Équations du champ, équations du mouvement et fonctions d'onde. II

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Équations du champ, équations du mouvement et

fonctions d’onde. II

Antonio Gião

To cite this version:

99.

ÉQUATIONS

DU

_CHAMP,

_ÉQUATIONS

DU MOUVEMENT ET FONCTIONS D’ONDE. II.

₍₁₎

Par ANTONIO

GIÂO.

Sommaire. - Les propriétés des fluides élémentaires _{de matière et} d’électricité, dont _{nous avons}

écrit les équations du mouvement dans la première Partie de ce _{travail, peuvent} être déduites de deux ensembles dénombrables de fonctions d’onde de _{base, qui} sont les fonctions _propres des _opérateurs

laplaciens associés à la _métrique interne et externe de _{l’espace-temps. L’analyse} de ces fonctions montre

qu’il existe aussi des rayonnements élémentaires caractérisés par des vecteurs courants isotropes et des tenseurs _{d’énergie-impulsion} à trace _{identiquement} nulle. Finalement, la _{quantification} des _équations du

champ conduit à de nouveaux _{potentiels gravifiques,} nucléaires et _{électromagnétiques (sans infinités),}

auxquels correspondent des énergies propres finies pour les _particules et _{champs quantifiés (potentiels} de M. L. de _Broglie et leur _{généralisation pour} les _systèmes de _particules).

JOURNAL PHYSIQUE RADIUM. TOME

_12,

FÉVRIER

_1951,

1. - Fonctions d’onde dans la théorie unitaire.

1.

_{Propriétés générales.}

- En _un

point

quel-conque

P(xi)

de

l’espace-temps

les deux formes

quadratiques

peuvent

être réduites localement à

en utilisant des axes

_{géodésiques}

locaux et ortho-gonaux, « internes »

(pi)

et «externes »

(qi).

Aux formes

_{(1) correspondent}

les

_opérateurs

_laplaciens

dont les

_équations

des fonctions et _{valeurs propres} s’écrivent

On

_peut

montrer

_{[ I,}

_2]

_que n == 1, 2, ..., oo

et m =

1, 2,

3, 4

quand

le domaine

d’application

de

_3g

et

_A,,

est l’ensemble de

_{l’espace-temps.}

Les fonctions

1J:""l1l1l

et

(D,,,

sont les fonctions d’onde de base de notre théorie unitaire.

Soient (i = 1,

2,

3,

4)

des matrices de Dirac

( 2

Ó

étant ici

_purement

_imaginaire).

En un

_point

quelconque P(xi)

et _pour toute valeur de n le

vec-(1) Suite de J. Physiqae Rad., 1951, 11, 3 1-@o. Cette pre-mière partie du Mémoire sera _désignée dans ce _qui suit _par l’abréviation I.

teur cliffordien

An

= ii

a;t E’o,

où les

_a;t

sont des

paramètres

linéairement

_{indépendants,}

définit une

rotation du

_quadripode

des

_pi

ou des

_qi.

_Désignons

par

u;o

les vecteurs unitaires des axes locaux

_{pi ou qi}

dans une certaine orientation

p§

ou

_{q ô,}

et _par

_U;l

les vecteurs unitaires des mêmes axes dans la

posi-tion

_{p§_}

et

_q:L;

les rotations

_po

-

P;t

et

_{qlo -+ q:l}

seront alors _{données par}

_un

=

A;l

u’o

An.

Posons

main-tenant

et considérons les

_équations

En _{supposant provisoirement que, les} dxj et d xi En

_supposant

_{provisoirement}

_{que les}

7k

et Tk 0

sont des

_quantités

connues, les

_{équations (5a)}

déterminent des fonctions

_{a;z = ( ab ) i,t ( x )}

et les

équations (5b)

des fonctions

_a’,

=

(a{J»);l (xi).

En

d’autres termes, il existe des valeurs

_{des a’,}

tels _{que les} fonctions d’onde de base satisfont aux

_systèmes

suivants du

_premier

ordre

en tout

_point

de

_{l’espace-temps.}

Définissons alors des _{matrices-vecteurs par}

Grâce à ces

matrices,

les

équations (6)

deviennent

100

Soit maintenant ,r une matrice constante à

quatre

lignes

et

_quatre

colonnes dont les éléments sont des nombres réels

quelconques.

