Théorie unitaire affine du champ physique

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Théorie unitaire affine du champ physique

M. A. Tonnelat

To cite this version:

THÉORIE

UNITAIRE AFFINE DU CHAMP

PHYSIQUE

Par Mme M. A. TONNELAT.

Sommaire. 2014 Je

suppose qu’une fonction d’action quelconque dépend uniquement des coefficients de

connexion de la variété affine _{par l’intermédiaire} des _cinq tenseurs du second ordre _que l’on _peut former _{par contraction} du tenseur de courbure. J’obtiens ainsi une _{équation qui généralise l’équation} fondamentale de la relativité générale. J’en déduis la solution générale rigoureuse, c’est-à-dire l’expres-sion de la connexion affine en fonction des densités résultant des tenseurs de base. Il est alors _possible de

déterminer les _{équations rigoureuses} des champs.

JOURNAL PHYSIQUE

12,

1951,

Introduction. - Les théories unitaires

classiques

ont _{pour but}

_{d’interpréter}

les

_phénomènes

gra-vifiques

et

_{électromagnétiques}

comme des manifes-tations des

_{propriétés géométriques}

de l’univers. Ce but

_peut

être

_poursuivi

dans deux directions différentes :

On

_peut

modifier le nombre des dimensions de

l’univers, considérer,

par

exemple,

un univers à

cinq

dimensions. Cette

voie,

inaugurée

par Kaluza

(1921),

a été

_reprise

_{par Einstein dans} sa deuxième

théorie unitaire

_(théorie

_{d’Einstein-Mayer).}

Les théories

_projectives

_{telles que celles de Shouten} et

de Pauli

_s’y

rattachent en ce sens

_qu’elles

constituent

aussi une modification du _groupe de transformation

de Lorentz. Comme le fait remarquer

très justement

Einstein,

ces tentatives constituent des théories

uni-taires au sens

_fort,

car

_{électromagnétisme}

et

gravi-tation

_apparaissent

comme deux

_{phénomènes qu’on}

peut

représenter

par les

composantes

d’un même être

_{géométrique.}

Ils ne

_peuvent

être

_envisagés

indé-pendamment

l’un de l’autre. Il

_s’agit

d’une

_synthèse

analogue

à celle

_qu’a

réalisée la Relativité restreinte pour les

champs

électrique

et

_magnétique.

On

_peut,

au

_contraire,

ne _pas modifier le _groupe

de

Lorentz,

mais

_{généraliser}

les

_{hypothèses qui}

président

au

_transport

parallèle

d’un vecteur le

long

d’un contour fermé infiniment

_petit.

Il est

possible,

en

eff et,

de considérer des variétés à

connexion affine

_plus

_générales

_{que les variétés}

riemanniennes :

1. Soit en

_supposant,

avec

_Weyl,

_{que le}

_transport

parallèle

d’un vecteur modifie sa

_longueur.

Géomé-triquement,

cela revient à supposer que la variété

considérée est douée d’une courbure

_{supplémentaire,}

dite courbure d’homothétie.

_{Analytiquement}

on est

amené à

_envisager,

à côté des

_changements

de

coor-données et

_{indépendamment}

de ces

derniers,

des

transformations de

_jauge.

L’ensemble est nécessaire pour déterminer

complètement

la connexion de

l’univers et _pour ahoutir aux

_{équations générales}

du

_champ

_physique.

2. Soit en

_supposant

_{que le}

_déplacement

_parallèle

d’un vecteur ne modifie que sa

_direction,

_,comme

dans la

_géométrie

de Riemann. Toutefois on

_généralise

cette

_géométrie

en

_postulant

_{que l’univers admet} une

torsion. Les

_espaces

tordus,

introduits par M. Cartan

ont été utilisés par M.

Eyraud

(1926)

pour l’édifi-cation de théories

unitaires,

puis

par Infeld

(r gz8),

enfin par Einstein

(i g2g), qui

essaya de construire

une théorie unitaire en

_supposant

l’existence d’un

parallélisme

absolu,

c’est-à-dire _{d’un espace doué de} torsion mais sans courbure.

