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Sur la théorie générale des corpuscules élémentaires et la
théorie du photon
Gérard Petiau
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ETLE RADIUM
SUR LA
THÉORIE
GÉNÉRALE
DES CORPUSCULESÉLÉMENTAIRES
ET LATHÉORIE
DU PHOTONPar GÉRARD PETIAU. Institut Henri Poincaré.
Sommaire. 2014 Dans le but de faire rentrer la théorie du
photon de M. Louis de Broglie dans le cadre de
la théorie structurale des corpuscules élémentaires, on établit les bases d’une théorie corpusculaire
géné-rale appliquant les principes de la mécanique ondulatoire tout en suivant un formalisme voisin de celui de
la théorie électromagnétique classique. Le cas de l’équation d’ondes de l’électron de Dirac étant écarté,
l’étude du cas le plus simple permet de retrouver d’une façon très générale la théorie du photon de
M. Louis de Broglie sous ses deux aspects corpusculaire et électromagnétique sans nécessiter de
spécialisa-tion des matrices servant à représenter le système des équations d’ondes.
SÉRIE V~I. - TOME X. ~T° 12. DÉCEMBRE 1939.
Nous nous proposons dans ce travail de
développer
une théorie ondulatoire des
corpuscules
élémen-taires
permettant
de faire rentrer la théorie duphoton
de M. Louis deBroglie
dans le cadregénéral
de la théorie structurale deséquations
d’ondescorpusculaires.
Notrepoint
de vue toutefoiss’ap-puiera
sur deshypothèses
assez différentes de cellesque M. J. L. Destouches
(1)
introduit dans ses travaux etplus
restrictives que celles que nousavions
posées
dans notre thèse(2).
Nous seronsamené ainsi à étudier dans un cas défini sans
ambi-guïté
un seultype
d’équation
d’ondes. Néanmoinsdes extensions
possibles
de notre théorie conduisant à lareprésentation
decorpuscules
plus
généraux
se déduiraient facilement des
principes
que nousprenons pour base.
I. Les
principes généraux
de la théorie des
corpuscules
élémentaires. 1. Nous admettrons d’abord que lareprésentation
d’un
corpuscule
en état de mouvement doit s’effectuerau moyen d’un
système
de fonctions d’ondes4~i(x,y,z,t)
dépendant
toutesexplicitement
dutemps.
Cettehypothèse
n’est évidemmentjustifiable
que pour des états de mouvementproprement
dit et non(1) J. L. DESTOUCHES, Les électrons lourds (Paris,
Her-mann, 1938).
(2) G. PETIAU, Contribution à la théorie des équations
d’ondes corpusculaires, Thèse, Paris, 1936.
pour tous les états du
corpuscule.
Elle n’est pasacceptahle
pour des étatssinguliers
tels que desétats d’annihilation pour
lesquels
lecorpuscule
perd
son individualité.Notre théorie
ayant
pour but de rechercher deséquations
d’ondesrégissant
une évolution des états de mouvement, nous nepostulerons
pas apriori
l’existence d’états d’annihilation.2. Nous admettrons
également
que les fonctions d’ondes tD(x,
y, z,t)
sont des solutions d’unsystème
linéaired’équations
aux dérivéespartielles
dupremier
ordreassujetties
aux conditions ordinaires ’d’être
finies,
uniformes et continues et de carréssommables.
Nous
représenterons
cesystème
parl’équation
Nous posons
A," A 4 représentent
quatre
matrices carréeshermitiques
dont nous neprécisons
pas le rang. 3. Nous admettrons encore pour retrouver la relation relativisteclassique
liantl’énergie,
l’impul-sion et la masse488
tout au moins dans le cas limite où
l’énergie
etl’impulsion
sont biendéfinies,
c’est-à-direlorsque
lecorpuscule
estreprésentable
par une ondeplane
àénergie positive,
que toutes les fonctions d’ondescorrespondant
à des états de mouvement satisfontà
l’équation
d’ondes du second ordre,
Cette
équation
du second ordre n’estévidem- ,
ment pas la seule àlaquelle
doivent satisfaireles 4J,.
