Sur la représentation de l'équation d'ondes et l'évolution des grandeurs électromagnétiques dans la théorie du photon

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Sur la représentation de l’équation d’ondes et l’évolution

des grandeurs électromagnétiques dans la théorie du

photon

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR LA

REPRÉSENTATION

DE

_{L’ÉQUATION}

D’ONDES

ET

L’ÉVOLUTION

DES GRANDEURS

_{ÉLECTROMAGNÉTIQUES}

DANS LA

THÉORIE

DU PHOTON Par M. GÉRARD

_PETIAU,

Institut Henri Poincaré.

Sommaire. 2014 On _se

propose dans ce travail d’examiner quelques points de la théorie du photon de M. L. de Broglie d’une _{façon indépendante} de la représentation choisie pour les matrices intervenant dans l’équation d’ondes. Après avoir établi une _{expression générale} de la solution de _{l’équation} d’ondes

au cours du temps au _{moyen des} valeurs initiales des fonctions d’ondes données arbitrairement, on

examine la _{représentation électromagnétique} de _{l’équation} d’ondes en cherchant les _équations satisfaites par les coefficients du développement de la matrice du quatrième rang formée par les fonctions d’ondes,

sur le système complet des matrices déduit des matrices de Dirac. La solution _{précédente permet} alors

d’écrire simplement les expressions des _{grandeurs électromagnétiques} au cours du _temps dans l’onde plane à partir des grandeurs électromagnétiques initiales. On montre ainsi que la forme la plus générale de l’onde plane de la théorie du _{photon dépend} de huit constantes arbitraires et de _quatre seulement dans le cas de l’onde à énergie positive. Les expressions des grandeurs électromagnétiques permettent d’établir des relations _remarquables entre ces _{grandeurs précisant} la structure électromagnétique de l’onde _plane. On donne ensuite les _expressions des fonctions propres des opérateurs de spin correspondant à leurs valeurs propres + I, 2014

I et o et l’on montre que l’onde plane portant le spin + I ou -2014 I dans la

direction de _propagation est transversale tandis que l’onde portant le _spin O dans cette direction est

longi-tudinale. On examine la représentation des ondes planes dans ces différents cas.