Dans les deux cas, la conservation du _groupe de Lorentz

_implique

_{que le}

_{champ électromagnétique}

et le

_champ

de

_gravitation

doivent être

_regardés

comme des êtres

_{géométriques}

_{indépendants,}

liés seulement par les

équations auxquelles

ils obéissent.

Ils sont « formellement » unifiés. Il

_s’agit

là d’une

unification au sens

_faible

si l’on désire

_reprendre

la

terminologie

d’Einstein.

Ici,

nous considérerons

_uniquement

ce deuxième

type

de théorie unitaire

et,

à l’intérieur de

_celui-ci,

les théories du _groupe 2

_qui,

_seules,

constituent la

généralisation

naturelle et immédiate de la Rela-tivité

_générale.

Dans le cas d’une connexion affine

_générale,

c’est-à-dire dès que l’univers est

_supposé

doué simul-tanément d’une courbure et d’une

torsion,

il est

extrêmement difficile de mener

_jusqu’au

bout la théorie de

_{façon rigoureuse.}

Autrement

dit,

la connexion affine de la variété ne

_s’exprime

_{pas d’une}

façon

simple

en fonction des tenseurs fondamentaux si l’on ne restreint pas arbitrairement le nombre de

ces derniers.

Plus

_{précisément,}

le

_problème

est le suivant : Les

_équations

de la théorie se déduisent d’un

prin-cipe

d’action :

appliqué

à une fonction et

_{indéterminée,}

mais

_qu’on

suppose

dépendre

des coefficients de connexion et

de leurs dérivées _{par l’intermédiaire d’un} ou de

plusieurs

tenseurs du second _rang. La

_{généralisation}

la

_plus

_simple

de la Relativité

_générale

consiste à supposer

que c1

dépend,

d’ailleurs

_{arbitrairement,}

82

d’un tenseur

_R,,,

_qui

se déduit du tenseur d’Eins-tein

_ruz,,,

en

_remplaçant

les

_symboles

de Riemann

Christoffel

( §,, )

par

des coefficients

_quelconques

_àP

On aboutit ainsi à un

_système

de

₆₄

_équations

linéaires dont la

_résolution,

_{théoriquement}

élémen-taire,

est

_pratiquement

inextricable.

Certains

auteurs,

partis

d’une connexion affine

générale,

ont tourné la difficulté en

_supposant

_que el ne

_dépend

_{pas d’un}

_R,,,

ainsi

_{défini (1).}

Récem-ment Einstein et

_Schrôdinger

ont

_repris

la

_question

en revenant au tenseur

_.ruz,,,.

En

_dépit

_{d’ingénieuses}

combinaisons,

il ne _{semble pas que le}

_problème

théo-riquement simple

de la détermination de la connexion

affine

en fonction des

_champs

ait reçu une solution

rigoureuse

et en même

_temps

_{exploitable (2).}

Alors

que sa résolution est immédiate en Relativité

géné-rale,

sa

_{généralisation}

la

_plus

naturelle semble donc se heurter à de

_{grandes complications.}

Tout au

_plus

peut-on

dire avec

_Schrôdinger

_{que le}

_problème

est

soluble d’une

_{façon approchée}

et _{que l’on}

_peut

calculer les coefficients de connexion en fonction des

champs

avec

_{l’approximation}

_{que l’on} veut. Mais cette

conclusion est loin d’être satisfaisante et constitue un

obstacle dès que l’on veut

_poursuivre

effectivement les calculs.

_Cependant,

la théorie semble si

naturelle,

écrit

Einstein,

qu’elle justifie

de

_grands

efforts. Tel

est

_{précisément}

le but de ce travail

(3).

1. Les tenseurs fondamentaux et la connexion affine. - Nous considérons

une variété

_purement

affine dont la connexion est _{définie par les}

₆₄

coeffi-cients

_A.

Nous

_distinguons

les

_{parties symétrique}

et

_{antisymétrique}

de ces coefficients en

_posant

Les

_1°§,,

étant

_symétriques

et les

_Ar,

_{antisymétriques}

en N, v. Les

₂₄

l1

sont les

_composantes

du tenseur

de torsion de la

variété.

