La théorie des matrices et la propagation des ondes

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La théorie des matrices et la propagation des ondes

Léon Brillouin

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RADIUM

LA

THÉORIE

DES MATRICES ET LA

PROPAGATION

DES ONDES

Par LÉON BRILLOUIN.

Professeur au

_Collège

de France.

Sommaire. 2014 La théorie des filtres et des _{lignes électriques} conduit tout naturellement à l’introduc-tion de matrices à deux lignes et deux _colonnes, dont le déterminant est égal à 1. On obtient ainsi une

représentation physique très claire des propriétés du _groupe linéaire C2. La _propagation des ondes, le long

d’une _ligne de cellules de filtre, se ramène à la recherche des axes et des valeurs propres de la matrice.

Lorsqu’on passe aux lignes continues, on doit introduire des matrices _(03B5) de propriétés différentes, et l’on forme une _équation matricielle _{linéaire, qui} est bien _{plus générale que les équations posées} de manière usuelle dans les _problèmes de _propagation d’ondes. Comme _exemples, l’auteur montre la généralisation des équations de Mathieu et Hill (lignes périodiques), le

_passage

aux équations de Pauli et _{Dirac pour}

l’électron, la _propagation sur des _{ligues polyphasées,} et la propagation des rayons X dans les cristaux.

SÉRIE

VIÏ.

-

TOME Vîî.

N’ iO.

OCTOBRE 1936.

1. Les matrices et la théorie des filtres

élec-triques

en

_{électrotechnique. -}

Plusieurs auteurs

ont

_{déjà remarqué}

l’utilité de la méthode des matrices dans la théorie des

_quadripôles

constituant des filtres

électriques ; j’ai développé

ce

_point

de vue dans un

exposé

publié

à la Revue Générale de l’Electricité

_(1936,

t.

_39,

_p.

_{3) auquel je}

_{renvoie pour les détails}

₍₁₎

et les

références ;

j’en

veux donner ici un

_résumé,

avant de passer à une extension des

résultats,

et d’étudier de

plus près

le

_{parallélisme}

entre cet

_exemple

et ceux _que

connaissent les théoriciens de la

_physique.

Fig. 1.

Les techniciens

_appellent

_quadripôle

un réseau

ter-miné par deux bornes d’entrée

(à gauche)

et deux bornes de sortie

_{(à droite),}

les

voltages

et courants à l’entrée sont v

_{et j ;}

à la

sortie, v’

et

_{j’ ;}

les sens sont

ceux

_indiqués

sur la

_figure

1 : le réseau est alimenté en

courant alternatif de

_pulsation

c~, et ne _{contient que}

des éléments à

_{caractéristiques}

_{linéaires ;}

_{posons alors}

(1) Voir aussi Bulletin Soc. _{fr. Electriciens,} n, 63, mars 1936.

le

_quadripôle

nous donnera deux relations linéaires

que nous _{pourrons écrire} sous l’une des deux formes

suivantes :

Un théorème

_général

_{montre que les déterminants}

sont

_égaux

à 1

-et la résolution fournit alors les relations

Le

_quadripôle

est donc _{caractérisé par} une matrice

(a)

à deux

_lignes

et deux

colonnes,

ou _{par la matrice}

inverse

_{(b) ;}

les relations

₍₂₎

se résument ainsi

Si l’on connecte deux

_{quadripôles a}

et a’ l’un derrière

l’autre,

l’ensemble constitue un

_quadripôle

dont la matrice A est le

_produit

des deux matrices

_(fig.

_2),

car on a

Dans ces

formules,

l’ordre doit être

_{respecté ;}

les

techniciens savent

_qu’il

_{n’est pas} en

_général

indifférent de

_placer

les

_quadripôles

dans

_{l’ordre a, a’}

ou dans

l’ordre inverse

_a’,

a. Cet

_{exemple d’électrotechnique}

illustre donc d’une manière claire la

non-commuta-tivité dans la

_{multiplication}

des matrices.

Fig. 2.

On

_peut

avoir à considérer le

_quadripôle

retourné bout pour

bout,

de matrice

_{a’, b’ ;}

cette

_opération

en-traîne un

_changement

de

_signe

sur les

courants

et

~x’2,

et fournit les matrices suivantes :

quadripôle

retourné

Il sera très

_important

de noter la forme

_{particulière}

de matrice d’un

_{quadripôle symétrique,}

_qui

est

_identique

à son

_quadripôle

_{retourné ;}

sa matrice sera caracté-risée par la condition

Pour éviter toute confusion avec les matrices

symé-triques,

nous

emploierons

de

préférence

le mot « in-versable » pour cette

qualité.

La condition

(3)

n’a rien à voir avec la conservation de

_{l’énergie ;}

il faut ici

_préciser

_{que si} toutes les

résis-tances sont

_nulles,

on doit avoir

b11

et

_{b22 réels ; b12}

et

_b21

_imaginaires

_purs.

₍₈₎

On

_peut

d’ailleurs obtenir conservation de

_l’énergie

dans d’autres conditions que celles définies en

_{(8) ;}

il

peut

y avoir des résistances non

_nulles,

dont les unes

sont

_positives

et les autres sont

_négatives,

de sorte _que

leurs effets se

_compensent.

