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Submitted on 1 Jan 1957
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L’électromagnétisme non linéaire et les photons en théorie fonctionnelle des corpuscules
Florence Aeschlimann, Jean-Louis Destouches
To cite this version:
Florence Aeschlimann, Jean-Louis Destouches. L’électromagnétisme non linéaire et les photons en
théorie fonctionnelle des corpuscules. J. Phys. Radium, 1957, 18 (11), pp.632-637. �10.1051/jphys-
rad:019570018011063200�. �jpa-00235721�
L’ÉLECTROMAGNÉTISME NON LINÉAIRE ET LES PHOTONS EN THÉORIE FONCTIONNELLE DES CORPUSCULES
Par Florence AESCHLIMANN et Jean-Louis DESTOUCHES,
Institut Henri-Poincaré, Paris.
LE JOURNAL PHYSIQUR 18, 195i,
1. Introduction.
-Mie [1] puis Born et
Infeld [2] ont défini un électromagnétisme non linéaire ; nous nous proposons de montrer qu’on
retrouve les équations fondamentales de cet élec-
tromagnétisme à partir de la théorie non linéaire
du photon définie par l’un de nous [3]. Les équa-
tions de Mie sont les équations de Maxwell écrites
en distinguant les champs des inductions, la liaison
entre ceux-ci étant non linéaire :
Il est commode de poser avec Heisenberg et
Born
MI est la densité de moment magnétique et T la
densité de moment électrique. S’il n’y a pas de
~ ~
charges présentes, JTt et e sont les Polarisations
du vide, j et s sont la densité du courant, et la densité de la charge liées à la polarisation.
2. Théorie non linéaire du photon.
-Les équa-
tions fondamentales sont
Q-4 et QB désignant les termes non linéaires, les équations du photon de M. Louis de Broglie étant :
Certaines combinaisons linéaires des équa-
tions (12) nous donneront des équations électro- magnétiques et celles-ci seront non linéaires par suite de la présence des termes non linéaires QA
et QB. Ceci fournira une base pour l’unification de la théorie des photons avec l’électromagnétisme
non linéaire.
Pour abréger nous définirons un opérateur
linéaire Q par la condition suivante : si F est un
opérateur et u la fonction d’onde physique d’un photon nous poserons
où .K est la constante de M. Louis de Broglie [4]
Nous poserons aussi
Les quantités 03A6ik F Oz de M. Louis de Broglie apparaissent comme des éléments de matrice de transition et 03A6ik
=dik est considérée comme une
fonction d’onde du photon correspondant à l’état
d’annihilation. Avec les ondes physiques u, une telle interprétation ne peut plus être donnée et l’opérateur sa a pour effet de définir certaines combinaisons linéaires de fonctions d’ondes uik.
Considérons les équations fondamentales (12).
Si Ai et Bi sont les opérateurs déduits des a de Dirac par fusion, en multipliant à gauche par de tels opérateurs (12), on obtiendra des combinaisons linéaires de ces équations soit :
A ces équations nous pouvors appliquèr répa-
rateur n et nous obtiendrors des équations déri-
vées des équations (12) :
Nous pouvons prendre aussi des demi-sommes
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019570018011063200
633 et des demi-différences de ces équations, soit :
le même signe + ou
-étant pris dans les deux
membres.
.
Le signe + fournira les équations maxwelliennes,
tandis que le signe
-fournira les équations non
maxwelliennes correspondant à l’état de spin nul
que nous laisserons de côté ici.
3. Les identités de M. Louis de Broglie.
-M. Louis de Broglie [5] a obtenu dans sa théorie
du photon 6 identités qui résultent de la forme des
cpérateurs Ai et Bi. Comme ces identités sont indé- pendantes du fait que les fonctions (Dik obéissent
ou non à des équations d’ondes, elles seront encore
valables ici.
Ai et Bi désignant des opérateurs for.damer.taux du photon, posons
Les 6 identités de M. Louis de Broglie sont :
4. Obtention des équations microscopiques de l’électromagnétisme non linéaire.
-Partons des
équations fondamentales (12) et multiplions-les respectivement par Ai et par Bl. Appliquons l’opérateur 62 à la demi-somme des équations
obtenues. Posons comme dans la théorie du photon
de M. Lcuis de Broglie
et
De la définition de Q on a
En vertu des définitions et des propriétés pré- cédentes, on obtient l’équation
à condition de poser
Si nous multiplions les équations (12) par A2 ou A., nous obtiendrons des équations de même forme
en y et z. Posons :
nous obtenons l’équation
Inéquation (5) de l’éjectromagnétisme peut être
~
prise comme définition du champ électrique E ;
nous poserons donc :
il reste alcrs l’équation
~
Si les termes non linéaires QE étaient nuls, nous
obtiendrions pour cetté équation la seconde défi-
~
nition due de M. Louis de Broglie [6]. Mais QE est
non nul et il traduit l’influence de l’extérieur sur les
caractéristiques internes du système [7] ; ici le sys- tème est un photon isolé, l’extérieur est le vide.
