153 Wgy

^-E-

dB Wy« Wet(3,

^on obtient les

équations d[a W By]

⁼

^{0 sous}

^{la f orme :}

,, , 1

yri,

peuvent ^être

exprimés

^{en fonction de O et}

cp,;, ^en fonction de

23 23

Nous étudierons dans une

prochaine publication

la solution des

équations (7-1), (7-2)

^et

(7-3), (7-4)

et les

équations

^{de mouvement} du 6e ordre.

Manuscrit reçu le 22 mars 1956.

BIBLIOGRAPHIE

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(Solution ^{en fonction de} 03B303B103B2,

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(Solution ^{en fonction de} h03B103B2, f03B103B2)

[5J ^WYMAN (M.), ^{Canad. J.} Math., 1950, 2, ^427.

[6] ^MAVRIDÈS (Mlle S.), J. Physique Rad., 1955, 16, ^482-488.

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[8] C. R. Acad. Sc., 1955, 241, ^170.