Sur une théorie unitaire non holonome des champs physiques

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Sur une théorie unitaire non holonome des champs

physiques

G. Vranceanu

To cite this version:

SUR UNE

THÉORIE

UNITAIRE NON HOLONOME DES CHAMPS

_PHYSIQUES

₍₁₎

Par G. VRANCEANU. Professeur à l’Université de Cernauti.

Sommaire. 2014 On fait voir comment on _peut construire une théorie unitaire des champs, gravitationnel

et électromagnétique, en _partant d’une _hypersurface non holonome

_V54,

totalement _{géodésique.} Cela revient

à supposer que l’espace physique a localement _quatre dimensions, comme l’espace de la théorie de la

relativité, mais _{qu’en partant} d’un point P, on ne _{peut revenir par} un circuit _{infinitésimal, qu’en} un _point

P’, où la direction PP’ est normale à l’espace local en P, le _segment PP’ définissant ainsi la torsion de

l’espace. A l’aide du tenseur du courbure des espaces locaux et du tenseur de torsion considéré comme

tenseur électromagnétique, on écrit les équations d’Einstein et de Maxwell et l’on _prend les _équations

des géodésiques de

_V45,

comme équations d’une particule chargée d’électricité, les trajectoires de la lumière étant en _particulier des _{géodésiques auto-parallèles} et de longueur nulle.

M. Einstein a donné dans sa célèbre théorie de la

relativité

_{généralisée, l’interprétation}

de la Gravitation

comme une

_propriété

_{caractéristique}

de

_l’espace

phy-sique,

considéré comme un _{espace de Riemann à}

_quatre

dimensions,

ayant

comme

_métrique

une forme

quadra-tique

indéfinie

où

_{x1 , x2, xl}

sont à traiter comme coordonnées

_spatiales

et xl comme coordonnée

_temporelle;

_depuis

on a

cherché à trouver une

_{interprétation analogue}

_pour

les

_{phénomènes électromagnétiques}

ou bien une théorie

unitaire,

_qui

soit

_capable

de faire

_sortir,

d’un même

principe géométrique,

les

_équations

_{gravitationnelles}

d’Einstein et les

équations

de

_{l’électromagnétisme}

de

Maxwell,.

C’est _{ainsi que M.}

_Weyl

_(2),

en

_partant

de

l’observa-tion _{que le}

_{champ électromagnétique}

_peut

être défini dans

_{l’espace temps V4,}

en absence du

_magnétisme

vrai,

par le rotationnel

(1) Cette théorie unitaire non holonome a fait l’objet d’une conférence Les espaces non holonomes et leurs _applications

méca-niques, à l’Institut H. _Poincaré, le 3 juin 1935, invité par la

Faculté des Sciences de l’Université de Paris. Elle a été aussi résumée dans les Notes, La théorie unitaire des champs et les

hypersurfaces non _{holonomes, Comptes rendus, 1935, 200, p. 2056,}

et Sur une théorie _unitaire..., C. R. Ac. Sc. Roumanie, tome 1,

1936.

(2) Voir H. WEYL. Raum, Zeit, V _{Ed., Berlin, Springer,}

1923, p. 121.

d’un vecteur covariant

_{CPi (i}

=

1, 2,

3,

4),

a

_proposé

de considérer

_{l’espace-temps}

_V,

comme un _{espace dont}

l’unité de mesure de la

_métrique,

en

_passant

d’un

point

à

_l’autre,

_possède

un coefficient de dilatation donné par

la forme de Pfaff

qu’on

peut

construire avec le vecteur d’univers

poten-tiel

_{électromagnétique.}

Une autre théorie unitaire a été

_proposée

_{par M.}

Ka-luza

_(3),

en considérant le continu

_physique

comme

un _espace de Riemann

_Vi

à

_cinq

_dimensions,

dont la

métrique

s’écrit :

où ds2 est _{donné par la}

_{métrique (1)}

de

_{l’espace-temps}

V~

de la théorie de la relativité.

On

_{voit que dans la} théorie de

Kaluza,

la

métrique

de

_{l’espace VJ}

est définie

si l’on se donne la

_métrique

de

_l’espace

_{temps V,,}

le vecteur

_{quadridimensionnel potentiel}

électromagné-tique yi

et le coefficient a550

Cette

_hypothèse

_{que le monde}

_physique

est à

_cinq

dimensions,

quoiqu’il

nous

_apparaisse

comme en

ayant quatre

et la difficulté d’avoir une

interpréta-tion naturelle du coefficient a55, ont conduit MM.

Eins-tein et

_{Mayer à}

_proposer une théorie unitaire

_(4),

_qui

cherche à éviter ces inconvénients de la théorie de

(1) Voir TH. KALUZA. Zum

_{Unitiitsproblem}

der _Physik,

Sitzungs-berichte der preuss. Ak. der Wiss., 1921, p. 966.

(2) Voir A. EINSTEIN et W. MAYiCR. Einheitliche Théorie von

Gravi-tation und _{Elektrizitât,}

_{Sitzungsberichte,}

_Akademie, Berlin, 1.931., p. 54 i .

Kaluza,

tout en conservant

_{l’hypothèse principale}

de l’existence d’un espace

métrique

V5,

associé à

_l’espace

temps ~4

de la théorie de la relativité, avec la diffé-rence _que l’on _{suppose maintenant que}

_l’espace

est seulement un _espace

_vectoriel,

ce

_qui

évite la

considé-ration directe du coefficient a,,,5.

Quant

à la

méthode,

qui

joue

un

_grand

rôle dans cette théorie d’Einstein et

Mayer,

elle

_s’inspire

_beaucoup

de la méthode des

con-gruences

(tétrapodes),

considérée dans la théorie uni-taire

_proposée

_quelque

_temps

avant _{par Einstein} et dont M. Levi-Civita

_(-)

a donné une

_{systématisation}

remarquable

à l’aide de la _{notion de congruences}

pseudo-orthogonales

de Ricci. Comme on

_sait,

cette théorie unitaire de M. Einstein, dont nous avons aussi

une

_profonde

étude due à M. Cartan

_(3),

consiste à

con-sidérer le monde

_physique

comme un _{espace de} Rie-mann à

_quatre

dimensions doué aussi d’un

parallé-lisme

absolu,

et c’est la torsion de ce

parallélisme

absolu

qui

doit mesurer le

_champ

_{électromagnétique.}

Dans cette nouvelle théorie unitaire MM. Einstein

et

Mayer

supposent

que le monde

physique

est à

quatre

dimensions,

c’est

_l’espace

_{temps V,,}

de la théorie de la

relativité,

mais que cet espace se trouve

_plongé

dans un

espace

métrique

vectoriel V

à

_cinq

dimensions. Cela est _{réalisé de manière que,} en

_chaque

_point

de

V4,

nous avons

_aussi,

en dehors des

_quatre

directions

indépen-dantes de ce

_{Vi, qu’on peut}

_appeler

les directions

intérieures ou

_tangentes,

une direction extérieure ou

normale à

V4.

