Équations du champ, équations du mouvement et fonctions d'onde. I

HAL Id: jpa-00234342

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234342

Submitted on 1 Jan 1951

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Équations du champ, équations du mouvement et

fonctions d’onde. I

Antonio Gião

To cite this version:

31.

ÉQUATIONS

DU

_CHAMP,

_ÉQUATIONS

DU MOUVEMENT ET FONCTIONS D’ONDE. I.

Par ANTONIO

GIÃO.

Sommaire. 2014

Après avoir _esquissé la déduction des équations du champ dans notre théorie unitaire des champs et de la _Mécanique ondulatoire relativiste, nous déduisons les _équations du mouvement

pour les fluides élémentaires _(de matière et _{d’électricité)} des _propriétés essentielles de conservation de deux tenseurs du second ordre (d’énergie-impulsion) à trace non _{identiquement} nulle _qui inter-viennent dans les _équations du _champ, ainsi _que de la conservation des vecteurs courants _{correspondants.} La réaction du rayonnement et les forces _dépendant du spin des _particules et de la _{non-homogénéité} des _champs font leur _apparition dans les _{équations quand} on _opère la transition des _particules

infini-tésimales _{(équations densitaires)} vers des _particules à masse et _charge finies.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_12,

_JANVIER

_1951,

1. - La Géométrie différentielle

et les

_équations

du

_champ.

1. Préliminaires. - Considérons _un

espace continu

_VN+1

à un nombre

_quelconque

N+I

i de

dimensions. Il est

_{touj ours possible d’imposer}

à

V N +

1

une connexion ou structure interne

_qui

induit sur

toute

_hypersurface

_VN

de

_VN+1

une structure interne

correspondante

caractérisée par un ensemble

d’inva-riants. De

_{plus, chaque}

VN

possède,

par

rapport

à

l’espace

ambiant

_{V N+1,}

une structure externe ou

f orme

caractérisée par un autre ensemble

d’inva-riants. La structure interne de

_VN+

l

peut toujours

être choisie

riemannienne,

au moins localement. Cela

signifie

qu’étant

donnés des

_voisinages

finis

DN,l

I

d’un

_point

_quelconque

de

_VN,1,

on

_peut

_y définir

des ensembles de

_systèmes

de coordonnées

X03BC,

X03BC,

...

(p.

= I, N +

1)

avec des

équations

de

transformation

_{XtJ- == f03BC}

_(X1,

...,

X IV + 1)

à

jacobiens

partout

non nuls dans

_DN+1.

Tout ensemble

de fonctions bornées

de l’un de ces

_systèmes

de coordonnées X03BC dans

un

_{D N -1}

1 donné

peut

alors être

pris, quand

le

déter-minant

_r[03BC03C5J

o, comme base pour la formation

d’un tenseur fondamental I’ en

imposant

à ces

fonc-tions,

dans

_{D N + 1,}

la loi tensorielle

Supposons qu’un

VN+1

I

peut

être recouvert par un

ensemble de domaines

_{D N +1}

I tels que, dans toute

région

appartenant

à deux

_DN+l

différents :

n les coordonnées locales de l’un des

_DN+1

I se

transforment en coordonnées locales de l’autre

_DN+1

I

par des transformations à

jacobien

non

nul;

90 les

_T03BC03BD

de l’un des

DA,,,

I deviennent

identiques

aux

_T03BC03C5,

de l’autre

DN+1

par ces transformations.

On _{dit alors que} tout

_l’espace

_V’N+1

a _{été pourvu}

d’une structure riemannienne

_globale

_{définie par} un

tenseur fondamental

r,

en d’autres termes _que

_{V N+1}

est alors une variété riemannienne

_globale

ou un

espace de Riemann

global.

Soient X03BC = X03BC

(x1, ...,

XiV)

les

équations

de

l’hypersurface

VN

de

_{VN , 1,}

les

_{xi (i}

= _I,

...,

N)

désignant

des coordonnées internes de

_VN.

Toute

partie

de

VN,

où les dérivées

d,ixi dl,,Yp- ... d, Xk

de ces

fonctions sont bien

_définies

_jusqu’à

l’ordre

_{p est}

appelée

une

_partie

différentiable d’ordre p de

_Vivo

De même

_l’espace

_{V N,}

_pris

dans son

_ensemble,

est

une

_hypersurface

différentiable d’ordre p

_quand

il

peut

être considéré comme un ensemble de

_parties

différentiables d’ordre _{p. En}

_chaque

_point

d’une

partie

différentiable d’ordre

_{p ~}

i d’un

VN

où le

jacobien

de N des N + i fonctions XII

(x’)

est différent de

zéro,

il existe une direction normale

et un vecteur unitaire normal n dont _les

compo-santes satisfont à

_np03C5n03BC

_{= l’03C503BD}

n03BCn03BD = i. En

effet,

l’équation

F

_(X1,

...,

XY+l)

= o d’une telle

partie

de

_{VN peut}

s’écrire sous la forme

Comme on a

on voit que le vecteur unitaire normal est

partout

bien défini.

La structure riemannienne _{que l’on}

_{peut touj}

ours

im-poser, au moins localement, à

_l’espace

ambiant

V N+1

I

d’un

VA,

induit sur toute

partie

différentiable

d’ordre

_{p ~}

2 de

VN

une structure interne et externe

complètement

définie par deux tenseurs covariants

symétriques

du second ordre : le tenseur

_métrique

interne

_{( gik)}

et le tenseur

_métrique

externe

_(Wik).