Ce cas se

_présente

avec les

dispositifs

comportant

les

_lampes

_{amplificatrices.}

On

_peut

_préciser

la condition que la

puissance P

fournie au

_quadripôle

_{par les} sources extérieures soit

positive

ou nulle. Cette condition sera

_{plus générale}

que celle obtenue

précédemment

en

_{(8), puisqu’elle}

laisse la

_possibilité

d’utiliser dans certaines

_parties

du circuit des résistances

_{négatives ;}

compte

tenu des

signes

des courants des deux cotés on a

où Re

_représente

la

_partie

réelle et

_{l’astérisque indique}

l’imaginaire conjuguée.

Le détail du calcul l n’offre

qu’un

intérêt

minime ;

il aboutit aux trois conditions suivantes :

Ces conditions

₍₁₀₎

sont

_{plus larges}

que les rela-tions

_(8).

Le

_quadripôles

non

_{dis,’5ipati(}

s’obtient en

prenant partout

le

_signe

_{d’égalité;}

les mêmes condi-tions doivent être valables pour le

quadripôle

re-tourné

_(6),

ce _{que l’on voit aussitôt}

_puisque

les

condi-tions

₍₁₀₎

contiennent

b"

et

b22

symétriquement.

Si toutes les résistances sont

nulles,

on a les relations

(8),

qui

satisfont évidemment aux conditions

_(10).

Tous ces résultats nous montrent que la théorie des

quadripôles

et des filtres

_électriques

se ramène à celle du groupe linéaire

C2

(Van

der Waerden.

_GrupJ}en

thear~etische Illethode.

_Springer,

Berlin,

1932. p.

07).

2.

_Ligne

de

_quadripôles

et

propagation

d’ondes. - Considérons une

_ligne,

formée d~’une suite infinie de

_quadripôles

_identiques

connectés les uns

derrière les

autres ;

soient t XI, n et x2, , le

_voltage

et le courant à une

_jonction;

_{xi,,,+ et X2Jn ~.1} le

_voltage

et

le courant à la

_jonction

suivante ;

ces

_grandeurs

seront

reliées par des formules du

type

(2).

Nous aurons une

propagation

sous forme d’onde

_simple

si la relation se

réduit à

la

_comparaison

avec

₍₂₎

nous montre

_{que -’}

doit

satis-faïre â la condition

~

est donc _{défini par}

_{l’équation}

aux _{valeurs 1)ropres}

de la matrice

_b;

le fait

_essentiel,

c’est que la condi-tion

₍₃₎

nous montre _{que les deux racines}

c,

~2

sont

in-verses l’une de

l’autre,

et

_peuvent

être

écrites

~1=

e-v

Ç2 == e+r r, cons tante

de

_{propagation (t 1}

_bis)

ce

_qui

_correspond

aux ondes se

_propageant

soit vers la

droite,

soit vers la

_gauche;

dans ces deux cas la vitesse de

_propagation

et le coefficient d’affaiblissement sont

les mêmes : ce résultat est vrai _pour les

_quadripôles

dissymétriques

aussi bien que pour les

quadripôles

symétriques

(matrices

inversables ou

_non).

Dans la

_propagation

d’une onde

_unique,

les

_grandeurs

~~ et X2 varient

proportionnellement,

et l’on a

Il Cette relation donne en

_général

deux valeurs de la

403

valeurs

Ii1

et

h’2

_{correspondent}

aux deux racines

:i

et

_E,

de

_{l’équation caractéristique;}

elles sont reliées aux

pentes

])1 et p2 des a.l’es de la

_{»iati>ice ;}

On sait que deux matrices

ayant

mêmes directions d’axes

_principaux

sont

_commutables;

c’est ce _{que les}

techniciens

_expriment

en disant

_qu’entre

deux

quadri-pôles

ayant

mêmes

_impédances

itératives il ne se

produit

pas de

réflexion,

de sorte

qu’on peut

échanger

l’ordre des

_quadripôles

sans rien modifier au résultat.

Pour un

quadripôle

_symétrique

ou

inversable,

les

impédances

itératives

K,

et

_1B.2

_{correspondant}

aux

deux sens de

_propagation

sont

_égales.

La matrice

_(b)

peut

être aisément

_exprimée

eu _{fonction des}

para-mètres essentiels :

_impédances

itératives

If

l~(2

et

cons-tante de

_propagation

_{;, et}

l’on trouve

L’intérêt de cette

_{décomposition ç’est}

_{que si l’on}

prend

une

_{ligne finie,}

formée de n

_quadripôles

iden-tiques,

il suffit de

_remplacer

dans cette formule _{y par} ity et l’on obtient la matrice

représentant

la

ligne.