De

_plus,

on _{suppose que} nous avons une

métrique

non _{seulement pour les directions}

_tangentes,

qui

est la

_métrique

de mais aussi une

_métrique

_pour

les directions non

_tangentes.

On

peut

dire aussi

_qu’on

associe à

_l’espace

_temps

un _{espace vectoriel}

_V5,

de

_façon

_que

_l’espace

linéaire

tangent

de V4

soit défini en

_chaque

_point

de

V,

par un

hyperplan

de

V5,

l’ hyperplan 2-emarquable.

De

_plus,

on

peut s’arranger

de

façon

que les

composantes

gab

(a, b

~

1,

2,

...,

5)

du tenseur

métrique

de ce

Vs

vec-toriel,

soient données par les formules

où aij

sont les

_composantes

du tenseur

_métrique

de

_V,

[E.

et

_M.,

formules

_{(50), (51),}

_(52)].

Cela

_dit,

si l’on

con-sidère le

_transport

_parallèle

de Levi-Civita des vecteurs de

_V5

le

_long

des chemins

_tangents

à

_{V,, qui}

sont d’ailleurs les seuls chemins

_possibles

dans cette

théorie,

et si l’on

_impose

la condition

_qu’un

vecteur

_tangent

à

_V4,

qzci

se

_déplace

le

_long

de sa _propre

_direction,

reste un

vecfeur

_tangent

à

_V’~,

on trouve un tenseur

_symétrique

gauche

du second ordre que MM. E. et M. consi-dèrent comme tenseur

_générateur

du

_champ

électroma-gnétique.

Pour faire

sortir,

d’une manière

naturelle,

au moins du (1) Voir T. LEvi-CiviTA. Vereinfachte Herstellung der

Einsteins-chen einheitlichen Feldgleichungen, idem, 1929, p. 137.

(2) Voir E. CARTAN. Sur la théorie des _systèmes en involution

et ses _applications à la _relativité, Bull. de la Soc. de

France, 1931, 59, p. 88.

point

de vue

_{mathématique,}

cette association à

_l’espace

temps V4,

de cet _{espace vectoriel}

_V5,

MM.

_{Veblen (1)}

Schouten

_(2),

etc...,

ont considéré aussi les

_propriétés

projectives

de

_l’espace

_{temps V~.,}

en créant ainsi, en

partant

de cette théorie d’E. et

_M.,

une

_importante

théorie unitaire

_pr"ojective.

Mais,

tout en restant dans le domaine

_métrique,

on

peut

remarquer que la

métrique

de

_l’espace

_{V5, peut}

s’écrire,

tenant

_compte

des formules

_(2’),

sous la forme

où est la

_métrique

de

V4

et dse est une forme de Pfaff

_quelconque

dans les variables

_{X1 , x’, x3,}

x~ et une

nouvelle variable x5. Cette nouvelle variables n’est

déterminée,

qu’abstraction

faite d’une transformation

ce

_qui

nous sert à écrire la forme ds5 sous la forme

Cela

étant,

en

_supposant

_{que ri}

_ne

_dépende

_pas

expli-citement de

xj,

on _{trouve que}

le

tenseur

électromagné-tique

_Fj

est lié au rotationnel

_9ij

du vecteur covariant cri’ par la formule très

simple

suivante

On voit ainsi que cette théorie unitaire d’Einstein et

Mayer

peut

être liée à la forme de Pfaff

₍₃₎

ou bien à

l’équation

de Pfaff

qui représente

d’ailleurs dans

_{l’équation}

de

l’hyper-plan remarquable.

Ce fait m’a conduit à chercher une

_{interprétation}

de

cette théorie unitaire à l’aide de

_{l’hypersurface}

non

holonome

_Y~~

définie dans

V5

par cette

équation

de Pfaff. On arrive ainsi à une

_{interprétation, qui}

nous donne la

_possibilité

de construire toute cette théorie

unitaire,

en

_partant

seulement de deux

invariants,

la

métrique

(1)

et la forme de Pfaff

_{(3) :}

c’est-à-dire de la seule connaissance de deux

_champs,

_{gravitationnel}

et

électromagnétique.

La

_géométrie

de

_{l’hypersurface}

non

holonome

_qu’on

_considère,

_possède

dans notre cas deux

tenseurs fondamentaux : un tenseur de

_courbure,

le tenseur de courbure de

V4

et un tenseur de lorsloii défini par le tenseur

_{électromagnétique Fi.}

C’est à l’aide de

ces deux tenseurs

qu’on

forme les

équations

gravita-tionnelles et les

_équations

de Maxwell.

Notre

_{interprétation}

non holonome

₍₃₎

revient à dire

que le monde

physique

est localement à

quatre

dimen-(1) Voir 0. VEBLEN. _{Projek-tive Belativitiiisiheorie, Springer,} Berlin, 1933.

(2) Voir J. A. SCHOUTBN. La théorte _projective de la relativité,

Annales de l’Institut H. POINCaRÉ, volume _{V, 1935, p.} 49.

(~) En ce qui concerne la théorie des espaces non holonomes on

peut voir _{G. VRA,-NGE-IliU. Les espaces} non holonomes et leurs

sions,

comme il est

_naturel,

mais que la totalité de ces espaces

locaux,

ne

_peut

_{pas être}

_{considérée,}

comme

l’ensemble des espaces locaux

tangents

à un même

espace

V,.

Ces espaces loeaux sont les espaces

tangents

à une

_hypersurface

non holonome de même que

les

_plans

d’un

_complexe

linéaire sont les

_{plans tangents}

.à une surface non holonome,

_{l’équation}

aux

différen-tielles totales du

_complexe

_{linéaire n’étant pas}

complè-tement

_intégrable.

_{D’ailleurs,}

on

_peut

_{remarquer que}

l’utilisation des espaces non

_holonomes,

comme

sup-port

d’une théorie unitaire de notre monde

_physique,

peut

être considérée comme très

naturelle,

si _{l’on pense} que les espaces non _{holonomes sont obtenus par}

l’in-terprétation géométrique

des

_systèmes

non holonomes de la

_Mécanique.

Nous avons divisé ce Mémoire en trois

_chapitres.

