DEVOIRLIBRE1 MATHÉMATIQUES
Devoir Libre 1 – Mathématiques
Le corrigé sera distribué le vendredi 17 septembre 2021. Les résultats doivent être justifiés et encadrés.
Exercice 1 : Équations
Résoudre dans R les équations d’inconnue x : 1.
¯
¯
¯
¯
x + 1 1 − x
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¯
= 3 − 2 x. 2. p
6 − x + p
3 − x = p
x + 5 + p 4 − 3 x.
Exercice 2 : Inéquations
Résoudre dans R les inéquations d’inconnue x : 1. x + 2
x − 1 < 3
x − 2 . 2. x + 2 | 1 − x | Ê 2. 3. | 3 x + 2 | É | x − 2 | .
Exercice 3 : Équation à paramètre
Déterminer les paramètres réels m pour que l’équation, d’inconnue réelle x, suivante ait exactement deux racines réelles positives :
m
2× x
2+ (m − 2) × x + 9 = 0. (E)
Réponse
Ce n’est pas toujours une équation du second degré !On raisonne par disjonction de cas.
1. Cas 1:m=0.
L’équation (E) devient−2x+9=0 et possède comme unique solution réellex=.... 2. Cas 2:....
L’équation (E) est du second degré et son discriminant est∆=(m−2)2−36m2= −35m2−4m+4.
L’équation (E) possède deux solutions réelles si, et seulement si,∆.... Il reste alors à déterminer le signe du trinôme :−35m2−4m+4.
Pour cela, on calcule son discriminant :∆1=16+16×35=.... Les solutions de−35m2−4m+4=0 sont−4+24
2×35=...et−4−24 2×35=.... On en déduit que∆1= −35m2−4m+4>0 si, et seulement si,m∈....
Ainsi, pour toutm∈... , l’équation possède exactement deux solutions réelles.
Soitm∈... . Les solutions de l’équation (E) sont
x1=−m+2−p
−35m2−4m+4
2m2 et x2−m+2+p
−35m2−4m+4
2m2 .
Comme 2m2Ê0, il suffit de déterminer les signes des numérateurs.
De plus,−m+2−p
−35m2−4m+4É −m+2+p
−35m2−4m+4.
On commence donc par déterminer le signe de−m+2−p
−35m2−4m+4 en fonction dem.
On a : p
−35m2−4m+4=p
−36m2+(−m+2)2Ép
(−m+2)2. Or, p
(−m+2)2= |−m+2|et−m+2Ê0. Donc, p
−35m2−4m+4É −m+2.
Ainsi,x2Êx1Ê0.
Ainsi,
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
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pour toutm∈..., l’équation possède exactement deux solutions réelles.
Exercice 4 : Inéquation à paramètre
Selon les valeurs du paramètre m, déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation d’inconnue réelle x :
5 x − 8 m + 1 Ê | 2 x − 3 m − 2 | . (E)
Réponse
Soitx∈R. On raisonne par disjonction de cas : Ï Cas 1 :2x−3m−2Ê0⇐⇒ xÊ... .
On a alors :
(E) ⇐⇒ 5x−8m+1Ê... ⇐⇒ 3x−5m+3Ê0 ⇐⇒ xÊ... .
Attention !x vérifie deux conditions !On compare alors3m+2
2 et 5m−3 3 . On a : 3m+2
2 É5m−3
3 ⇐⇒.... Il y a donc deux sous-cas :
• Sous-cas 1 :mÊ12. L’ensemble des solutions dans ce cas est... .
• Sous-cas 2 :.... L’ensemble des solutions dans ce cas est
·3m+2 2 ,+∞
· .
Ï Cas 2 :2x−3m−2<0⇐⇒ x<... . On a alors :
5x−8m+1Ê |2x−3m−2| ⇐⇒ 5x−8m+1Ê −2x+3m+2 ⇐⇒ 7x−11m−1Ê0 ⇐⇒ xÊ11m+1
7 .
Attention !x vérifie deux conditions !On compare alors3m+2
2 et.... On a : 3m+2
2 É...⇐⇒12Ém.
Il y a deux sous-cas :
• Sous-cas 1 :mÊ12. L’ensemble des solutions est vide.
• Sous-cas 2 :m<12. L’ensemble des solutions dans ce cas est :
·11m+1
7 ,3m+2 2
· . Ainsi, l’ensemble des solutions est :
... sim<12
·5m−3 3 ,+∞
·
simÊ12.
Donc, l’ensemble des solutions est,
... sim<12
·5m−3 3 ,+∞
·
simÊ12.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
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Exercice 5 : Partie entière
L’objectif de cet exercice est de montrer que, pour tout x ∈ R , b x c +
¹
x + 1
2
º= b 2 x c . Soit x ∈ R . On note k la partie entière de x.
1. En utilisant la définition de la partie entière, donner un encadrement de x.
2. On suppose que x ∈
·
k, k + 1
2
·
.
(a) Placer sur la droite réelle : k, k + 1, x et x + 1 2 . (b) Donner des encadrements de x + 1
2 et 2 x.
(c) En déduire que
¹
x + 1
2
º= k et b 2 x c = 2 k.
(d) Vérifier que : b x c +
¹
x + 1
2
º= b 2 x c . 3. On suppose que x ∈
·
k + 1
2 , k + 1
·
.
(a) En raisonnant comme dans la question 2, déterminer les parties entières de x + 1 2 et 2 x.
(b) Vérifier que : b x c +
¹
x + 1
2
º= b 2 x c .
4. Conclure en citant la méthode de raisonnement utilisée.
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