Avec

Einstein,

remarquons que les A

peuvent

introduire deux formes de

_transport

parallèle

pour un

_{vecteur 1}

tandis que les r définissent sans

_ambiguïté

le

trans-port

parallèle

habituellement considéré

A l’aide des

_AP,

on forme le tenseur de courbure

(1) A. EINSTEIN, Arm. _0/ Math., 1 945, 46, 518 ; The

nwa-ning of relatavity (Appendix 2e _édition); E. SCHRÔDINGER,

l’roc, _{o f} the _Roy. In. Acad., 1946, 51 A 4, 421947, 51 A 13, 163; 1948, 51 A16, 295; 1918, 52A1, 1.

(2) C/. STRAUSS, lÙeV. Mod. Phys., 1949,21, 4I4.

(3) Cf. M. A. TONNELAT, C. R. Ac. Sc., I g5o, 230, 182;

I g5o, 231, 47o, 487, 512.

Mais on

_peut

aussi former un autre tenseur de

courbure avec les coefficients

transposés

A

_partir

de chacun de ces tenseurs on

_peut

obtenir

deux tenseurs contractés de

_première

et de seconde

espèce :

Ces

tenseurs,

joints

au tenseur

constituent donc

_cinq

tenseurs dont

_peut

_dépendre

a

_priori

toute fonction d’action arbitraire. On

_peut,

comme

je

l’ai montré

ailleurs,

développer

toute la

théorie

en

_supposant

_{que la fonction d’action}

_dépend

des

_cinq

tenseurs

_{P [J-v, (), Stv,}

_{T ’Jo V}

et

_{1 ’Jo v,}

et

trouver,

même dans ce cas, la solution des

_équations

fondamentales de la théorie.

Néanmoins,

on

_simplifie

beaucoup

les calculs sans diminuer notablement l’intérêt des résultats

obtenus en

_adoptant,

comme le _{propose Einstein}

dans un travail dont

_je

viens de

_prendre

connais-sance

_(4),

un

_principe

d’« hermiticité ».

Une

_expression

A est dite hermitienne _par

rap-port

à u

et v si elle ne

_change

pas

quand

on

trans-forme

_{simultanément p}

en v

et li

en à. On a

A PV (,,) = A vi, (TI)

-Une

_expression

A est antithermitienne en _{[J-, 1)} si

Al1v(il) == - AV[J-().

Einstein suppose que la fonction d’action

_dépend

des seules combinaisons hermitiennes des tenseurs

de base. On est donc conduit à former les combi-naisons linéaires

(4) A. EINSTEIN, The meaning of relativily (Appendix

et

et à

_postuler

_{que la fonction d’action}

_dépend

des seules combinaisons

_{R,,, Hpve}

ip.,v-Enfin,

avec

_Einstein,

on

_peut

substituer au tenseur la combinaison linéaire suivante

qui

reste invariante dans une transformation

En

_particulier,

si

c’est-à-dire si

le tenseur

_U,,,(,à)

=

R{J.v(li)

ne

_dépend

_{pas de}

_Ap.

Définissons les densités tensorielles

et posons

et - 57", étant les

_parties

_symétrique

et

anti-symétrique

de éi1>".

Considérons maintenant un tenseur _r,,, dont les éléments forment le déterminant r.

_Désignons

par rrf" le mineur relatif à

_{chaque rE,,,,.}

Par définition

Il résulte de

₍₁₇₎

Les r’r’J se rattachent aux densités éR>’> en choi-sissant

On en déduit en

_posant

Désignons

maintenant par Y¡L’J et par -

9¡Lv les

parties

symétrique

et

_{antisymétrique}

du tenseur

_r¡Lv

Appelons

y et co les déterminants On a les relations habituelles

Le calcul du déterminant r en fonction de _{y et}

_{due y}

conduit aux résultats suivants :

et le mineur rr’’ a

_{l’expression}

dont on

déduit,

en

_comparant

avec

_(21),

2. Obtention de

_{l’équation}

fondamentale. -Cela étant

_posé,

nous devons déduire les

_équations

de la théorie d’un

_principe

variationnel

_appliqué

à la fonction d’action el

Dans une théorie

_purement

affine on _suppose

que et, par l’intermédiaire des tenseurs de

base,

dépend uniquement

des coefficients de connexion. On doit donc considérer

_uniquement

les variations des

64

_r,.