Dans le

_{premier chapitre}

nous faisons voir comment on _peut

étudier sur _{la base de notion de groupe de}

transforma-tion de formes de

Pfaff,

les espaces de Riemann dont la

_métrique

_{n’est pas} une forme définie

_positive,

_par une méthode

_analogue

à celle des congruences

ortho-gonales

de Ricci et _{Levi-Civita pour les espaces à}

métrique

définie

_positive.

_{La notion de groupe de}

transformations de formes de Pfaff est d’ailleurs à la base de toutes nos considérations. 0

Dans le second

_chapitre,

nous allons

_rappeler

un

cer-tain nombre de

_propriétés

_{des espaces} non holonomes

et dans le troisième

_chapitre

nous allons donner

l’inter-prétation géométrique

non holonome de la théorie unitaire d’Einstein et

_Mayer,

en

_indiquant

aussi

comment on

_pourrait

éventuellement modifier ou

géné-raliser cette théorie unitaire.

i.

_Groupes

_{des V,,}

à

_métrique

indéfinie. -

Sup-posons que nous _ayons un _{espace de Riemann}

_V~

à n dimensions dont la

_métrique

_{soit donnée par la formule}

où

_{x’, X2,...,}

@ xn sont des variables réelles et

aij

sont des fonctions réelles de ces variables à déterminant

1

1

différent de zéro. Si la forme

_quadratique

₍₄₎

est une forme définie

_positive

on

_peut

la réduire à une

somme de carrés

Si cette forme

_quadratique

_{n’est pas définie}

_positive,

elle

_peut

se réduire à la forme

_canonique

c’est-à-dire à la somme

_{de p}

carrés

_positifs

et _{de 12 - p} carrés

_négatifs.

Dans les deux cas les

_{quantités ds1,}

...,

sont des formes de Pfaff dans les différentielles

dxi convenablement

choisies (’ )

sont des fonctions des n variables

_xi,

..., xn à

déterminant à

_{= j}

_{1 J,; ,}

₁

différent de zéro. Les for-mules

₍₅₎

_peuvent

être ainsi résolues par

rapport

aux différentielles dxi

où

X isont

les

_réciproques

du déterminant A.

Si l’on considère le

système

de n congruences de

courbes,

définies dans

_l’espace

X,,,

des variables

_.x’,

X2, ...,

xn _{par les}

_équations

différentielles

on _{dit que les}

_quantités

a

sont les

_{paramètres et}

_À7

sont les moments de ces _congruences. On _{voit ainsi que}

chaque système

de n formes de Pfaff

indépen-dantes

₍₅₎

détermine un

_système

de n congruenccs

indépendantes

(),)

et inversement.

On sait

_{qu’on appelle}

_congruences

_orthogonales

d’un espace de Riemann à

métrique

définie

_positive,

les congruences

(~,)

dont les

_paramètres

satisfont aux

conditions

ce

_qui

_{revient à supposer que les formes}

_dsa,

_qui

sont les différentielles des arcs de ces _congruences,

rédui-sent la

_métrique

_{de Vn}

à la forme

_canonique

_(~’),

En ce cas, nous avons aussi les formules suivantes entre les

para>nètres 7,,

les

_{moments a}

des congruences

ortho-’gonales (X)

et les

_{coefficients aij}

de la

_métrique

de Vn

Si la

_métrique

_{de notre espace}

_V~

_{n’est pas} définie

positive,

les

_paramètres

_{des congruences dont les}

diffé-rentielles dsa réduisent cette

_métrique

à la forme

cano-nique

(4"),

satisfont évidemment aux conditions

) OÙ ê-ab est

égal

à zéro si a est différent de

b,

C.hh

égal

à 1

_(h

et

_égal

à 2013 i

_(a

_{> p).}

En ce cas, les coeffi-cients

_{s’expriment}

en fonction des moments

_)B:

_par les formules

(1) On fait la convention bien connue que deux indices répétés indiquent la somme _{par rapport} à ces indices. De même l’on

emploie pour les variables (x) les indices _{i, j} et pour les

Quant aux

formules

_qui

nous donnent les moments en

fonction des

_paramètres,

en tenant

_compte

des

_équations

(5"),

elles s’écrivent

Nous allons

_appeler

ces _congruences

_{(À), qui}

satis-fout

aux conditions

_(5")

et

_(6’),

_congruences

pseudo-orthogonales

de

_{l’espace Y,2.}

Il est à remarquer

qu’on

peut

aussi introduire avec Eisenhart

₍₁₎

_{des congruences}

_{pseudo-orthogonales}

dans Vn

d’une autre manière, en

_supposant

seulement

que les

paramètres

’Ai a

satisfont aux conditions

_(6’)

et

en déterminant les moments par les formules

Ces moments

_{~, la}

_sont,

comme on

_voit,

différents de

nos

_{m .oments ’si a}

_{> 1),} car _par les formules

(6")

nous Ce sont ces _congruences

pseudo-orthogonales

d’Eisenhart

_qui

ont été consi-dérées dans la

_{systématisation}

_{que Levi-Civitaa donnée} à la

_première

théorie unitaire d’Einstein

_(2).

Si l’on considère maintenant une transformation des n formes de Pfaff dsa dans n autres formes de Pfaff

_dsa,

cette transformation

_peut

s’écrire sous la forme

où

_cb

sont des fonctions

_quelconques

des variables

x2,

..., xn,

à

déterminan t le;1

différent de zéro. La totalité de ces transformations linéaires forment un

groupe

(le

groupe linéaire

général)

dans ce sens

_qu’il

contient la transformation

_identique,

que

chaque

trans-formation a une inverse et _{que le}

_produit

de deux trans-formations

₍₇₎

est aussi une transformation

_(7).

Cela

dit,

si la

_métrique

de

_l’espace

_V

est définie

positive,

les transformations de formes de

Pfaff,

ou

bien de congruences

(7),

conservent la forme

cano-nique

(4’)

seulement si les coefficients

_cb

de ces trans-formations satisfont aux conditions

_{d’orthogonalité.}

Ces transformations forment. elles

_aussi,

un _groupe,

sous _{groupe du groupe linéaire}

_général,

_qui

est _{le groupe} (1) Voir L. P. EISEYHART. Riemanian Princeton

Uni-versity Press, 1926, chap. iii.

(‘~) Voir T Lavi-CIVITA. _Vereinfachte

_{Ilerstellung...,}

_{déjà citée,}

p. 144.

orthogonal

et l’on sait

_{qu’on peut}

étudier les

_propriétés

géométriques

de

l’eCpace

l~,

comme

_propriétés

de ce

groupe

orthogonal

de _{transformations de congruences}

(7), (7’).