En

_posant

on déduit de

₍₈₎

les

_{équations adjointes générales}

correspondantes

La

_{matrice r, j joue}

un rôle

_important

et sera

déter-minée

_plus

_{loin. On doit remarquer que} les

équa-tions

_{adjointes (9)}

ne

_peuvent

être écrites que

parce

que s’, c2, s-’

sont réelles et

sri

purement

imaginaire.

Ces

_propriétés

des

_{El 0}

sont d’ailleurs

exigées

par le caractère

hyperbolique

normal de

l’espace-temps

afin de

_pouvoir

écrire les

équa-tions

_(6).

2. Les fonctions d’onde et les fluides élémen-taires. -- Nous allons maintenant déterminer

la

matrice n

de manière à assurer l’existence d’un

lien fondamental entre les fonctions d’onde de base et les

_équations

du

_champ.

Considérons les tenseurs

symétriques

où

_zô

1

est l’unité naturelle de

_{longueur (rayon}

de

l’hypersphère

de De Sitter la

_{plus proche}

de

l’espace-par suite de

(8)

et

(9).

Pour que ces traces soient essentiellement

_négatives,

ainsi que

l’exigent

les relations

_[1,

_(16)]

et

_[1,

_(20)],

il faut évidemment que n = -

i a s,,

a

_désignant

ici un nombre

positif.

Nous devons d’ailleurs poser a - i afin de faire

disparaître

de

₍₁₀₎

tout coefficient arbitraire. Intro-duisons cette

_expression

de -n dans

(10)

et

considé-rons les

_{vingt équations}

dont les

_premiers

membres sont les tenseurs

Til,

et

Ua.

des

_équations

du

_{champ [1, (5),}

_(6)].

Il

_n’y

a

que douze

_{équations (11) indépendantes puisqu’elles}

doivent satisfaire aux huit

_équations

de

conser-vation

_{( r:jj)8}

= o et

( Ui.),,

= o. Les

_{équations (11)}

sont donc nécessaires et _{suffisantes pour} déterminer

-i u

paramètres

fixent l’orientation des

_quadripodes

_p’o

et

_qô

_par

_rapport

aux coordonnées

_{générales xi).}

On

peut

donc

_exprimer

les tenseurs fondamentaux

d’énergie-impulsion

T ik

et

Uin

des

_équations

du

champ [1, (5), (6)]

en fonction des fonctions d’onde

de base

_(Wmn

_{pour les}

_Tik

et

(j)m.n

pour les

Uik).

Ce résultat montre _{que les fonctions d’onde de} base

sont les contenus fondamentaux de

_{l’espace-temps}

d’où l’on doit

_pouvoir

déduire toutes les

_propriétés

des fluides

_(et

des

_{rayonnements)}

élémentaires.

Commençons

par une revue

_rapide

de

_quelques

propriétés

des fluides élémentaires en considérant les vecteurs courants

Ces vecteurs sont conservatifs et essentiellement

non

_isotropes

_puisqu’ils

satisfont aux conditions

où bg

et

_ba

_désignent

des coefficients

_numériques

_2.

On a donc les relations

avec - =E

20132013.

Les fluides élémentaires de matière

di2-et d’électricité

_(dont

les tenseurs de densité

d’éner-gie-impulsion

sont Tik et

_Ulk)

_peuvent

être

consi-dérés,

d’après

les résultats

_{précédents,}

comme un

mélange

d’un ensemble dénombrable de fluides

élémentaires

partiels

de matière et d’électricité

d’énergie-impulsion

Ti’

et

_U"

_pour n = _{I, 2,} ..., oc. On

sait

_{[ I, 3]}

que n = i

_correspond

à l’électron

_normal,

tandis que n ù 2

correspond

aux microélectrons dont la

_{charge e"}

et la masse _propre

_(mo),,

sont données en fonction de la

_charge

e et de la masse

propre

(mo)

de l’électron normal par les rela-tions e

_(mo)

