Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431
Propagation d'ondes électromagnétiques en présence d'un courant électrique.
Sujet proposé par M.Gazeau (d'après Patrick Ciarlet) gazeau@cmapx.polytechnique.fr
1 Introduction
Dans ce miniprojet on s'intéresse à la propagation d'une onde électromagnétique dans le vide. L'évolution du champ electromagnétique (E, ~~ B) est décrite par les équations de Maxwell
rot~ B~ =µ0J~+µ0ε0∂ ~E
∂t (Maxwell Ampère)
∂ ~B
∂t =−rot~ E~ (Maxwell Faraday), div
B~
= 0,
E(t~ = 0) =E0, B(t~ = 0) =B0.
(1)
où E~ = (Ex, Ey, Ez) est le champ électrique et B~ = (Bx, By, Bz) l'induction ma- gnétique. Ces équations expriment respectivement la manière dont un courant élec- trique est à l'origine d'un champ magnétique et le phénomène d'induction c'est à dire qu'un champ magnétique variable est à l'origine d'un champ électrique. Le fait que l'induction magnétique soit de divergence nulle indique qu'il n'y a pas de charges magnétiques. La donnée J~ est la densité de courant électrique. Enn ε0 = 1/(36π109)F.m−1 exprime la permittivité électrique du vide et µ0 = 4π.10−7N.A−2 la perméabilité magnétique du vide. De plus on rappelle que les ondes électroma- gnétiques se propagent dans le vide avec la célérité c= 1/√
µ0ε0.
Dans la suite du problème on considère un domaineΩ⊂R3 ainsi que des conditions aux limites de type conducteur parfait pour les équations de Maxwell i.e
E~ ×~n|∂Ω = 0, ~B·~n|∂Ω = 0. (2) où~n la normale unitaire sortante à∂Ω.
On considère également que le problème est z-invariant c'est à dire que le domaine de calcul Ω, le champ électromagnétique et la densité de courant sont invariants par rapport à z. En d'autres termes :
Ω =ω×R, oùω ⊂R2, ∂·
∂z = 0
où on suppose que ω est de la forme polygonale : ses sommets ont respectivement pour coordonnées (0,0), (1,0), (1,12), (12,12), (12,1) et pour nir (0,1). On notera
~
ν la normale unitaire sortante à ∂ω, et ~τ le vecteur tel que (~τ , ~ν) est une base orthonormale.
Mathématiquement, à tout instant, E~, ∂tE~, B~, ∂tB~ et J~ sont à supports bornés et toutes leurs composantes appartiennent à L2(R2). On considère également que les données initiales (E0, B0) sont régulières tel que div(B0) = 0 et E0 est à support compact dans ω.
2 Réduction du système à l'équation des ondes.
1. Montrer que les sytème (1)-(2) peut être réécrit sous la forme de deux systèmes découplés :
→ le premier en (Ex, Ey, Bz), appelé mode TE (Transverse Electric) ;
→ le second en(Bx, By, Ez), appelé mode TM (Transverse Magnetic) ; Dans la suite, on se concentre sur le mode TM. On adopte la convention B= Bx~ex+By~ey, et on introduit deux opérateurs rotationnels sur ω :
rot~u= ∂uy
∂x −∂ux
∂y , ~rotu= ∂u
∂y~ex− ∂u
∂x~ey.
2. Vérier que l'on peut reformuler les équations satisfaites par (Bx, By, Ez) en :
∂Ez
∂t −c2rotB=−1
ε0Jz, ∂B
∂t +rot~ Ez = 0 dans ω, t∈R+. (3) Ez(0) = (E0)z, B(0) =B0 dans ω. (4) Ez|∂ω = 0, B·~ν|∂ω = 0, t >0. (5) 3. Vérier que B satisfait l'équation du second ordre suivante :
∂2B
∂t2 +c2rot rot~ B= 1
ε0rot~ Jz. (6) Quelles conditions initiales doit-on ajouter ?
4. Etant donné que div(B) = 0~ , il existe un potentiel vecteur A~ ∈ (L2(Ω))3 tel
que B~ =rot~ A.~
En déduire que :
B=rot~ Az. (7) A partir des hypothèses sur B~ en déduire la régularité du potentiel Az? Le potentiel Az est-il unique ? Quelle condition aux limites est satisfaite parAz? Déduire de (6)-(7) que Az vérie :
rot~
∂2Az
∂t2 −c2∆Az− 1 ε0
Jz
= 0.
On admet que le terme ∂∂t2A2z−c2∆Az−ε1
0Jzsatisfait globalement des conditions aux limites homogènes, ce qui permet de dire queAz satisfait :
∂2Az
∂t2 −c2∆Az = 1 ε0Jz. Quelles sont les conditions initiales vériées par Az?
5. Expliquer pourquoi Ez est solution de l'équation des ondes ci-dessous :
∂2Ez
∂t2 −c2∆Ez =−1 ε0
∂Jz
∂t .
Etablir qu'à tout instantt,Ez appartient àH01(ω). Quelles conditions initiales doit-on ajouter ?
6. Ecrire les formulations variationnelles dont Ez et Az sont respectivement so- lution.
Dans la suite, on va résoudre numériquement les deux équations des ondes que vérient Ez et Az, puis on en déduira une approximation numérique du mode TM (Bx, By, Ez).
