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Submitted on 1 Jan 1957
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Extension de la théorie fonctionnelle aux corpuscules de spin 1/2
Florence Aeschlimann
To cite this version:
Florence Aeschlimann. Extension de la théorie fonctionnelle aux corpuscules de spin 1/2. J. Phys.
Radium, 1957, 18 (8-9), pp.523-526. �10.1051/jphysrad:01957001808-9052300�. �jpa-00235700�
EXTENSION DE LA THÉORIE FONCTIONNELLE AUX CORPUSCULES DE SPIN 1/2 Par FLORENCE AESCHLIMANN,
Institut Henri-Poincaré, Paris.
PHYSIQUE 18, 1957,
1. Introduction.
-Dans deux mémoires anté- rieurs [1], [2], j’ai donné les premières bases d’une
représentation fonctionnelle des corpuscules qui se
raccorde avec la théorie de la double solution de M. Louis de Broglie [3]. J. L. Destouches a précisé
et développé cette conception dans un livre
récent [4]. Je me propose d’étendre cette concep- tion d’une part au cas où les forces ne dérivent pas d’un potentiel (système non canonique) et d’autre part au cas d’un corpuscule de spin 1/2 : cas non
relativiste de Pauli et cas relativiste du corpuscule
de Dirac.
2. Cas où les forces ne dérivent pas d’un poten-
tiel.
-En théorie fonctionnelle non relativiste et
sans spin, un corpuscule est représenté par une fonction complexe
caractérisant l’onde physique u.
A cette fonction u on associe un fluide de la
façon suivante : 1° sa densité p est définie par p = f2 ; ; 2° le mouvement est irrotationnel et le
potentiel des vitesses est (D ; 3° dans une descrip-
tion réaliste ce fluide obéit aux équations classiques
de l’hydrodynamique. Si la force F à laquelle le corpuscule est soumis dérive d’un potentiel, ces équations fournissent pour la fonction u une équa-
tion d’ondes qui se raccorde avec celle de M. Louis
de Broglie de 1927 avec en plus des termes non
linéaires. Cette théorie peut être étendue au cas où .la force F ne dérive pas d’un potentiel en adnlettant
pour la fonction u les équations de l’hydrody- iianiique classique soit
F est une somme de deux termes : la force clas-
sique F1 et un terme non linéaire F2(u, V). La pression p est une certaine fonction de f 2, et 6 est
un terme non linéaire a(u, y) dépendant comme F2
de u et de ses dérivées. C’est par F2, p, a que s’intro- duit la non-linéarité. Avec ces hypothèses on peut
traiter des cas de corpuscules soumis à des forces dépendant de la vitesse. Ceci n’a pas un intérêt seulement formel, car on peut traiter par cette
méthode le cas de l’expérience de Millikan ou de
celle de Maurice de Broglie. On obtiendra comme intégrales premières pour les mouvements limites les mêmes intégrales qu’en mécanique classique ou
en mécanique ondulatoire prolongée [5]. On peut
done traiter le cas des systèmes non canoniques en
théorie fonctionnelle des corpuscules.
3. Extension au cas de la théorie de Pauli.
-D’après le principe général posé par J. L. Des- touches [4], p. 24, à une équation E(w) = 0 d’une mécanique ondulatoire usuelle, on fera corres- pondre une équation
comme équation de l’onde physique u représentant
le corpuscule.
(Ce principe est plus faible que le principe de la
double solution de M. Louis de Broglie car il ne
relie que les équations et non les solutions § et u.)
En théorie de Pauli [6] l’équation &(w) a la forme
où 3é est l’opérateur hamiltonien, s un vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli s1, s2, s3 qui figurent linéairement dans ae. Ceci symbo-
lise un système de deux équations aux dérivées partielles en Y;1 et w2.
Pour une fonction u, nous aurons donc deux composantes u1 et U2 qui satisferont à une équa-
tion de la forme (1) qui symbolise les deux équa-
tions scalaires
On a alors deux termes non-linéaires Q1 et Q2 correspondant à chacune des équations.
En théorie sans spin, on a la relation
Ici deux attitudes sont possibles : 1° on n’impose
aucune limitation aux termes Ql et Q2 ; 20 on ajoute l’hypothèse supplémentaire que la formule
précédente (2) demeure valable, c’cst-à-dÜ1e que Q
constitue uii potentiel scalaire complexe.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001808-9052300
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Posons dans ce second cas
où N est complexe ; alors nous poserons
où éR9l signifie. partie réelle de 91 et J91 partie imaginaire de et l’on aura
Dans le premier cas où l’on ne fait pas l’hypo-
thèse supplémentaire sur Q, alors on peut déve- lopper Q sur la base des matrices s; . On aura
où
Cette fois Q apparaît comme constitué par un
~
potentiel scalaire No et un vecteur N. A partir
de ces formules, on calculera les termes Q1 et Q2
sans difficultés.
