Sur la résolution des équations d'ondes du corpuscule de spin I/2 ħ en interaction 2 avec un potentiel pseudoscalaire radial

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Sur la résolution des équations d’ondes du corpuscule de

spin I/2 ħ en interaction 2 avec un potentiel

pseudoscalaire radial

Gérard Petiau

To cite this version:

par

exemple,

pour amorcer le mécanisme d’accélé-ration de _rayons

_{cosmiques imaginé}

par Fermi

[4]

soient

_trop

faibles et

_qu’il

faudrait le situer

_plutôt

vers

4oo MeV

_(pour

les

protons).

’

Il nous semble

également qu’il

faille tenir

compte

de ces

_pertes

d’énergies,

dans toutes les théories

qui

situent

_l’origine

du

_{rayonnement cosmique}

au sein

de la matière très fortement ionisée ou

_qui

envi-sage une circulation s’étendant sur de

_longues

durées de

_temps

à l’intérieur du

_système

solaire où le milieu

est à la fois relativement dense

_(N

= i oo

à

_{i ooo)}

et

_{complètement}

ionisé.

Manuscrit reçu le 13 novembre 1950.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] BETHE H. - Ann.

Physik, I930, 5, 325.

[2] BOHR N. - Phil.

Mag., I9I3, 25, I0; I9I5, 30, 58.

[3] DEBYE P. et HÜCKEL

E.

2014 Physik

Z., I923, 24, I85 et 305.

[4] FERMI E. 2014

Phys. Rev., oooo, 66, 777.

[5] GABOR D. - Z.

Physik, I933, 84, 474.

[6] KOURGANOFF V. - Conférences à l’Institut

d’Astro-physique de Paris, I950. [7] KWAL B. 2014 C. R. Acad.

Sc., I950, 230, I662.

[8] LANDAU L. -

Physik Z. Sowjet Union, I936, 10, I54. [9] LANGMUIR I. - Phys. Rev., I925, 26, 585; Proc. Nat.

Acad. Sc., I928, 14, 627.

[10] STRÖMGREN B. - Astroph. J., I948, 108, 242.

[11] TONKS L. et LANGMUIR I. - Phys. Rev., I928, 33, I95. [12] WILLIAMS E. J. - Rev. Mod.

Physics, I945, 17, 2I7.

[13] MOTT N. F. et MASSEY H. S. W. - The _{Theory of} Atomic Collisions, 2e éd., Oxford, I949.

SUR LA

RÉSOLUTION

DES

ÉQUATIONS

D’ONDES DU CORPUSCULE DE

SPIN I/2 0127

EN INTERACTION 2

AVEC UN POTENTIEL PSEUDOSCALAIRE RADIAL

Par GÉRARD PETIAU.

Institut Henri Poincaré.

SOMMAIRE. - Étude de la résolution des

équations d’ondes du corpuscule de

spin I/2 0127

dans le cas

où ce _corpuscule est soumis à l’action d’un potentiel radial de _{type pseudoscalaire. Représentant} les fonctions d’ondes par des combinaisons de fonctions sphériques et de fonctions radiales, nous

établis-sons le système différentiel déterminant les fonctions radiales et nous en _précisons les solutions dans divers cas _{particuliers (potentiel pseudoscalaire constant, potentiel pseudoscalaire}

en I/r,

seul ou en

combinaison avec _{des potentiels électrostatiques} et _scalaires).

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME _12, OCTOBRE

_1951,

PAGE 810.

1. Forme

_générale

des solutions.

_Séparation

des fonctions radiales. - La

détermination des

valeurs

_propres

et fonctions _{propres caractérisant} les solutions de

_{l’équation}

d’ondes relativiste de

Dirac du

_corpuscule

de

spin ’2

dans un

_champ

élec-2

trostatique

coulombien a été l’un des

_premiers

problèmes

résolu de la théorie de l’électron. Dans

ces dernières

années,

l’utilisation de

_{l’équation}

d’ondes _{de Dirac pour la}

_{représentation}

des nucléons

a conduit à l’étude du

_{problème analogue}

dans le’

cas où le

_corpuscule

est soumis à l’action de

_potentiels,

non seulement

_{électrostatiques,}

mais

_également

nuclé-aires tels que ceux des

_champs

_mésoniques

des

divers

_types

_[1].