Ils sont _{donnés par}

où

_Xfi

_désigne

la dérivée covariante des X03BC par

rapport

aux xi et

_Xgg

la dérivée tensorielle des X03BC par

rapport

à xi et xl. Cette dérivée est donnée par

les

_symboles

de Christoff el avec indices latins et

grecs étant formés

respectivement

avec _{les ga} et

les

_r03BC03C5,v.

On

_peut

déduire facilement de

_{(1 a)}

_que

les

_X03BC03BDik.

sont les

_composantes

contravariantes de vecteurs de

_VN+1

I normaux à

VN,

de sorte que

X03BCi03BB

== Wi03BB n., d’où l’on déduit immédiatement

(1 b).

Conformément

à

_{(1 a),}

une

_hypersurface

diff

éren-tiable

VN

d’un

_{V"B +}

I

peut

toujours

être

munie,

au moins

_localement,

d’une structure

riemannienne,

même

_quand

il est

_impossible

_d’imposer

à

_VN+1’

une

structure riemannienne

_globale.

Telle est la condi-tion nécessaire et suffisante _{pour la validité d’un} théorème

_qui

_peut

être considéré comme le

théo-rème fondamental de la Géométrie différentielle des

hypersurfaces

et

_qui

s’énonce comme suit :

Quand

on connaît les tenseurs

_métriques

interne et externe d’une

_hypersurface

différentiable,

l’hyper-surface est par cela même déterminée dans son _espace

ambiant aux valeurs

_{près de}

(N + I ) ( N’ + 2 )

para-mètres. Ces

_paramètres

sont ceux d’une translation

et d’une rotation

_{quand l’espace}

ambiant est

homo-gène

et

_isotrope.

Inversement,

quand

on se donne

a

priori

deux tenseurs

covariants,

symétriques

et du

second _{ordre gik}

_(XI)

et

_(xl)

_{[i, j,}

k = _i,

...,

N],

ils ne

_peuvent

être les tenseurs

métriques

interne et

externe d’une

_hypersurface

VN

d’un espace

VN+

1

muni d’une structure interne de Riemann définie par le tenseur fondamental

T03BC03BD

que s’ils satisfont à un

_système

_{d’équations}

de

compatibilité

exprimant

les conditions

_{d’intégrabilité}

de

_X03BCik

= _{wik n1°} et

que l’on

_appelle

les

_équations

de Gauss et de Codazzi de

_VN

dans

_VN+l

1

[voir plus

loin, §

2,

équations (7)

et

_(8)].

Considérons maintenant une fonction

du tenseur

_métrique

interne d’un

_Vv.

Nous dirons que cette fonction est une

_propriété

_intrinsèque

de la

structure interne d’un

_VN

_{lorsqu’elle possède}

les mêmes

_{propriétés générales}

_{que le} tenseur _gik sans se confondre

_{identiquement}

avec

lui,

et

_{lorsqu’elle}

satisfait,

en

_outre,

à la condition la

_{plus générale,}

c’est-à-dire la moins

_restrictive,

_qui

est nécessaire

et _{suffisante pour} déterminer sans

ambiguïté

sa

forme

_analytique.

La fonction P doit donc être un

tenseur covariant

_symétrique

et conservatif du second ordre

_(Pik)

et .un théorème de Cartan

_[1]

montre _que sa forme

_analytique

doit être

nécessai-rement la suivante :

où

Rik

désigne

le tenseur de Ricci formé avec

les gik, R l’invariant

gik

Rik

_{et Àj}

une constante

absolue. Parallèlement à cette

définition,

le même théorème montre _{que la}

_propriété

_intrinsèque

de la

structure externe d’un

VN

est nécessairement le

tenseur

où

Sik

désigne

le tenseur de Ricci

_formé

avec les w ik,

S l’invariant Wik

_sik

_(avec

_wilwik

=

k

et

Àw

une

constante absolue.

2.

_Equations

du

_{champ. -}

Considérons un

Univers à N dimensions

_composé

de deux

_parties

de nature différente : une

_partie

_purement

géomé-trique (espace)

ou contenant et une

_{partie physique}

proprement

dite,

le contenu de cet _espace

_(matière,

électricité,

rayonnement,

etc.)

Supposons

que cet Univers constitue un être

_{complètement}

autonome et autodéterminé. La loi ou

_{principe premier}

d’un tel Univers a évidemment le caractère d’une loi

intrinsèque

et doit consister en une relation déter-minant

_{complètement}

_{l’une par l’autre les deux}

parties qui

forment

l’Univers,

c’est-à-dire le conte-nant et ses contenus. Si cette relation est de nature

mathématique,

alors il existe un être

_{mathématique}

dont les

_{propriétés peuvent}

être mises en

corres-pondance biunivoque

avec les

_propriétés

de

l’Univers,

et cet être

_{mathématique}

mérite le nom d’être

mathé-matique

non

_arbitraire,

_puisqu’il

est

_{complètement}

autonome et autodéterminé. De

_plus,

la loi d’un

Univers

_{mathématique}

non

_arbitraire,

c’est-à-dire la relation

_qui

détermine

_{complètement}

et mutuel-lement le contenant et ses _contenus, doit exercer son

action par l’intermédiaire de

l’opérateur qui figure

dans

_{l’expression analytique}

des

_propriétés

intrin-sèques

de la structure du _contenant,

_puisque

toute autre

_opération

introduirait,

dans

l’Univers,

un

élément arbitraire. Pour

_exprimer

la loi d’un Univers

mathématique complètement

autonome et

auto-déterminé,

nous devons donc

_égaler

les

_propriétés

33

à des

_propriétés

tensorielles des

_contenus,

_que nous

désignerons

par

Ta

et

Uià.