En
eff et,
en itérantl’équation (1),
nous obtenonsSi l’on admet que les
équations (2)
et(3)
entraînent l’identité entreopérateurs
on est conduit à
prendre
pour H unopérateur
linéarisant à +
it2. Un telopérateur
estnécessai-rement de la forme
an. 1 CX4 étant liés par la relation
L’équation (1)
se réduit alors nécessairement àl’équation
de Dirac.Ce résultat
pourrait
d’ailleurs être obtenu d’unefaçon
différente. J’ai en effet montréprécédem-ment
(i)
que si l’on considère uneéquation
linéaire de la forme(i),
le seul cas où cetteéquation
consi-dérée seulepeut
conserver sa forme si les coordonnées subissent une transformation de Lorenz estpréci-sement le cas ou
l’équation
considérée se réduit àl’équation
de Dirac. Dans tout autre cas pourqu’une équation
d’ondespuisse
conserver une forme,
invariante,
il est nécessaire
(mais
évidemmentnon
sufl’isant)
que cetteéquation
s’écrive - sous laforme
une matrice
Ao
figurant
devantl’opérateur
dl,
c’est sous cette forme
(5)
quej’ai
étudié deséqua-tions d’ondes
générales
dans ma thèse et c’està ce
point
de vue que s’estégalement placé
M. J. L.Destouches dans ses travaux de
physique
struc-turale. Je serai d’ailleurs conduit ultérieurement
dans cette étude à retrouver pour
l’équation
d’ondes que nous étudierons unereprésentation
de la forme(5).
Néanmoins,
pourl’instant,
nous admettrons queles ondes (Di satisfont a un
système
d’équations
de la f orme(1) Thèse, p. 3 ~.
Nous pouvons remarquer que l’identification
(4)
n’est pas
imposée
dans tous les cas. Eneffet,
leséquations
(2)
et(3)
ne sont des conditionsqu’à
l’égard
des fonctions d’ondes. Elles nous conduisentà poser
-mais
n’imposent
pas l’identification desopérateurs.
Cette remarquepeut
s’illustrer d’unexemple
bien connu : si l’on considère lareprésentation
classique
des
équations
de Maxwell dans le videl’opérateur
H est le rotationnel dont l’itéré n’est pas lelaplacien
et néanmoins
l’équation (2)
(où ~
= o)
estsatis-faite par les
champs.
La
possibilité
de ce fait tient à ce que l’onadjoint
ausystème d’équations
d’évolution(1)
unsystème
supplémentaire d’équations
de conditions de la f ormeBp,
B4
formant unsystème
de matrices carréeshermitiques.
Si nous admettons que les fonctions
~l
satisfont enplus
de(1)
à unsystème
de la forme(7),
lesopérateurs
H et H’ ne sont pas totalementindé-pendants.
Les deuxéquations (1)
et(7)
devant êtrecompatibles,
lesopérateurs
H et H’ doivent êtretels que
Dans la théorie
électromagnétique classique,
l’opé-rateur H~ est
l’opérateur divergence
et lacondi-tion
(8)
est satisfaite en raison de l’identitéSi nous considérons maintenant un nouvel
opé-rateur diff érentiel linéaire soit K tel que
nous pourrons déduire de
l’équation
de condition(7)
une nouvelle
équation
du second ordre vérifiéepar
(D,
soit---Cette
équation
considérée simultanément avecl’équation
nous donnera une
équation
du second ordreégale-ment vérifiée par les (Di soit
Nous admettrons
qu’il
existe unopérateur
K de telle sorte que cetteéquation,
étant satisfaite parles
4J,,
entraîne l’identité entreopérateurs
condi-tion HH’ = o va nous
permettre
d’établir un cer-tain nombre d’identités entreopérateurs.
L’équation (12) multipliée
à droite par H donneimmédiatement
La
multiplication
àgauche
de(12)
par H donnealors
... """7"" ...1 / . ",
En
particulier,
si K et H’ commutent ouanti-commutent, la dernière relation nous donne
d’où nous tirons
Nous pouvons remarquer que les relations
(12),
(13), (14)
et(15)
sont vérifiées dans la théorieélectromagnétique
de Maxwell. Maislà,
nous n’avonspas KH’ == ± H’K
(H’
=div,
K =grad, H
=Rot)
et nous n’avons pas HH’ = o.
La relation
(13)
dans le cas où les fonctions d’ondes sontreprésentées
par une ondeplane
monochromatique
telle quenous
donne,
par substitution dansl’équation
la relation
Par suite
l’opérateur d’énergie d, comprendra
nonseulement des états
d’énergie classique
définis àpartir
de laquantité
de mouvement par larela-tion
---- - .
mais encore des états
d’énergie
nulle W = o.La linéarisation de la relation
opératorielle
ne suffit pas en
général
pour déterminer lesma-trices
A,
(~.
_1, 2, 3,
!~).
