Sur la théorie statistique des champs non linéaires

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Sur la théorie statistique des champs non linéaires

J.P. Terletsky

To cite this version:

J.P. Terletsky. Sur la théorie statistique des champs non linéaires. J. Phys. Radium, 1960, 21 (11),

pp.771-775. �10.1051/jphysrad:019600021011077100�. �jpa-00236374�

SUR LA THÉORIE STATISTIQUE ^DES CHAMPS NON LINÉAIRES Par J. P. TERLETSKY,

Professeur à l’Université de Moscou (1).

Résumé.

On introduit une distribution de probabilités canoniques ^et microcanoniques pour

un champ ^{non linéaire} classique arbitraire. On trouve les expressions de la densité fonctionnelle de probabilité pour les lignes ^d’univers qui représentent ^les solutions du genre particule ^des équa- tions non linéaires du champ. On montre que la formulation de Feynmann ^{de la} mécanique quan-

tique ^n’est qu’un ^cas particulier d’une distribution canonique générale ^{avec une} température imaginaire. ^Cette température ^est interprétée ^{comme la} température statistique d’un thermostat formé de particules ayant ^{des masses} imaginaires. ^{La constante de Planck} représente ^{alors une} grandeur proportionnelle ^{à la} température du thermostat

imaginaire ^».

Abstract.

The canonical and microcanonical distributions of probabilities ^are introduced for an

arbitrary classical, non-linear field. The expressions ^of the functional density ^of probability ^{of the}

lines of universe are found, which give ^the particle-like solutions, ^{of the} non-linear field equations. ^The Feynmans formulation of quantum ^{mechanics is} only ^a special ^{case of a} general canonical distri- bution, ^{with an} imaginary temperature. ^That temperature ^is interpreted ^{as the} statistical tempe-

rature of a thermostat constituted of particles having imaginary ^{masses. The} Planck constant is then a factor proportional ^{to the} temperature ^{of the "} imaginary" thermostat.

LE JOURNAL PHYSIQUE ^RADIUM 21, 1960,

1. La distribution microcanonique.

^Exami-

nons 1’ensemble des champs classiques Ti(Xo, ^xi,

x21 :V3), ’F2(XOI ^{Xll :v2,} x3la ^{’’ ’! I} TN(XOI ^{XII x2r} x3) ^{dont les} equations ^{du mouvement sont obte-}

nues a partir ^du principe ^de moindre action :

o-h C est le lagrangien ^du systeme, Sm ^{est la valeur}

extremale de l’action S.

En examinant du point ^{de vue} statistique ^cet

ensemble de champs ^{il est} indispensable ^d’associer

a chaque champ possible ^{une certaine} probabilité,

a priori, ^ou plus exactement, ^{une densité} de pro- babilit6 dans 1’espace fonctionnel.

La plus simple des distributions de probabilite qui élimine les champs qui ^{ne v6rifient} pas les

equations ^{du mouvement et} qui ^{donnent des}

valeurs 6quiprobables ^{a toutes les} solutions pos- sibles des equations ^du mouvement est évidem- ment la distribution.

ou 8 est une fonction de Dirac, T ^et bT/bx ^sont

1’ensemble de tous les champs ^{et de leurs} d6riv6es,

mis sous une forme abregee, ^{A est une constante}

de normalisation qui ^{est en} general ^{une fonction-}

nelle car Sm depend ^de 1’6nergie ^{totale et des diff6-}

rents invariants int6graux (par exemple ^la charge totale).

Par analogie ^{avec la} mecanique statistique ^clas-

(l) Actuellement ^en mission au Service des Theories

Physiques ^de l’Institut Henri-Poincaré.

sique ^on peut appeler ^la distribution (2) ^distri-

bution microcanonique.

II est evident _{que les} valeurs moyennes de ^toutes

grandeurs physiques F I T(x) } ^sont définies par des int6grales fonctionnelles (2)

Nous repr6sentons par X l’ensemble des quatre

coordonn6es de Minkowski xo, Xll X2, X3 et

nous utiliserons des accolades uniquement pour les

arguments des fonctionnelles. Pour les arguments

des fonctions nous utiliserons seulement des paren- th6ses ou des crochets.