Nous nous _{proposons ici} d’examiner le cas, non encore étudié à notre

_{connaissance,}

dans

_lequel

le

corpuscule

de Dirac est soumis à l’action d’un

poten-tiel radial de

_{type pseudoscalaire.}

Nous

_{représenterons}

le

_corpuscule

de Dirac en

l’absence d’interaction _{par les solutions de}

l’équa-tion d’ondes

~

Les matrices a, a4’ forment un

_système

de

_quatre

matrices anticommutantes

Nous

_désignerons

_{par as} la matrice

811

Nous

_adopterons

le choix

_de,

la

_{représentation}

~ .

des matrices a, a4 utilisé par G. Darwin

[2]

et

H. A. Bethe

_[3]

Dans le cas où le

corpuscule

est soumis à l’action

d’un

_potentiel

_{électrostatique}

U

_(r),

d’un

_potentiel

de

_type

_mésonique

scalaire

_Il

_(r)

et d’un

_potentiel

de

_type’

_{mésonique pseudoscalaire I,}

_(r),

nous

compléterons l’équation

(1)

par le terme d’inter-action

cette

_équation

s’écrivant maintenant

Pour une solution

_{correspondant}

à la valeur W de

l’énergie,

nous écrirons

et les

_{fonctions 03C8}

_(x,

_y,

_z)

seront _{déterminées par}

l’équation

Nous chercherons les solutions de cette

_équation

représentées

par des combinaisons de fonctions

radiales et de fonctions

_sphériques

Nous

_adopterons

dans ce

_qui

suit le choix de la

représentation

de ces fonctions utilisé _{par G.}

Darwin

_[2],

soit

Ces fonctions ne sont _pas

_{normalisées,}

mais

_l’emploi

des fonctions

_sphériques

normalisées

_complique

arbitrairement les calculs

_[4]

et l’introduction de

ces fonctions normalisées

peut

s’effectuer facilement dans les

_expressions

_que

nous obtiendrons en fin de calculs.

L’équation

(4)

admet

_{l’intégrale}

_première

Passant en coordonnées

_sphériques,

nous avons

Par

_suite,

si

_{les 03C8j}

sont des combinaisons de

fonctions

_sphériques,

soient

nous aurons

Avec le choix ci-dessus des matrices oc

Par

suite,

si nous _{prenons des uj de la} forme _u, = _m,

U2 = _{m + I ,}

U3 = _m,

U4 = m ₊ i, nous aurons

et la

_{solution 03C8}

_{correspondante}

sera caractérisée

par la

yaleur propre

du moment

_cinétique

total

N z:

Avec les

_expressions

ci-dessus des matrices a,

le

_système

Si nous

cherchons,

selon le

_procédé

de

Darwin,

une solution de la forme

en utilisant les relations

on voit immédiatement que la

compensation

entre

les coefficients des fonctions

_sphériques

_{qui permet}

de détermiher les constantes _{al, a2, a3, al n’est}

_plus

possible

ici.

Pour réaliser cette

_compensation

nous _voyons

immédiatement _que l’introduction dans chacun des

_Çj

de deux fonctions

_sphériques

est nécessaire.

Ceci nous conduit à

prendre

_pour solution d’essai

les fonctions

en introduisant

quatre

fonctions radiales

La substitution des fonctions

₍₁₃₎

dans _le

sys-tème

₍₁₀₎

nous

_donne,

_par

_exemple,

_{pour la}

_première

équatiori

Annulant les coefficients

des fonctions

_sphériques

dans cette

_équation

et les trois autres _{que l’on}

obtient de la même

façon,

on a les relations entre

coefficients

et les

_équations

entre fonctions radiales

Modifiant

_légèrement

les notations en écrivant

F, G,

H, K pour

813

avec

Nous

simplifierons

_la

_forme

_du

système

(16)

en

introduisant

au lieu des

fonctions

_{F, G, H,}

K de nouvelles

fonctions

_{F, G, H, K}

_{telles que}

et en

_posant

Le

_système

₍₁₇₎

_s’écrit

_maintenant

Si,

dans ce

_système,

nous

_{faisons I2}

_(r)

= _{o nous}

retrouvons pour F et G d’une

_part,

_{pour H} et K

d’autre

_part,

les deux

_systèmes

_{d’équations}

_radiales

que l’on obtient dans les cas

d’interactions

électros-statique [U (r)

seul]

ou scalaire

_[Il

_(r)

_seul].