1. Les solutions de

l’équation

d’ondes. - Dans

la théorie du

_photon

de M. Louis de

_{Broglie (1),}

l’évolution du

_photon

est déterminée par la

connais-sance d’un

_système

de seize fonctions d’ondes

~~~(x,

t)

satisfaisant simultanément à seize

_équations

d’évo-lution et à seize

_équations

de _{conditions que} l’on

peut

représenter

par les

systèmes

Si nous introduisons la masse

_{réduite P-}

=

~~

[1.0

r

si nous _posons

(1) Voir L. DE BROGLIF,, Nouvelles recherches sur la _lumière,

Paris, Hermann, et Cours professé à l’Institut Henri-Poincaré, 1937-1938 et _1938-ig3g.

les

_{systèmes (1)}

et

₍₂₎

s’écrivent encore

M. Louis de

_Broglie

a montré

_{qu’il y}

a bien

compa-tibilité entre les

_{systèmes (1)}

et

_(2).

Si nous

_{appliquons l’opérateur}

£ di

à

_{l’équation}

_(l’)

le

nous obtenons la

condition

Or en

_désignant

_par

_H~

et

_H2

les

_opérateurs

Nous avons

Nous en tirons

D’autre

_part

les fonctions

~t,,

doivent satisfaire

à la condition déduite de

_(z’)

414

Nous obtenons donc

1 _j

Les fonctions d’ondes satisfont donc aux

équations

du second ordre

Nous allons chercher les solutions des

_systèmes

₍₁₎

et

_{(2) qui}

se réduisent

_{pour 1}

= o à un

_système

de

fonctions initiales

données,

soient

_(x,

_y,

_z).

Nous _supposerons ces fonctions initiales

repré-sentables par des

_intégrales

de Fourier de la forme

Si les solutions cherchées sont

_également

repré-sentables _par des

_intégrales

de

Fourier,

nous _pouvons

écrire

Cette

_expression

substituée dans

_{l’équation}

₍₇₎

nous donne la condition pour les

4Ji,

(p, t)

Nous en tirons

k étant un scalaire déterminé par la

relation

Pour que les

fonctions

₍₉₎

dans

_lesquelles

(Dik

(p, t)

est

_remplacé

_par son

_expression

(10)

soient

solutions

des

_{équations (1’)}

et

_(2’),

les

_grandeurs

Aile

_(p)

et

Bill

(p)

doivent

satisfaire

aux

conditions

Dans ces

expressions Je 1

(p)

et Je 2

(p)

repré-sentent les formes linéaires

La

_{compatibilité}

des

_équations

des

_systèmes

₍₁₁₎

et

₍₁₂₎

résulte immédiatement de la relation

opéra-torielle

. Les conditions

(12)

et

₍₁₃₎

montrent _que l’on doit avoir

Sous cette

condition,

nous obtenons les solutions

Nous pouvons donc écrire la solution

générale

de

_{l’équation}

d’ondes

sous la condition

2.

_Équations

et

_grandeurs

_{électromagnétiques.}

- Les solutions satisfaisant

aux

_{équations (1)}

et

₍₂₎

forment une matrice carrée du

_quatrième

_rang

(i, k

= _{1, 2,}

3,

4).

Or on _{sait que} toute matrice carrée du

_quatrième

_rang

_peut

se

_développer

sur

un

_{système complet}

de seize

_{matrices hermitiques}

dérivé d’un

_système

de

_quatre

matrices az _{liées par}

les relations

Nous

_{représenterons}

ce

_système

_complet

_{par les}

matrices

_{y>(p =}

1, 2, ..., 1

16).

Nous poserons donc

les ~~ étant un

_système

de seize

fonctions.

Réciproquement,

nous _pouvons à

_partir

de

₍₁₈₎

exprimer

les ~~ au _{moyen des}

~a..

En

effet,

si nous

_multiplions

la relation

₍₁₈₎

par une matrice

déterminée,

nous obtenons

en

_désignant

_par

_(p’

= _r,

...,

15)

les matrices

du

_système

autres _que

_1’~

’" , . - - - - - -

... , / - -

--Si nous _{prenons la} trace de cette

_expression,

nous

obtenons en tenant

compte

du fait _{que trace}

_y?

= o

si

_yP

est une matrice

_quelconque

du

_système

autre

Le

_système

des

_{équations (1)}

et

_{(2), système}

en

peut

se

remplacer par

un

système

d’équations

en en utilisant

l’expression (18).

Nous obtenons en

_déplaçant

la sommation _{sur juL}

les deux

_systèmes

_{correspondant}

aux

_systèmes

_(1’)

et

_(2’),

Ces trente-deux

_équations

_peuvent

se

_représenter

par des relations liant directement les ~~~. Pour écrire

celles-ci,

nous allons

_préciser

la forme du

dévelop-pement

(18).

Les indices _{p, q,} r

_(p

_r)

variant

de i à

3,

nous _posons

’

La conservation de

(D,k

lorsqu’on

permute

deux oc,

ce

_qui

entraîne un

_changement

de

_signe

montre _que

la

_permutation

de deux indices consécutifs dans