La probabilite pour qu’une certaine fonction du

champ Q[T(x)] ^{ait une forme donn6e} q(x) ^sera

evidemment determinee _par l’int6grale

ou a I y(x) est ^une fonctionnelle 8 d6finie _par

1’equation :

Il est evident _que l’on peut determiner cette fonctionnelle sous la forme

(2) Nous utiliserons ici _pour l’intégrale fonctionnelle les notations _que nous avons introduites en 1945 dans notre these de Doctorat publiee ^{sous une forme} abregee ^en

1949 [11.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021011077100

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II. La distribution canonique.

^{Si un certain}

ensemble de champs X(x) parmi ^ceux qui ^{ont 6t6}

examines ci-dessus (011 ^{bien une certaine classe des}

solutions des equations ^du mouvement) peut ^6tre

rattach6 a un thermostat c’est-a-dire si l’on peut

ne pas considerer ^les grandeurs ^{utilis6es dans ce} probleme physique alors les autres champs cp(X) qui ^nous int6ressent dans ce probl_eme peuvent ^etre

donn6s _par une distribution canonique :

ou b est une constante num6rique, B ^{est une}

constante de normalisation qui ^{est une fonction}

de b et des parametres figurant ^{dans S.}

De meme, qu’en m6canique statistique ^{la distii-}

bution (7) peut ^etre obtenue à partir ^de (2) ^en

utilisant quelques hypotheses simplificatrices ^natu-

relles.

En effet, si 1’ensemble des champs’Y ^{peut 6tre} partage ^{en deux} sous-ensembles cp ^et x, ^et si l’on

ne se préoccupe pas de la seconde, la densite fonc- tionnelle de probabiIjté pour ^les champs ^cp d’apres (2)

doit etre de la forme :

Pour un systeme ^de champs interagissant ^fai-

blement on peut poser de façon approeh6c :

alors, d’apr6s (8), ^{il vient :}

ou P(?/) ^{est une} fonction d6termin6e _{par les} proba-

bilit6s du ((thermostat ⁾⁾ et qui ^est

La fonction (D est evidemment donn6e, ^{a une cons-}

tante multiplicative pr6s, ^constante qui ^{est d6finle}

a partir des conditions de normalisation

La fonction 4Y peut ^etre evidemment calcul6e a

partir ^{de la formule} (11) ^{en se} donnant la forme de S21 i ^x(x) 1. Cependant ^{sa forme est d6termin6e} univoquement ^{si en} plus ^de I’hypoth6se (9) ^on

admet que ^cette fonction a un earact6re universel et ne depend pas ^de la forme des fonctionnelles d’action des autres champs interagissant ^{avec le}

« thermostat ». Dans ce cas, deux champs ^n’intera- gissant pas ^{entre eux mals} faiblement lies avec

le thermostat (3), ^{doivent verifier} la condition :

(3) La liaison ne doit pas etre nulle mais suffisamment faible _{pour que} les conditions (9) ^soient approximati-

vement r6alis6es.

car les syst6mes yl.(x) ^et y,(x) peuvent ^{6tre consi-}

deres comme statistiquement independants. ^Mais

la seule solution de l’ équation fonctionnelle (10)

est evidemment une fonction exponentielle (7).

III. Les paradoxes ^{de la theorie} statistique ^des champs lineaires.

Si 1’ensemble de champs qui

nous int6resse cp(X) ^{ob6it a des} equations ^{du mou-}

vement lin6aires c’est-a-dire si le lagrangien ^{L est}

une fonction quadratique ^{de ces} champs ^{et de leurs} derivees, ^la distribution (7) ^{nous conduit a un} para- doxe que l’on appelle ^{« la} catastrophe ^ultra-

violette ^» et qui ^fait que 1’6nergie ^du champ, ^meme

pour ^un domaine ferme, ^{tend vers l’infini a cause}

de sa distribution uniforme suivants les ondes mono-

chromatiques ^{de toutes les} fréquences. ^{Si l’on} prend ^la distribution (2) ^{au lieu de la distri-}

bution (7), ^le paradoxe ^{demeure en ne} changeant

que ^sa forme. Dans le cas d’une distribution micro-

canonique (2) ayant ^une energie finie, l’6nergie ^de

toute onde monochromatique ^{tend vers zero et ne} peut ^etre diff6rente de zero que si F energie ^totale

est infinie (4).