La

_ligne

infinie

_présente

des bandes d’arrêt et des bandes

_{passantes ;}

on dit

_qu’une

_fréquence

est située dans une bande

_passante,

si la

_propagation

se fait sans

affaiblissernent,

ce

_qui

nécessite

Or

_{l’équation (il)}

nous fournit

La

_comparaison

de ces deux formules nous

_indique

que l’absence d’affaiblissement s’obtient

lorsqu’on

a

c’est-à-dire

Cette condition ne _{coïncide pas} avec celle

₍₈₎

du

quadripôle

sans résistance, ni avec la relation

₍₁₀₎

de

non-dissipation

Cette condition est bien connue des techniciens et leur

_permet

d’établir des « filtres

élec-triques

», c’est-à-dire des

lignes

de

quadripôles

lais-sant _{passer certaines}

_fréquences,

mais en arrêtant

d’autres.

_{L’importance pratique}

de ces résultats a

pro-voqué

de très nombreux travaux et des discussions extrêmement détaillées sur les différents

_types

de

mo-dèles de

_quadripôles

et leurs rendements

_pratiques.

Tous les théoriciens connaissent une méthode

clas-sique

pour étudier le rôle d’une

_{ligne :}

_appliquant

à l’entrée de la

_ligne

_{certaines valeurs xi,o, xt,} on dé-compose la

perturbation

ainsi définie en deux ondes

se

_{propageant séparément}

vers la droite et vers la

gauche ;

à la sortie de la

_ligne

il _{suffit de recomposer} les deux ondes pour obtenir les valeurs xi,n et X2.n

terminales. Cette méthode est

_identique

à celle des mathématiciens

_qui,

_{pour étudier} une

_matrice,

_la

rap-portent

à ses axes de manière à la mettre sous la forme

_diagonale

, i"BB.

La formule

_{globale (14) indiquée plus}

_haut,

résume le résultat de ce calcul.

3.

_Propagation

des _{rayons X dans} un cristal

(Mauguin). -

Les formules que nous venons _de

rap-peler

représentent

la forme la

_{plus générale}

_{que l’on}

connaisse,

pour les

équations

de

_propagation

d’ondes suivant une

_ligne

_discontinue,

_composée

d’éléments

identiques.

Suivant les

_problèmes,

les

_quantités

_qui

figurent

sous les

_{dénominations al}

et x2

_pourront

avoir

les

_{significations}

les

_plus

variées,

mais tout le cadre

gé-néral restera le même. Seules les définitions

_d’énergie

et de

_dissipation

sont différentes sur

_{chaque exemple.}

Voici un

_problème

tout à fait différent

_qui

se ramène exactement au _{schéma que} nous venons d’étudier.

Mauguin

a

_présenté

récemment dans ce

_{journal (t.}

_7,

juin

1936,

p.

233)

une théorie très claire de _la

propa-gation

des ondes dans un cristal. Il considère une suite de

_plans

réfléchissants

_{équidistants, plans}

d’atomes

dans le

cristal,

et

_{appelle p}

et ’t les coefficients de

ré-flexion et transmission

_(complexes

en

_général)

sur

chaque plan ; q

est le coefficient de

_déphasage

_(e-iF)

dans la

_progagation

d’un

_plan

au

_{suivant ; t pet}

_r

sont

les

_amplitudes

des ondes transmises et

réfléchies,

au

niveau du

_plan

_{numéro p. Les}

_{équations (1)}

et

₍₂₎

de

Mauguin

s’écrivent

Ces deux

_équations

sont

_{identiquement}

semblables à celles que nous avons trouvées

_{(éq. 2)}

pour un

qua-dripôle

électrique.

Posons

et résolvons de manière à

_{exprimer Xi, P -1}

et 1 en _{fonction de Xl, p} et _{.’£2, p.} Nous trouvons

Dans ce

_problème,

nous rencontrons donc une

Le déterminant de la matrice est

_égal

à

1,

tout comme

pour le

quadripôle;

avec des coefficients p, T, q

arbi-traires,

il

_n’y

a _{pas conservation de}

_{l’énergie ;}

la

con-servation

_exige

une condition

_{supplémentaire}

ce _que

_{Mauguin explicite}

ainsi

L’expression

de

_l’énergie

_{n’a pas ici la même forme} que pour les

lignes électriques.

Considérons un cristal

_{d’épaisseur}

infinie,

nous

obtiendrons des bandes

_passantes

et des bandes

d’ar-rêt, qui correspondront

ici aux cas de transmission totale des rayons X

incidents,

ou bien de réflexion totale. La

_réponse

à cette

_question

est _{donnée par la}

formule

_(17).

1-f - b2z

I = j ai

i -)-

_{~~z ~}

L

2, réel ;

ballde

_passante.

₍₂₄₎

C’est exactement la condition de

_{Mauguin, qui}

trouve

une transmission

_complète

ou une réflexion totale

sui-vant

₁

est inférieur ou

_supérieur

à 2 avec

(loc.

cit.,

p. 234 et

239)

La coïncidence des résultats est donc

_{rigoureuse ;}

on

pourrait

aussi vérifier l’identité des formules établies par

Mauguin,

pour un cristal

limité,

avec _{celle que}

_j’ai

donnée

_plus

haut

_(éq.