Si l’on effectue cette linéarisation on voit faci-lement que les matrices
A ~
sont telles que(AlL)3==A¡;.
et si nousdésignons
par A(li,
v)
l’expression
satisfont à la relation
Remarquons
quejusqu’ici,
nous n’avons pas tenucompte
des deuxprincipes
directeurs de touterecherche
d’équations
d’ondes,
l’invariance rela-tiviste et l’attribution aucorpuscule
d’unspin
déterminé.De
plus,
la théorie que nousdéveloppons
ici ne fait intervenirqu’une équation
de condi-tion~H’ ~
=o)
une théorieplus
générale
ferait intervenirplusieurs équations
de condition.Nous ne donnerons
qu’une
esquisse
des bases de cette théoriegénérale.
Si un
corpuscule général
estsusceptible
deplusieurs
étatsmassiques auxquels
correspondent
des nom-bresÀ1, ~2, - - "
Àn,
l’opérateur
hamiltonien devrasatisfaire à une
équation caractéristique
de laforme
aux différents
opérateurs Hl, H2,
..., 1 Hnlinéari-sant
f (H) correspondent
deséquations
d’ondes telles quesi un seul état
énergétique
W2 =p2
+À7
est réalisénous devrons avoir
L’opérateur (H;)2 complété
donnera la relationopératorielle
Nous aurons
également
unsystème d’équation
decompatibilité
entreopérateurs
II.
Application
à la théoriegénérale
duphoton.
1. Forme del’équation
d’ondes. - Lesdévelop-pements
précédents
nous conduisaient à intro-duire troisopérateurs
H,
H’ et K. La théoriecor-pusculaire
de cetype
laplus simple
sera celle oule nombre
d’opérateurs
fondamentaux est réduità
deux,
l’opérateur K
étantidentique
à H’.Nous avons alors
H et H’ satisfont alors
indépendamment
aux rela-tionsNous pourrons
préciser
la forme de ces490
Les
opérateurs
R(a) et H(b) sont alors tels que.
Ces identités nous montrent que H(a) et H(’,) sont
deux linéarisations
indépendantes
del’opérateur
,
,Nous pourrons donc poser
Les a, et
~
sont alors liés entre eux par lesrela-tions
Réciproquement,
les~1,~
etB, s’expriment
parAu moyen de ces
expressions,
nous pouvons établirdes relations liant directement entre eux les
As
et
B,-
sans passer par l’intermédiaire des ~ etb,.
Nous obtenons facilement les relations
Ces relations
permettent
de calculer directementsur les
A,
et lesB~,.
Mais onpeut
remarquer que lesproduits
lesplus
simples
desA,,
et.8~,
ne sont pasen
général hermitiques.
Nousreprésenterons plutôt
les matrices dérivées des a~, et
blf
par unsystème
de matrices A et Bplus général
enposant
Les matrices de cette forme satisf ont- à des lois de combinaisons très
simples.
Endésignant
par a,
b,
..., p, q, ... les groupes d’indices(i,
j, k),
(1,
m,n),
..., nous aurons2. Forme relativiste et invariance relativiste de
l’équation
d’ondes. - Lesystème
peut
êtreremplacé
par un nouveausystème
équi-valent au
premier
enmultipliant
ceséquations
d’une
part
parA4
etB4
et d’autrepart
parB4
etA4
et enajoutant
ou retranchant leséquations
obtenues. On obtientainsi,
en utilisant lesrègles
demulti-plication (24)
les deuxsystèmes
Ces deux
systèmes
sontéquivalents,
car le secondse déduit du
premier
parmultiplication
par la matriceA1 = a" b,¡.
Mais tandis que toutes les matrices dupremier
sonthermitiques,
les matricesB4
et
A4
du second sontantihermitiques.
Posant alors
le
système (27)
se réduit aux deuxéquations
Les
systèmes
(26)
et(28)
se réduisent chacun àune seule
équation
car la seconde estnécessaire-ment vérifiée si la
première
l’est.Si nous considérons par
exemple
lapremière
des
équations (28)
et si nous lamultiplions
àgauche
par
l’opérateur
del’équation (282),
nous obtenonsOr,
en raison des relationsle
premier
membre est nul etl’équation (28,)
entraîne
c’est-à-dire
l’équation (28,).
Nous pourrons donc nous
borner,
pour l’étudedes états de mouvement, à
l’équation
ou encore à la forme relativiste
quadridimention-nelle
Nous allons maintenant examiner comment se
transforment les
(Di
lorsque
les coordonnées subissentCette étude
peut
se faire indifféremment àpartir
deséquations
(26)
ou(28).