IV. Les possibilitds ^{de la theorie des} champs ^non lin6aires.

II en est autrement dans le cas non

lin6alre lorsque ^le lagrangien ^est par exemple ^la

somme de termes quadratiques ^{et de termes d’ordre} pair plus ^{élevé. Dans ce cas,} pour ^une certaine classe de lagrangiens, parmi les solutions ayant ^un

sens physique ^et ayant ^une energie, ^une charge, ^etc.

finies, ^il existe des solutions du genre particules (cf. par ^{ex. :} [2]) presentant des concentrations de

champs ^stables (paquets).

Pour de tels lagrangiens ^non lin6aires, ^on peut

bien entendu, avoir aussi des solutions sous forme d’ondes monochromatiques ^{de faible} amplitude,

car pour de faibles amplitudes ^les equations ^d’ondes

deviennent lin6alres. Cependant, les solutions qui

existent dans le cas lin6aire sous forme de sommes d’ondes monochromatiques ^{de toutes les} fréquences

et d’amplitudes approximativement 6gales (5) ^sont

interdites dans le cas non lin6aire car de telles solutions supposent ^des concentrations du champ

en forme de fonctions 8, ^de breve duree d’exis- tence et d’amplitiide ^{maximale aussi} grande ^que

l’on veut. Ces derni6res solutions sont impossibles,

car, dans ^notre probleme ^non lin6alre, ^{les seules}

solutions possibles ^{avec nne} énérgie ^{born6e sont}

des solutions du _genre particule, ^aves des valeurs born6es du champ [2].

(4) 11 est bien connu que ^ces difficultes sont 6vit6es

en seconde quantification. ^{Le but de cet article} est 1’etude des possibilités ^{de la theorie} statistique ^des champs ^clas- siques. ^{Ce n’est} qu’a la fin de cet article que ^{nous mon-} trerons la relation entre theorie classique ^et quantique.

(5) ^{Ces solutions sont la cause des «} catastrophes ^ultra-

violettes » car si l’on avait ^une limitation du spectre ^du cote de courtes longueurs ^{d’ondes il} n’y ^aurait pas ^non

plus ^de divergences.

Si ^nous examinons Ie cas d’un champ que rien

ne limite dans 1’espace ^{et si nous} consid6rons son

6nergie ^{et certains} invariants int6graux finis, ^seules

les solutions _{du genre} particule ^{ont un sens} phy- sique. Toutes les autres solutions sont de la forme de paquets ^d’ondes quasi ^lin6alres qui ^s’etalent rapidement ^{sur tout} 1’espace ^{et dont} 1’arnplitude

tend par consequent ^{vers z6ro.}

Ainsi, pour les lagrangiens ^{non lin6alres admet-}

tant des solutions _{du genre} particule ^{si l’on} impose

que 1’energie ^{et certains} invariants int6graux

soient finis, ^{toutes celles} qui ^sont possibles d’apres ^le principe ^de moindre action seront prati- quement concentr6es au voisinage ^des lignes ^d’uni-

vers repr6sentant ^{le mouvement des maxima du}

genre particule. ^{Mais dans ce cas} la fonctionnelle d’action du champ peut aussi etre representee

comme la somme des irit6grales ^sur 1’ensemble des

lignes ^d’univers de certaines trajectoires ^fonction-

nelles qui s’appellent ^{aussi en} mecanique, ^fonction-

nelles d’action. C’est-a-dire _{que l’on} peut poser :

ou x(t) repr6sente ^{toutes les} lignes d’univers, ^c’est-

a-dire x,(t), X2(t), ^..., x7,(t),

^et chaque xk(t) repr6sentent les trois coordonn6es d’espace ^{en fonc-}

tion du temps ^d’une ligne d’univers k.

