Interprétation mécanique de la loi de gravitation

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Submitted on 1 Jan 1914

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Interprétation mécanique de la loi de gravitation

A. Séligmann-Lui

To cite this version:

A. Séligmann-Lui. Interprétation mécanique de la loi de gravitation. J. Phys. Theor. Appl., 1914, 4

(1), pp.562-571. �10.1051/jphystap:019140040056200�. �jpa-00241924�

INTERPRÉTATION MÉCANIQUE ^{DE LA LOI DE} GRAVITATION;

Par M. A. SÉLIGMANN-LUI.

1.

REPRÉSENTATION DE L’ÉNERGIE DE GRAVITÉ PAR UNE INTÉGRALE.

1° Problème de la gravitation.

La loi de Newton exprime-t-elle

une propriété primordiale, irréductible, ^{de la} matière, ^ou peut-elle

se ramener à des principes plus généraux? ^La formule de l’attraction, malgré ^sa simplicité, ^{renferme un} coefficient, ^la masse, emprunté ^à

un phénomène ^{d’un autre ordre. La masse est le} coefficient spéci- fique ^de chaque corps, dans la relation ^{entre la} force appliquée ^au

corps ^et l’accélération correspondante. ^{Or on retrouve ce} coefficient dans un phénomène ^tout différent, l’attraction exercée par ^un corps

sur tous les autres. Il est impossible d’attribuer cette coïncidence au

hasard; ^{elle est} l’indice d’un lien caché entre les deux phénomènes,

attraction et accélération . Il faut donc renoncer à voir, ^{dans la} gravité,

une action élémentaire, s’exerçant ^{à toute} distance ; ^{on est oonduit à}

en chercher l’explication par l’action des milieux interposés ^{entre les}

,

corps. On doit supposer qu’il s’agit ^{de très} faibles modifications des milieux interposés; ^{car la} simplicité de la loi de gravitation ^ne peut

résulter que de formules élémentaires simples ; ^{et l’on} imagine ^diffi-

cilement que les déformations d’un milieu puissent ^être représentées

par des formules simples, ^à moins que la petitesse des variations ne

permette ^de réduire les fonctions aux premiers ^termes de ^{leur déve-} loppement ^{en série.}

21 Conditions générales d’équilibre ^des systèmes ^{en mouvement} per- mccnent. - Pour l’interprétation de la loi de Newton, ^{nous serons} guidés par les résultats précédemment ^obtenus pour ^une loi de forme analogue, ^{la loi} de Coulomb. Nous renvoyons ^{à une} précédente

étude sur les

Bases d’une théorie mécanique ^de l’électricité (1) ^{», et}

nous aurons à utiliser quelques propositions ^{énoncées dans cette}

étude. Rappelons ^les hypothèses qui continueront à servir de base à notre théorie.

(1) Bases d’une théorie ^{M6 eorze} ?7zecMMe mécanique ^e de l’électricité eczce(4 (Annales ^{c des} Mines, ^{mai et mai et} juin ~1906, ^et tirage ^à part chez Dunod et Pinat); ^{article résumé au de} Physique, ^{août 1906.}

Les développements ^et démonstrations qui n’ont pu trouver place ^au présent

article seront publiés ^{dans les Annales des Mines.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019140040056200

563 On supposera les corps constitués par des points ^{matériels en}

mouvement permanent, ^sans dimensions, ^doués de masses, exerçant

entre eux, à petite distance, des attractions de loi inconnue. Cette

hypothèse ^{ne fait aucune} distinction entre matière et éther; ^{si nous}

sommes amenés, par ^la suite, ^à admettre l’existence d’un éther dis- tinct de ] a matière pesante, ^nous n’y ^verrons cependant qu’un ^assem- blage ^de points ^matériels pouvant ^se distinguer par leur ^{masse ou} par la force qu’ils ^{exercent sur les} points ^voisins.

Nous nous appuierons ^{sur un} postulat précédemment ^formulé pour

interpréter ^{le second} principe ^{de la} thermodynamique (1) :

POSTULAT.