₁₄₎

_{pour le}

_quadripôle

repré-sentant une

_ligne

de

_{longueur finie ;}

on se

_rappellera

qu’il

faut alors

_remplacer

_{y par n y.}

Mauguin

calcule

_{(p. 234)}

les ondes transmises et

réfléchies _par une série de n

_plans,

constituant une

lame cristalline

_{d’épaisseur}

finie. Ses formules

s’ex-priment

au _{moyen de}

_{polynômes Pn}

dont voici la

va-leur :

Or cette dernière définition

_{de x,}

_{donnée par}

_Mauguin

se ramène à notre

_équation

_(1i),

si l’on tient

compte

de la

_{correspondance}

₍₂₅₎

des

notations ;

le x de

Mau-guin

est

_identique

_{à ~,}

et dès lors

4.

_Passage

de la

_ligne

de

_quadripôles

à une

ligne

continue. - Nous avons étudié

_jusqu’ici

des

lignes

formées de cellules

finies;

chacun des éléments de la

_{ligne produisait}

une transformation

_finie,

repré-sentée par une

_{matrice ~ b).}

Un

_quadripôle

infiniment

petit

sera un élément

_qui

transforme infiniment peu

les

variables,

de sorte

_qu’on

retrouve _{à la sortie}

pres-que les mêmes valeurs

qu’à l’entrée ;

la matrice

_(b)

correspondante

diffère très peu de la matrice unité.

Appelons

cl.v une

_longueur

infiniment

_petite

de la

ligne,

la matrice

_{(b) correspondant}

au

_segment

dz

pourra s’écrire ainsi

ou encore

_(b)

= e(-idz

₍₂₉₎

en

_{appelant (e)}

la matrice

_composée

des éléments

( e 11

E 12)

Conformément à la règle générale,

le

dé-B21 E22 .

Conformement a la

_regle

_generale,

le

de-terminant 1 b

1

doit être

_égal

à

_l’unité,

ce

_{qui exige}

la

_condition

_{b ~}

1

- 1 est ainsi

_remplie

au

_premier

ordre. La matrice

_(b)

_agissant

sur deux

_grandeurs

asso-ciées x1 et xz les transforme en

ce

_qui

s’écrit

ou

en tenant

compte

de

_(30).

Si le

_quadripôle

est

synlé-trique

(inversable)

sa matrice

_(b)

doit satisfaire à la

condition

_{supplémentaire}

., ’»’ 1""10. oC"II...

La condition

₍₃₀₎

nous

_impose

ce résultat.

C’est ainsi que se

_présentent

les choses en

télégra-phie ;

on définit un câble au _{moyen des éléments}

R,

L, G,

C

_qui

sont la

_résistance,

la

_{self-inductance,}

la

perditance

et la

_capacité

_{par unité de}

_{longueur z}

de la

ligne ;

on obtient alors

ce

_{qui correspond}

à

La

_ligne

est donc constituée de

_quadripôles

infinitési-maux

_{symétriques inversables,}

mais ce n’est pas le cas

général,

et nous verrons

_{qu’il n’y}

a _pas

_{incompatibilité}

405

capables

de constituer une

_ligne

continue,

et la notion

d’asymétrie

des

_{quadripôles.}

La

_propagation

des ondes s’obtient en ramenant la matrice à ses axes, comme

pour les

quadripôles finis ;

en

_effet,

si

_je

demande

dx,

dx,

.. _. .

d z

_dz == Xl

20132013 ==

Ys constante de

propagation

dz

les

_{équations (33)}

me donnent

Le coefficient de

_{propagation y}

_(imaginaire

en

géné-ral)

est donc _{donné par}

_{l’équation}

aux axes de la

ma-trice

_(E),

dont _{les valeurs propres} sont ± _y. Dans le

cas

_{symétrique inversable,}

on retrouve la solution des

téléphonistes

r----1 est

_{l’impédance}

itérative de la

_ligne,

et

_possède

la même valeur pour les deux sens de

_propagation,

cor-respondant

aux deux

_signes

de _y.

Passons au cas

_général,

non inversable à coefficients

constants;

nous trouvons

Nous aurons ici deux valeurs

1~1

et

1(2

de

l’impé-dance

itérative ; /(1

correspond

à la

_propagation

de

gauche

à droite

_{(2013 y)}

et

_{K2 à}

la

_propagation

de droite à

_{gauche (+ y).}

Les conditions sont tout à fait semblables à celles que nous avons trouvées pour les

quadripôles

dissymé-triques

finis,

et les définitions sont les mêmes. Cette

ligne

de

_quadripôles

infinitésimaux

_{dissymétriques}

présente

une étroite

_parenté

avec une

_ligne

_ordinaire,

dont les coefficients varieraient

_{exponentiellement.}

Posons

et nous trouvons

La

_ligne

_{caractérisée par la matrice}

_(E)

admet des solu-tions

_{particulières}

sous forme d’ondes

où _{Y est défini par}

_(38),

nous en tirons les solutions

applicables

à la

_{ligne (A~}

à variation

_{exponentielle}

Sur cette

_{ligne exponentielle,}

_{il y} a donc

_propagation

avec la constante y de

₍₃₈₎

et en

_pbis

_{transformation,}

avec un

_rapport

de transformation e=« z : tout se _passe comme si l’on avaitune

ligne

constante ordinaire suivie

d’un transformateur dont le

_rapport

serait une fonc-tion

_{exponentielle}

de la

_longueur

de

_{ligne z.}

Le coeffi-cient El1

_peut

être

_{imaginaire, auquel}

cas notre

_ligne

_(A)