3 Analyse théorique et numérique 1 d.
On a vu dans l'étude théorique précédente que dans le cadre d'un problème invariant dans une direction, les équations de Maxwell en dimension 3 se réduisent à un système d'équation des ondes pour Az etEz. Le but de cette partie est de proposer et d'analyser des schémas numériques pour l'équation des ondes en une dimension d'espace qui serviront ensuite à résoudre numériquement le problème complet à savoir la simulation numérique du mode TM(Bx, By, Ez). An de simplier l'analyse on suppose uniquement dans cette partie que la charge de courant électrique est nulle. On souhaite donc étudier
∂2Ez
∂t2 −c2∂2Ez
∂x2 = 0. (8)
auquel on ajoute les conditions aux limites de dirichlet. Les conditions initiales du problème seront données ultérieurement. On note ∆x = 1/(N + 1) le pas d'es- pace et ∆t le pas de temps. On notera également (tn, xj) = (n∆t, j∆x) avec j ∈ {0, ..., N + 1}.
1. Ecrire le schéma saute mouton pour l'équation précédente (8). Etudier la consistance et l'erreur de troncature du schéma.
2. En cherchant la solution sous la forme d'une onde planeEz(j, n) =Aexp (i(kj∆x−wn∆t)) oùk est le nombre d'onde et w la fréquence angulaire, montrer que
sin2(w∆t/2) = C2sin2(k∆x/2)
avecC =c∆t/∆x. Etablir une condition de stabilité pour le schéma.
3. Ecrire la relation de dispersion pour l'équation des ondes (8). En déduire la relation liant k, w, ∆xet ∆t. Que se passe-t-il lorsque C= 1?
4. Ecrire l'équation (8) sous la forme d'un système à deux inconnues ainsi que le schéma de Cranck Nicholson associé. De la même manière que précédemment montrer que :
tan2(w∆t/2) = C2/4 sin2(k∆x).
En déduire que ce schéma est inconditionnellement stable et qu'il ne satisfait jamais la relation de dispersion exacte.
5. Conclure sur les avantages et les inconvénients des deux schémas. L'utilisation du schéma explicite est-elle intéressante en pratique ?
6. Implémenter les deux schémas pour une donnée initialeEz|0 = cos(x) exp(−x2/20) et une vitesse initiale nulle sur l'intervalle [−12π,12π]. On suppose que la vi- tesse du son est normalisée c = 1. On prendra également ∆x = 0.1π ainsi qu'une constante CFL égale à C = 0.7. On achera les résultats pour les temps naux t = 50 et t = 100. Le schéma de saute mouton étant à trois niveaux en temps, pour initialiser le schéma à partir de la donnée initiale en t0 = 0 il est nécessaire de calculer le champ à l'instant t1 = ∆t par un autre schéma à deux niveaux en temps seulement. Pour cela on pourra utiliser le schéma de CN ou le schéma explicite de Lax Wendro. Expliquer pourquoi l'initialisation à l'aide du schéma de Lax Friedrichs n'est pas conseillé.
4 Discrétisation et mise en ÷uvre numérique en 2 d.
Le champ électromagnétique dépend à la fois des variables d'espace (ici, (x, y)) et de temps (t). Pour approcher ce champ, on choisit dans la suite une approche de type éléments nis en espace et de type diérences nies en temps. On suppose cette fois queE0 =B0 = 0mais que la densité de courant électriqueJ~est non nulle.
On semi-discrétise en espace les équations des ondes enEz etAz à l'aide de l'élément ni de LagrangeP1, conforme dansH1(ω), sur des maillages triangulaires. On discré- tise en temps à l'aide du schéma saute-mouton, avec un pas de temps∆t uniforme.
1. Donnez un exemple de maillage conforme dans H1(ω) et écrire les schémas résultants sur Ez etAz de sorte qu'ils soient complètement explicite.
2. On note hmin = minT∈ThhT, hT diamètre du triangle T, et Th la triangulation courante. Le pas de temps ∆t est choisi de sorte que :
c∆t≤ 1
2hmin, (9)
A quoi correspond la contrainte (9) ? Au vue des analyses précédentes est-il normal qu'une telle condition apparaisse ?
3. Pour reconstruire une approximation numérique deB à partir de celle calculée pourAz, on part de l'identité B=rot~ Az dans L2(ω)2, équivalente à
Z
ω
B·~λ dω = Z
ω
rot~ Az·~λ dω, ∀~λ∈L2(ω)2. (10) Comment utiliser (10) en pratique ?
4. Réalisez la mise en ÷uvre des schémas numériques précédemment construits à l'aide de FreeFem++
5. On considère la donnée
Jz =f(x) sin(ζ t)e−ζ t2 .
La fonction f est égale à la fonction chapeau centrée en x = 1/4, de support [1/8,3/8]. La pulsation ζ est associée à la fréquence ν = 4GHz (ζ = 2πν.)
On résout les équations de Maxwell en mode TM entre les instants t = 0s et t= 3 10−9s.
Réalisez les simulations numériques avec ces données, sur quelques maillages (respectivement formés de 500, 2.000 ou 8.000 triangles environ.) Analysez les résultats.
6. Comment améliorer la qualité de la solution calculée, au voisinage du coin rentrant ?
Réalisez une expérience numérique et comparez-la aux expériences précédentes.
7. Expliquer de quelle manière Ez et Az sont liés. Quel est l'intérêt numérique d'une telle remarque ? Et en pratique ?