( (mo)2p e Ces

tions e,,

_

2013 et

(mo)"

_{== 2013’}

· Ces relations

cor-no) n,

respondent

d’ailleurs à la

_propriété

des fonctions -d’onde de base q"mll et

(D,,,,,

de tendre vers zéro

comme _n-e, tandis que les valeurs propres _r:t.1l et

_{p 1/}

tendent vers l’infini comme n2. Les fonc-tions

_{0,i Tnin T,/,"}

et

_V/(3n

_{W,>,,iW§§,}

_qui

sont

respecti-vement

_{proportionnelles}

aux densités de masse

propre et de

_charge,

tendent donc vers zéro comme n-11.

Considérons l’un des fluides élémentaires par-tiels

Tn

ou

_Un

dont la densité

_{d’énergie-impulsion}

est _{donnée par}

En

_prenant

les traces on

obtient,

_{par suite de}

(10)

Pour déduire les

_équations

d’état

(thermodyna-mique)

des fluides élémentaires

_partiels,

_supposons

qu’ils

peuvent

être considérés comme dénués de frottement interne

_{(efforts tangentiels)}

dans un

certain domaine de

_{l’espace-temps.}

En

_appliquant

les

_{équations [1,}

_(20)]

on obtient alors

Ces relations montrent _que les fluides élémentaires

partiels

peuvent

être considérés comme

_barotropes

partout

où ils sont dénués de frottement interne.

Supposons

de

_plus

que les fluides

partiels

sont des gaz

parfaits

satisfaisant à des

équations

d’état de la _{forme habituelle pu ==}

_R[J-nTn,

où R

_désigne

la constante de ces

_gaz

et Tn la

_{température.}

Par suite de

_{(12), (12a)}

on voit que dans ces conditions les

fluides

_partiels

sont

_isothermes,

la

_température

étant donnée par

Grâce aux résultats

_précédents

on

_peut

écrire

comme suit la densité

_{d’énergie-impulsion}

des fluides

partiels

et les

_équations

_{correspondantes}

du mouvement

(équations

densitaires)

seront

Quand

les fluides élémentaires sont

_dénués

de

frottement

interne,

la masse _propre et la

_charge

électrique

d’une

_particule

sont données par

De

_plus,

_{par suite} de

_{[1, (20)]}

on aura

Ces valeurs de _{mg,lH lit (-), n,}

_{el,, g ,}

et

_(1),

introduites dans les

_équations

_[1,

_(33)]

donnent les

_équations

du mouvement des

_particules

finies

_quand

on

_peut

négliger

le frottement interne dans les fluides élé-mentaires.

3. Les fonctions d’onde et les

_rayonnements

élémentaires. - Au lieu de poser la

relation -.-j = - i E,’)

caractéristique

des fluides

élémentaires,

posons maintenant

_simplement

n =

I4,

I4

étant la matrice

unité à

_quatre

_lignes

et

_quatre

colonnes. Les vecteurs courants conservatifs

_{correspondants}

s’écrivent main-tenant

Ces vecteurs

_{d’espace-temps jouissent}

de

l’impor-tante

_propriété

conser-102

vatifs de densité

_{d’énergie-impulsion qui}

corres-pondent

à ces vecteurs courants sont les suivants :

Leur trace est

_{identiquement}

nulle par suite de

(10)

et 1j =

I4.

Ces deux

propriétés :

vecteurs

cou-rants

_isotropes

et

_{énergie-impulsion}

à trace

identi-quement

nulle

sont,

selon nous,

caractéristiques

du

rayonnement

pur. Toutes les fonctions

formées,

pour Y) =

I4,

_avec les

’Finn

sont donc des

propriétés

du

_rayonnement

_gravifique

_{pur, tandis que les} fonc-tions

_{correspondantes}

formées avec les

(D,in

sont des

_propriétés

du

_{rayonnement électromagnétique}

pur. Ces

rayonnements

sont décrits par les tenseurs

antisymétriques

qui

satisfont,

comme on

sait,

aux

_systèmes

maxwel-liens

_{généralisés}

151 n

désignant

les vecteurs de

_polarisation

Les

_{FI 9 ,"}

et

F ;,"

satisfont à des conditions

impor-tantes _que nous considérons aussi comme

caracté-ristiques

du

_rayonnement

_pur et

_qui

s’écrivent

les indices

_j,

1

_prenant

les valeurs i, 2, 3. On

peut

d’ailleurs former avec les

Fn

des tenseurs maxwel-liens conservatifs

_qui

sont

_susceptibles

d’être

com-parés

localement et

_{intégralement}

aux tenseurs

_(13).