En

_particulier,

on _{sait que les}

_composantes

de la connexion affine de Levi-Civita de cet _espace, sur

les congruences

orthogonales (X)

sont _{données par les} coefficients de

_{rotation b}

de ces _{congruences. Cela}

signifie

que, si l’on

indique

par

ul,

u2, ... ;

un les

com-posantes

d’un vecteur u

contrevariant,

sur les n

con-gruences

()~),

le

transport

parallèle

de ce vecteur le

long

d’un

_déplacement

infinitésimal dsc est _{donné par} les formules

On

sait,

d’après Weyl,

que ce

_transport

_parallèle

est caractérisé par la

propriété

de conserver la

_longueur

du

vecteur,

ce

_qui

nous _{dit que les coefficients} doivent être

_{symétriques gauches}

dans les

indices a, 6

et la

propriété

de fermer les

_{parallélogrammes}

infinitési-maux. Cette dernière condition revient à dire que les

composantes t’ bc

de la torsion de notre

connexion,

sont nulles

où

_wb

sont les coefficients des covariants biliné-aires à sa des formes d sa

On trouve ainsi que les coefficients de rotation

_r:c

sont liés aux coefficients

_wb~

des covariants bilinéaires

.6. sa,

par les formules

Si la

_métrique

de

_{l’espace Vn n’est}

pas définie

positive,

la totalité des transformations

₍₇₎

_qui

conservent la

forme

canonique

de cette

_métrique,

forment elles aussi

un _groupe

_{pseudo-orthogonal,}

défini par les

_équations

où les sont définis

_plus

haut. _{Ce groupe}

_peut

être considéré comme une

_{généralisation}

_{du groupe de}

Lorentz, groupe bien connu dans la théorie de la rela-tivité restreinte. Il

_peut

se

réduire,

en introduisant des

quantités imaginaires,

à un _groupe

_orthogonal

de trans-formations de _congruonces et par

conséquent

on

_peut

orthogonal,

mais nous allons montrer

_qu’on

_peut

étudier directenlcnt les

_{propriétés géolnétriques}

de ce _groupe,

sans faire

_appel

aux

_quantités

_imaginaires.

En

effet,

supposons que

u1, u2,

...,

up+~ , , , , ,

1 îln

soient les

_composantes

sur _{les congruences}

pseudo-orthogonales

(À)

de

_Yn,

d’un vecteur contrevariant u,

dont la

_longueur

est

_donnée,

en vertu de la forme

cano-nique (4"),

par la formule

Si l’on

_désigne

_par

_1::

les

_composantes

sur les

con-gruences

pseudo-orthogonales

(l,)

d’une connexion affine

quelconque r~,

on obtient la variation de la

_longueur

u

dans le

_transport

_parallèle

de cette

_connexion,

en

différentiant la formule

_(10’)

et en tenant

_compte

du _{fait que les dua} sont _{donnés par} les formules du

_transport

_parallèle

on arrive à la formule

Il en résulte que notre connexion

_possède

_la

pro-priété

de conserver les

_longueurs

des vecteurs

trans-portés,

seulement si les

_composantes

_...(:~

satisfont aux

conditions

Si l’on associe à ces

_conditions,

les conditions

_qui

expriment

que la connexion ferme les

parallélogrammes

infinitésimaux

on

_peut

sans difficulté tirer les valeurs des

_-t*’

et

énon-cer le théorème suivant:

La connexion

_affine

de Levi-Civita _{d’un esl)ace de}

Riemann

Vn

à

_métrique

_indéfinie

réduite à la

_forme

.canonique (4")

a comme

_{conil)osaïïtes}

sur les

con-,gruencespseitdo-orttïoyoîiale,s

Cl,,)

les

_quantités

suivantes

où iv’"

sont les coefficients des covariants bilinéaires des différentielles des arcs de nos _congruences

pseudo-orthogonales

et

_{y a}

sont les coefficients de rotation de

ces _{congruences définies} en fonction des _{par les}

formules

_(9).

Naturellement,

on

_peut

_exprimer

les valeurs de

_,~~~

en

fonction des

_quantités

_ita,

seulement et on obtient des formules à peu

près analogues

aux formules

_(9’).

Une fois connue la connexion de

_l’espace

_~

on

peut

trouver le tenseur de courbure de en

trans-portant

par

parallélisme

le vecteur ua le

_long

d’un

parallélogramme

infinitésimal,

construit sur deux

déplacements

infinitésimaux

_dsli,

osc. On

trouve,

en

effet,

la formule

où

_Y:;d

sont

_{précisément}

les

_composantes

sur les

con-gruences

(i,)

du tenseur de courbure de

Vt

et sont données en fonction par les formules

dont

_l’analogie

avec les formules

qui

donnent les coeffi-cients de

_{Ricci ’}

à

_quatre

indices est évidente. Par le fait que notre

_{transport parallèle}

conserve les lon-gueurs, les

composantes

sont

_{symétriques gauches}

par

rapport

aux

_premiers

indices a et b. De

_même,

des formules

₍₁₅₎

il en résulte que ces

_composantes

sont aussi

_{symétriques gauches}

par

rapport

aux derniers indices c et d.

En

contractant,

par

rapport

aux indices a et c ce

_qui

est

_possible

_{parce que le}

_premier

indice est contre-variant et le troisième

covariant,

on obtient le tenseur de Ricci

et si l’on

_désigne

par sa/;

les

_réciproques

des coeffi-cients _Eab de la

_métrique

_(Eab

=

zab)

on

_peut

considérer les

_composantes

mixtes

_{Rd a du}

_{tenseur Rbd.}

_~b~

et

_enfin,

_par

_contraction,

la valeur 1? du tenseur de Ricci

(R =

_R:).

La connexion et la courbure de

_Vn

sont définies ainsi par leurs

composantes

i,§llJ

et

,,§j

sur les con-ainsi par leurs

_{composan es y bc}

sur les con-gruences

pseudo-orthogonales.

Si l’on considère une

transformation de congruences ou de formes de

_{P fali (}

),

les nouvelles

_composantes

de notre connexion et courbure sont liées aux

y~:

et _{par les formules} connues de transformation des connexions affines et des tenseurs

₍₁₎

(1 ) En ce _qui concerne le calcul différentiel absolu des

con-gruences voir G. Les espaces non holonomes et leurs

2.

_Espaces

non holonomes à

_métrique

indé-finie. -

Supposons

maintenant que dans

l’espace

de Riemann Vn

ayant

la

_métrique

_(4),

nous _ayons un

certains nombre n - m

_{d’équations}

de Pfaff

Si les covariants 3s’i’

_(mod.

de ces

_équations

(où

mod. dsh’

_indique

_quel’on

tient

_compte

dans ASh’ des

équations

ds’i’ =

_0),

sont

_nuls,

ce

_qui

arrive seulement

_lorsque

tous les coeffi-cients

wkl

sont

nuls,

le

_système

de Pfaff

₍₁₈₎

sera

com-plètement intégrable.