un des

W/>’9,

ou doit

_changer

le

_signe

de cette

_expression.

Réciproquement,

nous tirons du

développe-ment

₍₂₂₎

En considérant les

_{équations (20)}

et

₍₂₁₎

et en

multipliant

successivement ces

_équations

_{par les}

seize matrices

nous obtenons en

_prenant

_chaque

fois la trace de

l’équation

obtenue

A

_partir

du

_{système (20)}

et

à

_partir

de

_{l’équation (21).}

Ces

_{(31) équations}

_peuvent

encore se

_répartir

en deux

_systèmes,

l’un de

_{quinze équations}

liant

les

_grandeurs

_{4>°, ~D/1,}

_{(D/11/1, ~DI,}

l’autre de seize

équations

liant les

_grandeurs

_ï~,

~1234

Si _{pour préciser} la forme de ces

_équations,

nous

posons

le

_premier

des

_{systèmes précédents}

s’écrit sous la

forme d’un

_{système d’équations}

maxwelliennes

tandis que le

second

système (système

non

maxwellien)

se

_représente

_par

Remarquons

que

réciproquement

les

équations

(26)

416

3.

Représentation

des

grandeurs

électromagné-tiques

dans l’onde

plane.

- Si _nous

nous bornons au cas de l’onde

_plane

_{monochromatique,}

la solution

de

_{l’équation}

d’onde donnée en

₍₁₆₎

sous la

condi-tion

_{(17) s’exprime}

au _{moyen des}

_F1m

_qui

dans ce cas sont des constantes. Nous avons alors

les

Fi,,,

satisfaisant aux conditions

Ces

_{équations qui}

traduisent des conditions sur

les

_amplitudes

initiales

_peuvent

_{également s’exprimer}

par des conditions sur les valeurs initiales des

gran-deurs

_{électromagnétiques.}

En

effet,

si nous

_multiplions

successivement les

équations

(31)

par les seize matrices

ytL

et si nous

introduisons les valeurs initiales des

_{grandeurs (29),}

nous obtenons les conditions

qui

entraînent

On voit sur ces _{conditions que si l’on}

_prend

_A°,

_E°,

10

et

_St

arbitrairement, SO,

HO, Vo

et

_I;

seront

déterminés.

Les conditions

_{(31) restreignent}

donc de seize

à huit le nombre des

_grandeurs

initiales

indépen-dantes que l’on

_peut

se donner arbitrairement _pour

représenter

les solutions

_(30).

La solution onde

_plane

la

_plus

_générale

_(comportant

à la fois un terme à

_énergie

_positive

et un terme à

énergie négative) s’exprime

donc en fonction de huit constantes arbitraires.

La relation

_{(30) qui}

donne les valeurs des fonctions d’ondes au cours du

_temps

en fonction de leurs

valeurs initiales est

_équivalente

à un

_système

de

relations

_qui

nous donnera

_{l’expression}

au cours

du

_temps

des

_{grandeurs électromagnétiques}

(maxwel-. liennes et non

maxwelliennes)

en fonction des

grandeurs électromagnétiques

initiales.

En

_effet,

si nous

_{multiplions (30)}

_par une matrice

1 . ;

et si nous _posons

nous avons

T

En

_prenant

_pour ~~, les seize matrices

yc,

nous

obtenons

Si nous tenons

_compte

maintenant des

condi-tions

₍₃₂₎

sur les valeurs initiales ces

expressions

des

_{grandeurs électromagnétiques}

se ramènent à

Nous aurons les

_expressions

des

_grandeurs

corres-pondant

à une onde à

_{énergie positive}

seulement

si nous écrivons que les coefficients de P- sont tous

On obtient ainsi les conditions

Mais ces conditions ne sont _pas

_{indépendantes}

et

on

_peut

voir facilement

_qu’elles

se réduisent à

deux,

soient

/ 1

Ces conditions déterminent les

_{quatre grandeurs}

initiales E° et

_S°

en fonction de A° et de

7~.

Par suite nous _{pouvons exprimer} les _seize gran-deurs

_{électromagnétiques}

dans l’onde

_plane

à

_énergie

positive

en utilisant seulement

_quatre

_grandeurs

initiales arbitraires.

Réciproquement

les seize

_amplitudes

de la solution

onde

_plane

à

_énergie

_positive

des

_équations

du

_photon

s’exprimera

au _moyen de

_quatre

constantes arbi-traires seulement

_(2).

On retrouve ainsi les résultats établis directement par M. Louis de

_Broglie.

Si nous

_{représentons}

les

_grandeurs

électroma-gnétiques

au _moyen des

_grandeurs

initiales A° et

Ig,

nous obtiendrons

4. Relations entre

_grandeurs

_{électromagnétiques}

dans l’onde

plane.

- Si _nous considérons les

expres-sions

₍₃₈₎

donnant les

_grandeurs