IV. -

Quantification

des

_champs

_métriques.

4. Formules

_générales

_pour un

_système

de

particules.

- Le

problème

de _{l’interaction}

par-ticules-champs

et

_{l’importante question}

connexe

de

_l’énergie

_{propre des}

_particules

ont été renouvelés par les récentes recherches de M. L. de

_Broglie

_[1].

Nous allons montrer _{que la}

_{quantification}

de nos

équations

du

_{champ [1, (5),}

_(6)]

_permet

de déduire les nouveaux

_potentiels

de M. de

_Broglie

et de

préciser

les

_propriétés

des

_particules

_quantifiées

(ponctuelles)

et des forces

_{électromagnétiques}

et

nucléaires

_[5].

Soient 1; (==

1, 2, ...,

n)

l’indice de

numérotage

des

_{particules (non}

nécessairement

_identiques)

d’un

système et xl

le _{référentiel par}

_rapport

_auquel

le mouvement _{moyen de la}

_{particule v}

est nul. Nous admettrons que les états

quantiques

de la

_particule

peuvent

appartenir

à trois classes différentes :

Io celle où les transitions entre états

s’accompa-gnent

toujours

de l’émission ou de

_{l’absorption}

de

rayonnement

(gravifique

et

_{électromagnétique)}

_par la

_particule;

2° celle où les transitions

_{correspondantes}

ne

s’accompagnent

pas de

rayonnement;

30

finalement,

celle où les transitions entre états

correspondent

aux interactions élémentaires entre la

_particule

et les autres

_particules

du

_système.

Désignons

comme

_toujours

_par

Til,

et

L///,

les tenseurs de densité

_{d’énergie-impulsion}

matérielle et

_électrique,

_{par gik} et Wik les tenseurs

métriques

interne et externe et _posons

11 =

g,1*

l’ik et lj = (Úik Uik

_{(avec lÚi! (ú lk}

=

k

Nous associons maintenant la

_{quantification}

des

champs

métriques

de

_{chaque particule}

du

_système

à la

_{quantification}

de son

_{énergie-impulsion}

_{par les}

relations

avec 1 == i _{pour la classe des états}

quantiques

sans

transitions de

_rayonnement,

_{1 - -?, pour la classe}

avec transitions de

_rayonnement,

et 1 = 3 _pour la

classe des états d’interaction de la

_particule

avec

les autres

_particules.

Le

_symbole

m

_désigne

ici

l’en-semble des nombres

_{quantiques qui}

caractérisent l’état de la

_{particule indépendamment}

de

103

définies ci-dessus. Les relations

(14a)

et

_(14b)

expriment l’hypothèse

fondamentale de notre

méthode de

quantification

des

_{champs métriques.}

Considérons maintenant les

_équations

du

champ

[1,

(5), (6)]

et

_{appliquons-les}

à des

_champs

faibles. Elles

prennent

alors la forme

où D est le

dalembertien,

les autres

_symboles

_ayant

la même

_{signification}

_{que dans les}

_paragraphes

précédents.

En tenant

_compte

des relations

_(14a)

et

_(14b)

les

_{équations précédentes}

donnent donc

Remarquons

maintenant que dans le référentiel

x;,

les

_champs

_{propres de} la

_particule

ont évidemment

une

_symétrie

_sphérique

et sont

statiques.