Soit un système ^{en mouvement} permanent. ^{Si tétat}

d’e’quilibre ^{vient à cesser} par suite d’une modification infiniment petite, ^le système ^à prendre ^{un état} d’équilibre ^{nouveau. Ce} déplacement ^se fera ^{dans le sens des} forces agissantes, quiproduiront

un travail positif, ^{de sorte} que cinétique ^du système ^{ira tou-} jours ^{en croissant.}

De ce postulat ^on déduit les conditions générales d’équilibre ^d’un système ^{en mouvement} permanent. ^{Soit U} l’énergie totale, ^{V l’éner-} gie cinétique, ^P l’énergie potentielle ^d’un corps. La condition d’équi-

libre de température, ^{dans un} corps ^à température ^uniforme T, s’exprime par ^la condition :

où dU et dV sont les variations virtuelles de U et V _pour chaque par- ticule du corps, M ^un coefficient positif indépendant ^{de la nature du}

corps. La condition générale d’équilibre ^{est :}

Cette condition se réduit à E (dU)

^{0 dans le cas} particulier ^où

les variations virtuelles considérées ne modifient pas l’énergie ^ciné- tique ; ^et réciproquement, quand ^{on constate un état} d’équilibre ^indé- pendant ^{de la} température, ^on peut ^en conclure que le phénomène

considéré ne fait pas varier l’énergie cinétique ^du système. ^{Dans ce}

cas, l’énergie potentielle ^du système ^{étant seule} variable, l’équilibre

stable sera obtenu quand l’énergie ^{totale sera} minima; ^sans quoi

(1) Annales des Mines, août 1902 : Note sur une interprétation mécanique ^des

principes ^{de la} ihe>.Jnodynatnique.

l’énergie, ^rendue disponible par ^une diminution d’énergie potentielle, permettrait ^toute transformation donnant ^un accroissement d’énergie cinétique ^et conduisant à un nouvel état plus ^stable.

3° Condition de minimum pour la stccbilité de l’équilibre.

^Tel

est le cas pour le phénomène ^{de la} gravité. ^{Dans un} système de corps soumis aux attractions de la gravité ^{et à des forces} résistantes, ^l’état d’équilibre ^est indépendant ^{de la} température. L’énergie ^{due à la} gravité ^est donc exclusivement potentielle, ^et l’état stable doit cor-

respondre ^{à un minimum} d’énergie. ^{Dans un} système de corps pe- sants, ^{de masses}

m2’

1 M/"

ml,

situés à des distances rn r2, r3,

rk, rl,

la valeur de l’énergie ^est connue, à ^{une cons-} tante d’intégration près ; ^{elle est} exprimée par la formule :

Pour interpréter ^le phénomène ^{de la} gravitation, ^{il nous faut cher-}

cher comment la déformation des ^milieux interposés ^entre les corps

pesants, ^{donne au} système ^une énergie additionnelle, représentée, ^à

une constante près, par :

Il est évident que ^ce problème ^{admet une} infinité de solutions, ^selon

les hypothèses qu’on pourra varier arbitrairement. Mais ^{toutes ces} solutions ne seront pas également satisfaisantes; ^{il est nécessaire}

que le résultat obtenu représente ^{un minimum} parmi ^{toutes les}

valeurs possibles. En d’autres ternies, ^le système ^{doit être soumis à}

certaines liaisons, déterminant incomplètement ^{la valeur de} l’énergie;

la détermination complète ^{sera donnée} par ^la condition de stabilité,

c’est-à-dire par la condition du minimum d’énergie.

L’interprétation mécanique ^{de la} gravité ^{doit donc consister à}

chercher des conditions de liaison telles _que le minimum d’énergie compatible ^{avec ces liaisons soit} représenté par ^la formule ex_péri-

mentale

.

Si telle est la valeur de l’énergie, les forces d’attraction s’en dédui-

.

ront par l’application ^du principe du travail virtuel; ^{on retombera}

sur la loi de Newton.

565 4° Fornle de l’énergie e’le’naentaire.

Cette formule de l’énergie

doit être la valeur d’une intégrale; ^{car, dans} l’hypothèse ^{de la défor-}

mation des milieux, l’énergie totale doit être la somme d’énergies

élémentaires ayant ^leur siège ^dans chaque particule du milieu inter-

posé ^entre les corps pesants. ^{Si est} l’énergie d’un élément de volume dT, ^on aura, à une ^constante près :

Cette valeur n’étant pas altérée par ^la présence de corps voisins,

il paraît ^certain que l’intégrale ^{doit être étendue à tout} l’espace.