_{électromagnétiques}

dans l’onde

_plane

à

_{énergie positive,}

nous _voyons

que p et I~ sont

_{proportionnels}

_{respectivement}

à S et à

₅₄

si

_I,

est différent de zéro

n Il

Si nous éliminons alors p et

k,

entre les

expres-sions

_(38),

nous obtenons des relations liant les

grandeurs électromagnétiques

entre elles.

Nous avons ainsi

Ces relations entraînent

(2) On remarquera toutefois que dans la théorie du photon

de M. L. de Broglie les grandeurs électromagnétiques sont

complexes. Par suite il reste en fait huit _arbitraires, les quatre

modules et les _{quatre phases} des _grandeurs initiales choisies arbitrairement.

Ces relations

_permettent

de construire dans la

théorie du

_photon

les

_grandeurs

E et H connaissant

les deux

_{quadrivecteurs}

_{(A, V), (S,}

₅₄₎

et l’invariant

I,

dans l’onde à

_énergie

_positive.

Dans le cas de l’onde

_{plane plus}

_générale

compor-tant à la fois des termes à

_{énergie positive}

et des termes à

_énergie

_négative,

les relations

_{précédentes}

ne se vérifient

_plus

toutes.

En

effet,

si nous considérons les

_{expressions (36),}

nous _{voyons que p} est encore

_{proportionnel}

à Î,

I2

mais k n’est

_{plus proportionnel}

à

’4.

12

On voit

_facilement

_{que l’on} a encore dans les

grandeurs

(36)

’

d’où l’on tire

d’où

Nous avons encore

Mais les autres relations doivent se

_compléter

par des termes où

figurent

les valeurs initiales.

Nous avons ainsi

5.

_Spin

et

_{polarisation.}

- Dans la théorie du

photon

de M. Louis de

_Broglie,

le

_spin

est défini

au _{moyen des} trois

_opérateurs

Si nous

_désignons

_par

_A,,

la matrice de

_spin

on voit facilement que les matrices

_A,,

satisfont

à la relation

_A,,

=

A;;

et que par suite les valeurs propres des matrices

Aj,

sont +

i, -

I et o.

Les fonctions _propres

_{correspondant}

à ces valeurs

propres seront des fonctions

p~,

ce- et po telles que

En cherchant les solutions de ces

_équations,

on

voit que

9+

et 9-

peuvent

se

_représenter

_par

Les

indices l,

m

_indiquent

_qu’il

_y a

_{dégénérescence.}

En

_effet,

on

_peut

_{remarquer que les matrices}

_,4j,

418

propres -

i et huit valeurs propres zéro. Mais les

indices 1,

m varient chacun de I

à ;

et les

expres-sions

_{(46) représentent}

chacune seize fonctions solutions. Ces solutions ne sont _{pas toutes}

accep-tables étant soient

_nulles,

soient non

_{indépendantes.}

On

_peut

montrer effectivement

_qu’elles

se ramènent

à

_quatre

fonctions non nulles seulement

_lorsque

A est

diagonale

et _{que les} fonctions sont des combinaisons linéaires de

_quatre

d’entre elles dans les autres cas.

Nous conserverons néanmoins les fonctions

_(46).

Pour les fonctions propres

correspondant

aux

valeurs

_zéro,

nous devons tenir

_compte

de leur

répar-tition en deux

_catégories

suivant

_qu’elles

corres-pondent

aux valeurs _propres

+

I ou - I des

matrices

_{B,, complémentaires}

des

_A,,

soient

Nous avons ainsi les _{fonctions propres}

corres-pondant

aux _{valeurs propres} zéro de

_AI)

T Il

On voit _{facilement que} les fonctions

₍₄₆₎

et

₍₄₇₎

satisfont aux

_{équations (45)}

et sont

_orthogonales

entre elles en tenant

_compte

des relations

i ~ w ~ 1 1 r~ Il- .

Si nous

_développons

la fonction d’onde sur les

fonctions propres d’un des

_opérateurs

de

_spin

_par

exemple

sur les fonctions _propres de

S;:,

nous _pouvons

écrire

l’orthogonalité

et la normalisation des fonctions propres nous donnent alors

Nous pouvons remarquer que conformément aux

théorèmes

_généraux,

nous avons bien

Si le

_photon

se trouve dans un état _pour

_lequel

le

_spin

dans la direction de l’axe OZ a certainement

soit la valeur -!- I, soit la valeur -

I

(état

maxwel-lien)

les conditions

doivent être satisfaites simultanément.

De même si le

_photon

se trouve

_uniquement

dans

un état pour

_lequel

le

_spin

dans la direction de

l’axe OZ a certainement la valeur zéro

_(état

non

maxwellien),

nous devons avoir

Les conditions

₍₅₁₎

et

₍₅₂₎

_portant

sur les

peuvent

se

_remplacer

_{par des} conditions sur les

