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Certaines conséquences de l’existence du tenseur g dans
le champ affine relativiste
S.N. Bose
To cite this version:
645
CERTAINES
CONSÉQUENCES
DE L’EXISTENCE DUTENSEUR g
DANS LE CHAMP AFFINE
RELATIVISTE
Par S. N.
BOSE,
Université de Calcutta.
Sommaire. - On établit des relations où entrent seulement
039303BB03BC03BD
et leurs dérivées à partir descondi-tions d’intégrabilité des équations auxquelles satisfait le tenseur g des théories relativistes.
Le nombre de relations indépendantes entre éléments du champ est bien plus grand en théorie
unitaire qu’en théorie de la gravitation.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
14,
DÉCEMBRE
1953,
PAGE 645.1. Introduction. - Le formalisme abstrait de
la théorie de la relativité a actuellement abouti à
la
conception
d’unchamp
de coefficients de connexionaffine
d’une
variété4-dimensionnelle.
Soient
ôzlf
lescomposantes
d’undéplacement
parallèle
et infinimentpetit auquel
un vecteur A de la variété considérée estassujetti :Iles
variations descomposantes
Auqui
en résultent sont données’ par larègle
Dans la théorie de la
gravitation
les termesrâ
sontsymétriques,
ourfi
=r3x ;
donc,
la loi detransport
y estunique.
¡ 1
Au
contraire,
comme les coefficients sontdissy-métriques
dans la théorieunitaire,
onpeut
y avoirsaussi une deuxième
loi
detransport,
savoir :En
s’appuyant
sur larègle (1.1),
onpeut
calculerfacilement le tenseur de courbure R dont les
compo-santes
’
sont
antisymétriques
enindices F
et v : : etensuite,
par voie de
contraction,
on a facilement le tenseurd’Einstein
E,
avec lescomposantes
Mais la théorie ’unitaire admet aussi
(1. 2)
commeloi du
transport;
donc,
le même raisonnement que ci-dessus nousdonnera,
àpartir
de(1.2),,
un autretransport S (substitué
àR)
avec descomposantes
et finalement aussi le tenseur H
(substitué ,
à Ed’Einstein)
avec descomposantes
Les
équations
Ea[1
= o sont celles duchamp
dans la théorie de la
gravitation.
L’ambiguïté
de la loi dutransport
dans la théorieunitaire oppose
apparemment
des difficultés auchoix de
Eu,
= o commeéquations
fondamentales.Mais celles-ci ont été tournées par Einstein de
la manière suivante : il
impose
auchamp
affinequatre
conditionsrestrictives,
savoirBien
qu’arbitraire,
cettehypothèse
donnefaci-lement
les deux
règles
conduisent ainsi au même tenseur; donc leséquations
duchamp peuvent
rester lesmêmes dans les deux théories. A côté du
système
qui dépend
seulement
des coefficientsF
et de leurs dérivéespremières,
il y a aussi un secondsystème
dans
lequel
entrentégalement
lescompo-sautes
dupotentiel
gl,"v et
leursdérivées :
ce sont en effet leséquations
On a démontré que
(A)
et(B)
se laissent déduired’un
principe
variationnel.On forme
l’intégrale
invarianteavec des
composantes
dupotentiel
et du tenseur646
d’Einstein
(supposé unique
à cause deI"P-
=o)
et l’on pose
-pour toutes variations arbitraires de
g:J.’I
etr-’,,
on obtient immédiatement leséquations
cherchées.Il est évident que l’existence du tenseur de
poten-tiel dans le
champ
affine donnerait à celui-ci uncaractère tout à fait
particulier.
En effet
(B), regardée
comme unsystème
d’équa-tions
différentielles,
permettra
de déterminerg’t1’1
seulementquand.les
conditionsd’intégrabilité
serontsatisfaites.
Ainsi,
les relationsqui
suivent commeconsé-quences de cette
hypothèse d’intégrabilité
entre lescoefflcients
F
et leurs dérivéesexprimeront-elles des
propriétés
caractéristiques
duchamp, qui
sont
postulées implicitement
par la théorie de la relativité comme par la théorieactuelle
duchamp
unitaire.
Les obtenir sous une forme
explicite
estpréci-sément le but de ce travail.
2.
Cas
I. -Quand
les coefficientsrl,,
sontsymétriques,
les conditionsd’intégrabilité
deséqua-tions
(B),
savoir :sont
plus
facilementexprimables
par l’intermé-diaire du tenseur ’de courbure R.Si
lescomposantes
Rm
sontexprimées
par lesIl
multiples
gFI
et desparenthèses
àquatre
indicescomme
les conditions
d’intégrabilité
seront bienexprimées
1
par les
propriétés
suivantes et bien connues de cesparenthèses,
savoir :A
partir
decelles-ci,
onpeut
éliminer
simulta-nément
g’J.’
etles
parenthèses
etobtenir
des rela-tions entre lescomposantes
de R seulement.(i)
Comme zon pose a, =1 et l’on contracte. On observe que les
parenthèses
sontantisymétriques
en indices(k
et 4
à côté de
glk
qui
sontsymétriques.