On obtient ainsi les

équations ,

Ces

_équations

ne _{forment pas} encore un

_système

complet d’équations

du

_champ,

_{parce que leurs} solutions già, 03C9ik ne sont évidemment admissibles que si elles définissent une

_hypersurface

_{VN ;}

en

d’autres

termes,

ces solutions doivent satisfaire aux

équations

de

_{compatibilité}

de Gauss

et aux

_équations

de

_{compatibilité}

de Codazzi

où

_{Rijii désigne}

le tenseur de Riemann-Christoffel

du contenant

VN,

_fi«pyô

le tenseur de

Riemann-Christoffel de

_l’espace

ambiant

_pris

sur

VN

et la

virgule

une dérivation covariante par

_rapport

aux xi. Les

_équations

_{(5), (6), (7)}

et

₍₈₎

sont les

équations

fondamentales du

_champ

dans notre

théorie unitaire

_{[2] exprimant}

la loi d’un Univers

mathématique complètement

autonome et

auto-déterminé.

_Quand

le contenant

VN

est un _espace

de classe

1,

c’est-à-dire une

_hypersurface

d’un

espace euclidien ou

_{pseudo-euclidien,}

les seconds

membres des

_équations

de Gauss et de Codazzi sont

identiquement

nuls.

3.

_{Conséquences générales}

des

_équations

du

champ. -

Les

_équations

du

_champ

_{(5), (6), (7)}

et

₍₈₎

_peuvent

être écrites a

_priori

_pour un nombre

quelconque

de dimensions du contenant

_VN,

mais

nous allons démontrer maintenant le théorème

suivant :

Le contenant d’un Univers

_{mathématique}

complè-tement autonome et autodéterminé

_{(être mathématique}

non

arbitraire)

est un _{espace à}

_quatre

dimensions et

de classe 1.

Le

_{système (5),}

_{(6), (7)}

et

₍₈₎

ne

_peut

avoir des

solutions non _{arbitraires que si le nombre de} ses

équations

indépendantes

est

_égal

au nombre de

ses fonctions inconnues

indépendantes (1).

Il est

clair que les inconnues

indépendantes

sont les fonctions gik, mik,

Tik

et

Uik.

Leur nombre

est

_{2.lV (N +}

_{I ). (On}

doit _{remarquer que}

_d’après

la Géométrie différentielle les

_X03BCi

et les n1°

_peuvent

(1) Les 2N équations qui expriment les _{propriétés ,de} conservation de _Tik, et _Uik, [cf. § 4, équations (13 a, b)] sont

iine _{simple conséquence} des équations (5) et _{(6) et pour} cette raison ne constituent pas des équations du _champ

indépendantes devant être ajoutées au _{système (5), (6),}

(7) et _(8).

être déduits _{de gik} et

_03C9ik).

Ces inconnues satisfont

aux

_{N (N + 1) équations (5)}

et

_(6),

aux

N2(N2- I)

12

équations

de Gauss

₍₇₎

et aux

JV (N2 - 1),

_équations

3

de Codazzi

_(8),

mais les

_équations

de Codazzi ne

sont _pas

_{toujours indépendantes}

des

_équations

de Gauss. Pour déterminer le nombre

_{d’équations}

de Gauss et de Codazzi

_{indépendantes,}

_posons

Par dérivation

_covariante,

on déduit le tenseur dérivé

de Gauss

qui

est

_équivalent

à

par suite de

(9)

et

(10)

et des identités de Blanchi pour

Rijkl·

Les

équations

(12)

peuvent

être

consi-N2 (consi-N2 - i) (N - 2 )

derees comme un

_système

de

N2 (N2 - I ) (N - 2 )

24

équations

linéaires

pour les

N ( N2 - 1 )

inconnues cijk.

Comme les Wik et gik satisfont aux

_équations

de

Gauss,

le

_système

₍₁₂₎

est consistant et l’on a

en

désignant

_par r le rang de sa matrice. Dans les

solutions non arbitraires des

_équations

du

_champ

r

doit avoir sa valeur

maxima,

afin d’éviter toute

ambiguïté

dans la détermination des

_équations

réel-lement

_{indépendantes}

avant leur

_{intégration.}

Sup-posons d’abord

qu’un

VN

est de classe c > i.

D’après

la théorie des

_équations

linéaires,

tous

les

_Cijk

sont alors déterminés sans

ambiguïté

_par

N(N - 2)

les

₍₁₂₎

_quand

N(N-2)

1 ou

_{N ~ 4;}

_par

_contre,

quand

N

4,

les

_{( 12) ne}

déterminent,

sans

ambi-guïté,

que des

Cijk,

les autres étant arbitraires. Dans les deux cas, il est clair que toutes les

_équations

de Codazzi

sont

_{indépendantes}

des

_équations

de Gauss.

Suppo-sons maintenant _que c = 1. Le

système (12)

est

maintenant

_homogène

et comme r est

maximum,

la seule solution est

_C,k

= o

quand

N ~ 4 ;

_par

contre, si

_N4,

₍₁₂₎

donne

_Cijk

== 0 seulement

pour de ces

quantités.

En

dantes des

_équations

de Gauss sera donc le suivant :

Pour une solution non

_arbitraire,

le nombre

d’équa-tions

_{indépendantes}

doit être

_régal

à celui des inconnues

_{indépendantes.}

On obtient donc :

pour c > i :

Il

_n’y’

a _{pas de valeur} entière

_positive

de N satis-faisant à

_(«)

ou à

_(fi)

et

_(y)

donne la seule solu-tion N

= 4.