V. La probabilite ^des trajectoires des solutions du _genre particules.

^{11 est} evident que pour de tels champs ^non linéaires la densité des probabilités

peu ^6tre représentee ^{non comme une fonction-}

nelle de tout le champ ^{mais comme une fonction-}

nelle des lignes ^d’univers repr6sentant ^{le mouve-}

ment des maxima des solutions du _genre particule.

D’apr6s (2) ^et (14) ^nous obtenons la distribution

microcanonique

et d’apr6s (4) ^et (11) ^la distribution canonique

comme distribution du systeme ^{dans le} thermostat.

La valeur moyenne de ^toute grandeur F I x(t) I

sera evidemment déterminée d’après ^{la formule :}

A 1’aide d’une formule analogue ^on peut 6gale-

ment calculer la probabilité d’une valeur d’une

grandeur physique ^{a un} instant donne. C’est ainsi par exemple que la densité de probabilité ^d’une

valeur des coordonnées x à l’instant t est donnee par la f ormule

On ^obtient facilement, ^à partir ^de l’ expres-

sion (16) ^la densite de probabilite ^d’une configu-

ration de 1V points matériels : qi, q2l . - ., q3N par

exemple. Pour cela il faut int6grer (16) ^suivant

l’ensemble des lignes ^d’univers x(t) passant par la

configuration ^de points ^{donn6e en cet instant.}

Autrement dit il faut calculer lint6grale ^fonction-

nelle (18).

A l’approximation ^non relativiste le lagrangien

du syst6me ^est 6gal a la différence entre 1’6neroie cin6tique ^et potentielle ^du systeme. ^En portant ^un tel lagrangien ^dans (16) ^{et en} integrant par rapport

a tous les x(tK) ^{sauf un} x(t,) ^{donne on obtient :} W(ql, q2, - - -, qaN)

exp [,rb(T

U)I, (19)

ou U est 1’energie potentielle ^du syst6me, ^{r est}

l’intervalle de temps ^minimum qu’il faut introduire pour effectuer pratiquement l’int6gration ^fonc-

tionnelle et W est une constante determinee a

partir des conditions de normalisation. Si _{l’on pose}

’t"b

1/ 0 ^{ou 0}

kT c’est-a-dire la constante de Boltzman multipliee par ^la température, 1’expres-

sion (19) ^est 6quivalente ^a la distribution canonique

de Gibbs.

VI. La mécanique quantique ^{en tant} que thdorie statistique ^des systèmes ayant ^une temperature imaginaire.

^{Le cas} particulier ^ou dans la distri- bution (16) ^{la constante b a une valeur} imaginaire, presente ^{un intérêt} particulier. ^{Si l’on met une}

telle distribution sous la forme

on verra facilement que les valeurs moyennes des

grandeurs physiques ^{calcul6es a} partir ^{de la for-}

mule (17) ^{avec la} distribution (20) ^{coincide avec}

les caleurs _moyennes quantiques ^{de ces} grandeurs

si h est la constante de Planck divis6e par 2rc.

En effet, ^{dans le cas non} relativist 3, l’int6grale

de 1’expression (20) prise ^{sur toutes les} trajectoires d’espace-temps passant par ^ce point ^et provenant

de points ant6rieurs est 6gale ^{a la fonction d’onde}

’Y(q1, q2, ... , Q3N, t) ^{comme cela a} ete montre par

Feynman [3]. ^Tandis que l’int6grale ^de (20) prise

sur toutes les trajectoires ^{issues du} point ^consid6r6

a tous les instants ult6rieurs est 6gale ^a (D*(ql,

q2, ..., q3N? t). ^Mais d’apres ^nos r6gles (16), (17), (18), l’ expression (20) doit etre forcement int6gr6e

suivant toutes les trajectoires provenant ^de

t

^oo et allant a t

+ oo, c’est-à-dire _{que la}

probabilite ^{de la} configuration ^{donn6e est} 6gale ^au produit TT*, c’est-a-dire a la probabilité ^{de la} mecanique quantique.