E doit être une fonction homogène ^des coordonnées, ^du degré - ^4,

où entreront symétriquement les distances _{rk, rl,} du point ^de l’espace

aux points ^{de masse mk, MI;} ce sera une somme de termes de la forme _{Mk Mi Y} (rk, rl) .

Cette forme présente ^une analogie ^{évidente avec les termes des}

doubles produits, ^{dans le} développement ^{du carré d’une somme}

1 [mAl (rk)J. Nous admettrons donc que la fonction E ^est de la forme KA2, ^{ou K} (A 2+ ^B2 + C2).

Les fonctions A, B, C doivent être linéaires en m, et du degré

- 2 par rapport ^aux coordonnées; ^{de sorte} que ^A peut représenter

une quantité ^{ou bien} A, B, ^C peuvent représenter ^les

,r

projections ^{d’un vecteur :}

5° Coefficient négatif ^{du terme} carré, ^{dans la} forxùile ^de l’énergie.

-

Terme linéaire dans le développement.

^{Les mêmes} conclusions

s’étaient présentées ^en électricité ; ^{mais nous} touchons ici à la diffé-

rence capitale ^entre les données expérimentales ^de l’électrostatique

et de la gravité; l’énergie électrostatique, ^comme l’énergie de gra-

vité, ^est représentée par K mm ; ^{mais, en} électricité, ^{le coeffi-}

r

cient K est positif, ^tandis qu’il ^est négatif pour ^la gravité, ^{et il en}

résulte des conclusions toutes différentes pour la forme de la fonc- tion représentant l’énergie élémentaire.

Un terme carré, ^avec coefficient positif, ^{est le} premier ^{terme da}

développement d’une fonction voisine d’un minimum, qu’elle ^atteint

pour la valeur ^zéro de la variable. Au contraire, ^{si le} premier ^terme

du développement ^{était un carré avec} coefficient négatif, ^{la valeur}

zéro de la variable correspondrait ^{à un maximum. Or il est indis-} pensable d’admettre que les variables A, B, ^{C sont voisines de zéro}

pour que le développement ^{en série} puisse ^{être limité aux} premiers

termes; ^{il faut} qu’on ^{reste au} voisinage d’un minimum pour ^{la sta-} bilité.

Le terme carré, ^avec coefficient négatif, ^ne peut ^donc pas être le

premier ^{terme du} développement ^{de E ; il faut admettre} qu’il ^existe

un terme linéaire, essentiellement positif. ^Dans l’intégrale f ^EdT,

étendue à tout l’espace, ^{ce terrne} linéaire de la forme S ]

donnera une intégrale S ^{dont la valeur sera} indépen-

dante de la position relative des masses mf~’’, ml ; elle ne variera pas

quand ^{les masses se} déplaceront. ^Or nous ne mesurons l’énergie ^de gravité que par ^ses variations, ^{dans le} déplacement ^{relatif des} points pesants; s le terme linéaire n’apparaîtra donc pas dans la formule

expérimentale ^{de la} gravité. Cependant ^{il sera} prépondérant ^{dans la}

valeur de l’énergie, puisqu’on doit supposer les fonctions A, B, ^C

très petites. Dans la recherche du minimum de stabilité, ^on pourra

négliger ^{le terme carré de E, et réduire E à son terme linéaire,} pour former l’intégralef EdT, ^{à rendre minima.}

6° L’énergie élémentaire dépend ^d’une quantité scalaire, ^et l’équa-

tion de condition ne peut renfermer qu’un ^vecteur.