Le théorème est donc démontré.

Un autre théorème

_important

_peut

être déduit

simplement

de

_l’analyse

des

_équations

du

_champ

indépendamment

de leur

_{intégration.}

Ce théorème s’énonce comme suit :

La

_métrique

du contenant

_{quadridimensionnel V4}

d’un Univers

complètement

autonome et autodéterminé

est

_hyperbolique

normale;

en d’autres

termes,

il y a

trois dimensions

_spatiales

réelles et une dimension

imaginaire

(temporelle).

Une solution des

_équations

du

_champ

ne

_peut

être

considérée comme une solution non arbitraire admis-sible que si elle détermine sans

_ambiguïté

les

cons-tantes À,

et

03BB(i)

des

_{équations (5)}

et

_(6).

Tel est, le

cas d’une

_{hypersphère quadrimensionnelle S4}

vide,

c’est-à-dire pour

laquelle

Tik = Uik== o.

Dans

toute autre solution non arbitraire les valeurs aux

limites de gik et (J)zk doivent être

égales

aux

pro-priétés correspondantes

de

_S4

sur une

_hypersurface

tridimensionnelle og

(de

S4).

En d’autres

termes,

et _{par suite de}

_{( 1 b)}

et

_(2),

les solutions non

arbi-traires doivent avoir un

_contact,

au moins du second

ordre,

avec S4

le

_long

de

_{l’hypersurface}

frontière _0"3. Dans un contact du second

ordre,

les dérivées normales

dgik dn

ont la même valeur des deux côtés

dn

de _{erg par suite de}

_{(1 a).}

Mais la théorie

_générale

des

équations

aux dérivées

_partielles

du second

ordre,

appliquée

à

_(5),

nous

_apprend

_{que gik} et

dgik,dn

,

consi-dn

dérés comme valeurs aux

_limites,

sont surabondants

et non

_{indépendants,}

sauf si la

_métrique

de

_V4

est

hyperbolique

normale.

La solution absolument non

arbitraire

des

équa-tions du

_champ

est celle

_qui

résulte de

_l’analyse

suivante :

10 _{les gi,} et 03C9ik sont tout d’abord déterminés par

(5)

et

(6)

en fonction des

_TIA

et des

_Uik,

_1.;;,

et

xi, ainsi que des valeurs aux limites. On obtient

ainsi

les fonctions

où

_{(g03C3) symbolise}

l’ensemble des valeurs aux

limites

_(gik)6

et

( dgik dn ),

et

_(03C9)03C3

l’ensemble des valeurs aux limites

_(wik)03C3

et ( dwik dn) ;

20 ces fonctions sont ensuite introduites dans les 2o

_équations

de Gauss

_(dont

les

_équations

de Codazzi sont ici une

_{conséquence), qui}

déterminent alors les

_Til,

et

Uik

en fonction des

xi,

de 03BBg

et

_a,,,,

et des valeurs aux

_limites,

c’est-à-dire

3°

finalement,

les

_équations

_L.

=

2013 R+T

et

2

03BB03C9 =- S+U,

conséquences

de

₍₅₎

et

_(6),

déter-2

minent

_{l’hypersurface}

frontière _{(J" 3 pour}

_{laquelle 7g}

et

₁₁₍₁₎

sont effectivement des constantes absolues

et donnent en même

_temps

les valeurs

_qu’il

faut

assigner

à ces constantes. On

_peut

montrer

_qu’une

telle solution absolument non arbitraire existe et est

_unique.

Nous ne nous _occuperons

_cependant

_{pas ici de} cette

question,

car les résultats

_précédents

sont suffisants pour montrer que le contenant d’un Univers

complè-tement autonome et autodéterminé a les mêmes

propriétés

fondamentales que notre

_{espace-temps.}

En d’autres termes, l’existence de

_{l’espace-temps}

quadridimensionnel

de l’Univers réel _{n’est pas,}

comme

d’habitude,

un

_postulat

initial de la

_théorie,

étant au contraire une

_conséquence

de son

_principe

de

base,

selon

_lequel

l’Univers

_peut

être considéré

comme un être

mathématique complètement

35

II. --

Équations

du mouvement.

4. Les fluides élémentaires. - Des

propriétés

générales

des

_premiers

membres des

_{équations (5)}

et

₍₆₎

on déduit les

_propriétés

suivantes des seconds membres

Tik

et

_{Uik :}

10 les traces de

_Tik.

et

_Uik

ne sont _pas

identi-quement

nulles;

20 ces tenseurs sont

_{conservatifs,}

c’est-à-dire satisfont aux

_équations

avec et

avec et

Ces deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour

pouvoir

interpréter

Tik

et

Uik

comme des

tenseurs de densité

_{d’énergie-impulsion}

de deux

fluides _{élémentaires que} nous

_appellerons

le fluide T

et le fluide U. Aux tenseurs de densité

d’énergie-impulsion

correspondent

évidemment des vecteurs

courants

_qui

doivent être aussi conservatifs

_(nous

verrons d’ailleurs

_plus

loin que les vecteurs courants

sont

_égaux

à des vecteurs essentiellement

conser-vatifs).

Soient

LT

et

_Lu

les

_lignes

d’Univers des

particules

infinitésimales des fluides T et

_U;

dési-gnons

par dx

_ds le vecteur unitaire

_tangent

à

LT

ou

Lu,

dont les

_composantes

satisfont à la condition

ds étant ici une

_longueur

infinitésimale le

long

de

Ly

ou de

Lu.