De façon analogue, ainsi que 1’’a ^montre Ria-

zanov [4] ^on peut ^{calculer la densite de} probabilite

de l’impulsion ^{et des autres} grandeurs physiques ^en supposant que 1’expression (20) ^{est la} probabilite

des trajectoires ^donn6es partant ^{de t}

^{oo et}

allant h t

+ ^{oo. 11 est} important ^{de noter} que ^les

grandeurs physiques F ^{dont les} probabilités ^{et les}

valeurs moyennes ^sont calcul6es a partir ^de (17),

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(18), (20), ^{doivent etre} consid6r6es comme des

grandeurs classiques.

Il n’est pas n6cessaire d’introduire les op6rateurs

et les autres notions spécifiques de la theorie quan-

tique orthodoxe. Toute la theorie peut operer ^a partir ^{de notions} purement classiques ^{et obtenir}

tous les résultats de la m6canique quantique.

De sorte que ^tous les résultats de la theorie quan-

tique ^{sont obtenus comme} consequence ^d’un;

theorie statistique g6n6rale ^du champ ^{non lin6aire} classique ayant ^{des solutions} du genre particule ^si

l’on admet _que ^ce champ ^{se trouve en} 6quilibre statistique ^{avec un} thermostat ayant ^une temp6-

rature imaginaires (puisque ^{la constante b} peut ^etre consideree comme une grandeur inversement pro-

portionnelle ^{a la} temperature).

La seule difference entre cette theorie statistique

et la theorie orthodoxe consiste en ce que la for- mule (20) n’est valable _{que dans} la mesure ou nous

partageons ^la trajectoire ^en parties grandes ^par rapport ^aux dimensions de la particule (c’est-à-dire

par rapport ^aux dimensions du maximum des solu- tions du genre particules). ^{Pour des} intervalles plus petits ^la probabilit6 ^des trajectoires perd ^sa signi-

fication car il faut utiliser la probabilit6 ^{d’une dis-}

tribution de champ ^{donn6e a} l’int6rieur de la par- ticule. Dans la theorie orthodoxe on consid6re _que les postulats ^{de la} m6canique quantique ^sont

valables pour ^des intervalles arbitrairement petits.

Et par ^{suite on admet} que ^la formule (20) ^est rigou-

reuse meme pour des intervalles bien plus petits

que ^les dimensions de la particule.

De sorte que la difference entre la m6canique quantique habituelle et la theorie statistique ^du champ ^{non lin6aire avec un} thermostat ^« imagi-

naire ^» ne peut ^6tre d6termin6e expérimentalement qu’en ^6tudiant la structure interne des particules

élémentaires.

VII. Signification physique ^{de la} temperature imaginaire.

^On peut ^se poser alors deux ques- tions importantes :

10 quel ^{est le sens} physique ^d’une temperature imaginaire ?

20 qu’est-ce qui ^{assure la constance de cette} température ?

ttant _{donne que} la premiere question ^{est fonda-}

mentalement physique, ^nous allons 1’examiner dans le cas le plus simple. ^{Examinons un} gaz de

particules relativistes de masses identiques m qui

soit en 6quilibre ^{avec le} thermostat.

La distribution de Gibbs (canonique ^{ou micro-} canonique) ^{aura pour un tel} gaz ^la forme :

of Pg ^est ilimpulsion ^d’une particule,

son energie (on ^a pris les unites telles que ^c

1),

et CXO

1/8 ^{est un} coefficient inversement pro-

portionnel ^{a la} temperature. ^{La fonction} cp ^sera

exponentielle pour la distribution canonique ^{et une}

fonction delta pour la distribution microcanonique.