a des

_propriétés

variant

_{périodiquement.}

La même transformation

_s’applique

aussi bien à une

ligne

de coefficients

_{variables ;}

_{supposons ~12, ~21,} en

fonctions de - et _posons

et nous sommes ramenés à

Nous pouvons chercher la matrice

représentant

le

équivalent

à une

ligne

de

_longueur

z

_{finie ;}

le

_problème

se _{pose ainsi :}

_{appelons b (z)}

la

matrice,

qui exprimera

les données à la sortie

_{(en .~)}

en fonc-tion des données à l’entrée

_(z

‘

₀₎

Prenons une section de

_{longueur z}

et

_ajoutons

un élé-ment dz à la

suite;

la

_règle

de

_{multiplication}

₍₅₎

des matrices nous donne

en utilisant

_{l’expression}

_(~?8)

_{pour b}

_{(d z) .}

Ce résultat

_{s’explicite}

ainsi

Cela nous fait deux

_jeux

_{d’équations}

du

_type

_(33);

le

premier porte

sur

_b2,

et le second sur

_b,2,

Si donc nous savons résoudre les

_équations

_(33),

nous

pouvons calculer le

quadripôle b (z) équivalent

à la

ligne.

Prenons

_l’exemple

de la

_ligne

à coefücients 2

cons-tants,

qui

fournit comme solution les ondes

_ayant

la

constante de

_propagation

_{y et} les

_impédances

itératives

Ki, /(2 indiquées

en

_{(39) ;}

la matrice en z =0 nous

fournit les valeurs initiales des b

Nous _{chercherons pour les deux groupes}

b21

et

_bl~,

b22

des combinaisons linéaires des

_{exponentielles}

e:f:’:~

tions

_(39);

les voici

La matrice

_b(z)

_garde

bien un déterminant 4 et

repré-sente un

_quadripôle

fini

_{dissymétrique;}

_{pour les}

_lignes

usuelles,

Su est

nul, /(1

et

K2

sont

égaux ;

la

_ligne

forme un

_{quadripôle symétrique}

inversable et nous

retrouvons les formules

_{de Kennelly.}

_{L’expression}

₍₄₄₎

est exactement du

_type

_{(14) déjà indiqué}

_pour un

qua-dripôle

fini ou une

_ligne

de

_{quadripôles.}

La

_ligne

a une résistance nulle si les conditions

₍₈₎

sont

_remplies

par la matrice

(28),

ce

_qui

donne EH

réel;

S12, ê21

imaginaires

purs.

(45)

5.

_Lignes

continues

_{périodiques ; équations}

de Mathieu et Hill

_{généralisées. -}

_L’exemple

le

_plus

étendu de

_ligne

continue

_périodique

nous est fourni par les

équations

(33),

où nous _{supposerons que les}

coefficients Su, et S21 sont des fonctions

périodiques

de ’z

_ayant

une même

_période

commune L. On voit facilement que la solution

générale

s’obtient par

super-position

de deux solutions

_{particulières}

de la forme

indiquée

par

Floquet

pour

l’équation

de Mathieu :

fi

et

_f2

étant deux fonctions

_périodiques

de

_période

L.

Cet

_exemple

contient comme cas

_particulier

les

équa-tions de Mathieu et de Hill.

_{L’équation}

de Hill s’obtient

avec la

matrice

ou

_~’’(,~)

est une fonction

_périodique

de

_période

_L;

en

effet,

les

_{équations (33)}

deviennent alors

C’est bien la forme de Ilill :

_l’exemple

de Mathieu

con-siste à

_prendre

pour F un sinus ordinaire.

En examinant la matrice

₍₄₇₎

nous _{remarquons que}

le cas de Hill

correspond

à une

_ligne

constituée

d’élé-ments

_symétriques

inversables

_qui

ne satisfait pas à la

condition

₍₄₅₎

de résistances nulles. Un certain nombre

d’exemples

plus

généraux peuvent

se ramener à la forme de

_{Hill ;}

c’est ce que nous allons examiner. Nous

opérerons

la transformation

₍₄₁₎

La fonction en est

périodique

en z; si

j’ajoute

un

segment

A de

_{longueur égale}

à la

_période,

_p

_augmente

de/

.

I n’est nul que si a une _{valeur moyenne nulle.}

_Après

une

_période

L nous _{notons que}

_A1~

_{et ,4 z}

sont

respec-tivement

_multipliés

_{par e-2f} et Les

_{équations (49)}

se transforment ainsi :

nous voici ramenés à une

_équation

_qui

ressemble à celle de

_Hill,

mais la fonction

n’est

_périodique

_{que si} El1 a une _moyenne

_nulle,

de sorte que I soil aussi

nul;

dans ce cas seulement nos

équations

se ramènent au

_type

Hill.

Nous pouvons donc ramener au

_type

Hill les

équa-tions

_{correspondant}

à une

_{ligne périodique,}

_composée

d’éléments

_{dissymétriques}

non

_inversables,

_pourvu

que les

dissymétries

soient

compensées,

de sorte

qu’une

section de

_longueur

L se retrouve

_symétriques

inversable.