Soient

_{enfin 7r,}

et

_des

scalaires. Le

vec-teur tpeu t.evi demmen ts dxi I

teur courant

_peut

évidemment s’écrire 7r

dxi

pour le fluide

up

pour le fluide U. Ils satisfont aux

équations

de conservation

Les tenseurs

_{d’énergie-impulsion}

des fluides T et U

peuvent

être

_{décomposés,}

comme le tenseur

d’énergie-impulsion

de tout

fluide,

en deux

_{parties :}

une

partie

purement cinétique

et une

_partie

non

_cinétique.

En

_{conséquence,}

on

_peut

écrire

où

_Oijg

et

_Oiw

_désignent

les

_parties

non

cinétiques.

En

,

prenant

les traces de

_(16),

on obtient

Les

_équations

d’état _{pour les} fluides élémentaires

peuvent

être déduites de ces relations.

5.

_Équations

du mouvement _{pour les fluides}

élémentaires. - Ces

équations

sont les

_équations

différentielles des

_lignes

d’Univers des

_particules

infinitésimales des fluides T et U. On

_peut

les déduire en introduisant les

_expressions

hydrodyna-miques (16)

des tenseurs de densité

d’énergie-impulsion

dans les

_équations

de conservation

_(13),

tout en tenant

_compte

de la conservation

₍₁₅₎

des

vecteurs courantes. On obtient ainsi les

_équations

du mouvement

Pour

_abréger

considérablement

_l’exposé,

nous

intro-duirons un

_symbole

_a,

_signifiant

_{soit g (dans}

le cas

du

fluide

T),

soit M

(dans

le cas du fluide

_U).

Les

équations

(18)

s’écriront alors

_simplement

Supposons,

par

exemple,

que les fluides élémen-taires

_peuvent

être considérés comme

_parfaits

(sans frottement)

dans un certain domaine

d’espace-temps.

Les tenseurs non

_cinétiques

ont alors la

forme

_simple

pa étant la

pression

dans les fluides T ou

_U,

_la les densités propres

correspondantes,

Kg

la constante , newtonienne de la

_gravitation

et

K(t)

une autre constante

_qui

sera’ déterminée

_plus

loin. Les rela-tions

₍₁₇₎

s’écriront donc maintenant

36

la forme

avec

Les

_{équations précédentes (19)}

ou

₍₂₂₎

sont des

équations

densitaires du mouvement

_(pour

des

particules

infinitésimales).

Pour déduire les

_équations

du mouvement

correspondantes

pour des

particules

finies des fluides T et

U,

considérons les intersections des tubes d’Univers de ces

particules

avec les

hyper-surfaces tridimensionnelles

_spatiales

d’une famille continue

_dépendant

du

_{paramètre temporel}

x4. En

posant

orna

= _ra

d’ra (avec

d’ra

= Va

dxi dx2

dx3),

on

peut

définir _par

un vecteur _pour

chaque

03C0(. En

_posant

de

plus

on voit

que vi

satisfait à la condition

Dans le

_voisinage

de toute

_particule,

les

_champs

métriques peuvent

être

_décomposés

en deux

_{parties :}

l’une

_(aik)

_représente

le

_champ

non « troublé ))

(c’est-à-dire

abstraction faite de l’influence de la

particule examinée);

l’autre

(aik) représente

le

champ métrique

propre de la

particule.

Posons

-

+ 03B1 ik

(avec

Xg == I).

Les

_symboles

de

.

Christoffel

_peuvent

alors se mettre sous la forme

avec

et

Finalement,

le théorème

_{généralisé}

sur la

diver-gence-flux

donne

où G’a

désigne

la frontière de 7a et

(na)l

les

compo-santes de la normale unitaire à

_{(ja(aiknianka}

=

i).

En soumettant les

_{équations (19)}

à

_{l’opération}

_ôm,l

’ra,

les résultats

_précédents

donnent les

_équations

sui-vantes du mouvement _pour les

_particules

finies

où l’on a

par suite des

équations

de continuité

_(15),

équiva-lentes à

d(ama)

= _o. Pour aller

plus

loin,

il faut

ds

déterminer vi et les

_symboles

de Christoffel _{pour les}

champs

propres. En d’autres

termes,

il faut connaître la structure des

_particules.

Les

_{équations (29)}

sont

valables

_quelles

_{que soient les dimensions} et la forme des

_particules,

_{mais étant donné que les}

_plus

impor-tantes

_applications

de ces

_équations

sont les

appli-cations

_{microphysiques}

aux

_particules

fondamen-tales,

nous _{admettrons dorénavant que les}

_particules

sont

_petites

et

_peuvent

être considérées

_(avant

quantification)

comme des

_sphérules

en rotation.

En tout

_point

d’une

_particule

on

_peut

alors écrire

i

0 0

désignant

la valeur

de

B

i

o au

centre de la

i jk ao

0

Jk a

particule

et xet des coordonnées locales

_orthogonales

avec xm = _{o au} centre. Les vitesses propres sont

données par

où

_j,

_{k, 1}

est une

_permutation

circulaire de 1, 2, 3,

03A9 la vitesse

_angulaire

de rotation de la

_particule

l’

(ou

U)

et u’ le vecteur unitaire de l’axe de rotation. Pour toute

_quantité

_Q

nous _poserons

Soit

â °

le vecteur

_d’espace

de

_composantes

_{(a °, ,}

,

ai2° ,

ai30)

et _posons

37

équations (29)

donnent alors

Les

_propriétés

et définitions

₍₂₄₎

et

₍₂₅₎

montrent

que v4

tend vers zéro avec le

_spin

des

_particules.