grandeurs électromagnétiques.

Il nous _{suffit pour}

cela de

_multiplier

les

_expressions

de C°+ et de

CI-ou de C+ et _{de Cv- par} les matrices du

_système

_y et d’annuler les relations obtenues.

Si

_désigne

une telle

_matrice,

les relations

₍₅₁₎

et

₍₅₂₎

nous donnent

Les conditions

₍₅₃₎

de l’onde

_maxwellienne

sont

identiquement

satisfaites si

De même les conditions

₍₅₄₎

de l’onde de

_spin

nul sont

_{identiquement}

satisfaites si Il nous reste alors les conditions :

I° _{Pour que l’onde soit}

maxwellienne, B

étant

tel aue 1~ = 0" B

20 Pour _{que l’onde} soit à

_spin

nul, B

étant tel que Ao-

4-

= _o,

Or si c- =

Írllrl2

les matrices A commutant _avec

v=

sont :

tandis que les

matrices

-1=

anticommutant avec o-r

sont :

Les relations

₍₅₅₎

et

₍₅₆₎

nous donnent alors les conditions

_qui

doivent être satisfaites dans les

ondes

_(M)

ou

_(N)

soient :

Par suite dans l’onde

_{maxwellienne,}

les seules

grandeurs

non nulles sont les

_grandeurs

Le

_spin

_ayant

les valeurs

₊

i ou - i suivant

la direction

OZ,

si cette direction est

_prise

_pour

direction de

_propagation,

on voit _que toutes les

perpendiculaire

à cette direction. Par suite l’onde

maxwellienne est une onde totalement transversale. Au contraire _{pour l’onde} de

_spin

nul dans la direc-tion

OZ,

les seules

_grandeurs

non nulles sont :

(H=

et

_Il

sont

_également

_nuls,

mais

_d’après

les

équations

générales).

Ces

_grandeurs

sont soit des

scalaires,

soit

_dirigées

suivant la direction de

_{propagation (OZ).}

Par suite l’onde de

_spin

nul est totalement

longilu-dinale.

Nous allons maintenant étudier

_plus

en détail

la

_{représentation}

des ondes

_(M)

et

_(N)

dans le cas

de l’onde

_plane.

6.

_{Représentation}

de l’onde maxwellienne.

-L’axe OZ étant

_pris

_pour direction de

_propagation

les

_{cinq grandeurs}

non

_{électromagnétiques}

sont nulles. De

_plus

expriment

la transversalité des

_champs

et du

poten-tiel vecteur.

Les

_grandeurs

non nulles dans l’onde

_plane

se

représentent

alors par

Ces six

_grandeurs

non nulles

_{s’expriment}

donc

au _{moyen de}

_{quatre grandeurs}

initiales arbitraires

seulement

_{(A", A",}

_{E z.,}

_{E ~ ).}

Réciproquement

l’onde

4~,k

maxwellienne

_s’exprime

au _{moyen de}

_quatre

constantes seulement.

Si l’onde est

_uniquement

à

_{énergie positive,}

nous

avons en outre les conditions

et les

_{grandeurs électromagnétiques}

se réduisent à

Ces

_grandeurs

_{s’expriment}

seulement au _moyen

de deux

_grandeurs

initiales arbitraires seulement.

Réciproquement

les

_amplitudes

de l’onde

_plane

à

énergie positive

portant

un

_spin

₊ I ou - i dans

la direction de

_propagation

_{s’expriment}

au _moyen de deux constantes arbitraires seulement.

Si de

_plus

le

_spin

a certainement une de ses valeurs,

soit + I _{par exemple,} nous avons

_Cl",

= o relation

qui

se traduit

_par

_. ~ ~

et nous donne les relations entre

_grandeurs

électro-magnétiques

Au contraire si le

_spin

a la valeur _propre - i

nous avons la condition

_{C 1;/1}

=

o, d’où

Si le

_spin

a la valeur

₊

I, les conditions

précé-dentes donnent dans l’onde

_plane

à

_{énergie positive}

Ces

_grandeurs

_{s’expriment}

au _{moyen d’une seule}

constante arbitraire.

_{Réciproquement}

les

ampli-tudes de l’onde

_{s’expriment}

au _moyen d’une

seule constante.

7.

_{Représentation}

de l’onde non maxwellienne

(spin

0).

- Les

grandeurs

transversales sont toutes nulles. Les seules

_grandeurs

restantes dans l’onde

_dirigée

suivant OZ sont :

Ces

_{grandeurs s’expriment}

dans l’onde

_plane

par

Ces

_{grandeurs dépendant}

de

_quatre

constantes initiales

_arbitraires,

les

_amplitudes

4Y,»

dépendent

également

de

_quatre

constantes arbitraires.

Si en

_particulier

l’onde se réduit à une onde à

énergie positive,

il reste

Les

_amplitudes

_dépendent

alors de deux

cons-tantes arbitraires.

En terminant

_je

tiens à remercier M. le Professeur

Louis de

_{Broglie pour la bienveillante attention qu’il}

a accordée à ce travail.

’