Dans ce cas, les

équations

(18)

peuvent

s’écrire en choisissant convenablement les variables

et notre

_système

_{(18")détermine}

dans

_l’espace

v~.

une

famille de 00 n-m _V~.

Si le

_système

₍₁₈₎

n’est _pas

_{complètement}

_intégrable,

on _{dira par}

_analogie

avec les

_systèmes

_mécaniques

non

holonomes,

que ce

_système

définit dans

_l’espace

de Riemann

Vn,

un _espace non holo72on2e

V:.

Pour étudier les

_propriétés

de ces _espaces non

_holonomes,

on

_peut

commencer _{par associer} aux n- m formes de Pfaff

dsh’ d’autres rn formes

,de

_façon

_{que les n formes} constituent un

sys-tème de n formes

_{indépendantes.}

Si l’on

_exprime

les n ,différentielles à l’aide de ces n formes

dsa,

la

mé-trique (4)

de

_l’espace

Vn

peut

s’écrire

et si l’on tient

compte

dans cette

_métrique

des

équa-tions du

_{système (18),}

on obtient la

_métrique

de

l’es-pace non

holonome ,

On voit que cette

_métrique

_s’applique

seulement aux

directions satisfaisant au

_système

_(18),

ou bien aux

directions

_tangentes

à

Nous avons ainsi deux invariants fondamentaux de

’l’espace

non holomone

_Vn,

la

_métrique

₍₁₉₎

et _le

sys-tème de

_Pfaff(i8).

On

_{appelle propriétés intrinsèques}

de

l’espace

les

_{propriétés qui}

_dépendent

seulement de

ces deux invariants et cela à cause du fait que si le

système

(18)

est

_{complètement}

_intégrable,

ces

proprié-tés coïncident avec les

_{propriétés intrinsèques}

dans le

sens de Riemann des 0o n-tn _dans

lesquels

se dé-compose en ce cas notre _espace non

holonome 1 m.

On

_peut

relier l’étude des

_propriétés

intrinsèques

de

_Vnt

à celle des

_propriétés

d’un groupe de transforma-tions de formes de Pfaff. En

_effet,

les transformations des formes de Pfaff

_,les

_{plus générales, qui}

conservent le

_{système (18),}

sont

données par les formules

où

_c~,

sont des fonctions réelles des n variables

x’ .

X2,

... , .xn,

les déterminants

_{1 est}

étant

diffé-rents de zéro. Ces _{transformations forment le groupe} du

_système

de Pfaff

₍₁₈₎

et les

_{propriétés intrinsèques}

de

_Vrm

sont les

_propriétés

de ce _groupe,

_auquel

on

associe la

_{métrique (19)}

de

_{V~ .}

Si l’on réduit mainte-nant cette

_métrique

à la forme

_{canonique ;}

le

_{nombre p}

étant

_égal

à m si la

_métrique

est définie

positive,

les transformations

_(20),

qui

conservent cette forme

_canonique,

s’obtiennent en

_imposant

aux m2 coefficients

c~

les conditions

où eki sont nuls si k

#

1,

Ehh - 1 et _eau = -1.

Il en

_{résulte qu’on}

_peut

définir les

_propriétés

intrin-sèques

de

_Yn

comme les

_propriétés

du groupe de trans-formation de formes de Plaff

_{(20), (20’),}

_{le groupe}

qu’on

appelle

groupe

intrinsèque

de

l’espace

non

holo-nome

Vm.

n

On démontre que dans le cas où le

_système

de Pfaff n’est pas

complètement intégrable,

ce _groupe

intrin-sèque

n’est pas en

_général

_{géométrisable :}

c’est-à-dire que la connaissance des deux invariants fondamentaux de

_Vm,

_{n’est pas} en

_général

suffisante pour donner à

l’espace

des

_propriétés

_{géométriques importantes.}

Associons à ces deux _{invariants la condition que} les coefficients

c~,

aient des valeurs

_{déterminées,}

_qu’on

peut

supposer

nulles,

après

une transformation convie-nable des

dsh,

ce

_qui

revient

_{géométriquement}

à fixer

l’espace

normal à

_Ynt,

_{espace défini alors par le} sys-tème

avec _{cette condition le sous-groupe de notre groupe}

(c,

=

_0),

constitue un des groupes

_{semi-intrinsèques}

(ek

=:--=

_0),

constitue un _{des groupes}

_{semi -intrinsèques}

de

_l’espace

_Yn

et ce sont des _groupes

_{géol1létrisahles.}

Dans certaines conditions on

_peut

réduire d’une

manière invariante _{l’étude du groupe}

_intrinsèque

de

_Vn

à celle de l’un de ses _sous-groupes

_{semi-intrinsèques,}

et même à un _{des sous-groupes}

_rigides

de ce _groupe

intrinsèque (~),

sous-groupes

qui

s’obtiennent en

sup-posant

que les

c’,

satisfont

eux-mêmes à des conditions

analogues

aux

_(‘~0’).

Ces _groupes

_{rigides possèdent}

ainsi

une

_métrique

dans toutes les directions et non seulement pour les directions

tangentes.

La _{réduction du groupe}

_intrinsèque

au _groupe

_rigide

est

_{toujours possible}

si le

_système

de Pfaff

₍₁₈₎

se

compose d’une seule

équation

de Pfaff non

complète-ment

_intégrable

c’est-à-dire si notre espace non holonome est une

hyper-surface non holonome.

En

_effet,

_{le groupe}

_intrinsèque

de cette

hypersur-face

_peut

évidemment s’écrire

où eh

satisfont aux conditions de

_{pseudo-orthogonalité}

ou

_{d’orthogonalité (20’)}

et où l’on a

_posé

_pour

_simplifier

cn

~ = ~~. Par

_rapport

à ce _{groupe les coefficients}

wkl

du covariant de

_{l’équation}

de

_{l’hypersurface}

forment un tenseur du troisième

_ordre,

dont la loi de

transformation est donnée par les formules

Cela

_dit,

_{si le rang du covariant} 3sn

_{(mod. dsn;,}

_qui

est

_toujours

un nombre

_{pair 2~ ~ ~ 2013 1}

est

_égal

à

ii. -

1,

ce

_qui

arrive seulement si 21 est

_impair,

nous

aurons la formule

où à est le déterminant du covariant ôs7°

_(mod.