Ceci étant

_dit,

nous allons

_simplifier

les

_{équations (32)}

en

_supposant

_{que le}

_spin

des

_particules

est

_petit

(tel

est le cas des

_particules

fondamentales dont le

spin

est de l’ordre de

_h).

Les termes des

_équations

du mouvement

_{qui dépendent}

du carré du

_spin

sont alors

_{négligeables}

_par

_rapport

aux autres termes et

_(32)-

devient

Considérons,

par

exemple,

une

_particule

T

_{(ou U)}

sans

_spin

et _{supposons que dans le} domaine de la

particule

le fluide T

_{(ou U)}

a une structure

corpuscu-laire :

_{0ik a}

est alors nul sur la frontière va de la

particule

(corpuscule).

De

_plus,

si la

_particule

a une

structure

_invariable,

_éàl

_{reste constant pour toute}

valeur de x4

èt

les

_{équations (33)}

se réduisent alors à

On voit _{donc que dans les conditions}

_envisagées

la

ligne

d’Univers d’une

_{particule corpusculaire}

du

fluide T est une

_géodésique

de la

_métrique

interne

_gik,

tandis _{que la}

_ligne

d’Univers d’une

_particule

corpus-culaire du fluide U est une

_géodésique

de la

_métrique

externe

_{mfg, quand}

on

_{peut négliger}

les réactions du

_rayonnement

_{(termes dépendant}

des

_champs

métriques

propres

gik,

Wik).

6.

Signification

physique

des

_champs

mé-triques.

- Pour

interpréter

physiquement

les résultats

_précédents

sur les fluides T et

_U,

il faut connaître la

_{signification physique}

des

_champs

métriques.

Comme il est bien connu _{que gik} est le

tenseur des

_potentiels

du

_champ

_de

_gravitation,

il suffit de déterminer la

_{signification physique}

du

tenseur

_métrique

externe Wik de

l’espace-temps.

Considérons,

dans le

_{champ W?k’}

un

_corpuscule

d’épreuve

du iluide

U,

sans

_spin

et doué d’une struc-ture invariable . De

(34),

on déduit alors

son

équation

du mouvement

Considérons d’autre

_part

les

_équations

_classiques

de

_{Laplace-Lorentz (supposées}

_{provisoirement}

rigou-reuses)

pour le mouvement d’un

corpuscule

(de

charge

électrique

e et de masse _propre

_mo)

sans

spin

sous l’action d’un

_{champ purement}

électro-magnétique

Fj :

où

_{ri w}

_désigne

la réaction de

_rayonnement

_qu’il

n’est pas nécessaire

_{d’expliciter}

ici.

_{L’équation (36)}

est

_équivalente

à

₍₃₅₎

si la condition suivante est

satisfaite :

En faisant tendre vers zéro la vitesse Vj -+0

_{( j}

_{= 1,2,3)}

du

_corpuscule,

le second membre de

₍₃₇₎

se

_comporte

comme un infiniment

petit

du second

ordre,

tandis

que V4--->- 1. On doit donc nécessairement avoir

Or,

d’après

notre théorie des

_particules

fondamen-tales

_[3],

l’électron (y

_compris

ses états

microélec-troniques

qui

ont tous le même

_{m 0}

_{que l’état}

_normal

mo

est la seule

_particule

pour

laquelle

en

l’absence de

_champ

électromagnétique

et

en l’absence de

champ

gravifique.

Les

équations (35)

ne

_peuvent

donc être

comparées

à

(36)

que si ces

dernières

_équations

sont

_appliquées

à un

_électron,

de sorte _{que dans}

_(36),

e et _{mo sont la}

_charge

et la

38

Comme on a

_{wik =%gik)}

+ wik,, les roll. étant

des

_{petites quantités}

_{et Zo} la courbure _moyenne

(constante)

de

_{l’hypersphère}

de De Sitter la

_plus

proche

du domaine

d’espace-temps

considère,

la

relation

₍₃₈₎

donne

_{plus simplement}

[i, 4 k],,, désignant

le

_symbole

de _{Christoffel de} pre-mière

_espèce

formé avec les

_{wiko ; .}

Posons

Les

_{équations (39)}

s’écrivent alors comme suit :

Remarquons

maintenant

_qu’il

est

_impossible

de comparer les

équations

de

_{Laplace-Lorentz}

_{pour le}

mouvement d’un électron dans un

_champ

électro-magnétique

pur aux

_équations

qui

résultent de

_{l’application}

des

_{équations (34)}

à

un

_corpuscule

du fluide T sans

_spin

et à structure

invariable en

effet,

il est bien connu

que les

équations (42),

abstraction faite de la réac-tion du

_rayonnement,

sont les

_équations

relativistes

du mouvement d’une

_particule

matérielle dans un

champ

gravifique

pur. Le

champ

électromagnétique

est donc effectivement relié au tenseur

_métrique

externe Wik _{par les}

équations (38)

ou

_(40),

et l’on

arrive à la conclusion

_importante

_que Gok est le

ten-seur des

_{potentiels généralisés}

du

_champ

électro-magnétique,

de même que gik est le tenseur des

potentiels généralisés

du

_champ

_gravifique.

Il est

aussi évident que le fluide que nous avons

appelé

jusqu’à présent

« fluide U » est le fluide

électrique

élémentaire,

tandis _{que le fluide T} est le fluide

élémentaire de matière. De

_plus,

les

_{équations (6)}

du

_{champ métrique}

externe sont des

_équations

électromagnétiques

pour les

potentiels généralisés

Wik.