°

Si l’on sait former les solutions des

_équations

_(33),

on

_peut

_intégrer

les relations

₍₄₃₎

et former la matrice

correspondant

à une section

G

de la

_{ligne ;}

on

ramP-nera ainsi l’étude de la

_ligne

continue

_périodique

à celle d’une

_ligne

de

_{quadripôles identiques ;}

mais il faut commencer, de toutes

façons,

par rechercher les solutions des

_équations

₍₃₃₎

à coefficients

_{périodiques.}

6. Normalisation des matrices

_{(e) ;}

matrices de Pauli. ~- Les

lignes

continues nous ont conduit à introduire les matrices

ces matrices

_jouissent

de la

_propriété

_{que leur carré}

est

_{diagonal :}

en

_appelant

₁

déterminant de la matrice. Dans

407

coefficient

_E(z)

oonvenable et de normaliser la matrice de

_{façon que}

son carré se réduise à l’unité :

Cela sera

_toujours

_possible,

sauf dans le cas

exception-nel où la matrice initiale aurait un déterminant

nul;

si nous _supposons

_maintenant,

nos matrices

norma-lisées suivant cette

_règle

₍₅₄₎

nous devons poser les

équations générales

(33)

de

_propagation

en _y mettant

en évidence le facteur

_E(z);

nous

_{écrirons ?j}

et au

lieu de x,, et x >

ou encore

_{symboliquement}

-,

La normalisation

_(5fi)

_présente

divers

_{avantages ;}

la matrice

_{(¿ )-1}

est t

_égale

à

_(~)

de sorte _que

_(~)5)

_peut

se

résoudre et s’écrire

Sous la forme

_{symbolique (5fi)}

ou

₍₅₇₎

on voit la

parenté

de nos

_équations

avec _{celles que l’on} a

l’habi-tude d’écrire pour la

propagation

des ondes.

Suppo-sons E

_6t(e)

_constants,

_{Indépendants de}

la

_{coordonnée z,}

nous _{voyons que}

_{l’opérateur}

suivant est

_égal

à i

Elevons au

_{carré ;}

nous _pouvons

_permuter

les

opéra-tions

Õ-:;-

et

_(e)

_puisque

les F- sont constants :

à z

ce

_{qui signifie}

nous retrouvons

_{l’équation}

usuelle de

_propagation,

puisqu’il

est

_toujours

_{sous-entendu que les CP1} et _Cf2 sont

périodiques

en t avec la

_pulsation

w. Tout ceci se

rapporte

à une

_dimension,

avec

_propagation

le

_long

d’une

_ligne;

nous _{pouvons maintenant chercher à}

écrire les

_équations

_analogues

_pour un _espace

_isotrope

à trois dimensions z,, ~,z, ~,~ ; nous introduirons 3

ma-trices

_(E)1,

_(E)2

et

_(S)3

et un coefficient E

constants,

nous

poserons une relation

Cherchons alors à

_appliquer

_{l’opération}

_symbolique

qui

vient de réussir en

_(59),

_pour une

_dimension,

et

formons

cette

_expression

se réduira à

si nous avons les relations

Les

_premières

conditions

_{correspondent simplement}

à notre normalisation

_{(54) ;}

le second

_jeu

de relations

implique

la non-commutativité.

Ces relations sont satisfaites par les trois matrices

de Pauli :

, ,

’

Ces trois matrices sont bien du

_type

_{général (E),}

normalisé

_{(54) ;}

on vérifie facilement

_qu’il

est

impos-,

sible de trouver une

_quatrième

matrice de

_{rang 2}

satis-faisant aux relations

_(62),

Ces matrices sont en outre

hermitiques,

caraetère nouveau _que nous _{n’avons pas}

rencontré

_jusqu’ici

dans cet article.

La solution

_générale

consistera à

_prendre

trois

com-binaisons linéairement

_{indépendantes}

de ces trois

-

matrices.

La forme

_générale

d’équation

aux _dérivées

par-tielles donnant la

_propagation

des ondes est donc

_(60),

qui

représente

un

_système

de deux

_équations

simul-tanées entre deux

_fonctions

et ₂ et où

_figurent

les trois matrices

₍₆₃₎

de Pauli ou bien trois

combinai-, sons

(64)

de ces matrices.

sables » au sens _que nous avons donné à ce terme en

parlant

des

_{quadripoles ;}

la troisième matrice n’est pas inversable. Cela

_correspond

bien au fait que, dans la

mécanique

ondulatoire de

_{l’électron,}

ces matrices se

rapportent

au moment

_magnétique

d’un électron

_ayant

son

_spin

_dirigé

suivant l’axe ~3’ La méthode à

_laquelle

nous avons été conduit ici est

_calquée

sur le

_procédé

de linéarisation de

Dirac,

pour

l’équation

ondulatoire de l’électron. Nous ne _{pouvons toutefois pas} encore

aborder directement le

_problème

de

_{l’équation}

de

Dirac,

car celle-ci fait intervenir

_quatre

_{matrices ai}

d’ordre

4,

satisfaisant d’ailleurs aux conditions

_{(62) ;}

or,

jusqu’à

présent

nous n’avons utilisé et rencontré

que des matrices du second ordre.