Dans le cas

_général,

l’étude . du

_système

₍₂₁₎

est

_complexe.

Nous n’en

déterminerons

les solu-tions que pour des formes

_{particulières}

_des

poten-tiels

_{U (r), I, (r),}

_{12 (r).}

2. Cas des

_potentiels

_constants. --

Le

sys-tème

(21)

introduit d’une

_{façon générale}

_quatre

fonctions

_{F, G,}

_H,

K. On

_peut,

avant d’aller

_plus

loin,

examiner dans

_quels

cas ce nombre

_peut

être abaissé.

Pour

_cela,

nous _{allons chercher sous}

quelles

condi-tions les

_équations

_{déduites du}

_système

(21)

par

l’hypothèse

K= o ou H= o sont encore

_compatibles.

Considérons,

par

exemple,

le cas où nous avons

K = o.

Nous

poserons

Le

_système

₍₂₁₎

s’écrit maintenant

On voit _{immédiatement que} ces

_équations

ne

sont

_compatibles

_que si nous avons

_

I1(r) const.,

I2(r)

=

const.,

U(r)

= _const.

₍₂₄₎

Le

_système

₍₂₃₎

se ramène alors aux

équations

De

_{même, pour avoir H}

= _o

(K ~ o),

les inter-actions

_U,

_{1,, 12}

doivent être constantes et _le

sys-tème

₍₂₁₎

se réduit à ,

Dans le

_{système (25)}

_{l’élimination de F} ou de G

nous donne les

_équations

Posant

es

_{équations (27)}

s’écrivent encore

Désignant

par

Zn (x)

la fonction

_cylindrique

générale

d’ordre n

_(fonction

de Bessel ou de Hankel selon les conditions aux

_limites)

nous obtenons

immédiatement les

solutions

Mais les

_{constantes ao}

et

_bo

ne sont _pas

indépendantes’ ’

car F et G sont

_liées

_par

ce

_qui

nous

_donne,

en utilisant les relations de

Nous obtenons alors la solution du

système

₍₂₅₎

De

_même,

le

_système

₍₂₆₎

nous donne les

_équations

dont la solution s’écrit

Les constantes _{restant arbitraires ao} et

_bo

seront

déterminées par les conditions de normalisation.

3. Cas des

_potentiels

_{en ’ -}

- Nous allons

maintenant rechercher les solutions du

_{système (21)}

dans le cas où le

_potentiel

_{pseudoscalaire}

I2-(r)

est

de la forme coulombienne

fi

étant un coefficient

_numérique.

Nous supposerons d’abord U

(r)

=

o,

Il

(r)

= _o.

Le

_{système (21)}

se ramène à

Nous chercherons une solution de ce

_système

de

la forme .

On voit immédiatement _que ceci

n’est

possible

que si nous avons,

Le

_{système (37)}

se réduit alors aux deux

_équations

Uo étant déterminé par

l’équation

d’où

Nous poserons

F et G seront déterminés _{par les} deux

_équations

et nous aurons

Si nous avons U

_(r)

=

const.,

h

(r)

=

_const.,

ces constantes

_pouvant

d’ailleurs être

_nulles,

_auquel

cas le seul

_potentiel

est le

_potentiel

pseudosca-laire

_(36),

le

_{système (44),}

se ramène aux

équa-tions

₍₂₉₎

avec

_{ici j’ au}

lieu

_{de j}

et

Nous obtenons alors immédiatement la solution du

_système

₍₃₇₎

sous la forme

Cette solution nous montre

_qu’il

n’existe _{pas de}

spectre’" discontinu

pour

l’énergie

du

_corpuscule

de Dirac dans un

_{potentiel pseudo-scalaire}

en ’.

r

La méthode

_précédente

va nous

_permettre

d’exa-miner

les

modifications

_apportées

aux niveaux

d’énergie

et aux fonctions d’ondes des cas du

_potentiel

815

coulombien

lorsque

le

_corpuscule

est

_également

couplé

avec un

_potentiel

_{pseudo-scalaire}

en I.