~
Le terme Qe est donc la polarisation du vide. Le second membre doit alors être défini comme l’induc-
~ ~
tion électrique u’"J, qui pour Qg
=0 se réduit bien
à (5. La seconde définition de M. Louis de Broglie
du champ électrique est ici celle de l’induction
électrique. On est donc conduit à poser :
Ainsi l’équation obtenue est l’équation (9) de l’électromagnétisme non linéaire :
THÉORÈME 1.
--Si on multiplie par Ai et B;
pour j
=1, 2, 3 les équations fondamentales du photon (12) et si on applique à leur demi-somme
l’opérateur 03A9 on obtient les équations (5) et (9) de l’électromagnétisme non linéaire.
5. Champ et induction magnétique.
-Multi- plions maintenant par A2. A3 et B2.B3 les équa-
tions (12). Appliquons l’opérateur 1/2 2, nous obte-
nons
En multipliant par A3 Ai et B3 B1 ou Ai A2 et Bi B2 on obtiendrait un résultat semblable d’cù la formule vectorielle :
Posons alors
Définissons l’induction magnétique par l’équa-
t ion (6) soit
A partir des équations (12) en les transformant
ccmme indiqué ci-dessus nous obtenons :
.
Le second terme du premier membre de cette équation est justement au signe près l’expression
que M. Louis de Broglie [8] a prise comme défi-
nition du champ magnétique.
Il convient de conserver cette définition soit
Alors en se reportant à l’équation (8) de l’électro-
magnétisme non linéaire on voit que 1’00 a
~
Qb est donc la polarisation magnétique du vide.
Nous prendrons la relation précédente comme défi-
~
nition de JR alors l’équation dédnite des équations
fondamentales (12) n’est autre que l’équation (8)
soit
d’où
THÉORÈME 2. Si on multiplie par’Ai et Bi.
pour j :=ï 23, 31, 12, les équations fondamentales du photon (12) et si on applique à leur demi-somme l’opérateur n on obtient les équations (6) et (8) de l’ électromagnftigyze non linéaire.
6. Équations d’évolution de l’induction élec-
trique.
-Multiplions maintenant les équations
fondamentales (12) par A, A4 et BI B4. Posons.
Nous obtenons alors comme équation dérivée
de (12)
En multipliant par A2 A4 et Bz B4 ou A. A4 et B3 B4les équations fondamentales (12) on obtiendra
dEs équations analogues, d’où finalement l’équa-
tion vectorielle (3) de l’électromagnétisme non
linéaire
à condition de poser
-
QD apparaît ainsi comme le terme de courant produit par la présence des termes non linéaires,
d’où ce théorème.
THÉORÈME 3.
-Si on multiplie par Ai et Bi pour j =14, 24, 34 les équations fondamentales du photon (12) et si on applique à leur demi-somme l’opérateur 03A9 on obtient les équations (3) de l’électro- magnétisme non linéaire.
De l’équation (3) on tire une équation pour J’évolution du champ électrique :
ou encore
en posant
7. Équation en divergence de l’induction élec-
trique.
-Multiplions les équations (12) par A4 et B4 ; prenons leur demi-somme et appliquons Pope"
rateur 03A9. Posons d’autre part
Des équations (12) nous obtenons alors
Le terme en ’0 est celui de M. Louis de Broglie
dû au fait que l’on prend une masse finie (l.o pour le photon. Le terme Q,, est la charge apparente
créée par l’onde u, c’est l’auto-charge.
De cette équation nous pouvons obtenir une
équation en divergence pour le champ électrique
635 en nous reportant à (9"). Posons avec Born [9]
a apparaît comme la charge due à la polarisation
du vide. Nous obtenons alors
8. Relation entre QA et QB.
-Multiplior s main-
tenant les équations (12) par A, A2 A3 et B, B2 B3.
On voit alors, d’après les identités de M. Louis de
Broglie qu’il nous reste l’équation
Cette relation n’est pas une identité, mais une équation qui est une conséquence des équations
fondamentales (12) : elle est automatiquement
vérifiée pour toute solution u des équations (12) ;
en effet comme QA
---LA u et QB
=LB u en rem- plaçant Q.A. et QB par ces valeurs on obtient une
identité de M. Louis de Broglie. On n’aura donc pas à faire intervenir (13) dans des considérations sur
l’électromagnétisme.
11. Équations des potentiels.