Les

_équations

d’Euler

équivalentes

à

_(29),

nous conduisent aux relations

suivantes entre les densités

et

en

_posant

et,

selon les notations

d’Einstein,

Si l’on

_{remplace ; o}

par la dérivée

co variante ; p

obtenue en substituant dans

₍₃₄₎

les coefficients

’,.,

84

.

Enfin,

on

peut

éliminer

complètement

le

second.

nombre de

_(35).

_{Il suffit pour cela} d’écrire la dérivée covariante

_{L v ;}

_p’

à l’aide de coefficients

_tlû,

_{tels que}

en

_posant

l’équation (35)

s’écrit

_simplement

-Ainsi les

_équations

de la théorie se scindent en deux

groupes dont l’un

(35)

ne

_dépend

_{que des} 60

Â

indépendants

(Âp

=

o)

et dont l’autre

(23)

ne

dépend

que des

-LBp.

Si l’on écarte la solution triviale

_{1 J}

== _o, les

équations

en

_{divergence (32),}

_jointes

à

la

définition

montrent _que ac", vérifie des relations

_qui

diffèrent des

_équations

_{maxwelliennes par le second membre} de

_(32).

_A,

_joue

donc le rôle d’un

_potentiel

du

_type

mésonique.

En ce

_qui

concerne le _groupe

₍₃₈₎

_[ou

_(34)]

son

développement

en fonction

_{des AP,}

s’écrit encore

En

_multipliant

_par

ià

r:J_’J,

on obtient

,/-j,

La substitution dans

₍₃₉₎

donne alors

_simplement

ou, ce

qui

revient au

_même,

Sous la forme

₍₃₈₎

ou

₍₄₂₎

les

équations

fondamen-tales de la théorie constituent une

_{généralisation}

simple

des

_équations

de la relativité

générale

Les

_{équations (42)}

ne sont _{pas modifiées si l’on}

_change

les indices _{li. et v} l’un dans l’autre et si l’on

_remplace

simultanément

_A

et

_rtl.v

_par ,

On constate

_facilement,

en utilisant les définitions

₍₁₃₎

et

_(36),

_{que les conditions}

entraînent

_{(44). (On a f P}

_{= - fP}

et

_lP"

--

ip-).

L’her-miticité des tenseurs de base réalisée dans

l’hypo-thèse

₍₄₅₎

est donc bien cohérente avec l’hermiticité

de

₍₄₃₎

et

_{l’hypothèse (44).}

C’est la résolution

_rigoureuse

de la très

_simple

équation

(42)

qui

va maintenant nous _occuper. 3. Résolution de

_{l’équation}

fondamentale et

détermination

de la connexion affine. -

L’équa-tion fondamentale

₍₄₂₎

s’écrit

Les

_composantes

_rx,

satisfont une

_{équation analogue}

qu’on

obtient en

_{multipliant (46)}

_par rx,,

_f[J..

On a,

d’après

(17)

et

_(19),

Scindons

₍₄₇₎

en

_parties

symétrique

et

antisymé-trique

en _{ji, v} en utilisant la

_{décomposition}

_(23).

On obtient ainsi

Nous allons introduire maintenant les

_symboles

et

_appeler

D

la dérivée covariante

_qui

utilise ces

symboles

avec, par

définition,

Permutons p

et Ij.

puis

p et v dans

(Si)

et dans

(A,).

On obtient des

_{équations (S2)}

et

_{(A2), puis (S3)}

et

_(A3).

Formons

(S2)

+

(S3)

-

que

en

_posant

et

Notons

qu’en

formant

_(A2)

+

(A3)

-

(Al)

et

_(S2)

+

_(S3)

+

(Sl),

on obtient les

_{équations (A’)}

et

_(S’),

_qui

sont aussi les

_{conséquences}

de

_(A)

et

de

_(S),

En

_multipliant

_par

_yÀ0152

nous tirons de

(S) :

et,

en

substituant

dans

(A),

nous obtenons finalement

en utilisant les notations

Les

64

équations (47)

peuvent

donc être

_remplacées

par les 40

équations

(S) qui expriment

les

coeffi-cients

_symétriques

_u,,v

en fonction des

_.À](

et _par

les

24

équations (E)

qui expriment

les coefficients

antisymétriques

en fonction des

_champs.