Dans un autre syst6me ^de reference, l’argument

de la fonction _p sera evidemment

ou P ^{et a} constituent le quadrivecteur temperature

inverse. Pour des particules habituelles dont le

quadrivecteur (Pg, EK) ^{est du} genre temps, le quadri-

vecteur temperature inverse doit etre, ^lui aussi, ^du

genre temps, ^afin que la distribution prenne la forme habituelle de la distribution de Gibbs dans le systeme ^au repos. On peut cependant imaginer

des particules ^{dont le} quadrivecteur impulsion ^est

du genre espace.. ^{Leur masse au} repos

sera donc imaginaire. D’apr6s (22), ^il parait ^alors

raisonnable de leur attribu Jr un quadrivecteur temperature inverse, qui ^{sera lui aussi du} genre espace ^et donc d’introduire une temp6rature ^ima- ginaire d6finie par

Pour de tels systemes, ^la fonction de distri- bution f, c’est-h-dire la densite moyenne de parti-

cules dans 1’espace ^{des moments} peut ^6tre repre-

sent6e comme une fonction de (po P), c’est-h-dire

comme une fonction de la temperature imagi-

naire (1).

Le problème ^de savoir s’il est possible ^d’admettre

des particules ^{de masse} imaginaire ^a d6jh ^ete pose

dans notre precedent ^article [5]. ^{Nous avons}

montre que la theorie de la relativité et le deuxi6me

principe ^{de la} thermodynamique n’interdisent pas 1’existence de telles particules, cependant ^ces par- ticules ne peuvent pas transporter d’entropie negative ^{comme le font les} particules ^{de masse}

reelle.

Ainsi la ^« temperature imaginaire ^» peut ^6tre

introduite pour d6crire ^un ensemble statistique ^de particules ayant ^{des masses} imaginaires. Mais,

comme nous 1’avons vu plus ^{haut, le} coefficient de la distribution (16) ^est inversement _propor- (6)- ,L- 11 convient de noter que la fonction de distribution ainsi obtenue est anisotrope. ^On peut cependant ^trouver

une distribution isotrope qui ^{serait la somme de distri-}

butions a temperatures ^inverses 6gales ^en module mais ayant

toutes les orientations possibles. ^Si toutes les orientations sont présentes ^{avec un} poids 6gal, la distribution obtenue ainsi sera une fonction sym6trique ^de POP, c’est-a-dire, ^du module de l’impulsion divise par la temperature imaginaire.

11 importe de remarquer que pour ^une telle distribution, ^les

moyennes ^de 1’energie ^{et de} l’impulsion ^sont nulles bien _que

leurs moyennes quadratiques ^{ne le} soient pas.

tionnel a la temperature ^du thermostat. Si celle- ci est imaginaire, ^le cocfficient b du systeme ^li6

a ce thermostat, ^{doit 6tre aussi} imaginaire. ^Par suite, ^nous supposons que le thermostat ^{est un} sys- t6me de particules ^{de masses} imaginaires ^ou bien, ^en

utilisant la terminologie de la theorie des champs,

nous dirons qu’on rapporte ^au thermostat toutes les solutions _{du genre} particules qui ^{ont un} quadri-

vecteur d’impulsion ^du genre espace, nous aurons

alors un coefficient b imaginaire ^{dans la distri-}

bution (16).

L’hypothese ^{d’un «} thermostat imaginaire ^» explique ^{aussi le fait que la} temperature imaginaire

est constante. En effet, d’après [5] ^les particules ^de

mass4 imaginaire ^ne peuvent pas transporter ^d’en- tropie. ^{Par suite} 1’entropie ^d’un syst6me ^{reel inter-} agissant ^{avec un} « thermostat imaginaire ^{» ne} peut

varier quelle que soit 1’energie ^du syst6me ^{reel. De}

sorte que I’hypoth6se que le monde qui ^{nous entoure}

est rempli ^de particules ^{de masses} imaginaires ayant

une temperature imaginaire constante est admis-

sible du point ^{de vue} physique ^{et ne} presente pas de contradiction interne.