L’exemple

suivant

va nous

_permettre

cette

_{généralisation.}

7.

_Lignes

_{électriques triphasées}

et

_{polyphasées.}

- Considérons _un

sextipôle,

comme celui de la

figure

3,

que nous _{supposerons intercalé dans} une

Fig. 3.

ligne triphasée ;

nous avons 4 données à l’entrée

v, j,

V;

J et autant à la

_sortie;

à l’intérieur du

sexti-pôle

se trouve un réseau

_électrique

absolument

quel-conque, à

caractéristiques

linéaires

_(1);

les 4 données à la sortie seront notées

_{q/1’ CP’2, CP’3,}

_CP’4

et les 4 données à

l’entrée _~3’

_CP4;

le

sextipôle sera

_{caractérisé par}

une matrice à 4

_lignes

et 4 colonnes

En

_général,

si

_je

_prenas

une

_ligne

à 2n

+ 1 fils,

et que

j’intercale

une cellule

_{présentant 2 n + 1}

bornes,

à

gauche

et autant à

droite,

j’obtiendrai

un

_système

, linéaire caractérisé par _une matrice de

rang 9-11.

En

_physique

_théorique,

on a rencontré des matrices de

_{rang 4}

_(Dirac)

et _{de rang 8} ou 16

_{(De Broglie) ;}

la

parité

est bien la même dans les deux cas.

La théorie

_générale

de ces

_multipôles

nous entraîne-rait

_{trop loin,}

et serait d’ailleurs assez curieuse à éta-blir : les théorènes

_{généraux qui,}

dans le cas du

qua-dripôle,

donnent la

_condition

_{1 b ~ 1}

=1

_(éq..3)

nous

fournissent pour le

sextipôle triphasé

un

_système

de 6

_{conditions ;}

mais leur forme est très

différente,

et

conduit à de tout autres

_{conséquences.}

Ainsi, dans le cas du

_quadripôle,

nous avons vu

_qu’on

obtient les

ondes

_simples

en

_rapportant

la matrice à ses _{axes ; et}

la condition

₍₃₎

_{entraîne le fait que les ondes} se

propa-geant

de droite à

_gauche

ou de

_gauche

à droite ont la

JULIA et J. FALLOU ont considéré un problème analogue,

mais avec la restriction que la cellnle soit _toujours

_équilibrée

>Ur les trois

_phases,

C. R. 1936, 202, p. H67.

même constante de

_propagation.

Pour les

_sextipôles

triphasés,

on trouve encore les ondes

_simples

en

rap-portant

la matrice à ses axes, mais les 6 conditions auxiliaires ne _{semblent pas}

_permettre

de trouver de relation

_simple

entre les 4

_types

d’ondes

_possibles,

ni même de

_prédire

combien de ces ondes se

_propageront

vers la droite ou vers la

_gauche.

Je laisserai donc de côté ce

_{problème général,}

_pour

considérer seulement les

_sextipôles

_{construits par}

jux-taposition

de

_{quadripôles.}

Numérotons les variables de la manière suivante :

Fig. 4.

Nous

_disposerons

un

_{quadripôle 1)}

sur les fils 1 et III

et un

_{quadripôle q}

sur les fils 1 eL

II,

suivant le schéma

de la

_figure

_{4 ;}

nous aurons donc

Le

_{sextipôle correspondant}

est alors

_représenté

_par la matrice

Fig. 5.

La

_{figure 5}

représente

un

_montage

_analogue,

mais où l’on a croisé les fils à la

_{sortie ;}

_{la matrice}

correspon-dante devient

409

Supposons

maintenant que nos

_quadripôles

tendenl

vers

_zéro;

_{les matrices p}

_{et q prennent}

la forme

_(~8)

La matrice

_(b)

de

₍₆₇₎

va donc s’écrire

Nous aurons des

_quadripôles

inversables,

si Xl1 1 et i

sont

_{nuls ;}

-sinon nos

quadripôles

ne

_peuvent

être

inversés,

et le

_{sextipôle b}

non

_plus.

8. Les

équations

de

Dirac,

pour l’électron libre. - Les

équations

de Dirac s’obtiennent par le processus de linéarisation de

_{l’équation}

relativiste de l’électron libre

_(1).

P4’ - (y2

+

P22

+

}J32)

-

rno!