Finalement

tout se ramène donc à la résolution des

_2fi

équa-tions

_(E).

Cette résolution étant assez

_compliquée,

nous

l’examinerons avec

_quelque

détail. Pour la mener

à bien il est utile d’introduire les notations suivantes :

Nous avons d’autre

_part

On

_peut

calculer les

_expressions

qui figurent

dans

_(E)

en fonctionde

_{V {J.VP’ Ap, Bo}

et

_jBp.

_Après

substitution dans

_(E)

et réduction des

termes semblables on trouve

Calculons

_Ap,

_Bp,

_{V {LVP}

en fonction des

_quantités

connues, c’est-à-dire des

champs

et de leurs dérivées :

L’équation

(A’)

s’écrit encore

D’autre

_part,

la

_{multiplication}

de

_(E’)

_{par I}

_cppr

nous donne

Enfin la valeur de

_Bp

nous est donnée facilement

par

(A).

En

_multipliant

cette

_équation

par Cf/HI,

on trouve en effet

et,

par

conséquent,

en substituant dans

_(56),

Or on _a, d’une

_part,

D’autre

_part,

86

Substituons les valeurs

₍₆₆₎

et

₍₆₇₎

dans

_(E’).

Nous obtenons

En

_multipliant

_par

y>fi

on obtient

ce

qui

donne finalement

Nous avons

donc,

en

définitive,

à résoudre

l’équa-tion

_(s)

dans

_laquelle

_R;.v,p

est une

_quantité

connue.

Formons pour cela

_{p 1}

et

_{&lJ.’’P’}

cn tenant

_compte

des relations

et

On obtient

En éliminant

_V],,,y

et

_V>,,,i

entre

_{(S), (S*)}

et (6 ),

il vient

en

_posant

et en f ormant a

_si

₊ b

_e-,*,

nous obtenons

(74)

détermine la

_partie

_{antisymétrique}

des coeffi cients de connexion. La

_{partie symétrique}

de ces

coefficients est donnée par

(53), qui

s’écrit encore

Les coefficients de connexion

sont _{donc entièrement déterminés par}

_(68),

_(74),

(75)

et

_(76).

4.

_Équations

des

_{champs. -}

Dans une théorie

métrique,

le

_principe

variationnel

donne a

_priori

et

_quel

que soit ci deux sortes de

rela-tions : les unes se déduisent de la varition des

coeffi-cients de connexion

_âP,,

les autres de la variation

des ci-liv considérés comme variables

_{indépendantes.}

Dans une théorie

_purement

affine,

seules les rela-tions dues aux variations des

_àP,

_peuvent

être obtenues directement et

_{indépendamment}

de la forme de t1.. Les (R[J- v sont des fonctions de

_AR

défi-nies par

(15)

Quelle

que soit la forme de t1 cette fonction sera

donc du

_type

suivant :

mais seules les

_{variations 6 U,,,,}

sont à considérer.

C’est ce _que nous avons fait dans ce

_{qui précède.}

Les variations acptl"

susceptibles

de conduire aux

équations

du

_champ

ne se déduisent _{pas d’un}

principe

variationnel,

puisque

les (R.J.V ne sont _{pas des variations}

_indépen-

dantes.

Pour aller

_plus

loin,

il faut attribuer à la fonction

une forme

particulière.

Les

équations

du

champ

se déduisent alors de la définition

(15).

Posons,

(15)

s’écrit alors

c’est-à-dire

En

_posant

comme en

₍₂₀₎

Mais nous avons,

_{d’après (9),}

En scindant en

_parties

_symétrique

et

antisymé-triaue

les

_équations

du

_champ

s’écrivent

encore

en

désignant

comme

_{précédemment}

_par

Dp

la

dérivée covariante écrite avec les

_symboles

_{

_}

et _par

tltv

le tenseur contracté écrit avec les mêmes

symboles

Il nous reste à

_remplacer

les coefficients de

con-nexion

_uli

et

-1)#

par les valeurs obtenues au

chapitre précédent.