_dsn)

et a le

déterminant 1 e h

₁

_qui

est

_égal

à

+

1. Cette for-mule nous _{montre que si} l’on réduit une fois à l’aide du

coefficient i, du groupe

(2l’),

le déterminant à à

l’unité,

il restera

_égal

à _{l’unité seulement pour les} transfor-mations

_(2l’),

avec A = 1. Pour ces transformations la

forme dsn est un invariant et _par

_conséquent

le

cova-riant

(1) Voir mon travail : Sur _{quelques points...,} déjà cité, p. 184 191.

est aussi un invariant.

_Or,

on

_peut

choisir les coeffi-cients

_ch,

d’une manière et une

_seule,

de

_façon

à annu-ler dans ce covariant tous les coefficients

_Wnk

et _par

conséquent

réduire l’étude du groupe

intrinsèque (2t@~

à _{l’étude d’un groupe}

_rigide.

Ce résultat

peut

être consi-déré comme un cas

_particulier

d’un théorème de M. Schouten sur les

_{hypersurfaces}

non holonomes affines

_(’).

Si le rang

2q

du covariant ASn est

_{plus petit}

_que

_{n-§ ,}

ce

_qui

arrive

_toujours

si 11 est

_pair,

on

_{peut s’arranger}

de

_façon

_{que dans} ce covariant interviennent seulement

les

_premières

_2q

tormes dsh. Cela

fait,

le groupe

qui

conserve cette

_situation,

est un _{sous-groupe de notre}

groupe

intrinsèque, qui

transforme

séparément

les

premières 2q

formes dsh et les dernières n -

_{2q -}

1 formes dsk et cela à cause de la

_propriété

des

sous-groupes d’un groupe

orthogonal

ou

_{pseudo-orthogonal,}

d’être

_{complètement séparables.}

En

_désignant

mainte-nant par v le déterminant de la transformation

_{dues 2 q}

premières

formes dsh et

par à

le déterminant du cova-riant ~sn ainsi

réduit,

nous avons une formule

_analogue

à

_(1’’),

de

façon

qu’en

réduisant à à

l’unité,

on

_peut

choisir les coefficients

_{ch(h /}

₂₉₎

d’une manière et une seule de

façon

à annuler les coefficients

_(hL2q).

Le groupe

qui

conserve le covariant ainsi

normé,

con-serve évidemment les deux

_systèmes

de Pfaff

Or,

dans le dernier de ces

_systèmes,

le covariant ASn

(mod.

+

_{1, ... ,}

_dsn)

conserve aussi son _rang

_2q,

_qui

est _{le rang maximum de} ce

_système.

Par

conséquent,

si l’on considère dans ce

_système

le covariant d’une des

équations

de la forme

on

_peut

choisir les

_quantités

ck, comme racines de

l’équation

caractéristique

de ce

_covariant,

de

_façon

_que

le rang de ce

covariant

soit inférieur

_{à 2q}

à l’intérieur

de notre

_système.

Il en résulte

_{qu’on peut}

choisir les ck en

_général

de

_plusieurs

manières différentes. Si le

rang du covariant Asn est

égal

à

deux,

cette manière de choisir les ek est évidemment

_unique

et les dsk = 0

constituent alors les

_équations

du

_système

dérivé de notre second

_système

_(22"’).

Cela arrive en

par-ticulier dans le cas où

_{l’hypersurface}

est une

V4@

et le covariant n’est pas du rang

maximum, n -

1 - ~. Nous pouvons énoncer ainsi le théorème suivant :

Etant

_{donnée une hypersurface non holonarne}

on

peut

toujours

réduire,

en

_général

de

_plusieurs

nia-nières

_{diflérentes,}

l’étude de son _groupe

_intrinsèque

à

l’étude d’un

_rigide,

ou en d’autres _termes, on

peut

toujours

fixer

la direction de la normale

_{(Ch - 0)}

(1) Voir J. A. SCHOUTEN. On nonholonomic connexions,

et la

_inétrique

sur cette

_{(À == 1).}

Si

l’hyper-surface

est une

V,4,

cette rédzcction est

_{toujours unique.}

L’importance

de ce théorème consiste dans le fait

_qu’il

réduit l’étude des invariants du groupe

intrinsèque

de

v n n-1

1 à l’étude d’un groupe

rigide,

groupe dont on

connaît un

_système

_complet

d’Ínvarianls. Evidemment

on arrive aux mêmes résultats si l’on considère dès le commencement la

_forme

dsn conime un invariant

(~ =1),

ou bien si A est un

_invariant,

cas

_qui

semble avoir aussi un intérêt

_physique,

comme nous verrons

dans la troisième

_partie.

Considérons maintenant un _groupe

_rigide

d’une

hypersurface

non holonome

ou _{bien le groupe d’une}

_hypersurface

non holonome

possédant

une direction normale et une

_métrique

sur

cette normale.

Ce _groupe

_{rigide possède}

deux connexions

_affines,

chacune d’elles conservant le caractère de vecteur

tan-gent

et devecteur normal, et

_{précisémentune}

connexion affine dont le caractère

_principal

est de conserver les

longueurs et une

connexion affine dont le

_{carac tère}

prin-cipal

est de fermer _{autant que}

_possible

les

parallélo-grammes infinitésimaux. Cette dernière connexion a

comme

_composantes

sur

_{les congruences}

_(~)

les

quanti-tés suivantes

On voit que le

transport

parallèle

d’un vecteur

tan-gent vh

le

_long

d’un chemin

_{tangent dsl,}

est _{donné par} les formules

et coïncide formellement avec le

_{transport parallèle}

de

Levi-Civita de la

_métrique

de

_{l’hypersurface.}

Je dis formellement parce que notre

transport

conserve les

longueurs,

mais il ne ferme le

_{parallélogramme,}

qu’abstraction

faite d’un

_cinquième

côté

_dirigé

suivant la

_{normale, ayant}

comme

_composantes

OÙ

_dsh,

osl sont les

_composantes

des deux

_{déplacements}

sur

_lesquels

on construit le

_{parallélogramme.}

Il en

résulte ainsi que le tenseur

_{d’intégrabilité}

_U);l

est en

même

_temps

le tenseur de torsion de

_{l’hyperszirlàce}

non

holoitome

_Vn-1.

n

Si l’on considère maintenant le

_transport

_parallèle

d’un vecteur

_tangent

vh le

_long

de la

normale,

nous

avons

de

façon

que la variation du carré de la

longueur

de ce vecteur

est donnée par la formule

où les

_quantités

_Vk,l,n sont les

_composantes

du tenseur de la seconde forme fondamentale de

_{l’hypersurface.}

On

_peut

_exprimer

les

_composantes

de ce tenseur à l’aide des

_{pseudo-coefficients}

de rotation

_y*

_{par les formules}

Si l’on

_transporte

un vecteur

_tangent

le

_long

_{du pen}

tagone

infinitésimal construit sur deux

_{déplacements}

tangents

dsl,

èsr,

les variations des

_composantes

de ce

vecteur,

sont _{données par les formules.}

où les

_quantités

_)BZrl

_{représentent}

les

_composantes

du tenseur de courbure

_(intérieure

ou

_tangente)

de

l’hypersurface.