Nous

sommes donc conduits à

chercher,

dans

x;,

des

solutions des

_{équations (16)}

de la forme

rv

étant,

dans xl,, la distance

_spatiale

à la

parti-cule v;

[ b£)]v

et

[b)iàJ)>]v

des

quantités

constantes

dans x’,

et É(">

la

_projection

du

_{quadrivecteur}

spin

de la

particule v

dans l’état

_{quantique (l, m)}

sur l’élément

_{d’hyperplan}

normal à l’axe local

des

x:¡.

Les

_{équations (16)}

donnent alors

les constantes

₁

et

₁

interviennent

dans ces _{solutions parce que} nous _supposons

que (1§ =

-n’

= o _pour les raisons

_indiquées

_plus

loin.

Soit

P,,

une

_{propriété quelconque}

de la

_particule

v.

La moyenne

quantique

P,,

> de cette

_propriété

est _{définie par}

les

_(el,)v

étant les

_{probabilités}

des différents états. Les moyennes

quantiques gik, v>

et _{6.)ik, ’i >} des

champs métriques

de la

_{particule ’J}

doivent rester finies pour rv -+ o. D’autre

_part,

probables

dans

x;,

où aucune

force

extérieure

ne

sollicite la

_particule.

Il faut enfin tenir

_compte

de la création et annihilation de

_particules

et nous

désignerons

par

C"

la

_probabilité

_{que le}

_système

soit formé de n

_particules

et _{par N l’entier tel} que

C"2,,=

o

pour s entier

positif quelconque.

Des

_{expressions (18)}

on déduit alors facilement

les

_{champs métriques}

du

_système

dans un référentiel

d 1)

quelconque

xi. En

_posant

_(ay),,

== d:’;’

dxi

on on obtientobtient

sans difficulté

avec les conditions évidentes

qui

sont nécessaires et _{suffisantes pour que gik>}

et ú)k > restent _{finis pour} rv - o.

_Si,

dans un x’

donné,

on a les conditions

habituelles

_gik > -->

_Oik

104

Les

_{champs gravifique,}

nucléaire et

électromagné-tique

du

_système

s’obtiennent

_{immédiatement}

à

partir

de ces

_{expressions (19).}

En

_effet,

le

_champ

gravifique

est _{donné par}

₁

_gu, et en retran-chant la

_gravitation

_proprement

dite du

_champ

dont dérivent les forces

_qui

_agissent

sur les

_particules

neutres on obtient le

_champ

nucléaire

Nik

dont

l’expression, d’après

notre théorie

_unitaire,

est la

suivante :

avec ici

D’autre

_part,

le

_champ

_{électromagnétique}

F est donné par

l’expression

[I, (41)]

et l’on a ici

évi-demment

La

_grande

portée

du

_{champ gravifique}

du

_système

doit être assurée dans

₍₁₉₎

_{par la condition}

_{cï; =}

o,

tandis que la faible

portée

du

_champ

nucléaire de

chaque particule exige, d’après (21),

que l’on ait

Par contre, le caractère coulombien du

_champ

électrostatique

est _{assuré par}

n,)

= _o,

_qui

a lieu

même pour une

_particule

_{isolée. On voit donc que le}

champ gravifique

newtonien est dû à l’interaction des

_particules,

_{tandis que} le

_champ

coulombien

peut

être à la fois un

_champ

_{d’interaction des}

par-ticules et un

_champ

_{propre à}

_{chaque particule.}

Par suite de la

_présence

des

_p

les

_{champs (19)}

dépendent

évidemment du mouvement des par-ticules et contiennent les réactions de

_rayonnement.

5.

_Application

à une

_particule

isolée. 2013 Dans

ce cas

_{particulier important}

les

_expressions

géné-rales

₍₁₉₎

se réduisent évidemment aux suivantes dans le référentiel

x‘,

par

rapport

auquel

le

mou-vement _moyen de la

_particule

est nul

_{(«N= ôj’)}

Pour une

_particule

_isolée,

et

d’après

la définition

même de la classe d’états 1 -

3,

tous les

_{c? "L}

sont

identiquement

nuls.

a.