^{La forme li-}

néaire de cette intégrale minima exclut la possibilité ^de représenter

E en fonction d’un vecteur (A, ^B, C); ^{car ce vecteur} changerait ^de signe ^{avec le sens, et} l’intégrale serait nulle. Il faut donc _que l’éner-

gie élémentaire dépende ^d’une quantité ^{scalaire A, et se} présente

sous la forme :

L’énergie ^{totale est :}

L’intégrale f /zAdT ^devra être essentiellement positive, ^{et sa va-}

567 leur minima déterminera l’état d’équilibre ^du système. ^{Cet état se}

trouvant ainsi déterminé, ^{on devra} pouvoir identifier l’intégrale

A étant une quantité scalaire, ^{linéaire en} m, du degré ^{- 2 en r, ne}

peut ^avoir qu’une seule forme :

Le problème ^{se ramène donc à} chercher des conditions de liaison telles que ^cette dernière valeur représente ^le premier ^{terme du dé-} veloppement ^de l’énergie élémentaire, ^et que l’intégrale f Ad. ^soit

un minimum parmi ^{toutes celles} qui ^{satisfont aux liaisons.}

Or, ^si l’on cherche une équation ^de condition, symétrique, ^linéaire

en m et du degré - 2 ^{en r, on ne trouve} qu’une équation ^{entre les}

trois projections ^{d’un vecteur :}

Il faut donc que la quantité ^scalaire,

soit déterminée par des conditions de liaison ^{où entre un} vecteur

(a, ~, y). Cette condition mathématique ^limite singulièrement ^le champ ^des recherches, ^{et c’est ce} qui ^nous permet ^{d’arrêter notre} choix sur les liaisons qui, ^{sous une forme} exactement semblable,

déterminent le minimum du viriel, ^{dans un milieu où des} pressions

s’exercent autour de points ^centraux.

II.

RECHERCHE DU VIRIEL MINIMUM, DANS UN MILIEU RENFERMANT DES CENTRES DE PRESSION.

’1° Hypothèse ^des petites sphères ^{et des} pressions ^{au contact.}

Soit ^un milieu indéfini, ^{où sont} plongées ^des particules ^très petites,

supposées sphériques, ^{avec des} pressions uniformes, invariables,

appliquées ^{entre les} particules ^{et le milieu} enveloppant, ^{sur toute la}

surface des petites sphères. ^Les pressions ^{sur les} sphères ^{étant don-}

nées, ^les équations générales ^{de la} statique ^ne suffisent pas ^à déter- miner la distribution des pressions ^{dans tout le milieu.}

Parmi une infinité de distributions possibles, proposons-nous de chercher celle qui ^{donne la} valeur minima au viriel dû ^aux pressions

exercées dans toute l’étendue du milieu.

Pour résoudre ce problème, ^nous exprimerons les conditions

d’équilibre statique ^{sous une forme un} peu différente des formules usuelles.

Soient, ^en chaque point ^du milieu, P, Q, R les trois pressions principales rectangulaires, qui ^{sont normales au} plan ^sur lequel

elles sont appliquées. Traçons, ^{dans tout} l’espace, ^{des surfaces}

normales aux pressions ^{P, et} appelons ^{pcQ, IPR} le rayon de courbure de la section d’une de ^ces surfaces par le plan (PQ) ^ou (PR). ^{Sur les} lignes ^tracées tangentiellement ^aux pressions ^{P, convenons d’un}

sens positif, ^{et comptons} positivement les rayons de courbure, ^situés

du côté positif par rapport ^{aux surfaces.} Désignons par P ^{un vec-} teur, ^de projections ^P~, Py, P~, ayant ^même grandeur ^{et même}

direction que ^la pression principale ^{P, et même sens} que la force

appliquée ^{sur la face} positive ^{de la} surface. Les conditions d’équi-

libre statique ^{seront :}

et les deux équations similaires en Q ^{et R.}

Le viriel est la somme M + Yy + Zz); ^le viriel, ^{dû aux} pressions appliquées ^{à un} élément de volume dT, ^a pour valeur

(P + Q + R) ^{d~ .}

8° Recherche du viriel minimum. - Le problème posé ^consiste

donc à chercher la distribution des pressions P, Q, ^R qui ^{donne la}

valeur minima à l’intégrale

Pour que ^ce problème ^{ait une solution,} il faut que les pres- sions P, Q, ^{R soient soumises à} certaines conditions restrictives;

sans quoi ^les pressions pourraient prendre des valeurs négatives,

569

croissant, ^{en valeur} absolue, ^{au delà de toute} limite, ^{et il} n’y ^aurait plus de minimum. Nous nous proposons de chercher les conditions telles que le viriel minimum soit ^atteint pour la,distribution ^{suivante :}

Soit P la pression ^{uniforme exercée sur une} petite sphère ^de

centre M ; posons :

Considérons une distribution de pressions ^{où les} Q ^{et les R sont}

nuls et où les pressions ^{P sont, en} chaque point ^de l’espace, ^diri- gées ^{vers le} point ^{M et} égales a 2. - r ^{C’est ce que nous appelons}

la distribution rayonnante ^{autour du centre M.}

Faisons la même construction pour ^toutes les petites sphères ^de

centres

M2,

^{lB1k, et} superposons les distributiuns rayon- nantes autour de chaque ^centre.