Ces

_composantes

sont _{données par les} formules

où sont les

_quantités

₍₁₅₎

et où l’on fait varier l’in-dice

_f

seulement de 1

_{1 ;}

_par

_conséquent

dans le cas

_intégrable,

ces

_quantités

définissent le tenseur de courbure de Riemann des Vn-1 dans

_lesquelles

se dé-compose notre

V:-1.

On voit ainsi que notre tenseur de courbure

_ÀZlr

coïncide avec le tenseur de courbure de Riemann

_Ykzr

dans le cas

_intégrable

=

_0),

ou

dans le cas où le

_{parallélisme}

₍₂₆₎

le

_long

de la

nor-h

male conserve les valeurs des

_composantes

vtz

_{(W k}

_0).

De même si l’on

_transporte

un vecteur

_{tangent vh}

le

_long

du

_{parallélogramme}

construit sur un

déplace-ment

_tangent

et un

_déplacement

_normal,

on obtient un second tenseur de courbure

_{(courbure extérieure)}

, dont nous _{n’écrirons pas ici les}

_composantes.

Enfin,

si l’on

_transporte

un vecteur normal vlî le

long

de deux

_{circuits, pentagone}

et

_{parallélogramme}

considérés,

on obtient comme tenseurs de courbure le tenseur

_u’kln

dérivé le

_long

de la normale du tenseur

.

n

.

,n

.

de torsion

_et

le tenseur mais ces tenseurs ô"

sont seulement des tenseurs

_rigides,

tandis que les

n _h lt .

tenseurs

_wkz,

sont aussi des tenseurs

semi-intrinsèques.

Nous allons maintenant montrer

_{qu’on peut}

choisir les variables de

façon

que la

métrique

et

l’équation

de

En

effet,

on

_peut

toujours

_{supposer que les} formes

dsh

_(fi

_{4 n -}

₁₎

soient

_exprimées

en fonction

différentielles

dx1,

..., dxn-l seulement. En ce cas

la

_métrique

de

_{l’hypersurface}

sera elle-même une forme

quadratique

de ces n -1 différentielles

les coefficiens

_aij

étant en

_général

fonctions aussi de

la variablp xn.

_Quant

à

_{l’équation}

de

_{l’hypersurface,}

puisqu’elle

doit contenir la différentielle elle

_peut,

par un

_changement

_convenable,

s’écrire sous la forme

les

_{quantités 9i}

étant en

_général

fonctions de toutes les variables _xl’, .. , xn.

Cela

étanL,

on trouve _{que dans le} cas où le tenseur de la

_métrique

_(26’)

ne

_dépend

_{pas de la variable xn, le} tenseur de la seconde forme fondamentale et le

se-cond tenseur de

_{courbure ).Z,zn’}

sont tous les deux

A-,

nuls.

Quant

au tenseur de courbure de

l’hypersur-face,

il se réduit au tenseur de courbure de la

mé-trique (26’).

On

dit,

en ce cas, que notre

hypersurface

est totalement

_{géodésique.}

Si le~ fonctions _9i ne

dépen-dent pas elles aussi de la variable x’B les tenseurs de

n

n .

courbure , sont aussi

nuls,

de

façon

que fel,n’

s,

les seuls

tenseurs,

qui

peuvent

être en ce cas différents

de zéro sont le tenseur de torsion et le tenseur de courbure

intérieure,

dont les

_composantes

sont évi-demment fonctions des variables

xi, x2,

..., xn-1

seu-lement.

Ce cas

_{où aij}

_{et ?,}

ne

_dépendent

_pas de la variable ~~2 est _{caractérisé par le fait que}

_{l’hypersurface}

admet

un _{groupe continu à} un

_paramètre

qui

représente

une translation le

_long

de la normale. En

_effet,

si une

_hypersurface

non

_holonome,

_définie

intrinsèquement

pa r .scc

_niétrique

et son

_équation,

admet un _{groupe à} un

_paramètre

non

_tangent

_(on

ne

peut

pas dire

normal,

la direction de la normale n’étant pas encore

_fixée),

on

_peut

la réduire à ce cas, en

choisissant,

comme

normale,

la direction des

trajec-toires du groupe. Cette direction de la normale ainsi déterminée

_peut

ne _{pas coïncider} avec celle

déter-minée en réduisant le déterminant à du covariant de

l’équation

(26’’)

à l’unité.

3. Théorie unitaire non holonome. -

Suppo-sons _que nous _{soyons maintenant dans le} cas de la

Physique :

c’est à-dire que nous ayons d’une

part

l’espace

temps V,

de la théorie de la

relativité, qui

est

un _{espace de Riemann à}

_quatre

dimensions dont la

mé-trique

est une forme

_quadratique

indéfinie

_ayant

trois carrés

_négatifs

et un carré

_positif

d S2 _ - -

(d s~)2

-

+

(~6~°)

les formes ds’,

d.s’,

ds’ étant fonctions des trois variables

xl, x2, x3,

et le

_{temps 1}

ou bien des

_quatre

variables

_x3,

x’ = _ct, c étant la vitesse de la

lumière,

et d’autre

_part

le

_{champ électromagnétique,}

qui

peut

être déterminé dans

_l’espace

de ces

_quatre

variables par le rotationnel d’un vecteur covariant (fit

(i

=

_{1, 2, 3,}

_4).

En

effet,

si

l’espace

V,

se réduit à

l’espace

de la relativité

_restreinte,

où nous avons

X2, x3,

étant des coordonnées cartésiennes

orthogo-nales,

les

_composantes

du vecteur

_électrique

e

_(er,

ey,

e~)

et les

composantes

du vecteur

magnétique

m

(mx,

rny,

mz)

sont données à l’aide des

_composantes

de

ce _{rotationnel par les formules}

Par le fait que sont les

_composantes

d’un

rota-tionnel,

elles satisfont aux formules

qui

constituent pour les vecteurs e et m les

_premières

équations

de

_Maxwell,

dans le cas où il n’existe pas du

magnétisme

vrai.

Il en _{résulte que, tant que le}

_champ

électromagné-tique

n’est pas

identiquement

nul,

la forme

n’est pas une différentielle totale exacte, ou _{bien que}

l’équation

de Pfaff

n’est pas

complètement

intégrable.