-Appliquons
maintenant l’opérateur 1 2 03A9 à LA + LB, c’est-à-dire
multiplions par 1- les équations (12). Posons
alors des équations (12) nous tirons
C’est la relation entre les potentiels. Nous aurons
la relation habituelle entre les potentiels posée par Lorentz si nous imposons la condition supplié-
mentaire
C’est là une condition sur les termes non linéaires
QA et QB qui s’explicite, en remontant à la défi- nition (14) de Qv, par
c’est-à-dire
Une condition de ce genre sur la trace a une forme qu’on rencontre assez souvent. Comme
aucune condition spéciale n’a été imposée aux
termes pd et QB on est libre de poser la condi- tion (17) quiconstitué une condition effective sur Q A
et QB de forme invariante.
12. Ëquatîon ên divergence pour le champ magnétique. w Multiplions maintenant les équa.
tions par A1234.et B1234. Posons
De (12) nous obtenons alors
Cette équation peut être transformée en équa-
~
tion de divergence pour à3 en tenant compte de (8),
~ ~ ~
d’c ù Je = à3 - M ; on obtient ainsi
Si l’on veut obtenir l’équation habituelle
~
div d3
=0 qui exprime qu’il n’y a pas de charges magnétiques libres, il faut imposer la condition
supplémentaire
On a le droit de poser cette condition, car cela
revient à imposer une condition sur Q.4 et. QB,
c’est-à-dire une relation entre les composantes Q.A.iy
et Q.B.ii, qui sont au nombre de 16, ce qui est toujours possible. On aurait là une condition supplémentaire
sur les termes non linéaires. Seule une discussion fondée sur des considérations physiques lorsque la
théorie sera plus développée permettra de décider
s’il faut ou non poser cett-e condition supplémen-
taire.
’13. Équation d’évolution du champ magnétique.
-
Multiplions les équations fondamentaleâ (12)
par A124 et B124. Posons
alors des équations (12) nous tirons
On obtiendrait des relations semblables en multi-
pliant par A234 et B234 ou par A314 et B.314 ; on
arrivera ainsi à la relation vectorielle : :
On peut donner d’autres formes à cette équation, -
d’abord en remplaçant 0"J par son expression tirée
~ ~ ~ ~ ~
de (9) en ire et e, soit ffl = L + (5, ce qui donne
1
On peut aussi en tirer une équation d’evolution
~ ~ ~ ~
pour B en tenant compte de (8) soit ae ==*cf3 - m,
.
d’où
Enfin on obtiendra l’équation (1) avec des termes
~ ~
supplémentaires en remplaçant (JJ par & comme plus haut dans l’équation précédente, d’où ;
On obtiendra l’équation habituelle de l’électro-
magnétisme si l’on impose la condition supplé-
mentaire
qui exprime qu’il n’y a pas de courant magnétique.
Ici, comme pour l’équation (2"), il faudra discuter,
en s’appuyant sur des considérations physiques,
s’il est adéquat ou non de poser cette condition
supplémentaire.
Avec la condition sur les potentiels et celle sur
~
div 03 cela fait en tout 5 conditions scalaires à
imposer aux QÂ,ii et QB.ij, ce qui est toujours pos- sible.
On ne trouve pas la relation de conservation de la charge puisque nous supposons être dans le vide,
il n’y a pas de charges ; en ce qui concerne les charges créées par l’onde u au moyen des termes
non linéaires, on peut la poser aussi comme une sixième condition supplémentaire :
ou encore comme
14. Équations sous forme tensorielle._- Comme
nous l’avons indiqué au début, les équations de l’électromagnétisme peuvent être mises sous forme tensorielle relatviste.
On a donc deux tenseurs 5i;; et Ceij avec :
er suite alors
Oil obtient avec ces notations à la place de (1")
et (2’’)
De même en posant
on obtient à la place de (3") et (4") :
Les équations (5) et (6) étant prises comme des définitions, les équations usuelles pour les potentiels
ont lieu
Les relations de définition des polarisations
s’écrivent
La relation sur les potentiels s’écrit
Les conditions supplémentaires pour retrouver les formules usuelles s’écrivent :
et elles ont bien une forme invariante. En outre la condition de Lorentz sur les potentiels consiste à
annuler un invariant :
La condition de conservation de charge s’écrit
,
Les équations obtenues à partir des équations
du photon prennent donc bien la forme tensorielle usuelle.
De ces équations pour les champs complexes
microphysiques on passe à des équations de même
forme pour champs réels en posant pour toute
quantité F
On les obtient en ajoutant aux équations précé-
dentes les équations imaginaires conjuguées. Des équations pour champ réel microscopique on passe
aux équations des champs macroscopiques dans le
vide par un processus de moyenne sur un grand
nombre de photons. Ainsi on retrouve l’électro- magnétisme non linéaire classique à partir de la
théorie du photon.
15. Équations de propagation.
-A partir des équations (1) à (6) on obtient des équations de propagation en appliquant 2013 aux deux membres
d’une équation d’évolution, puis en commutant au
637 second membre un opérateur spatial avec 2013 ~t et en
remplaçant la quantité ainsi dérivée par son expres- sion tirée d’une autre équation d’évolution.
Posons
n