=1 c ’ 1

(71)

/1 0

0 0 _

01

1 0

0

"

00-1 t

0

0

0

0 -1

0 0 0

i

(

0 0 0 -i) o 0

_{-- i}

0

- a4a2

0

-i

--

U i

0

0

0

0 La formule

₍₇₅₎

_représente

donc le

_système

due 4

équations

simultanées

où l’on

_remplace

_{les p}

_par les

_opérateurs

différentiels

1

on obtient ainsi

avec des matrices a du 41 ordre

qui

satisfont aux rela-tions

Multiplions

à

_gauche

_{par a4 pour} nous

_rapprocher

de la forme

₍₆₀₎

que nous avions trouvée pour trois

dimensions ; remplaçons

les p

par les

opérateurs

et

nous trouvons

en

_prenant

la vitesse c de la lumière

égale

à 1. La

fonc-tion

_{d’onde ~}

_{possède 4}

composantes

~1, y2, ’f3’

~4

et _{les matrices ai} ont 4

_lignes

et 4 colonnes :

La

_première

_équation

_correspond

aux valeurs des «

sur leur

première

ligne,

et ainsi de suite. L’ordre des

lignes

des matrices

_(a)

donne donc l’ordre des

équa-tions

I,

II,

III,

IV et n’a aucune

_importance

réelle. Ran-geons ces

_équations

dans l’ordre

_{III, IV, I,}

II. Cela revient à intervertir les

_lignes

des matrices a. et à les

écrire ainsi

Sous cette

forme,

on voit que les trois dernières

matrices sont du

_type

_7r/ de

_(70);

les matrices

et

_(-

_a~x2)

ont le caractère

_{symétrique (ou}

_inversable),

tandis que la matrice

(-

0~3)

est

_{dissymétrique}

_(non

inversable)

avec 1= 1 et

7t11 == - 1.

Ce caractère

n’est pas

fortuit,

_puisque

la

direction :;.,

est celle du

spin

de

_{l’électron,}

_{tandis que} ~1 sont

perpendicu-laires à l’axe du

_spin.

La matrice a+ associée à l’axe du

temps 1

est de nature

_différente,

et ressemble à la matrice

₍₆₈₎

des

_quadripôles

à fils croisés.

La

_comparaison

des matrices de Dirac avec les matrices

_(E)

que nous avons rencontrées dans la

phy-sique

classique

peut

se faire aussi d’une autre

_{façon, qui}

me

_parait

plus

instructive que la

_{précédente.}

Les

matrices (1.1, a?, a3, x4 de

Dirac,

à 4

lignes

et 4

colonnes,

seront considérées comme formées au _{moyen des}

3 matrices de Pauli

₍₆₃₎

et des deux matrices 0 et 1.

Elles s’écrivent alors ainsi

Ces formules font ressortir le caractère suivant : les matrices a ont la structure

_générale

trouvée en

₍₂₈₎

et

(30),

mais elles sont constituées non _pas avec des

élé-ments

_simples,

mais ao _{moyen des matrices de}

_Pauli,

qui

sont elles-mêmes du

_type

_{général (i8).}

Cette constitution

_apparaît

encore

_plus

clairement,

si l’on se

_reporte

à un tout récent mémoire de

_Dirac,

sur

les

équations

ondulatoires relativistes de

_particules

de

spin

élevé

_(Proc.

_Soc.,

A

_{155, 1~36,}

_p.

_447).

Dirac y

envisage

des matrices de

_spin

ax Xy

_{’):, r~x ~)’ f1z}

de rang

élevé,

et il est conduit à former les

combinai-sons

Le caractère

hermitique

est bien

_{visible ;}

en

_outre,

ce sont. de nouveau, des structures du

_type

_{(~8) (30)}

à éléments

_matriciels,

avec la

_{caractéristique}

essentielle que les deux

composantes

de la

_{diagonale principale}

sont

_égales

et de

_{signes opposés.}

Cette circonstance

comporte

la même

_conséquence

_déjà

_{notée à propos des} matrices

_(E)

à toute onde se

_propageant

dans un

cer-tain sens avec une constante de

_propagation

_«

corres-pond

une onde de même

_caractère,

avec

_{constante -y,}

c’est-à-dire se

_propageant

exactement en sens inverse. En

_effet,

on obtient

_{les y}

en rendant la matrice A

dia-gonale ;

sa forme est alors nécessairement la suivante :

9. Conclusion. - Tous les

_problèmes

_de propaga-tion d’ondes de la

_{physique classique}

se ramènent donc à l’étude du _groupe linéaire c2 à deux

variables;

il serait fort intéressant de

_reprendre

à ce

_sujet,

la

dis-cussion

_{géométrique}

très _{détaillée que Ph. Le} Corbeil-ler a

_donnée,

sur les

_propriétés

de ce _groupe

_(Thèse,

Paris

_{1926) ;}

du

_point

de vue

_{pédagogique,}

_{il y aurait}

grand

intérèt à

_{partir systématiquement}

de cette forme

d’équations,

pour l’étude de la

propagation

des ondes. Les

_quelques

_{exemples physiques}

_que

_j’ai

_présentés

ici seraient faciles à

_compléter

et à

_étendre,

et l’on

prépa-rerait ainsi l’étude des

_équations

de Pauli et

_Dirac,

dont la forme cesserait de

_surprendre,

_{puisqu’elle}

se

présenterait

comme une

_{généralisation simple}

de faits élémentaires. Ce mode de

_{présentation suggère}

d’ail-leurs une nouvelle discussion des

_équations

de

_Dirac,

qui

apparaissent

ainsi sous un

_jour

inédit. La

_propriété

des matrices « inversables _)},

_que

nous avons

_étudiée,

n’avait

_jamais

été

_soulignée

_{jusqu’à présent.}