Si l’on considère
l’équation (281) [l’équation (28,)
en est uneconséquence]
et si les coordonnées subissent la transformationgénérale
de Lorentzreprésentée
par la rotation
quadridimentionnelle
avec
l’équation
d’ondes pourra conserver sa forme sil’on
peut
trouver une substitution linéaire S telle queles fonctions d’ondes du second
système 1>’ (x’ ,y’ ,Z’ ,t’)
se déduisent des fonctions d’ondes du
premier
système 6b (r,
y, z,t)
par la relation 4J’ = S1>, S
étantsolution de
l’équation
Pour résoudre cette
équation,
on passe aux trans-formations infinitésimales enposant
La condition
(29)
devient alorsLa
première
des relations(23)
permet
deremplacer
le second membre parl’expression
On en déduit par identification
’
d’où
Dans le cas de
l’équation (26),
l’absence desymé-trie entre les coordonnées
d’espace
et letemps
oblige
àséparer
la rotation des axes de coordonnéeset la transformation de Lorentz
proprement
dite. On trouve dans ces deux cas les transformationsinfinitésimales suivantes :
10 Rofation des axes de coordonnées
d’espace
(angle eu)
2°
Trans f ormation
de Lorentz(argument
y définiLes ondes (D se transformant suivant la loi 6b’ = S 6b
et S
dépendant
des matricesru,,,
il en résulte quel’on ne
peut
accorder aux ondes (D une variancetensorielle déterminée.
Néanmoins,
nous pourronsmontrer
qu’il
existe des combinaisons linéairesdes (D
possédant
des variances tensoriellesdéter-minées. Mais
auparavant,
nous allonspréciser
lerang des matrices
A,
our~,.
Les matrices a,,
ba
étantindépendantes,
si nousdéfinissons des matrices a~,,,, auv,
ba,,,,
bIJ_’i’:J’
...l’indépendance
dessystèmes
a;,,et’b,
entraîne
Or,
les relations d’anticommutation entre au etz
montrent que l’onpeut
définir avec lesquatre
a, unsystème
complet
de 16matrices,
avec lesquatre
6~
unsystème complet
de 16 matrices. Nous pourronsdonc par combinaison
des a,..
etb,
former 256 matricescontenant tous les
produits possibles
entre ~ etb,
et par suite entreA,,
et.B~.
Ces matricesconsti-tueront un
système complet.
Si nous voulons
représenter
une matrice donnée arbitrairement soitMUL
sur cesystème
selonnous devrons pour déterminer les
Cl~1---"P...
résoudre unsystème
à 256 inconnues. Si le déterminant de celui-ci n’est pas nul il faudradisposer
de 256équa-tions.
Or,
celles-cicorrespondent
aux différentesvaleurs de i et de k. Par suite
Mik
étant une matricecarrée,
i et k devront varierrespectivement
de i à16 et les matrices
~9;,,.,
a; ~,., a,,~...b,,~
seront du 16e rang.1 .
Nous pourrons
alors,
en utilisant un doublesystème
d’indices variant de i à4,
représenter
les ay et
b,
par les notations et’
les et
f3[J.
étant des matricesdu 4e
rang.Les
r,
etJ,,
sereprésenteront
alors parles y, et
y’~,
étant deuxsystèmes
de matrices du4 e
rang, lesindices, i, k, l,
m variant de i à4.
3.
Représentation électrom agnétique
del’équa-tion d’ondes. - Si nous
représentons
maintenant l’onde 6b au moyen d’un groupe de deux indicesi,
k,
variant chacun de i
à It,
s’il existe des combinaisonslinéaires
possédant
une variance tensorielledéter-minée,
celles-ci sereprésenteront
sous la formeA" étant une matrice.
Si nous cherchons par
exemple
àquelle
condi-tionreprésente
uninvariant,
nous aurons492
ce
qui
exige
ou encore
yv,,, désignant
la matricetransposée
dey~,.
OrM. Pauli a montré que si l’on considère deux
systèmes
de matrices tels que
il existe une transformation S non
singulière
telleque
et que d’autre
part,
il existe une matrice 73 tel1eque
Si nous remarquons que
la condition
(31)
devientSi nous posons
il vient
doit donc être une matrice commutant
avec tous les
c’est-à-dire,
soitcommutant,
soit anticommutant avec tous les y,,.
Deux solutions sont
possibles
nous en tirons les deux valeurs de AA
qui
nouspermettent
de former les deux combinaisons linéaires invariantesSi nous cherchons les matrices A~ telles que les combinaisons linéaires se transforment
comme des
composantes
de vecteur, nous avonson doit alors avoir
d’où
cette relation ne
peut
être satisfaite que si R-’-1> .anticommute avec les ¡¡;.v et si
’
~ -’ ~1,L doit alors soit commuter avec yÎ et
anticom-muter avec tous les y,,, soit anticommuter avec y,, et
commuter avec tous les Y’I’ La
première
alternativene
peut
être réalisée que si W’_1 u =