Jusqu’à

présent,

nous n’avons fait aucune

approxi-mation.

_Supposons

_{maintenant que les ?!J.’J} et leurs dérivées soient des

_{quantités petites}

_par

_rapport

à l’unité et convenons de

_négliger

les termes en sB

D’après (28) j!J.’J

est _{de l’ordre de c’ Un calcul}

facile montre

_{qu’à l’approximation}

admise on a

simplement

avec

Considérons d’abord

_{l’équation (88).}

Elle s’écrit

encore

en

_posant

et en tenant

_compte

des identités

et. de

_{l’approximation}

Mais

_d’après

₍₈₇₎

on

_peut

substituer dans

(91)

à

l’approximation

admise

et l’on obtient

En

_{supposant qu’à l’approximation}

du

_premier

ordre

expression compatible

avec

_(95),

on a

88

des identités

₍₉₃₎

il vient

0 0

Enfin,

en

_appliquant

_{l’opérateur}

0 -

y«"ÔaÔô

à

₍₉₈₎

on obtient

Posons

D’après (98)

et

_(100),

_§p,,

vérifie

_{l’équation}

de

propagation

Ainsi,

le

_champ

en rotationnel

_!.h.J.’J

_qui

satisfait

l’équation

de

_{propagation (102)}

_{n’a pas} une

diver-gence

nulle,

même à

_{l’approximation}

admise. En

effet,

d’après (99)

et

_(101),

Revenons maintenant à

_{l’équation (87).}

Elle s’écrit encore

avec

Les

_équations

de la

_gravitation

dans le vide

sont donc vérifiées au second ordre

_près.

L’influence

du

_champ

_{électromagnétique}

se traduit par le

tenseur du second ordre

_{T [LV.}

En

_résumé,

les résultats

_acquis

_peuvent

s’énoncer de la

_façon

suivante :

I0

_{L’équation}

_r;

_p’

= _o

(première équation

d’Einstein)

résultant de la seule variation des coefficients de connexion affine est conservée même si

_{f o.}

Elle

permet

de déterminer

_{complètement}

la connexion affine en fonction des _ryv et conduit

aux solutions

_{rigoureuses (74)}

et

₍₇₆₎

de notre théorie.

2°

_{L’équation}

_Rli’)

== A

_rJ.’

_qui

résulte du choix

₍₇₈₎

de la fonction d’action se _{traduit par les}

équations électromagnétiques

(84).

Au troisième ordre

_près,

elles se réduisent à

₍₉₈₎

et à

_(104).

30 Une

_conséquence

de

_{r’ 1;}

_p’

= _o est

La condition 2

_Fp

=

d.

Log r (équivalente

à la condi-tion _{w; p} = _o

d’Einstein)

entraîne

l’équation

de

conservation

* Postuler cette condition revient à confondre les

_A

avec les

à)1.

Au troisième ordre

_près,

le

_champ

_tJ.’)

disparaît.

Le

_champ

_CPtJ.v dont la

_divergence

est nulle

vérifie

_{l’équation}

de

_propagation

Par contre si _w;

_p’

= _o

(w; o

#

o)

le

_champ

_§,,,

en

rotationnel

_apparaît.

Il satisfait aux

_équations

de

propagation

(102)

du

_{type habituel,}

mais sa

diver-gence n’est pas nulle. Il est donc comme le

_champ

aCP-’l du

_type

_mésonique

et sa

_divergence

est liée à la valeur de la constante À.

Lo

La condition

_Ap

= o

(quatrième équation

d’Einstein)

permet

d’éliminer

complètement

de

la théorie le

_champ

_{antisymétrique}

àJé>’ du _groupe II. La théorie se

_rapporte

alors

_uniquement

à la

den-sité Olt). v . De toutes

_façons

les

_champs

aet" et at",

appartiennent

à deux _groupes

_séparables

dont le

premier

dépend

du

_{quadrivecteur}

_{arbitraire Ap}

et

dont le second suffit à déterminer la connexion

*

affine 0.

5o La densité de courant

_électrique

satisfait

_{l’équation}

de

conservation da

tJ0152 = o. La

densité

est

_{identiquement}

nulle.