Les deux hypothèses sur Q peuvent être sou-
~
tenues. Dans le cas 1°, Mo et N demeurent pour le
~
moment indéterminés ; N traduit un terme de couplage entre un auto-champ magnétique et le
moment magnétique propre de l’électron.
~
L’hypothèse du cas 20 revient à poser N = 0,
c’est-à-dire que les termes non-linéaires s’inter-
prètent uniquement comme potentiel scalaire et
terme de source.
4. Extension au cas d’un corpuscule de Dirac.
-D’après le même principe fondarnental [4], p. 24, à l’équation de Dirac nous ferons correspondre pour l’onde physique u l’équation
uù
et
Comme daus 1e cas du corpuscule de iJauli, la
théorie peut être développée de deux manières, soit
en n’imposant aucune condition au terme non-
linéaire Q, soit en posant que le terme Q dérive
d’un quadrivecteur complexe. De là dérive une
cunditiun impusée à Q. Ces possibilités doivent être
toutes deux examinées car on ne peut dire pour le moment laquelle des deux est adéquate à l’expé-
rience.
5. Cas où Q dérive d’un quadrivecteur.
-Dire
que le terme Q dérive d’un quadrivecteur, c’est
dire que nous pouvons mettre l’équation (4) sous la
forme
où
Les P> sont ceux définis juste après l’équation (4)
et les Np sont, en vertu de l’hypothèse faite, les composantes d’un quadrivecteur complexe con-
tenant autopotentiel et source. (Ceci est la généra-
lisation relativiste de l’autopotentiel scalaire com- plexe de la théorie non relativiste.)
Si le terme Q dérive d’un quadrivecteur, les équations (4) et (5) sont identiques. Identifions-les,
ce qui nous donne, en remplaçant les L3 par leur expression et en supprimant les termes corn,muns :
Si N1, 21 ")’t 31 n4 sont connus, on en déduit immédiatement Q1, Q2, Q3, Q4 qui sont alors fixés
univoquement. Inversement (6) peut être consi-
déré comme un système de 4 équations linéaires
à 4 inconnues ’ )Il, N2, II)t 3,11914 qui permettrait de
déterminer les Np en fonction des Qi si le déter-
minant du système était non nul, mais ce déter-
minant est nul parce que les § de l’équation de
Dirac constituent un spineur.
Explicitons le système (6), il s’écrit
Dans ce système d’équations (7), les sont les inconnues, les Qi et les uj sont considérés comme
des coefficients donnés.
Le déterminant D de ce système s’écrit :
En le calculant on constate qu’il est nul. Donc
si l’on donne Q1, Q2, Q3, Q4 quelconques, il n’y a
pas de solution. S’il existe une relation convenable entre les Qi, il y aura une infinité de solutions pour les Ni. (Ceci est en accord avec le fait qu’il y a
toujours une certaine indétermination sur un poten-
tiel.) Pour trouver cette relation, multiplions la
preiiiiére équation du système (7) par u2, la seconde
par til, la troisième par u4, la quatrième par u3 et
soustrayons la 3e de la 1re et la 4e de la 2e pour éliminer 911 et N2. Soustrayons ces deux équations
l’iine de l’alltre pour éliminer 913 et N4, il reste
unie relation, entre les Qi :
On remarquera que cette relation est autoduale : si l’on change ui en Qi et Qj en ui, la relation
demeure inchangée car l’expression entière change
de signe, donc demeure nulle. Les Qi constituent un
autre spinenr. La condition (8) est nécessaire, elle
est aussi suffisante. En effet, d’après le théorème de Rouché et Fontené s’il y a un déterminant non
identiquement nul du 3e rang, nous obtiendrons les solutions Np en fonction des Qi. Or on vérifie aisé- ment que les déterminants du 3e rang extraits de D sont non nuls. Il n’y a donc pas besoin d’autres relations entre les Qi que la relation (8), d’où :
THÉORÈME 1.
-La condition nécessaire et suffi-
sante pour que les composantes Qi du terme non-
linéaire de l’équation (4) des ondes u d’un corpuscule
de Dirac dérivent d’un quadrivecteur,,9( est qu’entre les Qi on ait la relation (8).
A partir de ce résultat, on peut construire une
théorie fonctionnelle non-linéaire des corpuscules
de Dirac en relativité restreinte d’une façon iden- tique à celle faite par J. L. Destouches pour le cas-
non relativiste et sans spin [4]. On doit notamment distinguer des ondes monochromatiques, des ondes
limites à phase linéaire, etc. On ne rencontre pas de difficultés dans ce développement. M. Bonjean a
émis l’idée que les termes Qi devaient dériver d’un
quadrivecteur autopotentiel. Les résultats précé-
dents - montrent que cette idée est acceptable et
.
permet un développement cohérent de la théorie.
Dans ce cas on a la relation (8) entre les Qi.