On a alors
automatiquement :
(ii)
Demême,
commeet
nous,
avons
à cause des relations
(2.2)
(en
cequi
concerne lesparenthèses).
(iii)
Onpeut
écrire les96 composantes
duten-seur
R2l
explicitement
en fonction deF
et deIn
leurs
dérivées,
à savoir(1.3),
d’où découlent aisé-ment les relations(2.3),
(2.4),
(2. 5)
sont despropriétés
carac-téristiques
duchamp
symétrique,
exprimées
par lescomposantes
du tenseur de courbure R.3. Cas II. -
Quand
lechamp
estdissymétrique,
les conditions
d’intégrabilité
deséquations (B)
peuvent
aussi se déduire avec facilité.Avec
(B)
on considère aussi lesystème
de leursdérivées
premières (BI);
entre(B)
et(BI)
on éliminetoutes les dérivées
premières
deguv
et enajoutant
les conditions
on arrive immédiatement aux conditions
d’ï,nté-grabilité
suivantes :d’oii l’on
peut
déduire immédiatement celles-ci :(i)
Enmultipliant (3.1)
par g[J.l et en sommantensuite
(comme
gaI,
g[1/,
-=à§,
g’tLd g 1.
= of
et 0" sontles
symboles
deKronecker),
on aou
(ii)
Comme met p
sont des indicesantisymé-triques,
(3.1)
peut
aussi s’écrire comme ci-dessousen
posant
- met F
= n, et647
Pour
obtenir
des relationsplus générales,
nous commençons par unchangement
dé notations pourles
composantes
des tenseurs R et S.Comme il y a seulement six
paires
de (m,n),
c’est-à-dire d’indices
antisymétriques,
nousrem-plaçons chaque 1’§))
dans lescomposantes
par undes nombres
r == (r == 1,
...,6)
qui
est transférésous le
symbole
alphabétique
R ou S du tenseur.Ainsi
(3 .1)
prennent
la forme suivante =Suivant le nombre r les
g6
équations s’arrangent
maintenant en six groupescomportant
chacun 16 relations.Mais les
gaI
=gf, Rl,
S),
etc.,
se laissentinterpréter
comme les éléments de certaines matricescarrées
G,
R et S(les
indicesindiquant
maintenant leslignes
et les colonnes suivant des conventionsbien
connues),
et parconséquent
les relations(3.4)
peuvent
êtrereprésentées
comme une seuleéquation
de matrices :
où
S
représente
la matricetransposée
de S avecEn
’prenant
les formestransposées,
on a aussiLes
équations (3.5)
et(3.6) jouissent
depro-priétés
d’hermiticité,
ainsiqu’il
a étépostulé
parEinstein pour toutes les relations de la théorie unitaire.
En
effet,
on passe de(3. 5)
à(3. 6)
entranspo-sant G et en
changeant
le tenseur R en S et viceversa, ce
qui implique
que les dites relations restentinaltérées comme un tout par les
changements
simul-tanes
desg[1’1
engl[1
et desr§,,
enr? :
exactement commel’exige
leprincipe
d’hermiticité.Multipliant
finalement les sixéquations (3. 6)
par des nombres arbitrairesar,
et faisant la somme,on a,
après
une transformation facile : .Les matrices Jar et
S
sont donc liées par unetrans-formation
qui
laisse intacts leursinvariants,
d’oùComme
les
sonttout
à faitarbitraires,
onpeut
admettre que
chaque
coefficient
depolynome
en a,.
dans(3.8) pris séparément
estégal
à zéro.Dans toutes les relations
qui
s’ensuivent entrentseulement
Irl
et leursdérivées,
chacune
d’ellesexprimant
lespropriétés
caractéristiques
duchamp
unitaire conditionnées par
l’hypothèse
del’exis-tence du tenseur de
potentiel.
Si l’on
adopte
pour lesproduits
de la chaîne des R.
1.
ou des S les notations suivantes :
r
les relations obtenues ci-dessus
pourront
s’écrireaussi comme suit
4. a. Comme
conséquences
del’hypothèse
de ’l’existence du tenseur depotentiel,
dans lechamp
des connexions
symétriques,
on a les relationssuivantes :
16 relations :
6 relations :
45
relations :Compte
tenu des 10équations
duchamp,
on a entout 77
relationshomogènes
entre lescompo-santes
Tv
et leurs dérivéespremières.
b. Dans lechamp
unitaire,
on a :6 relations :
2I relations :
56 relations :
126 relations :
Couplées
avec leséquations
duchamp,
le totalpeut
allerjusqu’à
225relations
entre
les mêmes éléments duchamp.
Ainsi les conditions
qui
sontimposées
auxélé-ments
affines,
dans la théorieunitaire,
sont bienplus
restrictives que cellesqui
sontimposées
auxéléments du
