Définition
On appelle fonction affine une fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x b (c'est-à-dire x a × x b), où a et b sont deux nombres fixés.
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 3x − 2 est une fonction affine (avec a = 3 et b = − 2).
Remarques :
• Lorsque a =0, la fonction est une fonction constante.
À tout nombre x, cette fonction associe le nombre b.
• Lorsque b =0, la fonction est une fonction linéaire.
À tout nombre x, cette fonction associe le nombre ax.
Image et antécédent
Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction affine non constante.
Exemple :
Soit f la fonction affine telle que f(x) = 3x − 2 .
• Calcule l'image de − 7 par la fonction f.
f(x) = 3x − 2 On remplace x par − 7.
f(− 7) = 3 × (− 7) − 2 On calcule.
f(− 7) = − 21 − 2 = − 23 L'image de − 7 par la fonction f est − 23.
• Calcule l'antécédent de 13 par la fonction f.
f(x) = 13 On cherche le nombre x qui a pour image 13.
3x − 2 = 13 On résout l'équation.
3x = 15 donc x = 5 L'antécédent de 13 par f est donc 5.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine f : x a × x b est une droite.
• a s'appelle le coefficient directeur de la droite : il donne l'accroissement de f(x) lorsque x augmente d'une unité.
• b s'appelle l'ordonnée à l'origine : f(0) = b. La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Exemple : Représente graphiquement la fonction affine f définie par f : x 3x − 2.
D2 • Fonctions linéaires et affines
8 24
Définitions
Fonction affine
1
A
B
Définition
Propriété
C
Propriété
32
130
f est une fonction affine. Sa représentation graphique est donc une droite.
Pour la tracer, il suffit de connaitre les coordonnées de deux de ses points.
• f(− 1) = 3 × (− 1) − 2 = − 3 − 2 = – 5
• f(2) = 3 × (2) − 2 = 6 − 2 = 4
On trace (df) qui passe par les points B(− 1 ; – 5) et C(2 ; 4).
On vérifie que la droite passe bien par le point de coordonnées (0 ; − 2).
Le coefficient directeur de cette droite est positif, donc la droite « monte » quand on regarde de gauche à droite.
Définition
On appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x (c'est-à-dire x a × x), où a
est un nombre fixé.
Exemples : Les fonctions f et g définies par f(x) = 2,5x et g(x) = − 0,5x sont linéaires.
Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où b = 0).
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Exemple : Représente graphiquement la fonction linéaire g définie par g(x) = − 0,5x.
g est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite qui passe par l'origine du repère.
Pour la tracer, il suffit de connaitre les coordonnées d'un de ses points : on calcule l'image d'un nombre par la fonction g.
g(6) = − 0,5 × (6)= – 3
On trace (dg) qui passe par le point D(6 ; – 3) et par l'origine du repère.
Le coefficient directeur de cette droite est négatif, donc la droite « descend » quand on regarde de gauche à droite.
Fonctions linéaires et affines • D2 131
A
B
Fonction linéaire
2
19 32Définition
Propriété
0 1 1
(df)
1
3
B
C
0 1 1
(dg)
1 D
−0,5
Fonction linéaire et proportionnalité
Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.
Exemple 1 :
Le périmètre d'un carré est proportionnel à la mesure de son côté.
Cette situation peut être modélisée par la fonction linéaire p qui, à tout nombre x, associe 4x. Exemple 2 :
Un marchand vend ses pommes à 2,50 € le kilo. Le prix des pommes est proportionnel à leur masse. La fonction linéaire f(x) = 2,50x traduit cette situation de proportionnalité.
L’image de 5 par f est : f(5) = 12,5. Cela signifie que 5 kg de pommes valent 12,50 €.
La représentation graphique de f représente donc le prix payé en fonction de la masse des pommes.
Pourcentages
• Pour augmenter un nombre de x %, on multiplie ce nombre par 1 x
100.
• Pour baisser un nombre de x %, on multiplie ce nombre par 1 − x
100. Exemple 1 :
Un pantalon coute 70 €. Son prix augmente de 20 %.
Pour trouver le nouveau prix, il suffit donc de multiplier le prix de départ par 1 20
100= 1,20.
70 × 1,20 = 84. Après augmentation, le prix est de 84 €.
Exemple 2 :
Un village comptait 800 habitants. En 5 ans, la population a diminué de 7,5 %.
Pour trouver le nouveau nombre d'habitants, il suffit de multiplier le nombre de départ par : 1 − 7,5
100= 0,925.
800 × 0,925 = 740. Ce village compte désormais 740 habitants.
Grandeurs composées
Exemple 1 :
On exprime une vitesse moyenne en kilomètres par heure. C'est une grandeur quotient.
Ainsi, pour convertir 72 km/h en m/s, on procède ainsi : 72 km/h = 72 000 m/1 h = 72 000 m/3 600 s = 20 m/s.
Exemple 2 :
On exprime une consommation électrique en kilowatt-heures. C'est une grandeur produit.
Ainsi, pour déterminer la consommation électrique réclamée par l'éclairage de 3 ampoules de 75 W pendant 5 h 30 min, on procède ainsi :
3 × 75 W × 5 h 30 min = 3 × 75 W × 5,5 h = 1 237 Wh = 1,237 kWh.
D2 • Fonctions linéaires et affines
Proportionnalité
3
53 64A
Propriété
B
C
Propriété
132