_{Champ électriqti(,.}

- J)c

(2:) h)

on déduit

iam étant donné par

par suite de

(20 b)

et de

_cm

= o. Le

_potentiel

électrique

correspondant

s’écrit

donc,

d’après (22)

Ce

_potentiel

est

_identique

au nouveau

_potentiel

de M. de

_Broglie

_[1],

la

_charge

étant donnée

par

_{("lç»e’c.2’u,’).}

Il est d’ailleurs la différence d’un

2ex° 0

potentiel

quasi

coulombien et d’un

_potentiel

de

Yukawa. En

_effet,

les états sans

_rayonnement

_{(l=1 )}

sont évidemment caractérisés

_{par 0 wi2 m) 0}

(absence

de sources de

_{rayonnement),}

ce

_qui

corres-pond

à

-ni

-- o, _{par suite de}

(16)

et

(17).

La condition

*ni

,, o

_{signifie [2]}

_{que la} masse _{propre du}

_photon

est voisine de zéro.

b.

_{Champ magnétique.}

-

Désignons

par g4 >

et

. W4 /

les vecteurs

_d’espace

de

_composantes

De

même,

soient

_b,"ll’

et

_b)#?>

les vecteurs

_d’espace

de

_composantes

_b(,,"),

et

_b("1")i

_{respectivement.}

Les relations

_{(23 a)}

et

_(23b)

donnent alors

les _{coefficients étant définis par}

De

₍₂₅₎

et de

₍₂₂₎

on déduit le

_{champ magnétique}

Le moment

_magnétique

dipolaire l Magn>di,,

_qui

correspond

à ce

_champ

est nul. Par

contre,

la

moyenne

quantique

-- n j ,,

du module du

mo-moyenne

quantique

B

_Mmagn

dip/ du module du

mo-ment

_{magnétique dipolaire}

n’est pas nulle. En

effet,

la formule

_{(18 b)}

montre _{que le}

_champ

_magnétique

105

par

d’où l’on déduit

quantité

essentiellement

_positive.

En

_partant

de,

₍₂₄₎

et de

_(25),

tout en tenant

compte

de la condition _{-nl- o}

_{caractéristique}

du

champ

électromagnétique,

on

_trouve,

_par un calcul

facile,

l’expression

suivante pour

l’énergie

du

_{champ électromagnétique}

_{propre de la}

_particule

quantité

essentiellement finie.

c.

_Champ

nucléaire. - Considérons finalement

la densité maxwellienne ruin

_{d’énergie-impulsion}

du

champ

nucléaire

Pour déterminer

_l’énergie

_propre

Wo === /

W44 dr du

champ

nucléaire de la

_particule,

il suffit d’utiliser les

expressions (21)

en _{y introduisant le}

vecteur 94 >

donné par

(25).

Le calcul

_qui

détermine

_l’énergie

électromagnétique (26)

donne ici sans difficulté

On voit

ici,

conformément aux résultats de M. de

Broglie [11,

que le

champ

nucléaire traduit l’existence

de

deux

_particules

de masses _propres

ml = h=l

2 7: C

différentes. La faible

_portée

bien connue des forces

nucléaires

_((i

et

_{Ç2 1013 cm) exige}

d’ailleurs _que

ces

particules

soient des mésons. Les formules

₍₂₆₎

et

₍₂₇₎

ont la même forme _{que les} formules

corres-pondantes

de la théorie de M. de

_Broglie

_[1].

6.

_Application

au

_spectre

_de

_{l’hydrogène.}

-Pour des ondes

_{monochromatiques}

dans un

_champ

électrique

pur les

équations

de Dirac

[3]

s’écrivent

E étant la

_charge

et W = E +

Mo-C2 l’énergie

de

l’électron. Pour un ensemble de valeurs des

_quatre

nombres

_quantiques

_qui

déterminent les

_,a,

l’état

correspondant

du

_{système électron-proton}

_peut

appartenir

à l’une

_quelconque

des trois classes

définies

_{précédemment,}

de sorte _que

_d’après

les résultats du

_paragraphe

4,

le

_potentiel

quanti-fié

V,,,

_qu’il

faut utiliser dans

₍₂₈₎

a la forme

Remarquons

que

V"2

n’étant pas une

_grandeur

observable , V >

ne reste _{pas nécessairement finie} pour r- o. Nous poserons d’ailleurs

condition

_compatible

avec les conditions

fonda-mentales

Posons

et

admettons,

comme dans le cas coulombien

_[3],

que §

est le

_produit

d’une fonction

_sphérique

de

Laplace, par

une fonction de r. Les

_parties

radiales F et G des

_tfk

satisfont alors

_[3]

aux

_équations

_(2).