Ces

_équations

_{généralisent}

donc les

équations

lorentziennes 0 A; = ji

pour le

potentiel

électro-magnétique classique

d’une manière

_analogue

à la

généralisation,

par les

équations (5)

pour les g;i,

de

_{l’équation}

de

_{Laplace-Poisson}

pour le

potentiel

newtonien.

Comme les deux membres de

_(38),

où

_F’

_est

sup-posé représenter

le tenseur

_{électromagnétique}

clas-sique,

n’ont la même _{variance que pour} des

chan-gements

purement

spatiaux

des coordonnées et comme, d’autre

_part,

Fik,

défini par

(41),

n’est un

tenseur

_{antisymétrique}

_{que pour} un

champ

wik

statique,

il est _{clair que la notion maxwellienne}

classique

d’un

_{champ électromagnétique}

_pouvant

être _{décrit par} un tenseur

_{antisymétrique}

du second ordre n’est

_{qu’une approximation qui}

doit être

géné-ralisée en

_remplaçant

F)

_par une

_grandeur

à trois

indices

_Fik,.

Celle-ci sera _{évidemment donnée par}

de sorte _{que les} véritables

_équations

lorentziennes du mouvement d’un

_corpuscule

_(de

_{charge Q}

et de

masse _propre

_Mo)

soumis à un

_champ

électromagné-tique

pur seront les suivantes

_(en

l’absence de

_spin)

Les

_équations

lorentziennes habituelles ne sont

donc

_{qu’une approximation,}

valable

_lorsque

la vitesse du

_corpuscule

est

_petite

_par

_rapport

à c. Dans ce cas,

en

effet,

les termes en Vi

_{Vk ( j, k}

₄₎

sont du second ordre par

rapport

aux termes en V4 V° et

il ne reste donc

_qu’un

_champ

à deux indices

_FI

dans

l’équation

du mouvement. Nous rencontrons donc

en somme en

_{Electromagnétisme,}

_d’après

notre

théorie

_unitaire,

les mêmes circonstances

_qu’en

Relativité

_générale

au

_sujet

des forces de

_gravitation.

Celles-ci

_dépendent,

en

réalité,

des

_quantités

à trois

indices)

_t.J

i

_{

_{10 gO}

(formées

avec les

_gik

_pour

toutes

les

1

jk.

90

gik pour

,

valeurs de

i, i,

k = 1 , 2,

3,

4),

au lieu de ne

_dépendre

que de

quantités

à deux indices.

Nous avons dit

_plus

_{haut que}

l’électron est la

d03B84i !

i

seule

_particule

_pour

_laquelle

d~w4iw

= o dans un

_champ

électromagnétique

pur. Considérons alors une

parti-cule non élémentaire

_(dont

le

_Mo

et la

_{charge Q}

sont

_quelconques)

sous l’action de forces

_purement

électromagnétiques.

Quand

le

_spin

_peut

être

_négligé

(conditions lorentziennes), l’équation

du mouvement

d’une telle

_particule

est la suivante

_[d’après

_{(33)] :}

où

désigne

la variation

temporelle

de

0,. (O

i

due

_simplement

au fait que la

_particule

n’est pas

élémentaire. En

_{comparant (45)}

avec

_(44),

tout en

tenant

_compte

de

_(43),

on obtient donc

résultat

_qui

sera

_appliqué

_plus

loin.

7.

_Équations

du _{mouvement pour les}

parti-cules

_(T

+

U)

mixtes et

_{concentriques.}

- Le

39

(6), (7)

et

₍₈₎

montre _{que les}

_particules

T

_(particules

matérielles)

et leurs

_équations

du mouvement sont,

en

_{principe, indépendantes}

des

_particules

U

(parti-cules

_{d’électricité)}

et des

_équations

du mouvement

correspondantes. D’après

notre théorie

unitaire,

la matière et l’électricité doivent être considérées

comme les contenus essentiels et

_{indépendants}

de

l’espace-temps.

On

_peut

montrer néanmoins

_[2]

_que le centre d’une

_particule

T

_quelconque

se trouve

toujours

dans le

_voisinage

immédiat du centre de la

particule

U

_{correspondante.}

La coïncidence

_générale

et

_rigoureuse

des

_particules

T et U est une

condi-tion

_importante

_qui

_correspond

aux idées

_classiques

sur la matière électrisée

_{(matière porteuse}

de

_charge)

et

_qui

se trouve

_{implicitement}

à la base des

équa-tions lorentziennes du mouvement d’un

_corpuscule

électrisé. On doit

_cependant

_{remarquer que}

l’expli-cation de

_{phénomènes importants,}

_{tels que le}

com-portement

du moment

_magnétique

des états

micro-électroniques, exige

probablement

que l’on admette l’existence d’un

_petit

écart entre les

_positions

des

centres des

_pairs

de

_particules

T et U

_[3].

Il est

_important

de déduire des

_équations

_générales

du mouvement _{pour des}

_particules

T et U’

indépen-dantes

les

_équations

du mouvement _pour des

parti-cules

_(T

+

U)

mixtes et

_{concentriques.}

On

_peut

écrire

les _{indices g} et 03C9

_désignant

ici les accélérations

produites

respectivement

par les forces

gravifiques

et

_{électromagnétiques.}

_Appliquons

successivement les

_équations

₍₃₃₎

à

dljl

et à

(d::1,,.

. En

compa-ds

( ds)w

rant ensuite les

_équations

₍₃₃₎

_{pour les}

_particules

T

aux

_équations

relativistes du mouvement d’un

cor-puscule

de matière de masse _{propre arbitraire}

_(sans

spin)

sous l’action de forces

_gravifiques

_pures, on

d03984i

déduit immédiatement _que

d â-l

= ° _{pour toutes les}

dx’4

particules.