Nous nous bornerons ici, pour abréger, ^{à chercher la condition}

du viriel minimum, ^{dans le cas} d’une seule sphère. ^{Dans ce cas} particulier, la distribution rayonnante ^{dans la valeur minima du} viriel,

pourvu que les pressions ^soient essentiellement positives.

Il suffira de démontrer que ^{Pd V esf minimum, puisque les termes} supplémentairesf (0- + R) ^d-r, essentiellement positifs, ^s’annulent

dans la distribution considérée. Supposons ^une distribution voisine,

où les vecteurs (Px, P,, P~) ^sont remplacés par des ^vecteurs (Px + ^oc,

La pression ^P deviendra :

Pour que l’intégrale du viriel se soit accrue par l’addition des composantes ~, ~, y, ^il suffit de vérifier que l’intégrale

est positive.

En remplaçant par leur valeur P, Px, P2/1 ^{Pz, cette} intégrale

s’écrit:

1 , x 7 ’"

On a, ^en intégrant par parties :

Ajoutons ^les quantités similaires en ~, ^{y, et étendons} l’intégration

à l’espace compris ^{entre deux} sphères ^de rayons 1"0 r., ^avec l’ori-

gine pour ^centre. Le long ^{de la} sphère ^{de rayon r,,} l’intégrale ^de

surfaces :

l’intégrale ^{de volume étant} prise ^à l’intérieur de la sphère ^de rayon r2° L’expression transformée devient :

Dans ces deux dernières intégrales, ^{les facteurs} (r~ - r~ ), (r2

r),

sont toujours positifs. ^{Or nous allons montrer} que l’autre facteur,

-T- 4- 2013’ -- 2013 ^est essentiellement positif.

dx Y ^dz

En effet, dans la distribution symétrique ^{autour de} M, les surfaces normales à P sont sphériques ; ^{dans une} distribution très voisine,

ces surfaces sont plus ^{ou moins} déformées, mais elles restent con-

caves vers le centre de la sphère ; les rayons de courbure PDQ, P2R

571

f R

restent positifs. Comme Q ^{et R sont} toujours ositifs, J -’-)-- ^{R reste}

p?~ ^pCp

positif. ^{Or on a :}

On a d’ailleurs identiquement :

Il re ste :

La distribution de pressions, symétrique ^{autour de la} petite sphère, donne donc au viriel mie valeur minima.

Si l’on passe ^{au cas} de plusieurs sphères, ^{on trouve} que la condi- tion des pressions positives ^ne suint pas. Pour que la valeur ^du viriel

en chaque point 1 n2~ ⁺ ’n2 ^{+ +} m2 -~- ... corresponde ^au

r1 ² r22 ^rk /

minimum de l’intéoralej ^{(P + Q + R) d7, il} faut la condition géné-

rale suivante, dont la condition des pressions ^n’est qu’un ^cas parti- culier, pour ^{un centre} unique.

Si Pn désigne ^la composante ^d’une pression principale, ^normale

à une sphère ^{de très} grand ^rayon, l’intégralef P,,dco, ^{prise tout le}

long de la surface de cette sphère, doit avoir une valeur constante,

2 ( t7tm). Il y ^{a donc un flux de} pressions ^{entrant des} petites sphères

dans le milieu enveloppant ^{et en sortant à l’infini .}

En général, ^les pressions ^n’ont pas ^{un sens} déterminé, ^des petites sphères ^{vers le} milieu ; ^{la condition où entre un flux de} pressions exige qu’elles prennent ^{un sens et,} par conséquent, que ^le phéno-

mène des pressions soit lié à un autre phénomène, déterminait le

sens du flux de pressions.

Moyennant ^cette condition, le minimum de viriel correspond ^{à la} valeur, ^en chaque _r

__ (A suivre. )