lorsque

le nombre

_{quantique j}

est de la forme

_{1 + 2. 1}

Pour i = 1- 1

les

_équations

_{correspondantes}

s’ob-tiennent

_[3]

en

_{changeant 1}

en -

(1

+

i).

Posons d’une

_part

(2) Il ne faut _{pas confondre l’entier} 1 = _{o, i, 2,} ... dans

les équations (29) avec l’indice 1= 1, 2, 3 utilisé dans les

106

et d’autre

_part

p étant la valeur de s _{telle que as}

_{= b,,}

= o _{pour s > p}

(afin

que F et G restent finis pour r --->

_{oo ).}

En

déve-loppant

les

_{exponentielles}

de

_(29),

un calcul

_analogue

au calcul du cas coulombien

_[3],

conduit à la

for-mule suivante des niveaux

_d’énergie

en

_désignant

_par

_E,.

les niveaux coulombiens

_d’énergie

et en tenant

_compte

de la condition

_{01,111 _}

_olb,

_ I. On

voit donc que la structure

_hyperfine

_peut

être traitée

comme une

_{petite perturbation}

de

_l’énergie

_propre de l’électron due à son interaction avec les

_champs

propres non coulombiens du

_proton.

Par une trans-formation

Xi -+ Xi

_{telle que}

les

_équations

₍₂₈₎

deviennent .

avec A

aXi

_eut

donc

prendre ()o:.A

comme

avecAi=Vmaxl.Onpeutdoncprendre , c

comme

hamiltonien d’interaction et

_appliquer

à la détermi-nation de

_h£j)

₊

_h§£§

les méthodes

_{[4, 6]}

_qui

déter-minent l’influence du

_rayonnement

de l’électron

sur son

_énergie

_propre. Les résultats

numériques

+

sont

_{indépendants}

de

_l’origine

de A.

7.

Quantification

des

_équations

du

mouve-ment. - La

_{quantification}

du

champ

métrique

a évidemment pour

conséquence

la nécessité de

la

_{quantification}

des

_équations

du mouvement

des

_particules.

Nous nous bornerons ici à de brèves

indications à ce

_sujet.

L’opération

de

quantification

des

_équations

du mouvement est très

simple quand

on

_part

des

équations [1, (33)]

obtenues

précé-demment pour des

particules

à masse et

_charge

finies. Il suffit évidemment d’introduire dans ces

équations :

10 à la

_place

des

champs métriques g,"k.

et

_&)0

_(non

quantifiés

et non _{troublés par la}

.particule

dont on

) étudie le

mouvement),

les

champs Ú)?k > et g?k >

obtenus à

_partir

des formules

_{générales (19)}

en

supprimant

dans ces

expressions

les termes

qui

représentent

les

_champs

_{propres de la}

particule;

2° les

_champs

_propres

_quantifiés

_{(Wlk)v )}

_et

(giA.), >

de la

_{particule (donnés}

_par les

_{expressions (19)}

appli-quées

à une seule

particule).

De

_plus

on doit naturellement

prendre

la limite des

_quantités

pour p = _o

(particules

ponctuelles).

Ces limites sont finies. Le résultat

_{[1, (46)]}

subsiste d’ailleurs évidemment

_après

_{quantification,}

c’est-à-dire

+

Enfin,

les vecteurs Ma des

_particules

sont directement reliés par

[1, (47’)]

au

_spin

_{(grandeur quantique}

observable).

Manuscrit reçu le 20 _{juin I95o.}

BIBLIOGRAPHIE.

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Sc., I949, 229, I57, 269,

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[4] FRENCH J. B. et V. F. WEISSKOPF. 2014 Phys. Rev.,

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