En tenant

_compte

par ailleurs du résultat

_(46),

on obtient finalement les

_équations

du mouvement _{pour les}

_{particules (T}

+

U)

sous

la forme

Il est intéressant de remarquer que, tandis que

l’on a _pour toutes les

_particules

T

(élémen-taires et non

_{élémentaires),}

_{pour toutes}

les

_particules

non élémentaires soumises à des forces

électromagnétiques.

Cette différence fondamentale du

_comportement

des

_particules

T et U

_peut

être

expliquée

comme suit.

_D’après

notre

_théorie,

les

particules

non élémentaires fondamentales

_(protons,

neutrons)

sont _{formées par la fusion de}

_particules

élémentaires

_(électrons

et

_{microélectrons)}

_[3]

et le

rapport

é’ des densités de

_charge

et de masse _propre

1.1(1’

est

_spatialement

variable dans les

_corpuscules

corres-pondants.

En

_{conséquence,}

les forces

électromagné-tiques,

liées dans

_chaque

élément de volume à M03C9 mg

suivant les idées

_classiques

sur les

_{particules (T + U),}

peuvent

évidemment

_produire

une modification

temporelle

de la structure de la

_particule

_par

l’inter-médiaire d’une modification de la distribution de la

pression

s’accompagnant

d’une variation

corres-pondante

de

Par _contre, les forces

_gravifiques

sont évidemment attachées uniformément aux éléments de masse des

particules

T,

même dans les

_particules

non élémen-taires et aucune variation de

04ig

ne

_peut

avoir lieu en l’absence de forces

_{électromagnétiques.}

8. Les forces de

_spin.

-- Ces

forces,

que nous

désignerons

ici par

il,,

sont

_{représentées}

dans les

équations

du mouvement

₍₃₃₎

_{par les fonctions}

~ ~

Le vecteur

M rH

défini _par

₍₃₁₎

et le

_spin

u d’une

particule

sont _{reliés par}

où l’indice zéro

_indique

qu’il

faut

_prendre

_le

rap-port

dma

pour une certaine valeur Po de p. Le

champ

In

magnétique H

peut

être introduit dans les fonc-tions

₍₄₇₎

en utilisant

(40)

et

(41),

ainsi

qu’un

résultat trouvé

_{précédemment [4]}

qui

s’exprime

par

de

_{l’espace-temps).}

Ce résultat est une

_conséquence

des

_équations

de

_{Codazzi- (8)}

_quand

les

_composantes

non

_diagonales

du tenseur

_Aik,

=i 2 gil wlk

sont des

2

petites quantités

par

rapport

aux

_composantes

diago-nales. On obtient

donc,

quand

V l ~

1

(l

-

1, 2,

_{3) :}

Conformément à un autre résultat de

_[4]

le moment ~

magnétique

Mmagn

est _{relié par la formule suivante}

au

_spin

de la

_{particule sphérique}

où ’Y est un coefficient

_{numériquè ¿}

i ; on doit

d’ailleurs poser

ici y

= i, car nous _{admettons que}

a une

_{symétrie sphérique}

dans les

_particules

étudiées,

En

_{appliquant (49)}

à un électron

on

trouve - X - ==

2 ( ni e 0 2 ),-, K.2,

De

7o 0 2(mo)2Kg

dmw

plus,

peut

être considéré comme

_spatialement

dmg

constant dans la

_particule

_{électronique,}

ce

_qui

donne

évidemment Par suite de ces conditions

et en tenant

compte

de ds2 _ - c2

dt2,

on voit

que

(48

a)

se

_réduit,

_pour un

_champ

statique

et _pour

un

électron,

à

l’expression

classique

de la force

_qui

_agit

sur une

parti-cule de moment

_magnétique

_Mmag.i

_{par suite de} la -+

non-homogénéité

du

_champ

_magnétique

H. Pour

qu’il

en soit de même pour toutes les

particules,

on doit donc

avoir,

conformément à

_(49),

ce

qui

_permet

d’écrire

(48)

sous la forme

Pour un

électron -

est une très

_petite

quan-x

tité

_(4,8.10-43);

la même fonction est aussi très

_petite

pour les autres

_particules

fondamentales,

de sorte

que

fig

est une

petite

quantité

_par

_rapport

à

/o.

On

_peut

donc écrire

_{l’équation}

₍₄₇₎

du mouvement

des

_particules

_(T

+

U)

en

_supprimant

les termes ~

en

_Mg.

Manuscrit reçu le 20 _{juin 1950.}

BIBLIOGRAPHIE.

[1] CARTAN E. - J.

Math., I922, 1, I4I-203. [2] GIÃO A. -

Portugaliæ Physica, I946, 2, I-98; Portugaliæ Mathematica, I946, 5, I45-I92; Bul. Soc. Port. Mat. _(A),

I947, 1, 29-42; C. R. Acad. _{Sc., I947,} 224, I2I2;

I948, 226, 205I; I949, 228, 8I2; I949, 229, 98I. [3] GIÃO A. -

Portugaliæ Mathematica, I947, 6, 67-II4;

Ibid., I948, 7, I-44; C. R. Acad. Sc., I947, 224, 454, I275; I948, 226, II77; Gaz. de Mat., I946, 30, 4-5. [4] GIÃO A. -

Phys. Rev., I949, 76, 764-768; J. _Phys.

Rad., I949, 10, 240-249; C. R. Acad. Sc., I947, 224, I8I3; I947; 225, 924; I948, 226, 645, I298 2I26;