Il faut s’arreter encore sur la question ^{de la} signi-

fication physique ^et mathématique d’une densite de probabihte fonctionnelle complexe (20). ^Cette question ^s’est deja posee ^dans [4] ^{et on a} essay6 ^de

l’eviter en remplaçant ^les exponentielles par ^un cosinus. Cependant ^{de cette} fagon ^on n’arrive pas a éviter des probabilités negatives.

Un probleme analogue ^se pose dans la m6canique quantique habituelle quand ^{on introduit une den-}

site de probabilite ^{non dans} 1’espace ^de configu-

ration mais l’espace ^des phases (cf. par ^ex. [7] et [8]).

La aussi la densite de probabilite ^{est en} general complexe ^ou negative.

Il est evident _{que la} densite de probabilite ^fone-

tionnelle (20) ^{ne doit etre} consideree que ^comme

une probabjlité formelle ouquasi probabilité, c’ est-à-

dire ^{comme une} grandeur qui permet, ^{a 1’aide des} formules habituelles de la theorie des probabilités (ici ^{la formule} (17)), de calculer les valeurs moyennes

ou les densit6s de probabilite ^des grandeurs qui ^sont

mesur6es directement par 1’exp6rience.

Une telle quasi probabilite peut ^etre complexe ^ou negative ^{si les} probabilités ^des grandeurs physiques

mesurables ainsi obtenues sont r6elles et positives.

Cette derniere condition est evidemment verifiee

pour les probabilites ^des grandeurs m6caniques

habituelles caletlables a partir ^{des formules} (20), (17), (18).

VIII. La quantification ^{en tant} que consdquence

de la statistique relativiste d’un champ ^{non li-}

ndaire.

Ainsi tous les eff ets quantiques peuvent

etre consid6r6s comme le resultat de l’interaction d’un syst6me classique ^{ayant une masse propre}

r6elle avec un thermostat « imaginaire ^» c’est-a-dire

avec un syst6me ^{form6 de} particule ayant ^des

masses imaginaires ^et qui ^{se trouve en} 6quilibre statistique. ^{La constante de Planck a alors la} signi-

fication d’une grandeur proportionnelle ^{a la} temp6-

rature d’un thermostat ^« imaginaire ^» multipli6e

par ^{une constante} qui ^{a les} dimensions d’un temps.

Cette constante de temps ^est 6gale ^{a une cons-}

tante de longueur divis6e par ^{c. La constante de}

longueur ^est evidemment 6gale ^{a celle} qui figure

dans les termes non lin6aires des equations ^de champ (par exemple ((l)) dans 1’equation d’ Heisenberg [9])

car elle definit les dimensions des solutions du genre particule c’est-a-dire les dimensions lin6aires des particules élémentaires. De sorte que le nombre de constantes absolues dans cette theorie n’est pas

plus grand que celui qui figure ^{dans la} m6canique quantique ^{car la} temperature ^du thermostat imagi-

naire peut ^etre consideree comme une grandeur

relative dependant ^{de 1’6tat de notre} parcelle ^d’uni-

vers. Dans les autres theories de la structure des

particules 616mentaires (cf. [9] par exemple) ^la

constante de longueur ^est introduite comme une

constante absolue complémentaire ^{a cote de la}

constante absolue de Planck.

De ce point ^{de vue toute la} m6canique quantique

n’est qu’une ^theorie statistique relativiste du champ

non lineaire, ^{en tenant} compte ^{des 6tats} qui ^corres- pondent aussi bien aux particules ayant ^{une masse}

r6elle qu’aux particules ayant ^{une masse} imagi-

naire. Les id6es d6terministes de Einstein et de Louis de Broglie ^{se trouvent} ainsi mises sous une

nouvelle forme.

En conclusion je voudrais remercier M. Louis de Broglie pour l’int6rOt qu’il ^a port6 ^{a ce travail}

ainsi que Jean Pierre Vigier ^et Georges ^Lochak

pour des discussions amicales fructueuses.

Manuscrit regu le ^1- juin ^1960.

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