On

_peut

d’ailleurs bien observer que si la connaissance du vecteur p, dé-termine

univoquement

les vecteurs e et m la réci-proque n’est pas vraie. Les composantes Qi sont déter-minées par e, m

_seulement,

abstraction faite de termes

2013-

où

_{f est}

une fonction

_quelconque

des

_quatre

va-àxi

f

riables

_xs,

_{x2, x3,}

_{x". Cela revient à dire que la}

va-riable x~

qui

intervient dans

_{l’équation (28)}

seulement par sa

_{différentielle,}

est déterminée abstraction faite d’une tranformation

Cette transformation

_joue

un

_grand

rôle dans la

théorie unitaire

_projective.

Dans notre cas, par la manière même dont on _{pose le}

_problème,

tous nos

résultats sont _{invariants par cette transformation. On}

est

_égal

au carré du

_produit

scalaire des vecteurs e et m

~t par

conséquent

le rang de ce covariant est deux ou

quatre

suivant que ces vecteurs sont

_orthogonaux

ou

non.

Dans le cas

_général

ne se réduit pas à

_l’espace

euclidien de la relativité

restreinte,

on convient aussi de considérer le

_{champ électromagnétique}

comme défini par le rotationnel d’un vecteur covariant ou _{bien par} un

tenseur

_{symétrique gauche}

_F,;

du second

_{ordre, qui}

satisfait aux

_premières

_équations

de Maxwell

_(~7’),

car ces

_{équations représentent}

la condition nécessaire et suffisante pour que les

_~

puissent

être considérés

comme les

_composantes

d’un rotationnel.

Toute la

_question

est de voir maintenant de

_quelle

manière on doit mettre en relation ces deux invariants

pour arriver à une théorie unitaire satisfaisant aux

diverses conditions

_imposées

par la

Physique.

Dans la théorie de

_Weyl

la _{forme T} dxi intervient

comme un coefficient de dilatation

de

la

_métrique

de

l’espace-temps

c’est-à-dire comme

_quelque

chose

superposé

à

_l’espace

V,

et déterminé de la manière même dont est définie ou connue la

_métrique

de

V,.

Dans la théorie de Kaluza

₍₁₎

on fait

_jouer

à la forme

un rôle extérieur et

_{précisément}

_{l’on suppose}

qu’elle

sert à déterminer la

_métrique

₍₂₎

du continu

physique

supposé

à

_{cinq dimensions,}

mais cette forme

n’est _{pas suffisante pour déterminer}

_{complètement}

à

côté de la

_métrique

de

~4,

celle de

V5.

Dans la théorie d’Einstein et

_Mayer

la forme n’intervient pas

explicitement.

Ce

_qui

_{intervient pour la} détermination du

_champ

_{électromagnétique,}

c’est un

tenseur

_{symétrique gauche}

du second ordre

_Fij.

On arrive à ce tenseur en considérant le

_transport

_parallèle

dans le sens Levi-Civita dans

_l’espace

vectoriel

_V5

as-socié à notre _espace

_V~,

dont la

_{métrique peut}

s’écrire

sous la forme

_(2"),

ou bien réduite à la forme

ca-nonique

qui

fait

_rapporter

cette

_métrique

à un

_système

de

_cinq

congruences

pseudo-ortogonales

de

_V;5,

_{précisément}

quatre

congruences

pseudo-orthogonales

de

V4

et une

cinquième

congruence normale à

V4.

En

effet,

si l’on

désigne

par vl,

v’, ...,

v5 les

_composantes

d’un vecteur contrevariant

_(v)

sur les

cinq

congruences

pseudo-orthogonales

de

V5,

le

_transport

_parallèle

de ce vecteur

lelong d’un

chemin infinitésimal

_tangent

à =

_0),

qui

sont les seuls chemins

_possibles

au

_point

de vue

physique,

est _{défini par les}

_équations

où les cofficients de rotation de nos

_cinq

con-(1) Voir aussi 0. KLEIN. Quantentheorie und fünfdimensionale

Relativitâtstheorie,

Z. _Physik, 1926, 37, p. 895.

gruences

pseudo-orthogonales

sont _{déterminées par les}

formules

_(14).

Parmi ces coefficients de rotation

_,1?),

les cofficients

*1

_

(h, k, 1,

)

sont _{bien déterminées par la}

_métrique

de

V,,

tandis que les autres cofficients de rotation

-*k ,

.

Ï51

qui

interviennent aussi dans le

_transport

_parallèle

(29),

ne

_{sont pas}

déterminés si la

_forme

ds5

définie

_{par la}

formule

(3)

n’est pas donnée. En tout cas, on

_peut

re-marquer que si l’on

applique

le

_transport

₍₂₉₎

à un

vecteur

_{tangent vb}

_{= 0),}

ce vecteur resterait un vecteur

_tangent

le

_long

du

_transport

si l’on avait les

formules

Nous supposons que cela ne _{soit pas} en

_général

le cas, mais

_qu’un

vecteur

_tangent,

_qu’on

_peut

_supposer

uni-taire,

reste

tangent

à

_V4-,

s’il est

_transporté

le

_long

de

sa _propre

direction;

nous _{supposons donc}

_qu’on

a

où

_{u’ , u2, ul,}

U4 sont les cosinus _{que le vecteur fait}

avec les congruences

_{pseudo-orthogonales}

_{de V4}

et ds la

_longueur

du

_déplacement

_dsl,

ce

_qui

constitue la

con-dition III d’E. et M. Dans ce cas ces formules

_(29’)

nous

montrent que les

composantes

-( *5

doivent satisfaire

aux conditions de

_{symétrie gauche}

et il suffit de considérer les

_projections

du tenseur

sur les directions du

_système

de variables

_(~x)

de

l’espace

temps

VI¡.,

pour arriver au tenseur

pris

par définition comme tenseur du

_champ

électro-magnétique.

Cela

_étant,

si l’on considère

_{l’hypersurface}

non hot lonôme

V4 ,

définie

_{dans V,}

_par

_{l’équation}

de Pfaff

_(28),

ayant

comme

_métrique

la

_métrique

de

_l’espace

_temps

V4

et comme normale la direction

_orthogonale

à

V~

dans

_V5,

cette

_hypersurface

non holonôme

_possède,

comme nous avons vu dans le

_{chapitre précédent,}

deux tenseurs du troisième

ordre,

le tenseur de la seconde forme

fondamentale,

qui

en vertu des conditions

₍₃₀₎

est en ce cas

_nul,

et le tenseur

_{d’intégrabilité}

_{wkl ,}

_qui

en vertu de cette même

condition,

s’écrit