·

r

Considérons donc le

_système

₍₂₁₎

avec les

_potentiels

oc,

P, y

étant des constantes

numériques

et posons

Le

_{système (37)}

se ramène à la forme

₍₄₀₎

_qui

s’écrit ici

Pour résoudre ce

_{système, ,}

nous suivrons la

méthode de Darwin.

L’examen de

₍₅₀₎

nous montre

qu’asymptoti-quement

les fonctions F et G se

_comportent

comme

les solutions de

ce

_qui

amène à

_distinguer

deux cas selon que

W2 - [J-

0 ou

_{W( - 03BC20 >}

o. Considérons le

1 er cas

_{correspondant}

aux états liés de la

_particule

et soit

Nous avons la solution

_{asymptotique acceptable}

et nous écrivons

Nous obtenons alors à

_partir

des

_équations

₍₅₀₎

les relations de récurrence entre coefficients

Gs, Fs,

qui

nous donnent entre

Fs

et

GS

la relation

Si les

_{développements}

de G et de F commencent

pour s =

so,

Gso

#

o,

F.ço ~

o,

GSo-l

=

FSo-l

= _{o nous}

devons avoir

Si les

_{développements}

de G et de F

s’arrêtent

supérieurement

pour un

indice S’

nous

_{avons pour cet}

indice

d’où

Ceci nous

_détermine

w _par

_{l’équation}

d’où

Cette

_expression

des niveaux

_d’énergie

se

_simplifie

dans

_quelques

cas

_{particuliers :}

Nous voyons sur

_{l’expression (60)}

_{que le}

_potentiel

pseudoscalaire en I

n’introduit

_{qu’un déplacement}

r

des niveaux existant dans le cas des interactions

électrostatiques

en §

ou scalaires en

r.

Si _03B1=y=o

r r

les niveaux

_{disparaissent.}

Si les interactions

_{électrostatique}

et

pseudo-scalaire interviennent seules

_(y

- _o;

a, o),

les niveaux sont déterminés _{par la} relation

Si les interactions scalaire et

_{pseudoscalaire}

inter-viennent seules

_{(ce =}

-o;

fi,

y ~

o),

on a

4. Cas du

_{potentiel I,}

_{(r) quelconque.}

- Nous

allons maintenant revenir au cas où

_I.

_(r)

est une

fonction arbitraire de r.

L’examen du

_{système (21)}

nous conduit à

rechercher _{les conditions pour que} nous

_{puissions .}

écrire

uo et vo étant des constantes.

Pour que ces

_équations

soient

compatibles,

nous

devons avoir

Dans le cas où

_{U (r)}

= _o,

Il (r)

= _o,

M,

N,

uo, vo sont des constantes et, par

suite,

nous devons

avoir

d’ou

Le

_système

₍₆₄₎

se ramène alors aux

_équations

avec les

_{expressions (67)}

de _uo et de _vo.

On

_peut

_également

chercher les conditions sous

lesquelles

le

_procédé

utilisé ici s’étend au cas où il existe simultanément avec

_{I, (r)}

des

_{potentiels h (r)}

et U

_(r).

La condition de

_{compatibilité (65)}

s’écrit

main-tenant ’

Cette condition ne

_peut

être satisfaite que si nous avons

en introduisant _{pour les trois}

_types

d’interaction

une _{seule fonction radiale cp}

_(r).

Les constantes

_{uo et}

_vo sont alors déterminées

par les deux relations

Avec ces valeurs de u, et _{vo le}

_{système (64)}

se

ramène aux

_équations

On

_peut

retrouver

facilement

sur ces

_équations

dans le cas

_particulier

_{où ~ (r)}

= r

les résultats du

paragraphe

3.

Manuscrit reçu le 16 mars _1951.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] FURRY W. H. -

Phys. Rev., I936, 50, 784; PAIS.

-Phys. Rev., I945, 68, 227; CALDIROLA P. - Nuovo

Cimento, no _1, février _I948, 5, I-7; PETIAU G. - J.

Physique Rad., I949, 10, 264-274.

[2] DARWIN G. -

Proceed Roy. Soc., I928, A 118, 654. [3] BETHE H. A. - Handbuch der

Physik, 24/I, p. 30I-24.