6. Théorie sans condition sur les oz.
-Envi-
sageons maintenant l’autre possibilité où l’on n’impose aucune condition aux Qi. Dans ce cas,
partons de l’équation fondamentale
qui se décompose en quatre équations
où L est un opérateur linéaire. On peut toujours
poser
-ce qui définit une matrice Q. On peut toujours
poser
où les Qii sont les éléments de la matrice Q et les eij sont les matrices unités fermant nne base :
Une autre hase est formée par les seize matrices a de Dirac, d’cù cette seconde forme pour l’expres-
sion de la matrice Q :
alors
si les Ni, sont donnés, Q se trouve déterminé. Inver- sement pour tout Q, il y a des développements de
cette forme, mais les seize quantités D1i ne sont pas
univoquement déterminées à partir des quatre expressions Qi. On peut alors chercher diverses
expressions où le nombre des 9li soit aussi réduit que possible tout en s’exprimant en fonction
des Q1, Q2, Q3, Q4 sans aucune condition sur les Qi.
Les résultats du paragraphe précédent nous
montrent qu’on ne peut pas réduire le dévelop- pement aux termes al’ a2, a3, 1, sans qu’il y ait de relation entre les Qz, et cette relation subsiste si
on ajoutés termes a4 et a5 = a 1 OC 2 -a 3 *tz 4* D’où
ce résultat :
THÉORÈME 2. - Si le développement des Q sur la
base des a ne comprend des termes non nuls que pour a4, al, a2, a3, 1, a5 (dont les coefficients sont respectivement 9lo, N1, N2, N3, N4, N5) alors la
relation (8) a lieu entre les Qi.
,
Des indéterminations entre les Ni; dans ce cas,
il résulte que l’on a :
THÉORÈME 3. - Si le développement de Q sur la
~
base desa comprend un quadrivecteur non nul Dl dont les composantes sont les coefficients de a1, a2, a3, 1,
alors on peut, sans imposer de condition nouvelle
aux Qi, annûler les termes en a4 et a5 (invariant et pseudo- invariant).
Pour que la relation (8) n’ait pas lieu, il faut qu’il
y ait d’autres termes non nuls que a4, al, a2, a3,1,
a5 dans le développement de Q sur la base des et,
donc :
THÉORÈME 4.
-S’il n’y a aucune relation entre
les Qi, le développement de Q sur la base des et comprend des termes de couplage tensoriel, soit cou- plages entre opérateurs a de moment électrique propre
et de moment magnétique propre avec un auto-champ électromagnétique 3lij, soit couplage entre opérateurs
a de spin avec un auto-champ pseudo-vectoriel,9tk,
7. Réduction du développement de Q.
-Les
théorèmes précédents expriment donc que s’il n’y a
aucune relation entre Q1, Q2, Q3, Q4, alors dans le développement de Q sur la base des a il y a des termes non nuls pour i > 5, et de plus s’il y a des termes 91; non nuls parmi Dll, 912, DC3, DL4, on
peut poser N0
-0 et 9Ls
=0. Donc le dévelop-
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pemerlt rie Q peut Plre réduit à, 14 tern1es; il en com-
prend évidernlnent au moins quatre puisqu’il y a
quatre expressions Qi. Il existe au 1Jl0ins un ciévelops penlent de quatre leriîïes (non invariant) sans rela-
lion .entre les Qi. 1] 1 sl1ff1t de prendre par exemple,
les 4 opérateurs diagonaux
Si l’on effectue une transformation de Lorentz
quelconque, alors ce développement se fait avec
d’autres coefficients et les termes se groupent sui-
vant leur varianee. Il y a un terme de type OC 4 (inva- riant), 4 termes de type 1 (quadrivecteur), 6 termes
de type ial a2 a4 (tenseur antisymétrique de
2e rang), 4 termes de type ia 1 a 2 (pseudovecteur) ;
on a ainsi un développement de forme invariante
de 15 termes.
Mais on peut trouver d’autres bases de 4 matrices pour exprimer les Qi qui ne donnent pas lieu à un
développement aussi large. Prenons par exemple
les matrices à coefficient 1, soit
Comme al et 1 appartiennent au groupement du quadrivecteur et ia 2 a3 et ial a2 a3 au groupèment
du spin (pseudo-vectenr), on peut représenter les Qi
d’une façon invariante sur une base de 8 éléments,
donc on peut écrire
Prenons un autre exemple de réduction à 4 élé- ments :
On vérifie que le déterminant du système corres- pondant n’est pas identiquement nul, donc on peut
avoir un développement de Q sur une base de 4 termes appartenant au groupement tenseur anti- symétrique du 2e rang. Ce développements n’est pas invariant et on obtiendra un développement inva-
riant en prenant une base de 6 éléments formée par les éléments du groupement tenseur antisymétrique
du 2e rang. Les termes non-linéaires dans ce cas
expriment un couplage des moments électrique
propre et magnétique propre avec nn avto-champ électromagnétique. Mais s’il y a un auto-champ électromagnétique, il doit lui être associé un auto- potentiel quadrivectorie), ce qui porterait a 10 le
nombre des éléments de la base.
,
